Конспект урока по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»
план-конспект урока геометрии (10 класс) по теме

 Конспект  урока  по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Проанализируем условие задачи, что нам известно

То есть луч ВА образует равные углы с луча ми ВС и ВД  или  другими словами луч ВА равнонаклонен  к сторонам угла СВД. Что требуется доказать?

С чего начнем решение?

Как построить проекцию луча ВА на плоскость СВД?

 Как построить проекцию точки на плос кость?

Итак, мы знаем как построить  проекцию точ ки на плоскость, следовательно мы можем по строить проекцию луча на эту  плоскость. Выполним построение луча АВ на плоскость СВД на чертеже.

Как доказать, что ВН является биссектрисой  угла СВД?

 Итак, мы выделили  два пути  поиска  доказа тельства:

1. Воспользоваться определением биссект рисы;

2. Воспользоваться признаком биссектрисы.

Исходя из этого,  можно рассмотреть два спо соба  решения этой задачи. Первый. Восполь зуемся определением биссектрисы.

Итак, чтобы воспользоваться определением биссектрисы надо доказать, что/СВН=/  ДВН. Какие эвристики  можно использовать для до казательства равенства углов?

  Назовите треугольники, содержащие  углы СВН  и  ДВН  

Построим нужные нам треугольники. Что для этого надо сделать?

Точки на лучах ВС и ВД произвольные?

Для того чтобы, углы СВН и ДВН были равны, какие треугольники мы должны  пос троить?

Значит, какие точки мы должны отметить на лучах ВС и ВД?

Отметим эти точки на чертеже: ВМ=ВК.

 Итак, мы построили треугольники ВКН и ВМК. Нужно доказать, что они равны. Чем можно воспользоваться для доказательства равенства треугольников?

Чтобы воспользоваться признаками равенства треугольников нужно выделить  равные элементы в этих треугольниках. Выделите их.

Достаточно этих условий для доказательства равенства треугольников ВКН и ВМН. Необходимо найти еще одну пару равных элементов, допустим  это стороны МН и КН. Равны ли эти отрезки? Чем можно восполь зоваться для доказательства равенства  отрез ков?

Треугольники ВКН и ВМН использовать нельзя, поэтому необходимо  найти другие треугольники, содержащие  эти отрезки. Как ие треугольники можно рассмотреть?

Сравните эти треугольники?

Для доказательства равенства отрезков АМ и АК чем мы можем воспользоваться?

Выделите треугольники, содержащие эти отрезки?

Сравните эти треугольники?

Итак, мы доказали, что треугольники ВАМ и ВАК равны, отсюда следует, что АМ=АК, отсюда следует, что  треугольники АМН и АКН равны, следовательно МН=КН, следова тельно треугольники ВКН  и  ВМН равны, отсюда следует,  что /  СВН=/  ДВН, а отсюда следует, что  ВН – биссектриса угла СВД.

Итак, мы доказали, что проекцией луча ВА является биссектриса угла СВД при условии, что луч ВА равно наклонен к сторонам угла СВД и угол наклона меньше  900.Какой факт мы при этом использовали?

Какие дополнительные построения нам необходимо было сделать для проведения доказательства?

Какие еще знания нам помогли в поиске дока зательства?

Какой метод рассуждений для поиска доказательства   и для записи решения мы использовали?

Итак, для доказательства мы использовали определение биссектрисы, а теперь, рассуж дая аналогичным образом, попробуем дока зать требование задачи, используя признак биссектрисы. Если в первом случае мы дока зывали равенство углов,  образованнных сто ронами и проекцией луча, то, что нужно дока зать, используя признак  биссектрисы?

Что значит  точка  равноудалена от сторон уг ла СВД?

Так как для построения  проекции луча ВА мы брали произвольную точку А, то точка Н так же является произвольной точкой проекции луча, следовательно мы можем использовать ее для доказательства равно удаленности от сторон угла СВД. Построим отрезки перпендикуляров, опущенных из точки Н  на стороны ВС и ВД угла СВД. Получим точки    О є ВС    и    Рє ВД.

Итак, что  нужно доказать?

Чем можно воспользоваться для доказа тельства равенства отрезков?

Выделите и назовите эти треугольники.

 Какие это треугольники?

Для того, чтобы прямоугольные  треуголь ники АОН и АРН были равны, надо доказать равенство двух пар элементов. Имеем общий катет, поэтому достаточно доказать ра венство или углов, или сторон. Докажем ра венство сторон АО и АР. Чем можно восполь зоваться для доказательства равенства отрез ков?

Назовите треугольники, содержащие эти от резки.

Сравните эти треугольники?

Определите взаимное расположение прямых ВС и АО, ВД и АР?

Значит, какие треугольники ВАО и ВАР?

В прямоугольных треугольниках ВАО и ВАР имеем равенство  углов и общую гипотенузу, что из этого следует?

Итак, мы доказали, что треугольники ВАО и ВАР равны, отсюда следует, что  АО=АР, зна чит треугольники АОН и АРН равны, значит ОН=РН. Следовательно, точка Н равноудале на от сторон угла СВД, а так как  точка Н произвольная,то ВН – биссектриса угла СВД.

Решение оформите дома.

Мы решили задачу, а теперь проанализируем полученный результат. Эта задача интересна не только тем, что она имеет два способа решения, но и тем, что она богата результата ми, которые можно получить на основе  этой задачи путем выведения следствий. Какой же интересный результат мы получили, решив задачу?

Попробуйте перенести этот факт на модель многогранника. Как он будет сформулиро ван?

В таком случае, куда будет проектироваться вершина многогранника, принадлежащая данному ребру?

Рассмотрим многогранник, в основании которого лежит треугольник и у которого два ребра равно наклонены  к сторонам осно вания. Куда в этом случае будет проекти роваться вершина многогранника?

Чем является точка пересечения биссектрис в треугольнике?

Значит, куда будет проектироваться вершина «треугольного» многогранника, если два его боковых ребра равно наклонены к сторонам основания?

Итак, еще один полезный результат, который мы доказали. Но в ходе доказательства мы доказали равенство многих других элементов, построенной фигуры, например, равенство двугранных углов при ребрах основания. Зная этот факт и перенеся его на многогранники, какой факт мы получаем?

Итак, мы получили еще два факта, используя только равенство двугранных углов, анало гичные результаты можно получить, если рассмотреть другие равные элементы (рас смотреть равенство других элементов и сфор мулировать полученные результаты можно предложить в качестве домашнего задания). Мы видим  насколько  «богата» эта задача, сколько интересных фактов мы из нее вы вели. Все полученные результаты можно бу дет использовать в дальнейшем при изучении темы «Многогранники».

Из условий задачи нам известно. Что луч ВА не лежит в плоскости угла СВД и что              /  АВС=/  АВД< 900

Требуется доказать, что проекцией луча ВА на СВД является биссектриса угла СВД.

С построения проекции луча ВА на плоскость СВД.

Чтобы построить  проекцию луча ВА на плоскость СВД достаточно построить  проекцию любой точки луча ВА на плоскость СВД и полученную точку соединить с вершиной луча (точкой В), построенный луч будет являться  проекцией  луча ВА на плоскость СВД.  

 Чтобы построить проекцию точки на плоскость, надо опустить из этой точки перпендикуляр на данную плоскость и основание перпендикуляра  будет являться  проекцией точки на эту плоскость

                          А

    В                             Н               С                                                    

                                                       Д

Чтобы доказать, что ВН является биссектри сой угла СВД можно  попытаться доказать,  что   / СВН=/  ДВН  согласно определению биссектрисы или что любая точка луча  ВН равноудалена от сторон  угла  СВД  согласно признаку биссектрисы.

Для доказательства равенства углов можно попытаться доказать равенство  треугольни ков,  содержащих эти углы

Соединить точку Н  с точками  на лучах ВС и ВД.

Чтобы углы были равными, надо построить равные треугольники

Мы должны взять такие точки на лучах ВС и ВД, чтобы полученные при этом отрезки были равны.

                            А

                                                  С

                                          К

         В                          Н

                                      М

Признаками равенства треугольников

Сторона ВН – общая, ВК=ВМ по построению

Для доказательства равенства отрезков необходимо доказать равенство треуголь ников, содержащих эти отрезки

Можно рассмотреть треугольники  АМН и АКН.                     А

                                                     С

                                                К      

           В                       Н

                                             М           Д

Это прямоугольные треугольники с общим катетом, для доказательства их равенства надо доказать, АМ=АК.

Надо попытаться доказать равенство треугольников, содержащих эти отрезки

Треугольники ВАМ  и  ВАК.

Треугольники ВАМ и ВАК равны по двум сторонам и углу  между ними: ВА – общая сторона,  /  АВС=/  АВД,  ВМ=ВК по построению.

Далее учащиеся делают записи решения задачи

Мы использовали определение биссектрисы

Необходимо было построить  равные отрезки на сторонах угла с началом  в его вершине.

Для поиска доказательства мы использовали знания из курса планиметрии, а именно условия для доказательства равенства  углов и равенства отрезков.

Для поиска доказательства  мы использовали  метод анализа, а для записи – метод синтеза.

Для доказательства того, что проекцией луча ВА является биссектриса, надо доказать, что любая точка луча ВН рано удалена от сторон угла СВД.

Это значит, что длины перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны угла равны.

                                А

                            О                          С

          В                             Н

                          Р                          Д

Нужно доказать, что НО=НР.

Необходимо доказать равенство треуголь ников, содержащих эти отрезки.

Это треугольники АОН и АРН

                                А

                            О                     С

          В                             Н

                          Р                         Д

Треугольники АОН и АОР прямоугольные с общим катетом АН.

Равенством треугольников, содержащих эти отрезки.

Треугольники ВАО и ВАР.

Треугольники ВАО и  АВР имеют общую сторону ВА и равные углы АВС и АВД. Но этого недостаточно для доказательства равенства треугольников.

Прямые  ВС и АО, ВД и АР взаимно перпендикулярны по теореме, обратной тео реме о трех перпендикулярах.

Треугольники ВАО и ВАР прямоугольные.

Треугольники ВОА и ВАР равны.

Мы доказали, если луч, не лежащий в плос кости данного угла, равнонаклонен к сто ронам этого угла, причем угол наклона мень ше 900, то проекцией луча является биссек триса данного плоского угла.

Если боковое ребро многогранника равно наклонено к сторонам основания, причем угол  наклона меньше 900 , то его проекцией является биссектриса угла плоскости ос нования.

Вершина будет проектироваться на биссектрису  угла в плоскости основания.

Вершина будет проектироваться в точку пересечения биссектрис.

Она является центром вписанной окружности.

Вершина проектируется в центр вписанной окружности.

Если боковое ребро равнонаклонено к сто ронам основания, то боковые грани, содер жащие это ребро, равнонаклонены к плос кости основания.