Урок - семинар по геометрии 8 класса по теме "Теорема Пифагора"
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

Урок – семинар

«От теоремы Пифагора к …»

Цель урока:

1. Узнать, что можно поставить вместо многоточия.

2. Познакомиться с механизмом обобщения.

3. Рассмотреть различные идеи доказательства теоремы Пифагора.

        Ι.Организационная часть. Сообщение темы и целей урока.

Сегодня на уроке  будем говорить о теоремах бабочки, 100 быков, рассмотрим «бегство убогих». Почему так много вопросов на один урок?

        ח. а) Эти названия относятся к одной теореме – теореме Пифагора, которая известна людям более 25 веков и существует более 150 способов её доказательства.

Какие ещё тайны содержит эта теорема, чтобы ей посвящать так много времени?

1. Великий К. Гаусс предлагал её использовать в качестве первого сообщения внеземным цивилизациям о существовании на Земле разумной жизни, проведя в лесах России огромные вырубки в форме «пифагоровых штанов», чтобы этот чертёж было видно из космоса.

2. Теорема Пифагора представляет нам богатейший материал для обобщения – важного вида мыслительной деятельности.

        б) Что значит обобщить теорему? Это значит распространить её на более широкий круг фигур. Для каких ещё фигур справедлива теорема Пифагора? Есть ли терема более общая, чем теорема Пифагора? Поэтому я предлагаю записать тему урока: «От теоремы Пифагора к …»

Запишем теорему:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.»

Попробуем заменить слова прямоугольный треугольник каким – то родственником (прямоугольник, квадрат). Как будет выглядеть теорема Пифагора для прямоугольника?

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов смежных сторон (двух его измерений).

Что является аналогом прямоугольника в пространстве? Прямоугольный параллелепипед. А сколько у него измерений? Как будет звучать теорема Пифагора для параллелепипеда?

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. (доказывает Митрофанкина М.)

в) С объектом «треугольник» мыслимые метаморфозы провели (стереть слово с доски).

Поговорим о свойстве, отмечаемом в теореме, - площади квадрата. А можно ли построить на сторонах прямоугольного треугольника не квадраты, а другие фигуры?  (отвечает группа Прокофьева А. , стираем слова «квадрата»).

г) В теореме Пифагора речь идёт о прямоугольном треугольнике. А если треугольник будет произвольным?

Получили теорему косинусов – обобщённую т. Пифагора. Какими словами можно завершить тему урока?

А как можно узнать будет ли треугольник прямоугольным со сторонами 8, 15, 17? 5, 12, 16? Сказать о теореме, обратной теореме Пифагора.

д) А теперь давайте посмотрим почему т. Пифагора так странно называется? (материал взять из газеты «Математика» 1995 года, №28, стр. 7). Слово Косовцевой Н.

е) Рассмотрим несколько идей доказательства теоремы Пифагора.

        Идея 1. Разрезание.(Балашов, Балабин).

        Идея 2. Дополнение. (Быкова, Васильева).

        Идея 3. Алгебраическая. (Злобин).

ж). А теперь поговорим о так называемых «пифагоровых тройках», то есть натуральных числах, служащих решением уравнения  (Улитин А)

Рассказать, как пользоваться этими тройками при решении задач: а=12, в=37, с - ? (посмотреть по тройкам).

III. Решение задач.

№1. Диагональ прямоугольника равна 13см, а одна из его сторон 12см. Найти периметр прямоугольника.

№2. Найти периметр равнобокой трапеции, основания которой 3см и 9см, а высота 4см.

№3. Биссектриса равностороннего треугольника равна 2см. Найти сторону треугольника.

№4. Стороны прямоугольника относятся как 3 :4, а его диагональ равна 50см. Найти периметр прямоугольника.

№5. Задача индийского учёного Бхаскара Акариа, 1114 год.

На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.

№6. Задача из старинного китайского трактата.

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растёт тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигает берега. Какова глубина озера?

Д/З Теорема, обратная теореме Пифагора. Перпендикуляр и наклонная. (Сделать конспект).