Теорема Чевы. Теорема Менелая
методическая разработка по геометрии (10 класс) по теме

Тема: Теорема Менелая. Теорема Чевы. (2 часа)

Цели урока:

1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
4. воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.

Задачи урока: 

• Образовательная: изучить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
• Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
• Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Ход урока 

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Лекция

Чева Джованни  (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.

   Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство  

  Доказательство.  Проведём  CD || AB.  Рассмотрим треугольник A1BC1 и

треугольник A1CD.

Угол DA1C=углу C1A1B (вертикальные)

Угол D = углу C1 (накрест лежащие при CD || AC1  и секущей C1D)

Следовательно, треугольник A1BC1   подобен треугольнику A1CD. Стороны подобных треугольников пропорциональны

Рассмотрим треугольник B1 AC1 и треугольник B1 CD

Угол DB1C = углу  AB1C1  (Вертикальные)

Угол D   = углу  C1  (Накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)

Следовательно, треугольник B1AC1 подобен треугольнику B1CD. Следовательно,

У нас получилось два равенства    и

Перемножим почленно эти равенства: . Получим

Воспользуемся свойством дробей:

(Например )

Имеем   . Теорема доказана.

                         Доказательство остаётся в силе

 и в том случае, когда все три

 точки A1, B1, C1  лежат на

 продолжениях сторон

 треугольника ABC

Прежде чем  рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD – ненулевые  коллинеарные векторы. Если, то будем писать: . Значит, число k равно отношению длин векторов и, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:

    Докажем обратную теорему.

    Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Если выполняется равенство , то эти точки лежат на одной прямой.

    Допустим, что выполнено равенство  , и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме, . Сравнивая это соотношение с данным, получим, что .

Прибавим к обеим частям равенства 1.  , получим:  т.е. , откуда, т.е. C1  и C2 совпадут.

Теорема Чевы

Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне ABC (рисунок б).

Применим теорему Менелая к BCC1 и секущей AA1, получим:

Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим:

Перемножим почленно эти равенства

 Что и требовалось доказать.

Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.

Для решения задач чаще применяется обратная теорема.

Обратная теорема Чевы.   Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1.  Если выполняются равенство    , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.

Доказательство.   Пусть AA1BB1=O. Проведём прямую CO,  С2=COAB.

По теореме Чевы . Учитывая условие имеем: , откуда =k,   =k. Вычтем второе равенство из первого. По свойству векторов получим  =k=

= - k.

 Т.к. k -1   (иначе бы, но точки A и B не совпадают), следовательно, , т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.

  Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1.  

III этап. Решение задач. (22 мин.)

. Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.

Задача №1

Решение

Рассмотрим  ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: . т.к. ,    , тогда , то  , следовательно,  

                                                                                 Ответ: =     

Задача №2

        Решение

1 способ

Рассмотрим  ACC1  и секущую BB1 (точки пересечения B1, K, B). Применим теорему Менелая  .

;                   из этого следует  =3. Подставим в равенство

, отсюда,  

Рассмотрим ABA1  и секущую CC1 (Точки пересечения C1, N, C) По теореме Менелая:

;         , отсюда, , подставим в равенство,  , отсюда,  

Рассмотрим  BB1C  и секущую AA1 (точки пересечения A, P, A1)  По теореме Менелая:

;                     , отсюда, . Подставим в равенство , отсюда,  

Далее будем использовать свойство площадей частей  треугольника

                                         , где D AC

 Действительно,  

Обратимся к рисунку к задаче

В C1BC      , следовательно, S3+S4=6S2

В  AA1C    , следовательно, S5 +S6 =6S4

В  ABB1     , следовательно,  S2+S7=6S6.

т.к. BA1 = 2 A1C, следовательно, SABA1 = 2SAA1C, следовательно, S1+S2+S3+S7=2S6+2S5+2S4   (1)

т.к. AC1 = 2BC1, следовательно, SACC1 = 2SBCC1,  следовательно,  S1+S5+S6+S7=2S2+2S3+2S4    (2)

т.к. SB1BC = 2SABB1  (B1C = 2 B1A)

S1+S3+S4+S5=2S2+2S6+2S7     (3)

Сложим равенства (1), (2), (3) почленно:

3S1+S2+2S3+S4+2S5+S6+2S7=4S2+4S4+2S3+2S5+4S6+2S7.

После упрощения получим:

3S1=3S2+3S4+3S6;               S1=S2+S4+S6

Из доказанного, что S3+S4=6S2 следует, что , так же    и  , подставим,

S1=   +  + т.е.  S1=(S2+S3+S4+S5+S6+S7)=, следовательно, S=7S1, где S=SABC;         S1=SPKN.

Ответ: S=7S1 

2 способ

По теореме Менелая:, следовательно, .

Значит, SC1KB = SC1BC

Аналогично SAB1P=SAB1B,       SA1NC=SACA1

По условию A1C=CB, следовательно, SACA1=SABC, следовательно, SA1NC=SABC 

AB1=AC, следовательно, SABB1=SABC, следовательно, SAPB1=SABC 

C1B=AB, следовательно, SC1BC=SABC, следовательно, SC1BK=SABC 

SABC=SACA1+SCC1B-SA1NC+SAPKC1+SKPN , пусть SABC=S.

S=S+S-S+S+SKPN

S=S+ SKPN, откуда SKPN=(1-)S= S;           SKPN=S

Ответ: SKPN=S

Задача №3

Решение

А) Используем свойство площадей треугольников:

 (в случае, если BD –медиана, то SABD= SCBD)

Проведём медианы  в  B1AC1, в B1A1C и в BC1A1.

 Обозначим площади частей   A1B1C1 буквами S1;S2;S3;S4;S5;S6;S7

По свойству, приведённому выше:

S1=S2 (AB – медиана B1BC)

 S6=S7 (A1A – медиана B1A1C)                , следовательно, S1=S7

 S6=S1 (AC – медиана ABA1)

 S2=S3 (B1B – медиана AB1C1), следовательно, S1=S3 

S1=S4 (CB – медианаACC1)

S4=S5 (C1C – медиана BC1A1), следовательно, S1=S5

SA1B1C1 = S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7  = 7SABC,   где SABC=S1

Значит,  =  

Б) точки A, B, K – лежат на одной прямой, пересекающей стороны  A1B1C  По теореме Менелая: ,    т.к. B1A=AC;     т.к. BC=CA1, следовательно,   т.е.

Ответ: = ,  

Задача №4

Решение

Используем теорему Менелая для BCD и секущей EP.

;         CN=ND; следовательно, .

, следовательно, .

Рассмотрим ABD и секущую MP. По теореме Менелая: ; BM=MA, следовательно, , тогда, , следовательно, .  

Из двух равенств:   и  , следует что, . Что и требовалось доказать.

Задача №5

Решение

Используем теорему Менелая поочерёдно к треугольникам:

AKM и секущая DO (точки пересечения O, P, D)  ;  , следовательно, AO=2OK.

BPN и секущая OC (точки пересечения O, K, C)  ;   , следовательно, BO=2OP.

AOD и секущая AK (точки пересечения M, P, K)   ;  , следовательно, DP=3PO

BOC и секущая PN (точки пересечения P, K, N)   ;  , следовательно, CK=3OK.

Значит, DO=4PO;   BO=2PO, т.е.  

CO=4OK;   AO=2OK, т.е.  .   В AOB и  COD  ,

AOB = DOC – вертикальные, следовательно, AOB подобенCOD, следовательно BAO=DCO (накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно, AB || DC. Значит, ABCD – трапеция.

Из равенств   и    видно, что стороны подобных треугольников  AOB и COD относятся как , значит  или DC=2AB. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы.

Задача №1

Доказательство

Пусть AA1, BB1, CC1 – медианы треугольника ABC.

Проверим равенство:  ,     1*1*1=1  (верно).

Утверждение доказано согласно теореме Чевы.

Задача №2

Доказательство

  Пусть BE, CM, AK – биссектрисы ABC.

Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

Значит, . Найдём произведение , по теореме Чевы прямые BE, CM, AK пересекаются в одной точке.

Задача №3

Решение

Прямые AA1, BB1 и CM пересекаются в одной точке P. По теореме Чевы: , , поэтому   =>  

CB1A1 подобен CAB (; C – общий)

Значит, CB1A1 =  CAB – соответственные при прямых B1A1 и AB и секущей AC, поэтому  A1B1 || AB. Что и требовалось доказать.

                                               Задача №4

Решение

Пусть r – радиус окружности.

Из прямоугольных треугольников OBC1 и OCB1  находим CB1=r*ctg C,     C1B=r*ctg B.

Из прямоугольных треугольников ABA1 и ACA1 имеем BA1=AA1*ctg B; A1C=AA1*ctg C;    AB1=AC1 – как отрезки касательных, проведённых из одной точки.

 Найдём произведение:

  =    =  

Согласно теореме Чевы прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, т.е. PAA1. Что и требовалось доказать.

Задача №5

Решение

Пусть  SCDM=S1,   SBDN=S2,    SANM =S3,     SABC=S.

   Знаем, что площади двух треугольников, имеющих общий угол, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Имеем  

По условию  , следовательно ;  , следовательно, , отсюда,  

Аналогично,  ;  

Найдём  SDMN = S- (S1+S2+S3)

SDMN = S-(++)=

=S-==

== =

В треугольнике ABCотрезки AD, BM, CN пересекаются в одной точке. По теореме Чевы

Значит,  Что и требовалось доказать.

Задача №6

Доказать. Что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение

По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки  AM=AP=a;  BM=BN=b;   CN=CP=c.

Найдём произведение отношений:

По теореме Чевы  AN BP CM=O1

V этап. Итог урока

VI этап. Домашнее задание

1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL.  Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)