Теоремы Чевы и Менелая
методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему

Занятие №7.

Составили: учителя высшей квалификационной категории

Веденеева И.В., Алекаева Н.А., Лазарян Е.С.

МБОУ «Тучковская средняя общеобразовательная школа №1»

Тема: «Теоремы Чевы».  (1,5 часа)

Цель занятия. Познакомить участников с доказательством теоремы Чевы. Сформировать навыки решения задач с применением теоремы Чевы.

Ход занятия.

1. Какие отрезки называются пропорциональными?
2. Приведите примеры пропорциональных отрезков.

Рассмотрим теорему о пропорциональных отрезках

Теорема о пропорциональных отрезках.   На сторонах АС и ВС треугольника АВС  отмечены точки К и М так, что АК:КС = m:n, ВМ:МС= p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. Тогда верно:

Существует простой способ, позволяющий запомнить полученные  формулы. Например, чтобы написать формулу отношения АО:ОМ, нужно «двигаясь» от точки А к точке В по отрезкам АК, КС, СМ, МВ, взять отношение первого ко второму, т.е.  и умножить его на отношение третьего к четвёртому, сложенное с единицей:   Формула для отношения ВО:ОК получается по тому же правилу, но нужно «двигаться» от точки В к точке А.

Рассмотрим треугольник АВС и отметим на его сторонах АВ, ВС и СА точки С1, А1 и В1 .  Поставим такой вопрос: при каком расположении этих точек отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке?

Ответ на этот вопрос даёт теорема Чевы. (Участники слушают доказательство теоремы).

                                   ТЕОРЕМА  ЧЕВЫ.

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки  АА1, ВВ1, СС1  пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда           

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1.  Пусть отрезки   АА1, ВВ1, СС1  пересекаются в точке О. Докажем, что выполнено равенство .

                                                   По теореме о пропорциональных отрезках

        в треугольнике   АВС имеем:        

Левые части равны, приравняем правые части

;      

        Разделив обе части на правую часть получим:

         ч.т.д.

Докажем обратное:

Если выполняется равенство  ,  то все отрезки  АА1, ВВ1, СС1  пересекаются в одной точке.

 В                                                    С                          

Обозначим буквой   О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведём прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются  в одной точке, то по доказанному выполняется                   

Итак, имеют место равенства  .

Сопоставим их:       и         и получим:

 ,  что доказывает,  что точки С1  и  С2  делят сторону АВ в одном и том же отношении, т.е. С1 и С2  совпадают и значит отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются  в одной точке О.    Теорема доказана.

Замечание.

Если одну из точек  А1,  В1  и  С1 взять на соответствующей стороне, а две другие на продолжениях сторон, то справедливо следующее утверждение:  если прямые  АА1, ВВ1 и СС1  пересекаются в одной точке либо параллельны, то выполняется равенство   ,  и,  обратно, если выполняется равенство  , то прямые   АА1, ВВ1 и СС1  пересекаются в одной точке либо параллельны.

        О

        А

Практикум по решению задач на применение теоремы Чевы

(с учителем).

ЗАДАЧА 1.  На стороне АС треугольника АВС взяты точки Р и Е, на стороне ВС – точки М и К, причём АР : РЕ : ЕС = СК : КМ : МВ.

Отрезки АМ и ВР пересекаются в точке О, отрезки АК и ВЕ – в точке Т.

Докажите, что О, Т и С лежат на одной прямой.

РЕШЕНИЕ.

АР:РЕ:ЕС=СК:КМ:МВ

  АР∙КМ=РЕ∙СК

Пусть луч СТ пересекает

АВ в точке С1,

а луч СО в точке С2,  тогда по теореме Чевы:

Преобразуем:

Приравняем и раскроем скобки:    

Из данного равенства следует, что   , т.е. точки С1иС2 делят АВ

в одном отношении, т.е. они совпадают, значит  лучи СТ и СО совпадают и точки С,Т и О лежат на одной прямой.    Ч.т.д.

ЗАДАЧА 2.  Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений её боковых сторон лежат на одной прямой.

РЕШЕНИЕ. 1) В треугольнике АМД:  МЕ – медиана треугольника АМД,  МN- медиана треугольника ВМС;

 т.к. треугольник ВМС подобен треугольнику АМД, значит точка N принадлежит отрезку МЕ.

2) Докажем, что К принадлежит отрезку МЕ.

По теореме Чевы, если МЕ, ДВ и АС

Пересекаются в одной точке К, то верно

равенство:  ,          

 ,  т.е  равенство   верно, следовательно К принадлежит МЕ, следовательно точки М,N,К,Е лежат на одной прямой.

ЗАДАЧА 3.  Вписанная (или невписанная) окружность в треугольник АВС касается прямых ВС, СА, АВ в точках А1, В1, С1 . Доказать, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ,

1. Так как АВ, ВС, АС касательные к окружности, то АС1 = АВ1, СВ1 = СА1,

ВС1 = ВА1. Причём, в случае вписанной окружности на сторонах треугольника АВС лежат три точки, а в случае внеписанной одна точка.

2. АВ1: В1С х СА1:А1В х ВС1:С1А = АВ1:В1С х ВС1: А1В х А1В:АВ1  = 1

По теореме Чевы  прямые АА1, ВВ1, СС1  пересекаются в одной точке.

Заочная олимпиада.

ЗАДАЧА 1. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ.

1. Пусть АВ =с, АС = в, ВС = а, АС1 = р.
2. АС1 = АВ1 как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
3. Найдём произведение : ВА1 : СА1 х СВ1:АВ1 х АС1:ВС1 = ( р – с) : ( р -в) х  (р -а) : (р -с) х (р -в) : (р -а) = 1

По теореме Чевы прямые пересекаются в одной точке.

ЗАДАЧА 2. Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ.

ВА1 : СА1 х СВ1:АВ1 х АС1:ВС1 =

с соsВ : в соsС х а соsС : с соsА х в соsА : а соsВ = 1

По теореме Чевы высоты пересекаются в одной точке.