Методическая разработка «Реализация технологии историзации на уроках геометрии основной школы». Элективный курс «История математики от Древних цивилизаций до наших дней».
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

«РЕАЛИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИИ ИСТОРИЗАЦИИ НА

УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ»

Автор: Королева Татьяна Николаевна

МБОУ Ольшанская СОШ № 7

Целинский район, Ростовская область

В настоящее время в России идёт становление новой системы образования. Этот процесс сопровождается существенными изменениями в педагогической  теории  и практике   учебно-воспитательного процесса.  Ведущими идеями обновления образовательной системы признаны идеи гуманизации и гуманитаризации. Одним из наиболее перспективных направлений реализации гуманитаризации школьного математического образования представляется его историзация.

Идея историзации математического образования имеет давнее историческое прошлое и является одной из традиций отечественного математического образования.

Вопросы использования элементов истории математики в обучении математике рассматривались в работах И.Я. Депмана, Г.И. Глейзера, Б.В. Гнеденко, А.В. Дорофеевой, К.А. Рыбникова, В.Д. Чистякова, и др. Различным аспектам использования исторического материала при обучении математике посвящены также диссертационные исследования  В.А. Алексеевой,  Н.Я. Виленкина, Ю.В. Романова, И.А. Михайловой,  Т.Т. Фискович и др. Но, к сожалению, лишь немногие педагоги и методисты, в их числе В.В. Гузеев, Э.Г Гольфман, Т.А. Иванова, Т.С. Полякова, Г.И. Саранцев, реализуют процесс историзации, предлагая учителям–практикам методические разработки и учебные пособия.

Разработанная мною программа элективного курса «История математики от Древних цивилизаций до наших дней» имеет общеобразовательное и прикладное значение и направлена на реализацию технологий историзации в практике современного школьного учителя. Данный курс может являться как модулем в учебной программе по математике в 8 классе, так и самостоятельным элективным курсом. Программа предполагает различные  формы  организации  индивидуальной  и  групповой  деятельности учащихся.

Целями данного курса являются:

- развитие и совершенствование знаний и умений в области математики и истории, предусмотренных школьной программой;

- углубление и расширение знаний, развитие математических и общеучебных способностей учащихся, интереса к математике, в частности у учащихся, слабо мотивированных к изучению данного предмета, но увлекающихся историческими науками;

- привитие обучающимся интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой;

- воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Задачи элективного курса:

-   способствовать формированию представления об историческом пути развития математики как науки;

- воспитывать отношение к математике как общекультурной ценности  посредством эмоционального воздействия;

- повысить мотивацию изучения математики учащимися, не имеющими склонность к математическим наукам;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им сточки зрения дальнейшей перспективы.

Следует учесть, что степень включённости исторических сведений в темы элективного курса достаточно высокая. Элементы историзма реализуются в данном курсе путем сообщения исторических справок, биографий знаменитых ученых, подготовки и представления мультимедийных презентаций и, конечно же, решения задач, содержащих элементы историзма.

Решение задач, содержащих элементы историзма, представляется наиболее важным элементом данной технологии, в большей мере способствующим повышению мотивации к изучению предмета, поскольку позволяет не только заинтересовать учащихся, но и показать практическое значение математики. Сам язык, которым изложен текст задачи, смысловая нагрузка побуждают любопытство, обостряют внимание учащихся и т.д.

Кроме задач практического характера можно выделить группу задач, связанных с именами выдающихся ученых, которым они обязаны своим существованием.

Отличительной чертой данного элективного курса является возможность его восприятия учениками с любым уровнем начальной подготовки, что позволяет им активно включиться в учебный процесс и максимально проявить себя. Этому способствуют способы и формы подачи общетеоретического материала (основными требованиями, к которым являются их занимательность, доступность и наглядность), и возможность выражения творческой индивидуальности, как при подготовке исторических справок и рефератов, так и при коллективном выводе наиболее рационального способа решения предложенной задачи. Полученные знания и приобретённые умения в ходе изучения материалов курса будут полезны и востребованы школьниками в дальнейшем. Особую ценность представляет то, что школьники учатся использовать знания из области разных (в данном случае истории и математики) наук для решения предложенных задач.

Программа курса состоит из девяти занятий. Два часа посвящены непосредственно сведениям из области истории математики. Шесть занятий отведены на исследование и решение задач, содержащих элементы историзма. Ещё два часа уделены творческой работе учащихся для создания и защиты творческих проектов. Каждый час курса сопровождается показом мультимедийной презентации, подготовленной учителем в сотрудничестве с учениками. Завершающим этапом элективного курса «История математики от Древних цивилизаций до наших дней» является разработка и защита проектов по истории математики, подготовленных учащимися по предложенным учителем темам. В зависимости от имеющихся в распоряжении учителя материалов и дидактических целей, актуальных для данного детского коллектива, задачи и темы презентаций /рефератов могут варьироваться. Также возможна передвижка тем внутри курса в зависимости от сроков прохождения соответствующих тем по математике.

Элективный курс

«История математики от Древних цивилизаций до наших дней».

Количество часов - 9

Учебно – методическая литература:

1. «История математики в школе» 7-9 кл. Глейзер Г.И. Пособие для учителей. - М.: Просвещение. 1982.

2. «Старинные занимательные задачи». Олехник  С.Н. Нестеренко Ю.В. Потапов М.К. – М.: Изадт. отдел УНЦ ДО МГУ. 1996.

3. «Исторические задачи по элементарной математике».  Попов Г.Н. - М.: Вузовская книга. 1999.

4. «Математическая шкатулка» Ф.Ф. Нагибин. – М.: Государственное Учебно-Педагогическое Министерства Просвещения РСФСР, 1978.

5. «Число и наука о нем» А.В. Берман. – М.: Государственное Технико-Теоретической Литературы, 2-ое издание, 1984.

6. «За страницами учебника математики»  И.Я. Депман - М.: Просвещение. 1989.

7. «Математика. Занятия школьного кружка» Шейнина О.С., Соловьева Г.М.– М.: Изд.НЦ ЭНАС. 2005.

Алгоритм реализации и содержание деятельности.

Данный курс предполагает наличие в образовательном учреждении мультимедийной техники или интерактивного оборудования, а также возможность обеспечения каждого обучающегося группы доступом к сети Интернет с целью поиска  информации. Необходимость использования компьютерного оборудования на каждом занятии может вызвать затруднения в случае отключения электроэнергии или нарушения связи с сетью интернет. В таких случаях программой предусматриваются комплекты раздаточного материала для работы с бумажными источниками информации.

В ходе решения поставленных задач была проведена опытная работа по внедрению программы элективного курса по геометрии «История математики от Древних Цивилизаций до наших дней». Данный элективный курс апробирован на практике в 8 классе МБОУ Ольшанская СОШ №7 Целинского района, Ростовской области, проведено итоговое анкетирование учащихся для выявления эффективности внедрения технологии историзации в курс геометрии основной школы, проведен анализ результатов итогового анкетирования.

Полученные анкетные данные свидетельствуют о том, что изучение старинных способов решения задач способствует формированию у обучающихся умений решать задачи, выбирая при этом наиболее рациональный способ. Это, в свою очередь, положительно влияет на развитие логического мышления, формирование математической культуры учащихся, которая является компонентом общей культуры.

В анкете ребята отметили, что научились читать условие задачи и устанавливать зависимость между элементами задачи, переводить текст задачи на математический язык и рассуждать при решении. Очень понравилось учащимся коллективно искать решение задач, спорить, отстаивать своё мнение.

Интерес учащихся к истории математики прослеживается и в творческих работах по следующим темам: «Математика в древнем Египте», «Сведения о прямоугольном треугольнике в древнем Вавилоне», «Древнегреческие учения о геометрических фигурах», «Число π», «Развитие геометрии» и в их желании посещать такой курс в дальнейшем, что, несомненно, свидетельствует о повышении мотивации к изучению и собственно математики.

Таким образом, на основании проведённой апробации можно сделать вывод о том, что данная программа позволяет значительно повысить мотивацию учащихся, в том числе и слабоуспевающих, к изучению математики. Кроме того, курс способствует выработке навыка решения комплексных задач с использованием знаний и умений из разных областей наук, что на настоящий момент является «слабым звеном» нашего образования согласно результатам международных исследований (PISA, TIMSS). И главное, технология, используемая в данной разработке, ещё достаточно нова, как для педагогов, так и для учащихся, что способствует творчеству и стремлению к самосовершенствованию обеих сторон образовательного процесса.  

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Логическая схема исследования задачи, содержащей

элементы историзма.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Анкета для учеников

1. Что  нового вы узнали  на занятиях элективного курса «История математики от Древних Цивилизаций до наших дней»? __________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. Опишите наиболее интересные для вас моменты следующих занятий:

А) Развития геометрии. Из истории чисел. ___________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Б) О теореме Пифагора и множествах ее доказательства._______________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В)  Решение задач, содержащих элементы историзма __________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Г) Геометрия в Древнем Египте и Древней Греции. (Герон Александрийский.Формула Герона для нахождения  площади треугольника) ______________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Е) Золотое сечение _______________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ж) Защита творческих работ _______________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Заинтересовали ли  вас задачи, содержащие элементы историзма? Что больше всего? ________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.  Какие затруднения вы испытывали при работе с историческими задачами? ________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________

5. Что из перечисленного стало даваться вам легче, благодаря занятиям элективного курса:

- чтение условия задачи? _________________________________________________________

- установление зависимости между ее элементами? ___________________________________

- перевод текста задачи на математический язык?_____________________________________

- рассуждение при  решении задачи? ________________________________________________

6. Какие из теорем, формул, математических понятий вам стали более понятны после посещения занятий элективного курса? ______________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Помогут ли вам методы старинных способов решения задач  на уроках геометрии в школе? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Можно ли применить в современном мире методы построения на плоскости, которые использовались людьми в Древних цивилизациях? ____________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

9. Помогут ли вам в жизни знания, полученные на занятиях данного курса?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Что вам понравилось больше: коллективное решение старинных задач или самостоятельное? ________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

11. Хотели бы вы продолжить занятия данного курса  в будущем? ______________________

________________________________________________________________________________

Тема:  «Теорема Пифагора», «Исторические задачи» (8 класс)

План урока:

1.  Исторические сведения

2. Теорема Пифагора.

3. Различные способы её доказательств

        - Доказательство 1.

        - Доказательство 2.

        - Задача древних индусов

        - Доказательство теоремы Пифагора в виде  

          задачи - сказки.

        - Доказательство  Мёльманна

        - Доказательство Гарфилда

       - Чертежи различных доказательств.

4.  Античный взгляд на теорему

5. Пифагоровы числа

6. Исторические задачи, приписываемые Пифагору

7. Контроль знаний и умений

Ход урока

Ребята,  на уроках геометрии вы уже познакомились с темой «Теорема Пифагора и её доказательство». А сейчас мы с вами отправимся в историческое путешествие в древние цивилизации. Познакомимся с историческими сведениями о жизни и деятельности древнегреческого ученого Пифагора, о том, как он доказал знаменитую теорему. Рассмотрим различные способы доказательства этой теоремы. Узнаем о математических знаниях и открытиях учеников Пифагора и о его Пифагорейской школе и многое, многое интересное.  

Теорема Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением. Но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа

.

1.  Исторические сведения

ПИФАГОР САМОССКИЙ

(ок. 580 – ок. 500 г . до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г . до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но недолго он пробыл на острове Самос, С приездом Пифагора в Кротон начинается самый яркий период его биографии. Пифагор основал сообщество своих учеников и последователей – пифагорейскую школу, которое было одновременно научно-философской школой, религиозно-мистическим союзом, духовным братством.

История теоремы Пифагора.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора.

Древний Египет. (Практическая работа).

Но Пифагор первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков.

2. Теорема Пифагора.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

3. Различные способы её доказательств

        - Доказательство 1.

        - Доказательство 2.

        - Задача древних индусов

        - Доказательство теоремы Пифагора в виде  

          задачи - сказки.

        - Доказательство  Мёльманна

        - Доказательство Гарфилда

      - Чертежи различных доказательств

Задача древних индусов.

4. Античный взгляд. Чертежи из Древней Индии.

5. Пифагорейская школа. Пифагоровы числа.

Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы шли на морской берег встречать рассвет, делали гимнастические упражнения, принимали завтрак. В конце дня совершали совместные прогулки, морское купание и ужинали, а после ужина – возлияние богам и чтение. Как видим, пифагорейцы с равным усердием заботились о физическом и духовном развитии.

В основе религиозно-философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире. «Числа – суть боги на земле», – говорил он.

Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл.

Совершенные числа.

Числа древними греками мыслились зримо в виде камешков (популярные сегодня слова «калькуляция», «калькулятор» произошли именно от счета камешков, разложенных на песке или на счетной доске – абаке).

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур; эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Дружественные числа.

6. Исторические задачи, приписываемые Пифагору.

7. Практическое задание.

Чертежи различных доказательств.

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно, С2  – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2  и b2  – площади квадратов, построенных на катетах .

Рис . 8

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Рис. 9

Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны» (рис. 10).

Рис. 10

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие (рис. 11, рис. 12):

Рис. 11 

Рис. 12

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. На стенде вы можете познакомиться с двадцатью тремя такими доказательствами.

А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке.

Т е о р е м а. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 13).

Рис. 13

Д а н о: D АВС, ? С = 90 о.

Д о к а з а т ь: АВ 2 = АС 2 + ВС 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Проведём высоту CD из вершины прямого угла С .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому

в D ACD cos A , а в D АВС cos А

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, . Отсюда, по свойству пропорции, получаем:

АС 2 = AD ? АВ . (1)

Аналогично, в D В CD cos В , а в D АВС cos В Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, . Отсюда, по свойству пропорции, получаем: ВС 2 = В D ? АВ . (2)

Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки:

АС 2 + ВС 2 = AD ? AB + BD ? AB = AB ? (AD + BD) = AB ? AB = AB 2.

Получили, что

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 .

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии - теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон». Этой теореме даже посвящены стихи.

О теореме Пифагора

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова «Пифагор», которая имеется в нашей школьной библиотеке.

А познакомившись с материалами «раскладушки», вы можете узнать о нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и разгадать пифагорову головоломку.

Д.з. Рефераты или легенды, связанные с именем Пифагора и множеством доказательств его теоремы.

Приложение № 1.

Исторические задачи.

Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: каковаглубина воды и какова длина камыша?».

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА

Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E , F , K , L - середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ^ EF , NF ^ EF .

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• доказательство того, что не является рациональным числом;
• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

Рис. 4

Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма (рис. 4) – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72 о . Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (рис. 5), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды (рис. 6) и панциря морского ежа.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.