Открытый урок "Правильные многоугольники в природе(геометрия пчелиных сот)"
план-конспект урока по геометрии (9 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 5»

Тема :«Правильные              многоугольники  в природе

(геометрия пчелинных сот)»

9 класс

                                                 учителя математики

                                                        МБОУ «Средняя        

                                                               школа № 5» г. Курска

                                                            ТЕВЯШЕВОЙ О.М.

Курск - 2013

Цели урока:

1. Повторить формулы зависимости между стороной правильного многоугольника и его площадью и периметром; использовать их для решения задач.
2. Развивать познавательный интерес учащихся, учить видеть связь между математикой и окружающей жизнью.
3. Воспитывать любовь и интерес к живой природе, учить трудолюбию, аккуратности, внимательности ко всему окружающему.

Тип урока:обобщающий урок по теме «Правильные многоугольники».

Оборудование: шаблоны правильных многоугольников: треугольников, квадратов, шестиугольников, пятиугольников, восьмиугольников, двенадцатиугольников – каждого типа по 6 штук ( все многоугольники с одинаковой длиной стороны).

Ход урока.

1. Сообщение учителя.

Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелинные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый ( т. е. составленный без просветов и перекрытий) правильными шестиугольниками (рис. 1). На этих шестиугольниках пчёлы наращивают их воска ячейки, представляющие собой прямые шестиугольные призмы. В них пчёлы и откладывают мёд, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.

Чарльз Дарвин отмечает: «Далее этой  ступени совершенства в архитектуре естественный отбор не мог вести, потому что соты пчёл абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска».

      Геометрия пчелинных сот, жизнь и деятельность пчёл всегда привлекала внимание человека. «Странные общественные привычки и геометрические дарования пчёл, -пишет известный математик Герман Вейль, - не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности».

2. Решение задач.

Задача1.

Пчелинные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками ( рис. 1). Найти, какими ещё правильными многоугольниками можно покрыть плоскость.

Решение.

Способ I (метод уравнений ).

Предположим, что плоскость покрыта правильными п-угольниками, причём каждая вершина является общей для х таких  многоугольников, - внутренний угол правильного многоугольника, равный          =  1800 (n - 2)

(рис. 2,а)                                                  n

            а)                                                                                              б)

рис.2

Тогда        1800 (n - 2)x   = 3600

                           n

Из этого равенства находим     х =    2n    = 2 +    4            

                                                               n-2             n-2                          

Учитывая, что х – целое, получаем  п = 3, 4, 6.

Итак, плоскость можно покрыть рпавильными ттреугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.

Способ II ( метод перебора).

 п = 3     Три угла, плотно составленные, составляют 1800, шесть углов – 3600.

               Плоскость покрыта без просветов (рис. 3,а).

 п = 4     Четыре угла вместе дают 3600, т. е. 900  4 = 3600, плоскость покрыта без                        

                просветов ( рис. 3,б).

 п = 5      Внутренний угол правильного пятиугольника равен 1080,

               1080  3 = 3240. остаётся просвет в 360 (рис. 3,в). плоскость без просветов не          

               покрывается.

 п = 6      внутренний угол правильного шестиугольника равен 1200, три шестиугольника, составленные вместе, образуют 1200 3 = 3600. плоскость покрывается без просветов

 (рис. 3, г).

                            а)                                                               б)        

                               в)                                                                       г)

                                                               рис.3

     Метод перебора можно продолжать и дальше; итогом решения будет вывод, что плоскость без просветов можно покрыть лишь правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками (если многоугольники одного вида).

Задача 2.

  Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь. Пусть даны правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. У какого из этих многоугольников наименьший периметр?

Решение.

Способ I. Пусть площадь правильного п-угольника равна Sп,  А1А2 = ап  (рис. 2, б):

Sп =      пап2__  ;            Итак,  Sп = пап2 ctg(1800),  А1ОН = 1800,   ап- сторона п- угольника,                     

     4tg (1800/п).                         4           n                        n            А1ОА2 = 3600.

Отсюда    S3 = 3  а32,      S4 = а42,      S6 = 33 а62.                                                      n  

                                4                                          2    

Так как все площади равны, обозначим их S. Тогда:

         а32= 4S,   а42= S ,     а62 = 2S.

             3                             33

Для удобства сравнения возведём Рп в степень. Имеем Рп = пап, где Рп – периметр             п-угольника, т. е. Р3 = 3 а3,     Р32 = 9 а32 ,         Р34 = 81 а34 = 432 S2.

Аналогично получим Р44 = 256 S2,        Р64 = 192 S2.

Например, S = 16см2, при а3 = 6 см,  а4= 4 см , а6 = 2, 5 см.

Сравнив степени периметров, приходим к выводу, что наименьший периметр при одинаковой площади у шестиугольника!

Способ II.

Пусть имеем АВСDEF – правильный шестиугольник, А/ В/С/D/– квадрат,

                              А/В/С/ – правильный треугольник (рис. 4).

Обозначим Sп – площадь, Рп пермметр п- угольника, АВ = а.

Тогда S6 = 33а2 ≈2,55а2 ,    Р6 = 6а

                     2                       

рис.4

Все площади равны, а значит, имеем:

      S4 = 2,44а2, А1В1 ≈1,6а.  Отсюда      Р4 ≈ 6,4а .

Пусть А2В2 = b. Выразим b через а , тогда S3 = b2∙sin600 = b2√3.

                                                                                    2                     4

Но b2√3 = 33а2 ,  b2 = 6а2 , b = а√6 ≈2,4а ,   Р3 ≈ 7,2а.

         4            2

Итак, периметры многоугольников, имеющих одну и ту же площадь, относятся как

Р6  : Р4 : Р3 = 6 : 6,4 : 7,2   или  3 : 3,2 : 3,6.

Вывод: приусловии одинаковой площади многоугольников наименьший периметр имееет правильный шестиугольник.

3. Практическая работа 

Можно ли без просветов покрыть плоскость многоугольниками, если этими многоуголь-никами являются правильный шестиугольник и квадрат, имеющие одинаковые стороны?

Учащиеся выполняют работу, используя готовые шаблоны: покрывают плоскость многоугольниками, получают при этом просвет в 600.

Вопрос. Где человек может использовать умение покрывать плоскость правильными  многоугольниками?   

Ответ. При составлении различных орнаментов, паркета и т. д. можно использовать покрытие плоскости правильными многоугольниками.

4. Сообщение учителя

На примере пчёл мы убеждаемся, насколько гармонично устроен наш мир, как умна природа. Задача человека -  беречь этот мир и разумно пользоваться  его дарами. Жизнь и деятельность пчёл вызывает восхищение людей, пчёлами интересуются не только естествоиспытатели. Выдающийся мыслитель и критик XIX века Д. И. Писарев написал в 1862 году статью «Пчёлы», в которой он сравнивает пчелинный улей с государством, проводит аналогию с человеческим обществом . Итак, по Писареву, в улье есть  царица – матка, трутни  и рабочие пчёлы. Вот рабочие-то  пчёлы и строят соты, носят мёд, заполняют ячейки мёдом и закупоривают их. Они кормят весь улей, да и людей – тоже, если человек умело с ними обращается.

     Любопытно, что у пчёл пять глаз, чего лишён человек. Два глаза (больших) расположены по бокам головы и играют роль микроскопов, а другие три крошечных глаза расположены в верхней части головы, ими  пчёлы пользуются при полёте. Благодаря этим глазкам пчела видит очень далеко.

      Перелетая от цветка к цветку, эти насекомые опыляют растения, одновременно собирая цветочный нектар и перенося его в соты. Масса одной пчелинной ноши нектара около 6 мг. Чтобы накопить в улье 50 г мёда, пчела должна сделать примерно 8333 вылета. А для получения 100 г мёда пчела должна облететь почти миллион цветков, зато при хорошей «лётной» погоде за лето можно получить до 25 кг мёда.

5. Сообщения учащихся

Учащийся А.

      Натуральный пчелинный мёд – ценнейший продукт, он содержит необходимые для жизни человека вещества: сахара, главным образом глюкозу, ферменты, белки, соли кальция, калия, натрия, магния, железа,хлора, фосфора, серы, йода, органическое кислоты (яблочную, лимонную, молочную и др.), эфирное масло, витамины С, В2, В6, Н, К и каротин, пантотеновую и фолиевую кислоты, гормоны, антибиотики – всего более 60 различных веществ, а в некоторых сортах мёда содержится даже радий.  Обилие ценных веществ и витаминов делает мёд незаменимым продуктом питания, он широко используется человеком в народной медицине, в косметике. Как лекарственное средство благотворно влияет на желудочную деятельность и сердечную мышцу.

Учащийся Б.

     Пчелиное маточное молочко – вещество, которым пчёлы вскармливают личинку будующей матки.

     Установлено, что маточное молоко содержит все незаменимые аминокислоты, оказывает на кожу благоприятное действие, востанавливает её эластичность, улучшает обмен веществ, обладает бактерицидным действием. Маточное молочко влияет на кожу как «омолаживающее» средство.

Учащийся В.

       Пчёлы строят соты из воска. Воск выделяется особыми железами рабочей пчелы. Воск выделяют только молодые пчёлы от 10-12 дней до 18-20 дней. Чистый воск легче воды, плавится при температуре 60-650. за сезон пчелиная семья может дать 0,8-1,2 кг воска. Из воска готовят свечи, краски. Применяется в косметике.

Учащийся Г.

Кроме мёда, воска, маточного молочка пчёлы дают ещё прополис. Прополис – смолистое вещество, темно-зелёного цвета, горький на вкус, с приятным запахом берёзы. Источником прополиса являются смолистые вещества, собираемые пчёлами с растений. В нём 55% смол, 10% эфирных масел, 30% воска и 5% пыльцы. Хорошо  растворяется в спирте и плохо в воде. Температура плавления – 800. Широко используется в медицине.

6. Итог урока

Учитель.

Итак, не восхищаться пчёлами нельзя. Недарпом у нас развито пчеловодство, в том числе и любительское. Но чтобы управлять этими маленькими тружениками, человек должен любить своё дело, обучаться ему, должен быть аккуратным, терпеливым и трудолюбивым. И тогда природа ответит благодарностью.

7. Задания для домашней работы

1. Можно ли без просветов в перекрытий покрыть плоскость правильными  многоугольниками, если этими многоугольниками являются:

                а) шестиугольник, квадрат и треугольник;

                 б) восьмиугольник и квадрат;

                 в) двенадцати угольник и треугольник?

Почему?

2. Соберите рецепты народной медицины. В которых использованы продукты, даваемые пчёлами.