Урок геометрии в 10 классе по теме «Угол между прямой и плоскостью»
методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему

Урок геометрии в 10 классе по теме «Угол между прямой и плоскостью»

Подготовила -учитель математики МБОУ Рековичской ООШ

Михалева Людмила Ивановна

Цели урока:

- ввести понятие угла между прямой и плоскостью

- научить строить угол между прямой и плоскостью при работе с многогранниками

- обосновывать или опровергать выдвигаемые предположения

- развивать пространственное мышление, умение работать с компьютером

- воспитывать  стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

Тип урока

Урок изучения нового материала

Оборудование

мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Презентация <Приложение1>

Работать с презентацией лучше в  интерактивном режиме OFFICE. Это позволит выполнять прямо в презентации необходимые пометки, записи, строить углы при выполнении лабораторной работы. Так же, по мере необходимости, можно добавлять новые слайды прямо в показе.

План урока:

1.Организационный этап

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Усвоение нового понятия

5. Закрепление

6. Подведение итогов

7. Постановка домашнего задания.

Ход урока

        Мотив. В геометрии, при работе с геометрическими фигурами, нас, прежде всего, интересует их взаимное расположение.

Актуализация знаний

Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве? ( Прямые могут быть параллельны, пересекаться или  скрещиваться).

Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве? ( Прямая и плоскость могут пересекаться, быть параллельны или прямая может лежать в плоскости).

Если мы говорим о двух прямых, то одной из характеристик их взаимного расположения является угол между ними. Так, если прямые параллельны, то угол между ними считают равным 0°, если они перпендикулярны, то - 90°. А если прямые скрещиваются, то, как найти угол между ними? (Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными им).

Решение задач на готовых чертежах (Слайд 2-4)

Сегодня на  уроке мы познакомимся с новым понятием - угол между прямой и плоскостью (Слайд 5).

Геометрия полна приключений, потому, что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

В. Произволов.

Сегодня мы отправляемся в одно из таких приключений.

Задайте пожалуйста вопросы по теме урока.

Учащиеся задают вопросы по теме урока. Эти вопросы являются целепологанием для учащихся.

Ученики могут предложить следующие вопросы (Слайд 6)

- Что называется углом между прямой и плоскостью?

-  Как построить угол между прямой и плоскостью?

- В каких задачах может потребоваться угол между прямой и плоскостью?

- Как обозначить этот угол?

 Наша задача найти ответы на все ваши вопросы.

Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

Герберт Спенсер (1820-1903) английский философ и социолог

Изучение нового материала

(Слайд 8) Давайте вспомним как называется основание перпендикуляра, опущенного из т.А на плоскость α? (ортогональной проекцией).

         При изучении стереометрии важное значение имеет изображение пространственных фигур на чертеже. Введем сначала понятие проекции фигуры.

Точка А1 – проекция точки А.

Фигура F1 –проекция фигуры F ,если она состоит из всех проекций точек фигуры F.

Вопрос: Как вы думаете, что будет являться проекцией прямой а на плоскость α?

(Слайд9) (Может быть точкой, если а⊥α, а может быть прямой, если а⊥α)

Показать возможные случаи на моделях, использовать карандаш и крышку стола.

Докажем, что проекцией прямой а на плоскостьα, не перпендикулярную этой прямой, является прямая. ( Устно доказать по рисунку на слайде 10)

        Мы рассмотрели случай ортогонального проектирования (под углом 90°). Это частный случай параллельного проектирования.

Откройте страницу 177 учебника и рассмотрите рисунок 182. Что бы задать параллельное проецирование достаточно задать плоскость π и прямую l (направление этого проецирования). Тогда для него справедливы следующие свойства:

1. Проекция прямой есть прямая
2. Проекция отрезка  есть отрезок
3. Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой.
4. Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

⇒ Проекции середины отрезка есть середина проекции отрезка.

По ходу заполняем распечатку <Приложение №2>

 Обратите внимание, что при параллельном проецировании сохраняются только отношения сторон, если они параллельны, но не углы, значит, угол 90°мы изображаем на чертеже или острым или тупым.

Используя модели, заполним распечатку (Слайд11) .

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРОЕЦИРОВАНИИ.

АВСD- прямоугольник 

АВС – прямоугольный треугольник   или

АВС- равносторонний ( равнобедренный) треугольник

Вернемся к прямой и её проекции при ортогональном проецировании. Дадим определение углам между прямой и плоскостью.

Определение. Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярно к ней, называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Как его построить? (Слайд 12 )

(Записываем на доске план построения угла)

1. т. М
2. МН⊥α
3. ОН=а1- проекция прямой а
4. ∠ϕ0=∠(а, α).

Выберем другую прямую с, лежащую в плоскости α. ∠(с,а)=∠ϕ.

 Очевидно, что всегда ∠ϕ0<∠ϕ.

Если а⊥α, то∠ϕ0=90°(Слайд 13)

Если а⎪⎪α, то а1 ⎪⎪а и понятие угла между прямой а и плоскости α  не вводится.

Иногда договариваются, считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью = 0°.(Слайд 14)

Усвоение нового понятия.(Слайд 15)

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) Советский кораблестроитель, механик, математик, академик

С каким новым понятием познакомились?( Угол между прямой и плоскостью)

Что называется углом между прямой и плоскостью?( Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярно к ней, называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.)

В стереометрических задачах часто приходится находить (строить) угол между прямой и плоскостью. Как же построить угол между прямой а и плоскостью α?

( План

1. Выбрать т. М на прямой а
2. Опустить МНα⊥
3. Построить ОН=а1- проекция прямой а
4. ∠ϕ=∠(а, α).)

Закрепление

Лабораторная работа <Приложение №3> (Слайды 17 -23)

Наша задача научиться находить (строить) угол между прямой и плоскостью  при работе с многогранниками, обосновывать или опровергать выдвигаемые предположения.

Помните, что для успешного решения задачи «недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!» Пойя. Д.(Слайд16)

Выполнять лабораторную работу можно следующим образом. В каждом номере первое задание выполнять коллективно, остальные в парах. При этом  первая справившаяся пара показывает свое решение средствами интерактивной доски прямо в презентации.

Если класс слабый, то можно выполнять все построения у доски коллективно. При этом полезно задавать следующие вопросы:

1. В какой точке прямая пересекает плоскость?
2. Какая точка прямой не лежит в плоскости?
3. Какая точка является проекцией данной точки на плоскость?
4. Соедините эти  точки. Полученная прямая - проекция прямой на плоскость.
5. Выделите цветом полученный  угол.

Итог урока

Чем занимались на уроке?

С чем познакомились?

Как построить угол между прямой и плоскостью?

Чему  равен угол между прямой а и плоскостью α, если а⊥α,?

Чему  равен угол между прямой а и плоскостью α, если а⎪⎪α,?

Что понравилось?

Что не понравилось?

Домашнее задание

№ 164

№165∗

Конспект.

Используемая литература

1. Геометрия: Учеб. Для  10-11кл. сред.шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение,    . -    с.
2. Дидактический материал по геометрии для 10-11 классов. Разрезные карточки по стереометрии/Составитель Г.И. Ковалёва – Волгоград: Учитель, 2003г.- 128с.
3. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы/ Авт.-сост. Г.И. Ковалёва – Волгоград: Учитель, 2005г -128 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Угол между прямой и плоскостью

Проекцией прямой на плоскость является__________________________________

Проекцией точки на плоскость является__________________________________

Проекцией  прямоугольного треугольника на плоскость является______________________________________________________________

Проекцией прямоугольника на плоскость является___________________________

Проекцией равнобедренного треугольника  на плоскость является______________________________________________________________

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРОЕЦИРОВАНИИ.

АВСD- прямоугольник

АВС – прямоугольный треугольник

АВС- равносторонний ( равнобедренный) треугольник

II.

ОПР. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется _____________________________________________________________________________

Изображение                                                                          Обозначение

Как построить угол между прямой а и плоскостью α?

ПЛАН

1__________________________

2__________________________

3__________________________        

4__________________________

Если а⊥α, то∠ϕ0=

Если а⎪⎪α, то а1 ⎪⎪а и∠ϕ0=

ПРИЛОЖЕНИЕ №3

Лабораторная работа №1 Угол между прямой и плоскостью

 Цель: Научиться находить угол между прямой и плоскостью при работе с многогранниками, обосновывать или опровергать выдвигаемые предположения.

Алгоритм

1. Найдите  точку пересечения прямой и плоскости?
2. Найдите точку прямой не лежащую в плоскости?
3. Найдите  проекцию данной точки на плоскость?
4. Соедините эти  точки. Полученная прямая - проекция прямой на плоскость.
5. Выделите цветом полученный  угол.

1. Найдите угол между В1D и (ABC);         между  В1D и (DD1C1)

        АВСD- прямоугольник,                                АВСD- параллелограмм,

АА1⊥(АВС)                                                        АА1⊥(АВС)

2. ВВ1⊥(АВС).Найдите угол между ВС1 и (АА1В1).

а)rАВС – равносторонний                           б)rАВС – прямоугольный ∠В=90°

в)rАВС – тупоугольный, ∠В>90°

3. АА1⊥(АВС)        

Найдите угол:

Между В1F и (АВС);

Между В1F и (КК1F);

Между В1F и (АА1В1);

4. BD⊥(АВС)
Найдите угол между CD и плоскостью (ABD)

rАВС – прямоугольный                                rАВС – равносторонний

∠C=90°

 rАВС – прямоугольный ∠А=90°