Конспект урока по элективному курсу "Подготовка к ЕГЭ по геометрии в 11 классе по теме "Угол между прямой и плоскостью"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

Газизова  Валерия Валерьевна

На данном уроке по элективному курсу  "Подготовка к ЕГЭ по геометрии" ученики повторяют понятие угла между прямой и плоскостью, решают задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, рассматривают популярные ошибки при нахождении угла между прямой и плоскостью, приобретают опыт решения задач ЕГЭ на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon konspekt_ugol_mezhdu_pryamoy_i_ploskostyu.doc250.5 КБ

Предварительный просмотр:

МБОУ «Первомайская СОШ   Оренбургского района»

Конспект урока по элективному курсу

«Подготовка к ЕГЭ по геометрии»  в 11 классе

 «Угол между прямой и плоскостью»

(С видеопланом решения задачи С 2.

https://www.youtube.com/watch?v=ObVnCcG29Nw )

Газизова В.В.

Цель урока: повторить  понятие угла между прямой и плоскостью,

решить задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью,     рассмотреть популярные ошибки при нахождении угла между   прямой и плоскостью,  

приобрести опыт решения задач  ЕГЭ на нахождение угла между прямой и плоскостью.

План  урока:  

  1. Организационный момент.
  2. Проверка решения домашних задач.
  3. Повторение   теоретического материала.
  4. Решение  ключевых задач на нахождение угла между прямой и плоскостью на моделях различных фигур.
  5. Дифференцированная работа.

           Группа А. (профиль),  подробное решение задачи С2.

           Группа B. (база), самостоятельное решение подборки задач,

           прототипов №13  по карточке.

     6. Дифференцированная домашняя работа.

     7. Итог урока.

   

  1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы повторим понятие  угла между прямой и плоскостью.   Цель нашего урока – приобрести  опыт решения задач на нахождении угла между прямой и плоскостью.   Мы увидим, как отражается данная тема в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка домашнего задания.

1. Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого =5, =4, =4. Дайте ответ в градусах.

Решение:

Заметим, что грань BB1C1C является квадратом, а угол между стороной и диагональю квадрата равен 45º. Следовательно ∟ = 45º.

2. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, один из них  ∆BOC,

значит BC = BO = 8 см. Рассмотрим  ∆ВOS:    

 ∟ВOS = 90º,  BS = 17 см.   (пифагорова тройка чисел 8; 15; 17), следовательно SO = 15 см.

  1. Повторение теоретического материала.

Актуализация знаний – в ходе беседы.

Чтобы научиться определять  угол между прямой и плоскостью, нам потребуется вспомнить несколько вспомогательных определений.

Определение 1:

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют единственную общую точку, которую  называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Определение 2:

Проекцией точки М на плоскость α называется либо сама точка М, если М лежит в плоскости α, либо точка пересечения плоскости α и прямой, перпендикулярной к плоскости α и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости α.

Определение 3:

Проекцией прямой  а на плоскость α называют множество проекций всех точек прямой а на плоскость α.

Определение 4:

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней,  это угол между прямой и   её проекцией на эту плоскость.

        

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным 90º, а угол между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0º.

Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, разнообразны. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью  помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Сегодня мы рассмотрим решение таких задач геометрическим методом.

Алгоритм действий:

Нужно найти какую-нибудь удобную  точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла α в прямоугольном треугольнике.

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

4. Решение ключевых задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.

№ 1.

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

Найти: угол между прямой AD1и (ABC).

Решение:

по определению, это угол между прямой

и её проекцией на плоскость ABC.

Прямая DD1 перпендикулярна (ABC),  

значит точка D – проекция точки D1.

∟D1AD = 45º.

Многие делают такую ошибку: рассматривают угол  между наклонной и любой прямой в данной плоскости (не проекцией). Давайте посмотрим, что будет, если вместо проекции AD взять другую прямую, например, AC.

Другой ли будет ответ?

∆ AD1С – равносторонний  (так как его стороны – диагонали равных квадратов)

Следовательно,  ∟D1AС = 60º.

Ну, а угол между прямой и плоскостью не может быть равен и 45º и  60º.

Как видим это не одно и то же.

Вывод: действовать строго по определению. Искать именно проекцию наклонной и рассматривать угол между наклонной и её проекцией!

№ 2.

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  AB = 1.

Найти: угол между прямой B1D и  (ABB1)                              

Решение:  

прямая DA перпендикулярна  боковой грани ABB1A1,                                                                                                                                     

следовательно DA перпендикулярна плоскости ABB1.

Значит точка A – проекция точки D на (ABB1).        

Тогда прямая AB1 проекция прямой B1D на (ABB1).

∟DB1A – искомый и найти его можем, рассматривая ∆ AB1D.

1 способ.

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника

tg∟DB1A = 1/√2  =>  ∟DB1A = arctg1/√2

2 способ.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника

сtg∟DB1A = √2/1 =>  ∟DB1A = arcctg√2

3 способ.

Найдём сначала диагональ куба B1D, которая в ∆ AB1D является гипотенузой. По свойству диагонали куба  d = a√3, значит B1D = √3.

По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника

sin∟DB1A = 1/√3  => ∟DB1A = arcsin 1/√3.  

4 способ.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника,

cos∟DB1A = √2/√3  =>   ∟DB1A = arccos√2/√3  

№ 3.

Дано: ABCDS – правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой 1. Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

     Решение:

  1. Из точки S опустим перпендикуляр SO

          на плоскость    ABC.

  1. Так как пирамида правильная, то этот перпендикуляр попадёт в центр квадрата в основании, то есть в точку O.
  2. AO – проекция прямой AS на плоскость ABC.      ∟SAO – искомый.
  3. ∆ SAO – прямоугольный,  AO = √2/2 (половина диагонали квадрата со стороной 1 см)
  4. По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника cos∟SAO = (√2/2)/1 = √2/2 , поэтому ∟SAO = 45º.

5. Решение задачи с группой А. (профиль, С2)

   (задания взяты с сайта https://ege.sdamgia.ru/)

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC,  AB = AC = 13, BC = 24. Высота призмы равна 5. Найдите угол между прямой  A1B и  плоскостью BCC1.

Решение.

1. В равнобедренном треугольнике A1B1C1   высота A1М  является медианой, значит перпендикуляром  из точки  A1    на плоскость (BCC1)  будет  медиана  A1М. 

2.   Так как призма прямая, то

     

     A1М    B1C1                      значит,   A1М    (BCC1)  по признаку

                                    =>       перпендикулярности прямой и плоскости

      A1М    CC1  

3.     МВ – проекция пр. A1B на плоскость  BCC1 .  

4.    ∟A1ВМ – угол между  прямой  A1B и ее проекцией МВ.

5.     Из прямоугольного Δ A1 МB1    A1 М = 5 (Пифагорова тройка 5, 12, 13) 

6.    Из прямоугольного Δ МB1B     МВ = 13 (Пифагорова тройка 5, 12, 13) 

7.   Из прямоугольного  Δ A1МВ :   tg A1МВ  =5/13, 

      поэтому    ∟A1МВ = arctg 5/13.

Ответ: угол между прямой A1B и  плоскостью BCC1   равен  arctg 5/13.

Решение задач  группой B.

(самостоятельное решение задач №1, №2, №3 по карточке)

Карточка:

Угол между прямой  и плоскостью. База   (прототипы № 13)

1. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, . Найдите боковое ребро .

2. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, . Найдите угол между  прямой SB и плоскостью основания.


3. 
Найдите угол  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

4. В прямоугольном параллелепипеде известно, что    Найдите длину ребра .

5. В прямоугольном параллелепипеде     известно, что    Найдите угол между прямой D1B и плоскостью (ABC).

№ п/п

Ответы к задачам по карточке

(база)

1

17

2

arcsin 8/17 или arccos15/17 или acrtg8/15 или arctg15/8.

3

45º

4

3

5

arcsin 3/5  или arccos4/5 или acrtg3/4 или  arctg4/3.

6. Домашняя работа (дифференцированная).

Задания из открытого банка заданий ЕГЭ  по математике.

База. Задачи по карточке №4, №5.

Профиль. Задача С2:

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1 см. Найдите угол между прямой BC1 и плоскостью AA1F.

(С видеопланом решения данной  задачи С 2 можно ознакомиться по ссылке:

https://www.youtube.com/watch?v=ObVnCcG29Nw )

7. Итог урока:

     На этом уроке мы:

  • Работали с таким понятием, как угол между прямой и плоскостью.
  • Повторили, что этот угол определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
  •  Выяснили, что не стоит путать угол между прямой и ее проекцией   с углом между прямой и произвольной прямой данной плоскости.
  • Решили несколько задач, где наглядно продемонстрировали использование  определения угла между прямой и плоскостью.

Учитель отмечает  успешную работу  учащихся, выставляет отметки.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Практическая работа "Построение углов между плоскостями, между прямой и плоскостью"

Практическая работа по геометрии ,10 класс. Хотя данную работу можно провести при подготовке к ЕГЭ по математике, при решении задач типа С2. Работа содержит 8 заданий на построение угла между прямой и...

Конспект урока, геометрия в 10 классе "Углы между прямыми и плоскостями"

При моделировании урока использованы цифровые образовательные ресурсы из единой коллекции, а также авторские демонстрационные презентации...

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Углы между прямыми и плоскостями

Данные задачи могут быть использованы при изучении темы "Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Углы между прямыми и плоскостями." Задачи представлены в табличной форме....

Урок геометрии в 10 классе по теме «Угол между прямой и плоскостью»

Урок геометрии в 10 классе по теме «Угол между прямой и плоскостью»...

Презентация к уроку геометрии в 10 классе по теме"Угол между прямой и плоскостью." "Угол между плоскостями"

Презентация по теме "Угол между прямой и плоскостью". "Угол между плоскостями"  к учебнику А.В.Погорелова.Урок изучения нового материала....

Презентация к уроку по геометрии 10 класса " Угол между прямой и плоскостью"

Данная презентация  пригодится учителям математики при проведении урока на тему " Угол между прямой и плоскостью"...

Презентация к уроку геометрии в 11 классе "Вычисление углов между прямыми и плоскостями"

На уроке вспоминаются понятия углов между прямыми и плоскостями, способы нахождения величин углов, преимущество векторного способа....