Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального

образования (повышение квалификации) специалистов «Кузбасский региональный институт

повышения квалификации и переподготовки работников образования»

Факультет профессиональной переподготовки

Организация внеурочной деятельности в предметной области  математика и информатика с целью развития логического мышления: разработка учебно-методического комплекта «Элементы логики»

Выпускная работа

Работа допущена к защите                                Исполнитель:

«___»____________2013 г                                Егорова Маргарита Владимировна

                                                                слушатель группы

Работа защищена                                                «Педагогика, психология и методика

«___»____________2013 г        преподавания школьных дисциплин:        

                                                                информатика»

Председатель ГАК

______________________                                Научный руководитель:

Члены комиссии        Жуланова Валентина Павловна

1.____________________                                канд. хим. наук, доцент 2.____________________                                КРИПКиПРО

3.____________________

4.____________________

Кемерово 2013

Оглавление

Введение.        

Глава 1. Формирование логического мышления на занятиях внеурочной деятельности.        

§1.1 Организация внеурочной деятельности в соответствии с требованиями ФГОС.        

§ 1.2. Логическое мышление и его значимость для развития учебных и практических навыков.        

Глава 2. УМК и методика формирования познавательных логических УУД на занятиях внеурочной деятельности в рамках предметной области информатики и математики.        

§ 2.1. Интегративный характер темы «Логика» при изучении информатики и математики.        

§ 2.2. Методика формирования логического мышления с использованием УМК «Элементы математической логики» на интегративных занятиях информатики и математики.        

Заключение.        

Список литературы.        

Приложение 1.        

Введение.

        Не мыслям надобно учить, а учить мыслить.

(Эммануил Кант)

Смысл этого выражения  актуален и сегодня. Приоритетной целью современного российского образования становится полноценное формирование и развитие способностей ученика самостоятельно очерчивать учебную проблему, формулировать маршрут ее решения, контролировать процесс и оценивать полученный результат. Перед образовательной системой страны стоит непростая задача: формирование и развитие мобильной самореализующейся личности, способной к обучению на протяжении всей жизни для её становления в высококонкурентной среде. И это в свою очередь корректирует задачи и условия образовательного процесса, в основу которого положены идеи развития личности школьника.

Модернизация школьного образования потребовала по-новому взглянуть на его содержание. Оно должно не просто предоставлять информацию и формировать навыки, а развивать мыслительные действия, учить добывать знания, формировать надпредметные и метапредметные умения и навыки.

Стандарты второго поколения нацеливают учителя на формирование у школьников универсальных учебных действий, что  может быть обеспечено только в результате деятельности ученика в условиях выбора и при использовании учителем индивидуально-ориентированных технологий.

Универсальные учебные действия (это обобщенные действия, открывающие возможность широкой ориентации учащихся)  как в различных предметных областях, так и в строении самой учебной деятельности, включая осознание учащимися ее целевой направленности, ценностно-смысловых и операциональных характеристик.

В широком смысле слова «универсальные учебные действия» означают саморазвитие и самосовершенствование путём сознательного и активного присвоения нового социального опыта.

Одной из особенностей УУД является их универсальность, которая проявляется в том, что они:

- носят надпредметный, метапредметный характер;

- обеспечивают целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития личности;

- обеспечивают преемственность всех ступеней образовательного процесса;

- лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от ее специально-предметного содержания;

- обеспечивают этапы усвоения учебного содержания и формирования психологических способностей учащегося.

Внеурочная деятельность в условиях внедрения ФГОС приобретает новую актуальность, ведь именно стандарты закрепили обязательность ее организации, это ресурс, позволяющий школе достичь нового качества образования.

Модернизация школьного образования потребовала по-новому взглянуть на его содержание. Оно должно не просто предоставлять информацию и формировать навыки, а развивать мыслительные действия, учить добывать знания, формировать надпредметные и метапредметные умения и навыки.

По большому счету, основное и дополнительное образование не должны существовать друг без друга, ибо по отдельности они односторонни и неполноценны, т.к. основу  дополнительного образования составляет вариативный образовательный блок, компенсирующий удовлетворение потребностей детей, не реализованных в рамках предметного обучения в школе.

Существует мнение, что человек может правильно мыслить, не зная точных правил и законов логики, пользуясь ими лишь на интуитивном уровне. Ведь встречаются музыканты, которые играют на каком-либо музыкальном инструменте, не зная музыкальной (в частности, нотной) грамоты.

Но такие музыканты ограничены в своем творчестве: они не могут ни исполнить произведение, записанное с помощью нот, ни записать сочиненную ими мелодию.

Человек, овладевший логикой, мыслит более четко, его аргументация убедительнее, чем у того, кто логики не знает. Он гораздо реже совершает ошибки, заблуждается. А ведь заблуждение, приведшее, например, к простой ошибке в расчетах при проектировании космического корабля, повлечет затем и аварию. Дорого обходятся людям их заблуждения!

Современная наука определяет должное место вопросу развития логического мышления, которое входит в понятие «интеллект». А значит, развитие логического мышления и формирование логической культуры необходимо каждому человеку и развивать его необходимо.

Логическое мышление не является врожденным, поэтому его можно и нужно развивать различными способами. Систематическое изучение науки логики - один из наиболее эффективных способов развития логического абстрактного мышления. Специфическим приемом развития логического мышления является решение логических задач.

Так, американский математик Р. Смаллиан - автор множества остроумных задач - предлагает такую: «Одного человека судили за участие в ограблении, обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее.

Обвинитель: Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.

Защитник: Неверно!

Ничего хуже защитник сказать не мог.

Актуальность программы определена тем, что школьники должны иметь мотивацию к обучению информатики и математики, стремиться развивать свои интеллектуальные возможности. Данная программа позволяет учащимся ознакомиться с интересными вопросами логики на данном этапе обучения, выходящими за рамки школьной программы, расширить целостное представление о проблеме данной науки. Решение задач, связанных с логическим мышлением закрепит интерес детей к познавательной деятельности, будет способствовать развитию мыслительных операций и общему интеллектуальному развитию.  

Не менее важным фактором  реализации данной программы является  и стремление развить у учащихся умений самостоятельно работать, думать, решать логические задачи, а также совершенствовать навыки  аргументации собственной позиции по определенному вопросу, что является основной и главной задачей школьного курса информатики.

Проблемность. К сожалению, на изучение логики в школьном курсе информатики практически не отводится часов, трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные законы логики, необходимые для решения задач различными способами не всегда рассматриваются в полном объеме.

Цель: разработка УМК для организации внеурочной деятельности с целью развития логического мышления.

Объект: методы формирования познавательных логических УУД.

Предмет: УМК для формирования логического мышления в рамках интегративных внеурочных занятий по информатике и математике.

Гипотеза: формирование познавательных логических УУД в рамках внеурочных занятий возможно, если:

 - проанализированы требования ФГОС к организации и задачам внеурочной деятельности;

 - при организации занятий учитывается интегративный характер темы «Логика» в рамках изучения информатики и математики;

 - определено понятие логического мышления и его значимость для формирования учебных и практических навыков;

 - разработана методика формирования логического мышления при изучении информатики и математики.

Исходя из гипотезы, были поставлены следующие задачи:

 - проанализировать требования ФГОС к организации и задачам внеурочной деятельности;

- проанализировать понятие логического мышления и его значимость для формирования учебных и практических навыков в соответствии с требованиями ФГОС;

- проанализировать требования ФГОС к организации интегративного обучения в предметной области  «Математика и   информатика», значимость темы «Логика» в интегративном курсе;

- разработать УМК и методики формирования логического мышления на интегративных занятиях.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

•        изучение и теоретический анализ методической литературы по исследуемому вопросу;

•        анализ учебников и учебно-методических пособий по информатике для 8 класса общеобразовательной школы;

•        анализ учебной литературы по математической логике для студентов;

Практическая значимость исследования состоит в разработке данного УМК; выбраны методы; разработаны средства наглядности и контроля.

Глава 1. Формирование логического мышления на занятиях внеурочной деятельности.

§1.1 Организация внеурочной деятельности в соответствии с требованиями ФГОС.

В условиях модернизации образования РФ основная цель перед педагогом заключается в том, чтобы он мог увидеть в каждом ученике личность активную, способную, творческую. Научить каждого ребёнка самостоятельно добывать знания, умения, навыки и применять их на практике.

В современном обществе существует потребность в активных, деятельных людях, которые могли бы быстро приспосабливаться к меняющимся трудовым условиям, выполнять работу с оптимальными энергозатратами, способных к самообразованию, самовоспитанию и саморазвитию.

Внеурочная деятельность в соответствии с ФГОС включена в основную образовательную программу. Время, отводимое на внеурочную деятельность, определяет образовательное учреждение самостоятельно, исходя из необходимости обеспечить достижение планируемых результатов реализации основной образовательной программы на основании запросов обучающихся, родителей (законных представителей), а также имеющихся кадровых, материально-технических и других условий.

 «Основная образовательная программа определяет цели, задачи, планируемые результаты, содержание и организацию образовательного процесса на ступени среднего (полного) общего образования и реализуется образовательным учреждением через урочную и внеурочную деятельность с соблюдением требований государственных санитарно-эпидемиологических правил и нормативов»  (Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы СанПиН 2.4.2.2821-10 «Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в общеобразовательных учреждениях», утвержденные постановлением Главного государственного санитарного врача  Российской Федерации  от 29 декабря 2010 г. № 189 (зарегистрировано  Министерством юстиции Российской Федерации 3 марта 2011 г., регистрационный № 19993. Российская газета, 2011,  № 54), с изменениями, внесенными постановлением Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 29 июня 2011 г. № 85 (зарегистрировано Министерством юстиции Российской Федерации  15 декабря 2011 г.,  регистрационный № 22637. Бюллетень нормативных актов федеральных органов исполнительной власти, 2012, №  4)).

«Внеурочная деятельность организуется по направлениям развития личности (духовно-нравственное, спортивно-оздоровительное, социальное, общеинтеллектуальное, общекультурное) в таких формах, как художественные студии, спортивные клубы и секции, юношеские организации, краеведческая работа, научно-практические конференции, школьные научные общества, олимпиады, поисковые и научные исследования, общественно полезные практики, военно-патриотические объединения и в других формах, отличных от урочной, на добровольной основе в соответствии с выбором участников образовательного процесса» (Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования).

 http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2588

Внеурочная деятельность в условиях внедрения ФГОС приобретает новую актуальность, ведь именно стандарты закрепили обязательность ее организации, это ресурс, позволяющий школе достичь нового качества образования. Именно в  новом Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования  внеурочной деятельности школьников уделено особое внимание, определено пространство и время в образовательном процессе.

Реализация внеурочной деятельности в начальной школе позволяет также решить ряд очень важных задач:

-        обеспечить благоприятную адаптацию ребенка в школе;

-        снизить учебную нагрузку обучающихся;

-        улучшить условия для развития ребенка;

-        учесть возрастные и индивидуальные особенности обучающихся.

Внеурочная деятельность позволяет ребенку выбрать область интересов, развить свои способности. Стоит отметить, что для школы внеурочная деятельность обязательна, а ребенок имеет право выбора.

При организации внеурочной деятельности необходимо использовать разнообразные формы: экскурсии, кружки, секции, клубы, круглые столы, слеты, турниры, конференции, диспуты, школьные научные общества, олимпиады, соревнования, поисковые и научные исследования, общественно полезные практики,  которые отличны от организационных форм в урочной системе обучения. Образование современной школы призвано вооружать учащихся не только теоретическими, но и практическими знаниями и умениями.

Содержание программы внеурочной деятельности выходит за рамки учебной программы и определяется интересами учащихся. Роль учителя в этой работе – направляющая.

Внеурочная деятельность, имеющая цели, задачи и планируемый результат достижения, имеет большое учебно-воспитательное значение. Она позволяет учащимся значительно расширить, осознать и углубить полученные на уроках знания. Имеет широкие возможности интеграции предметов. Широкое использование заданий связанных с проведением наблюдений и постановкой опытов развивает у школьников исследовательский интерес.

Внеурочная деятельность имеет большое значение в решении учебно- воспитательных задач в современном образовании, при формировании личности школьника, позволяет не только закрепить учебные навыки, но и расширить кругозор учащихся, ознакомить с различными областями науки, узнать новые профессии, способствует развитию их мышления, наблюдательности, в рамках современного образовательного процесса, способствует формированию новых компетенций. Внеурочная деятельность может включать индивидуальные занятия учителя с детьми, требующими психолого-педагогической и коррекционной поддержки, индивидуальные и групповые консультации (в том числе – дистанционные) для детей различных категорий и т.д.

Несомненно, внеурочная работа тесно связана с дополнительным образованием детей, когда дело касается создания условий для развития творческих интересов детей и включения их в художественную, техническую, эколого-биологическую, спортивную и другую деятельность. Связующим звеном между внеурочной работой и дополнительным образованием детей выступают различные факультативы, школьные научные общества, объединения профессиональной направленности, учебные курсы по выбору. В зависимости от целей и задач, решаемых ими, содержания и методов работы их можно отнести и к той, и к другой сфере образовательного процесса.

Согласно требованиям ФГОС НОО внеурочная деятельность организуется по направлениям развития личности (спортивно-оздоровительное, духовно-нравственное, социальное, общеинтеллектуальное, общекультурное). Направление внеурочной деятельности следует рассматривать как ориентир при составлении соответствующих образовательных программ. Каждое из обозначенных направлений можно реализовать, используя любую из предлагаемых видов и форм деятельности в отдельности и комплексно (возможно комбинирование всех компонентов при разработке конкретной программы внеурочной деятельности). Общеобразовательное учреждение самостоятельно выбирает не только направления внеурочной деятельности,  но и определяет количество часов на каждый  вид деятельности, формы и способы организации внеурочной деятельности. В своей работе со школьниками учитель должен обратить серьезное внимание на развитие кругозора учащихся, развитие познавательной сферы, стимулирование исследовательских умений учащихся.

В подростковом возрасте продолжает развиваться теоретическое рефлексивное мышление. Приобретенные в младшем школьном возрасте операции становятся формально-логическими. Подросток, абстрагируясь от конкретного, наглядного материала, рассуждает в чисто словесном плане. На основании общих посылок он строит гипотезы и проверяет их.

Подросток оперирует гипотезами, решая интеллектуальные задачи, а также способен на системный поиск решений. Сталкиваясь с новой задачей, он старается найти новые подходы к ее решению, проверяя логическую эффективность каждого из них. Он находит способы применения абстрактных правил для решения целого класса задач. Эти умения развиваются в процессе школьного обучения при овладении знаковыми системами, принятыми в математике, физике, химии.

Развиваются также операции, как классификация, аналогия, обобщение и другие. При одиннадцатилетнем обучении скачок в овладении этими умственными операциями наблюдается при переходе из 8 в 9 класс. Устойчиво проявляется рефлексивный характер мышления: дети анализируют операции, которые они проводят, способы решения задач.

Особенности теоретического рефлексивного мышления позволяют подросткам анализировать абстрактные идеи, искать ошибки и логические противоречия в суждениях. Без высокого уровня развития интеллекта был бы невозможен характерный для этого возраста интерес к абстрактным, философским, религиозным, политическим и иным проблемам. Подростки рассуждают об идеалах, о будущем, иногда создают собственные теории, приобретают более обогащенный взгляд на мир.

Становление основ мировоззрения, начинающееся в этот период, тесно связано с интеллектуальным развитием. Подросток приобретает взрослую логику мышления. В это же время происходит дальнейшая интеллектуализация таких психических функций, как восприятие и память. Этот процесс связан с усложняющимся в средних классах содержанием учебного материала.

Развитие воображения также связано с интеллектуальным развитием. Сближение воображения с теоретическим мышлением дает импульс к творчеству: подростки пишут стихи, серьезно занимаются разными видами конструирования и т.д. Воображение подростка менее продуктивно, чем воображение взрослого человека, но оно богаче воображения ребенка.

Нельзя не учитывать и то, что на подростковый возраст приходится период полового созревания и психологического взросления. В самосознании происходят следующие изменения: появляется чувство взрослости, возникает желание если не быть, то хотя бы казаться и считаться взрослым. Отстаивая свои новые права, подросток ограждает многие сферы своей жизни от контроля родителей и часто идет на конфликт с ними. Кроме того, подростку присуща сильная потребность в общении со сверстниками. Ведущая деятельность в этот период – интимно-личностное общение. Появляется подростковая дружба, происходит объединение в неформальные группы. Возникают яркие, но обычно сменяющие друг друга увлечения.

Личная нестабильность порождает противоречивые желания и поступки: подростки стремятся во всем походить на сверстников и пытаются выделиться в группе, хотят заслужить уважение и бравируют своими недостатками, требуют верности и меняют друзей. Благодаря интенсивному интеллектуальному развитию появляется склонность к самоанализу, впервые становится возможным самовоспитание. У подростка складываются разнообразные образы «Я», первоначально изменчивые, подверженные внешним влияниям. К концу периода они интегрируются в единое целое, образуя на границе ранней юности «Я - концепцию», которую можно считать центральным новообразованием всего периода.

Основными задачами внеурочной деятельности на современном этапе развития нашего общества являются: включение учащихся в разностороннюю деятельность; создание условий для реализации основных образовательных целей; оптимизация учебной нагрузки учащихся; формирование способностей к успешной социализации в обществе, воспитание трудолюбия, способности к преодолению трудностей, целеустремленности и настойчивости в достижении результата.

Принципами организации внеурочной деятельности в школе стали:

• соответствие деятельности возрастным особенностям обучающихся;
• опора на традиции и положительный опыт организации внеурочной деятельности;
• опора на ценности воспитательной системы школы;
• свободный выбор на основе личных интересов и склонностей ребенка.
• Данные принципы определяют способы организации внеурочной деятельности:
• реализация образовательных программ, разработанных педагогами школы;
• включение ребенка в систему коллективных творческих дел, которые являются частью воспитательной системы школы по пяти направлениям;
• использование ресурсов районного центра детско-юношеского творчества,  детской спортивной школы.
• Ориентиры в организации внеурочной деятельности школы:
• интересы учащихся;
• запросы родителей, законных представителей первоклассников;
• приоритетные направления деятельности школы;
• интересы и склонности педагогов;
• рекомендации психолога как представителя интересов и потребностей ребенка;
• материальная база школы.

Подводя итог всему вышеизложенному, можно говорить не только о возможности, но и о необходимости именно в этот период дать цельное представление об основах логики как с позиции возрастных особенностей подростков, так и с позиции важности основ логики в курсе информатики и во всей системе преподавания наук в школе.

§ 1.2. Логическое мышление и его значимость для развития учебных и практических навыков.

В настоящее время информатика как учебный предмет проходит этап становления, активно ведутся дискуссии по поводу её содержания вообще и на различных этапах изучения в частности. Но есть ряд вопросов, необходимость включения которых в учебные планы бесспорна.

Важнейшей задачей современной системы образования является формирование совокупности универсальных учебных действий (УУД), которые обеспечивают возможность каждому ученику самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, уметь контролировать и оценивать учебную деятельность и ее результаты. Они создают условия развития личности и ее самореализации.

В основе формирования УУД лежит «умение учиться», которое предполагает полноценное освоение всех компонентов учебной деятельности (познавательные и учебные мотивы; учебная цель; учебная задача; учебные действия и операции) и выступает существенным фактором повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, умений и формирования компетенций, образа мира и ценностно-смысловых оснований личностного морального выбора.

УУД направлены на достижение планируемых результатов. Различают три группы планируемых результатов:

1. Предметные универсальные учебные действия – лежат в основе изучения самого предмета (опыт получения, преобразования и применения предметных знаний).
2. Метапредметные универсальные действия – центральной составляющей является формирование умения у учащихся работать с информацией (извлекать её, анализировать, воспринимать). Отражают межпредметные понятия.
3. Личностные универсальные учебные действия – эмоциональность и нравственность в изучении предмета, развитии толерантности, здорового образа жизни.

Универсальные учебные действия можно сгруппировать в четыре основных блока:

Познавательные универсальные учебные действия (интеллектуальные умения) - обработка информации: система способов познания окружающего мира, построения самостоятельного процесса поиска, исследования и совокупность операций по обработке, систематизации, обобщению и использованию полученной информации.

Познавательные универсальные действия включают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы.

• Общеучебные универсальные действия:

— самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

— поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

— структурирование знаний;

— осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

— выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

— рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

— смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информации; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

— постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

— моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта пространственно- графическая или знаково-символическая);

— преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

• Логические универсальные действия:

— анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, и несущественных);

— синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;

— выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;

— подведение под понятие, выведение следствий;

— установление причинно-следственных связей;

— построение логической цепи рассуждений;

— доказательство;

— выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблемы:

— формулирование проблемы;

— самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Государственным образовательным стандартом второго поколения в системе обобщенных личностно-ориентированных целей образования заявлено формирование универсальных учебных действий, как основы умения учиться. В сфере познавательных универсальных учебных действий предполагается, что "выпускники научатся воспринимать и анализировать информацию, использовать знаково-символические средства, овладеют действием моделирования, а также широким спектром логических действий и операций, включая общие приемы решения задач".

В современных условиях особую актуальность приобретает формирование и развитие у школьников логического мышления, предполагающего, в частности, следующие умения: анализировать, сравнивать (выделять общее и особенное), проводить аналогии, классифицировать, выделять главное и обобщать, устанавливать причинно-следственные и иные связи и т.п. Это помогает ребенку осмысленно видеть окружающий мир, более успешно в нем ориентироваться, формирует основы научного мировоззрения. Если изучить особенности развития логического мышления у учащихся, выявить эффективные методы его развития, разработать систему уроков по развитию логического мышления и применить на практике, то это будет способствовать развитию логического мышления учащихся.

Другими словами, познавательные учебные действия — это все три вида мышления.

Остановимся подробнее на абстрактно-логическом мышлении, так как именно его развитие является как наиболее важной, так и наиболее трудной задачей современного учителя.

Логическое мышление — осуществляется на основе готовых знаний, выраженных в понятиях, суждениях и умозаключениях.

Логичное мышление — основано на умениях анализировать и отделять существенное от несущественного, сравнивать и обобщать, убедительно доказывать и отстаивать свою точку зрения.

Логичное мышление  =  Логическое мышление + соблюдение законов логики.

Психологи по-разному определяют понятие "мышление".

Мышление - это социально-обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытий существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы.  А.В. Петровский . [1]

Мышление - это психический процесс познания, связанный с открытием субъективно нового знания, с решением задач, с творческим преобразованием действительности. [22]

Формирование логического мышления – важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал – одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов. Формирование логических приемов мышления у школьников способствует развитию у них познавательной деятельности и продуктивных мыслительных процессов. Логические приемы мышления результативно формируются и развиваются, если их процесс становления отвечает следующим методическим требованиям:

- учет возрастных особенностей школьников;

- последовательность формирования логических приемов мышления; системность;

- непрерывность и преемственность в методике формирования и развития логических приемов мышления на различных этапах обучения.

Одна из целей преподавания информатики в курсе средней школы состоит в привитии навыков логического мышления. Логическое мышление – это, прежде всего, умения рассуждать, доказывать, подбирать факты, аргументы и обосновывать предлагаемые решения. Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.

Определив понятие, логическое мышление, и, опираясь на все сказанное выше, можно сделать следующие выводы:

1. Логическое мышление, являясь высшей ступенью в умственном развитии ребенка, проходит длительный путь развития.

2. На ранних ступенях развития ребенок накапливает чувственный опыт и научается решать практическим путем ряд конкретных, наглядных задач. Осваивая речь, он приобретает возможность формировать задачу, задавать вопросы, строить доказательства, рассуждать и делать выводы. Ребенок овладевает понятиями и рядом умственных действий.

Если в первом классе мышление ребенка еще очень напоминает мышление дошкольника, в своих суждениях дети в основном опираются на реальные предметы из чувственного опыта, их умозаключения основаны на наглядных посылках, то к третьему классу наблюдается сильный сдвиг мыслительных операций в сторону абстрактно-логических. Увеличивается объем получаемых на уроках знаний, которые требуют указание связей. Учащиеся учатся классифицировать различные предметы и явления, что, в свою очередь, ведет к развитию более сложных форм умственной деятельности. При переходе в среднее звено большинство учащихся уже умеют обобщать, производить анализ и синтез.

«В мыслительной деятельности учащихся в подростковом возрасте происходят существенные изменения. Возрастает способность к абстрактному мышлению, при этом сохраняются и развиваются конкретно-образные компоненты мышления. Заметно развитие критичности мышления, его самостоятельности и активности. Задача учителя - формировать и развивать необходимые для любого возраста школьника мыслительные операции - основу логического мышления» - отмечается З.В. Птициной, разработавшей программу «Формирование мыслительных операций на уроках математики». [20] Для их развития часто требуются лишь соответствующие условия, которые помогут ученику овладеть научными методами изучения, познания нового, такими как абстрагирование, сравнение, обобщение, анализ и синтез. Считается, что складывающаяся к 11 годам система мыслительных операций подготавливает почву для формирования научных понятий, и на последнем этапе интеллектуального развития, т.е. периоде формальных операций, подросток освобождается от конкретной привязанности к объектам, и тем самым приобретает возможность мыслить так же, как взрослый человек. Л.С. Выготский отмечал [1], что подросток впервые овладевает процессом образования понятий и переходит к новой высшей форме интеллектуальной деятельности. Подросток рассматривает суждения, как гипотезы, из которых можно вывести всевозможные следствия; его мышление становится гипотетико-дедуктивным. Подростки отличаются повышенной интеллектуальной активностью, они могут рассуждать и исследовать. Мышление школьников этого возраста характеризуется стремлением к широким обобщениям. Возрастная самостоятельность детей требует, чтобы учитель предлагал общий метод интеллектуальной деятельности, с помощью которого они могли бы самостоятельно выполнять задания. При этом, как отмечает Л.Г. Вяткин [2], действия, сформированные на такой ориентировочной основе, выполняются быстро и безошибочно и характеризуются большой устойчивостью и широтой переноса.

Одним из инструментов развития логического мышления является решение содержательных логических задач. Эти задачи способствуют развитию памяти, смекалки, внимания и других качеств, позволяющих нестандартно мыслить. Кроме того, логические задачи позволяют развивать не только логическое, но также математическое, и алгоритмическое мышление.

К сожалению, изучение логики, как отдельного предмета, не предусмотрено в программах общего образования. Предполагается, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. А в результате — трудности с соблюдением законов логики, а то и полное их незнание — довольно широко распространенное явление не только среди учеников, но и среди взрослых.

http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2588

В федеральном компоненте нового образовательного стандарта предусмотрено изучение основ информатики и информационных технологий в рамках одного предмета «Информатика и информационные и коммуникационные технологии», далее «Информатика и ИКТ». Базовый курс информатики должен изучаться в основной школе, а профильный и элективные курсы в старшей школе.

В федеральном перечне на 2013-2014 учебный год, утвержденный приказом Минобразования России № 26755 от 30 января 2013 г. содержатся издания, рекомендованные и допущенные к использованию в основной и старшей школе, рассмотрим некоторые из них:

1. УМК «Информатика и ИКТ», авторы Босова Л. Л., Босова А. Ю.

Учащиеся на уроках информатики  постоянно, от темы к теме, учатся думать, мыслить, анализировать, сопоставлять. А более глубокому формированию логического мышления способствуют темы «Информация вокруг нас», «Человек и информация», «Алгоритмы и исполнители» в 5 и 6 классах и «Алгоритмизация», «Программирование», «Основы логики»  в 7-9 классах.

2. УМК «Информатика и  ИКТ» , автор Угринович Н. Д.

        Основой этого комплекта является установка на общеобразовательное значение информатики, формирование основ научного мировоззрения школьника, развитие мышления и творческих способностей учащихся.

Тема «Логические основы компьютера» рассматривается отдельным блоком как в учебнике, так и в практикуме: «Основы логики и логические основы компьютера», где довольно подробно изложен материал и система задач по темам «Основы математической логики» и «Элементы схемотехники». По формальной логике даны основные понятия и система задач. Разработаны также практические приложения логики к информационной технике.

3. УМК «Информатика и ИКТ» , авторы Семакин И.Г., Хеннер Е.К.

В основе линии учебников лежит понятие «информация». Решаются три задачи: формирование научного мировоззрения, развитие мышления, подготовка к практической деятельности.

Логика рассматривается только в аспекте практического применения при построении условий поиска в базах данных (и, или, не). В дополнительных главах рассмотрены схемы, удобные для представления логических выражений и условные функции в электронных таблицах на базе логических операций и, или, не. В задачниках выделен параграф «Логическая информация и основы логики», где даны понятия высказывания, логической операции, представлены свойства и законы логики, разработан пример решения логической задачи, дана система задач по этим темам с примерами решения. Схемотехнический аспект изучения логики отсутствует.

Таким образом, можно сделать вывод: содержание темы «Основы формальной логики» в учебниках представлены слабо или отсутствуют, что требует более тщательной разработки.

Глава 2. УМК и методика формирования познавательных логических УУД на занятиях внеурочной деятельности в рамках предметной области информатики и математики.

§ 2.1. Интегративный характер темы «Логика» при изучении информатики и математики.

Школа XXI века – это школа компьютерных технологий. Данное утверждение понятно и уже не требует доказательства. Компьютерные технологии стремительно входят в нашу жизнь. Информатизация образования  может произойти через межпредметные связи информатики с другими предметами.  Поэтому рассмотрим  межпредметные связи информатики и других предметов, в частности  на примере связи информатики и математики. Мы должны говорить об интегративности математики и информатики еще и потому, что  это заложено в стандарт, начиная с начальной школы.

В соответствии с федеральным государственным стандартом начального общего образования (ФГОС НОО) предметные результаты освоения основной образовательной программы начального общего образования с учетом специфики содержания предметных областей, включающих в себя конкретные учебные предметы, такие как математика и информатика должны отражать:

1)    использование начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;

2)    овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

3)    приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач;

4)     умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные;

5)    приобретение первоначальных представлений о компьютерной грамотности.

Отличительной особенностью начала обучения является то, что наряду с традиционным письмом ребенок сразу начинает осваивать клавиатурный набор текста. Сегодня многие родители, постоянно использующие компьютер в профессиональной и личной жизни понимают его возможности для создания и редактирования текстов, поэтому должны понимать важность включения этого компонента в образовательный процесс наравне с традиционным письмом.

В основе стандарта лежит деятельностный подход в обучении.

Важными элементом на ступени начального общего образования, обеспечивающими его результативность являются:

• ориентировка младших школьников в информационных и коммуникативных технологиях (ИКТ);
• формирование способности грамотно применять ИКТ.

B программу ФГОС НОО включена подпрограмма «Формирование ИКТ - компетентности обучающихся».

Предмет «Информатика»  на базовом уровне в ФГОС среднего (полного) общего образования призван сформировать:

• представление о роли информации и информационных процессов в социальных, биологических и технических системах;
• владение алгоритмическим мышлением, понимание необходимости формального описания алгоритмов;
• владение умением понимать программы, написанные на выбранном для изучения универсальном алгоритмическом языке высокого уровня; знание основных конструкций программирования (ветвление, цикл, подпрограмма); умение анализировать алгоритмы с использованием таблиц;
• владение стандартными приемами написания на алгоритмическом языке программы для решения стандартной задачи с использованием основных конструкций программирования; отладки таких программ; использование готовых прикладных компьютерных программ по выбранной специализации;
• представление о компьютерно-математических моделях и необходимости анализа соответствия модели и моделируемого объекта (процесса), о способах хранения и простейшей обработке данных; понятие о базах данных и средствах доступа к ним; умение просматривать, создавать, редактировать, сохранять записи в базах данных, получать необходимую информацию по запросу пользователя;
• владение компьютерными средствами представления и анализа данных (электронные таблицы, средства построения графиков и диаграмм, гипертекст, мультимедиа);
• навыки и умения по соблюдению требований техники безопасности, гигиены, эргономики и ресурсосбережения при работе со средствами информатизации; понимание основ правовых аспектов использования компьютерных программ и работы в сети Интернет.

За общими фразами просматривается тенденция к интеграции информатики с другими предметными областями.

В педагогической литературе имеется более 30 определений категории «межпредметные связи», существуют самые различные подходы к их педагогической оценке и различные классификации.

Наиболее полным будет определение: межпредметные связи есть педагогическая категория для обозначения синтезирующих, интегративных отношений между объектами, явлениями и процессами реальной действительности, нашедших свое отражение в содержании, формах и методах учебно-воспитательного процесса и выполняющих образовательную, развивающую и воспитывающую функции в их ограниченном единстве.

Межпредметные связи в школьном обучении являются конкретным выражением интеграционных процессов, происходящих сегодня в науке и в жизни общества. Эти связи играют важную роль в повышении практической и научно-теоретической подготовки учащихся, существенной особенностью которой является овладение школьниками обобщенным характером познавательной деятельности. Обобщенность же дает возможность применять знания и умения в конкретных ситуациях, при рассмотрении частных вопросов, как в учебной, так и во внеурочной деятельности, в будущей производственной, научной и общественной жизни выпускников средней школы.

С помощью многосторонних межпредметных связей не только на качественно новом уровне решаются задачи обучения, развития и воспитания учащихся, но также закладывается фундамент для комплексного видения, подхода и решения сложных проблем реальной действительности. Именно поэтому межпредметные связи являются важным условием и результатом комплексного подхода в обучении и воспитании школьников.

Структура межпредметных связей такова:

• знания и умения из первой предметной области;
• знания и умения из второй предметной области;
• интеграция этих знаний и умений в процессе обучения.

Информатика – это благодатная почва для межпредметных связей с другими предметами. Совмещая изучение разных предметов и информатики одновременно снижение нагрузки на учащихся, используются более эффективные способы обучения. Были выявлены межпредметные связи со всеми учебными предметами. Например, изучение Microsoft Office Word можно совмещать с изучением русского языка, литературы, географии и истории, Web-дизайн и изобразительное искусство, в том числе, и с математикой.

Применение компьютеров позволяет учащимся заниматься исследовательской работой при решении задач из различных областей (например, физические, математические, экономические задачи). При этом они должны научиться четко формулировать задачу, решать ее и оценивать полученный результат.

На своих уроках я  применяю межпредметные связи: математика — информатика. Задача учителя на этих уроках — сформировать у ученика информационную компетентность, умение преобразовывать на практике информационные объекты с помощью средств информационных технологий. Эти уроки так же позволяют показать связь предметов, учат применять на практике теоретические знания, отрабатывают навыки работы на компьютере, активизируют умственную деятельность учеников, стимулируют их самостоятельному приобретению знаний. На таких уроках каждый ученик работает активно и увлеченно, у ребят развивается любознательность, познавательный интерес.

Информатика в теоретической ее части "выросла" из математики, использует активно математический аппарат. В частности, тему «основы математической логики» школьного курса информатики можно назвать "чисто математической".  Преподавание этой темы не входит в школьную программу математического образования, однако, дети, изучавшие эти разделы, будут обладать более системным представлением о математике, легче усваивать новые понятия, доказательства теорем.

Среди дисциплин информатики широкими интегративными возможностями обладает курс математической логики (булевой алгебры), не предусмотренный в содержании математического образования основной школы, но который в силу своего универсального применения, занимательности, и, вместе с тем, высокой абстрактности на уровне основ математической логики (булевой алгебры) может быть интересен и, безусловно, полезен всем учащимся.

Возможность включения курса основ математической логики в число курсов по выбору для 8 классов на данном этапе подготовки обеспечивается достаточной для его освоения математической подготовкой учащихся, а их включённость  в широкий спектр научных отраслей знаний позволяет сделать процесс обучения эффективным, реализовывать компетентностный подход и подготовку к выбору профиля

 С одной стороны УМК позволит углубить, обобщить имеющиеся у школьников знания по математике, по числовым системам, позволит увидеть уникальность, высокую абстрактность математических объектов (подготовка к математическому профилю), с другой – покажет широкие возможности применения математики в технике, искусстве, в практической деятельности, в быту, применения математики к анализу текста литературных произведений, задач, речи, научит применять логику и здравый смысл к решению различных, в том числе, и жизненный задач (подготовка к выбору технического, гуманитарного и других видов профилей).

§ 2.2. Методика формирования логического мышления с использованием УМК «Элементы математической логики» на интегративных занятиях информатики и математики.

К сожалению ни в курсе математики, ни в курсе информатики решению логических задач не уделяется достаточного внимания. В результате работа над развитием логического мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования. Восполнить этот пробел можно с помощью учебно-методического комплекса «Элементы логики», целью которого является развития логического мышления школьников посредством решения содержательных логических задач.

Предлагаемый УМК является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель - создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся. Все свойства, входящие в курс, их доказательства не вызовут трудности у учащихся, т.к. не содержат громоздких выкладок, а каждое предыдущее готовит последующее. При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно сформулировать новые для них формулы и даже доказать их. Все должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Данный УМК предназначен для проведения внеурочных занятий с учащимися восьмых  классов общеобразовательных школ и рассчитан на 27 часов. Он прост в использовании, не требует дополнительного раздаточного материала по темам.

Главной задачей УМК является формирование умения выбирать самостоятельный способ решения и оценивать его в сравнении с другими способами.

Изучение УМК осуществляется посредством активного вовлечения учащихся в различные виды и формы деятельности:

-  введение нового материала в форме лекций;

- решение заданий для самостоятельной работы в форме индивидуальной, групповой работы с последующим обсуждением;

- самостоятельное выполнение отдельных заданий.

Цель: формирование представлений о математической логике и умения решать логические задачи,   расширение представлений знаний учащихся о числе, способах его записи; создание условий для формирования и развития у учащихся интереса к изучению математики и информатики; умение самостоятельно приобретать и применять знания; развитие творческих способностей и коммуникативных навыков.

Задачи УМК:

• сформировать логическое мышление учащихся;
• сформировать понимание учащихся о взаимосвязи школьных предметов;
• подготовить учащихся к выбору профиля и будущей профессии.

Развитие навыков построения моделей способствует решению задачи, имеющей общеобразовательную ценность, а именно развитию логического мышления.

Формы и методы работы:

1. Мини-лекции по темам.
2. Решение задач.
3. Самостоятельные сообщения.
4. Использование возможностей Интернета при изучении отдельных разделов программы.
5. Подготовка презентаций по предложенным темам программы.
6. Индивидуальная, групповая работа.

Организация на занятиях должна быть следующей: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать. При этом задания практической части следует выполнять последовательно.

В работе по развитию логического мышления используются разнообразные методы обучения; практические, наглядные, словесные, исследовательские. Ведущим является практический метод. Суть его заключается в организации практической деятельности учащихся, направленной на усвоение строго определённых способов действий с понятиями. Характерные особенности практического метода при развитии логического мышления:

- выполнение разнообразных практических действий, служащих основой для умственной деятельности; широкое использование дидактического материала; возникновение представлений как результата практических действий с дидактическим материалом;

- широкое использование сформированных преставлений и освоенных действий в быту, игре, труде, т.е. в разнообразных видах деятельности.

Данный метод предлагает организацию специальных упражнений, которые предлагаются  в форме заданий, организовываются как действия с демонстрационным материалом,  протекать в виде самостоятельной работы с материалом.

Упражнения бывают коллективными – выполняются всеми учащимися одновременно и индивидуальными – осуществляются отдельным ребёнком у доски или стола воспитателя. Коллективные упражнения, помимо усвоения и закрепления знаний, могут использоваться для контроля. Индивидуальные, выполняя те же функции, служат ещё и образцом, на который учащиеся ориентируются в коллективной деятельности. Взаимосвязь между ними определяется не только общностью функций, но и постоянным чередованием, закономерной сменой друг друга.

Наглядные и словесные методы при развитии логического мышления сопутствуют практическим методам. В работе используются приёмы, относящиеся к наглядным, словесным и практически методам и применяемые в тесном единстве друг с другом:

1. Показ (демонстрация) способа действия в сочетании с объяснением, или образцом учителя. Это основной приём обучения, он носит наглядно-действенный характер. Выполняется с привлечением дидактических средств, даёт возможность формировать навыки и умения у учащихся. К нему предъявляются следующие требования:

- чёткость, расчленённость показа способа действия;

- согласованность действия со словесными пояснениями;

- точность, краткость и выразительность речи, сопровождающий показ;

- активизация восприятия, мышления и речи детей.

2. Инструкция для выполнения самостоятельных упражнений. Это приём связан с показом учителем способов действия и вытекает из него. В инструкции отражается, что и как надо делать, чтобы получить необходимый результат. В начале изучения темы инструкция по выполнению задания предваряет каждое новое действие, при повторении темы инструкция даётся полностью до начала выполнения

3. Пояснения, разъяснения, указания. Эти словесные приёмы используются учителем при демонстрации способа действия или в ходе выполнения учащимися задания с целью предупреждения ошибок, преодоления затруднений и т.д. Они должны быть конкретными, короткими и образными.

Показ уместен при ознакомлении учащихся с новыми действиями, но при этом необходима активизация умственной деятельности, исключающая прямого подражания. В ходе освоения нового желательно избегать повторного показа.

4. Вопросы к детям – один из основных приёмов развития логического мышления.

Заключение.

Цель настоящей работы заключается в разработке УМК для организации внеурочной деятельности с целью развития логического мышления.

Для достижения указанной цели перед работой был поставлен ряд задач.

При решении задачи  анализа требований ФГОС к организации и задачам внеурочной деятельности в работе показана необходимость именно в  8 классе дать цельное представление об основах логики как с позиции возрастных особенностей подростков, так и с позиции важности основ логики в курсе информатики и во всей системе преподавания наук в школе.

При решении задачи анализа понятия логического мышления и его значимости для формирования учебных и практических навыков в соответствии с требованиями ФГОС в работе показано, что содержание темы «Основы формальной логики» в учебниках представлены слабо или отсутствуют, что требует более тщательной разработки.

При решении задачи анализа требований ФГОС к организации интегративного обучения в предметной области «Математика и   информатика», значимости темы «Логика» в интегративном курсе в работе показана возможность включения курса основ математической логики во внеурочную деятельность для 8 классов, которая на данном этапе подготовки обеспечивается достаточной для его освоения математической подготовкой учащихся, а их включённость  в широкий спектр научных отраслей знаний позволяет сделать процесс обучения эффективным.

Таким образом, задачи решены в полном объеме, цель достигнута – разработан УМК для организации внеурочной деятельности с целью развития логического мышления.

Список литературы.

1. Выготский Л.С. Мышление и речь: собрание сочинений. В 6 т. Т.2. – М., 1982.
2. Вяткин, JI. Г. Развитие творческих способностей учащихся / JI. Г. Вяткин // Актуальные проблемы развития личности учащегося. Саратов: Изд-во СГУ, 1995.-С. 32-40.
3. Научная библиотека диссертаций и авторефератов disserCat http://www.dissercat.com/content/pedagogicheskie-usloviya-razvitiya-logicheskogo-myshleniya-mladshikh-shkolnikov#ixzz2ho2l4cmF
4. Гохман А.В. Сборник задач по математической логике и алгебре множеств. – 1969., 91 с. Изд-во Саратов.
5. Дергачева Л.М. «Формирование логико-алгоритмического мышления», – ИНФО. – 2006. – №10. – С. 70–78.
6. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. – М.: 1961.,  68 с.
7. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. – М.: 1961., 68 с.
8. Колин К.К. «О структуре и содержании образовательной области «Информатика», Информатика и образование, 2000- №10, – с. 5–10.
9. Кузина Е. Б. Практическая логика. – М.: 1996., 160с.
10. Кулагина И.Ю. «Возрастная психология (Развитие ребенка от рождения до 17 лет)». Учебное пособие. 5-е издание. – М.: Издательство УРАО, 1999 – 176 с.
11. Куликов Л. Я., Москаленко А. И., Фомин А. А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993., 288с.
12. Куликов Л. Я., Москаленко А. И., Фомин А. А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993., 288с.
13. Л.Л.Босова, А.Ю.Босова. Информатика и ИКТ: учебник для 8 класса - 3-е изд. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 220 с.
14. Л.Л.Босова, А.Ю.Босова. Информатика и ИКТ: учебник для 9: в 2 ч. Ч. 1 класса  - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 244 с.
15. Л.Л.Босова, А.Ю.Босова. Информатика и ИКТ: учебник для 9: в 2 ч. Ч. 2 класса  - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 79 с.
16. Л.Л.Босова. Информатика и ИКТ: учебник для 5 класса - 4-е изд. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 199 с.
17. Л.Л.Босова. Информатика и ИКТ: учебник для 6 класса  - 4-е изд. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 215 с.
18. Л.Л.Босова. Информатика и ИКТ: учебник для 7 класса  - 4-е изд. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 237 с.
19. Лыскова, Ракитина. «Логика в информатике». Методическое пособие. – М.: Лаборатория базовых знаний. – 2001
20. Птицына, 3. В. Формирование мыслительных операций на уроках математики / 3. В. Птицына. М.: Просвещение, 1999. - 132 с.
21. Научная библиотека диссертаций и авторефератов disserCat http://www.dissercat.com/content/pedagogicheskie-usloviya-razvitiya-logicheskogo-myshleniya-mladshikh-shkolnikov#ixzz2ho1bEEHn
22. Немов Р.С. Возрастная и педагогическая психология. Под ред. В. Давыдова – М., 1979
23. Селиванов В.С. Основы общей педагогики: теория и методика воспитания. – М., 2000. – 312 с.
24. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. – Минск: 1965., 255с.
25. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. – Минск: 1965., 255с.
26. Столяр А. А. Логическое введение в математику. – Минск: 1971., 224с.
27. Столяр А. А. Логическое введение в математику. – Минск: 1971., 224с.
28. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования  

http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2588

29. Фетисов Ф. И. О доказательствах в геометрии. – М.: 1954., 60 с.
30. Фетисов Ф. И. О доказательствах в геометрии. – М.: 1954., 60 с.
31. Яковлев Г. Н. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: 1981., 608 с.
32. Яковлев Г. Н. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: 1981., 608 с.

Приложение 1.

УМК «Элементы логики»

Актуальность исследования. Знание логики – рациональная основа процесса обучения. Важнейшей целью современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности. Умение логически мыслить развивается в процессе изучения математики. В свою очередь владение элементарным комплексом логических понятий и действий позволяет школьникам лучше усваивать математику. Таким образом, на сегодняшний день актуальна проблема одновременного изучения школьного курса математики и элементов логики и разработка УМК для организации внеурочной деятельности направленного на развитие логики у учащихся, является актуальной.

Тематическое планирование УМК «Элементы логики».

Историческая справка.

Термин «логика» происходит от греческого слова логос, что означает «Логика – это наука, изучающая формы и законы мышления, закономерности мыслительного процесса. Слово «логика» произошло от греческого logos, что означает слово, понятие, рассуждение, разум. Законы и правила формальной логики необходимо знать для построения правильных рассуждений. Логические знания чрезвычайно важны для повышения эффективности мыслительной деятельности человека и предотвращения логических ошибок. Согласно основному принципу логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой (структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Например, рассуждения «Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен» и «Все металлы электропроводны. Медь – металл. Следовательно, медь электропроводна» имеют одинаковую логическую структуру, называемую силлогизмом. Отличительная особенность правильного вывода состоит в том, что из  истинных исходных утверждений всегда получаются истинные заключения. Это позволяет из одних истин получать другие с помощью только рассуждения, разума и без обращения к опыту.

Для логики характерно отвлечение от конкретного содержания высказываний или умозаключений и оперирование только их формальным содержанием, использование единого языка символов и формул.

Как самостоятельная наука, логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384 – 322 гг. до н.э.).  Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться традиционной или Аристотелевой логикой. Аппарат логики Аристотеля оказался настолько мощным, что, например, на его основе средневековый философ и богослов Фома Аквинский (1225 – 1274) осуществил обоснование всей христианской теологии. Широкое применение силлогистика нашла также в судебной практике, когда материалы предварительного следствия брались за истинные посылки. Применяя к этим посылкам процедуры порождения новых утверждений по правилам теории Аристотеля, судьи делали вывод о виновности или невиновности подсудимого. Традиционная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. 

В XIX в. – начале XX в. в логике произошла научная революция и на смену традиционной логике пришла современная логика, называемая также математической или символической логикой. Развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и поставило задачу о ее дальнейшем построении на математической основе. Впервые в истории идеи о таком построении логики были высказаны немецким математиком Готфридом Лейбницем (1646 — 1716)   в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по определенным правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением. Джордж Буль  (1815 – 1864)  в своей работе «Исследование законов мысли» (1854 г.) истолковывал умозаключения как результат решения логических равенств, в результате чего логическая теория приняла вид обычной алгебры и  получила название алгебры высказываний. Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления.

Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки — математической логики. Предметом математической логики служат рассуждения, при изучении которых она пользуется математическими методами.

При этом на первых порах развитие математической логики позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, что, конечно, расширило область логических исследований. Однако главное назначение математической логики определилось в конце XIX века, когда стала ясна необходимость обоснования понятий и идей самой математики. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики.

В этом отношении показательны работы немецкого математика Готлоба Фрёге (1848 -1925) и итальянского математика Джузеппе Пеано (1858 – 1932), которые применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.

В развитие логики значительный вклад внесли Бертран Рассел (1872 – 1970), А. Уайтхед (1861 – 1947), Д. Гильберт (1862 – 1943), К. Гёдель (1906 – 1978), А. Тарский (1901 – 1983) и др.

Знание логики является  неотъемлемой частью юридического образования. Оно позволяет правильно строить судебно-следственные версии, составлять четкие планы расследования преступлений, не допускать ошибок при составлении официальных документов, протоколов, обвинительных заключений, решений и постановлений.

Знание правил и законов логики не является конечной целью ее изучения. Конечная цель изучения логики – умение применять ее правила и законы в процессе мышления. Истина и логика взаимосвязаны, поэтому значение логики невозможно переоценить. Логика помогает доказывать истинные сужения и опровергать ложные, она учит мыслить четко, лаконично, правильно.

Глава 1.

§1. Высказывания.

Высказыванием называется повествовательное предложение, имеющее вполне определенное истинное значение: «истина» (И) или «ложь» (Л).

Например, высказываниями являются предложения такие как: «3>1», «в квадрате все углы прямые» и т.д.

Высказывание называется элементарным, если никакая его часть уже не является высказыванием. В противном случае высказывание называется сложным.

Например, предложение «если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны» является высказыванием.

Используя рисунок, введем в данное предложение обозначения: если гипотенуза  и катет  прямоугольного треугольника ABC (∠ACB = 90°)  соответственно равны гипотенузе DE и катету  прямоугольного треугольника DEF (∠DFE = 90°), (AB = DE и AC = DF), то эти треугольники равны (△ABC = △DEB). Данное высказывание является сложным, так как состоит из пяти простых высказываний: ∠ACB = 90°, ∠DFE = 90°, AB = DE, AC = DF, △ABC = △DEB, которые связаны между собой с помощью слов «если, то», «и». Далее, для простоты, высказывания будем обозначать буквами X, Y, Z, W, V, U и т.д. То есть: X = (∠ACB = 90°), Y = (∠DFE = 90°), Z = (AB = DE),

W = (AC = DF). Таким образом, каждому высказыванию мы присвоили своё обозначение.

Если ∠ACB = 90° и ∠DFE = 90° ,и AB = DE, и AC = DF,

то △ABC = △DEB.

Если X и Y, и Z, и W, то V.

 Слова «и», «или», «если, то», «не» исполняют роль логических связок между элементарными или сложными высказываниями.

В алгебре логики высказываний (ЛВ) используются следующие операции над высказываниями:

дизъюнкция двух высказываний X и Y:   X⋁Y;

конъюнкция двух высказываний X и Y:  X⋀Y;

операция отрицания высказывания X:  (X – ¬X);

импликация двух высказываний X и Y: X→Y;

эквивалентность двух высказываний X и Y: X⇔Y.

§2. Конъюнкция.

Конъюнкцией называется логическая операция, которую мы выполняем над двумя высказываниями, соединяя их союзом «и», при этом получая новое высказывание.

Например, «на улице холодно и идёт дождь», «наступило лето, и идёт снег», «3>2 и 5<0». В алгебре логики союз «и» заменяется символом «⋀».

Конъюнкция высказываний «X и Y» истинна только в одном случае, когда оба высказывания X и Y истинны.

        Таблица 1

Пример 1:

 B ∈ a  и C ∉ a – истина; B ∈ a и  C ∈ a – ложь.

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний: X = (B ∈ a), истина; Y = (C ∉ a), истина; Z = (C ∈ a), ложь.

Запишем исходные два высказывания, используя новые обозначения, получим следующее: X⋀Y,  X⋀Z.

X⋀Y = И⋀И = И; X⋁Z = И⋀Л = Л.

§3. Дизъюнкция.

Дизъюнкцией называется логическая операция, которую мы выполняем над двумя высказываниями, соединяя их союзом «или», при этом получая новое высказывание.

В алгебре логики союз «или» заменяется символом «⋁».

Дизъюнкция высказываний «X или Y» ложна только в одном случае, когда оба высказывания X и Y ложны.

        Таблица  2

Пример:

∠ABC = ∠EBD или ∠ABE = ∠DBC – истина.

∠ABC = ∠EBD или ∠ABE = ∠EBD – истина.

∠ABC = ∠ABE или ∠CBD = ∠EBD – ложь.

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний:

X = (∠ABC = ∠EBD) – истина; Y = (∠ABE = ∠DBC) – истина;

Z = (∠ABE = ∠EBD) – ложь; W = (∠ABC = ∠ABE) – ложь;

V = (∠CBD = ∠EBD) – ложь.

Запишем исходные высказывания, используя введенные обозначения: X⋁Y = И⋁И = И; X⋁Z = И⋁Л = И; W⋁V = Л⋁Л = Л.

§4. Отрицание.

Отрицанием называется такое высказывание, которое истинно, когда данное высказывание ложно и которое ложно, когда данное высказывание истинно. Отрицание высказывания обозначается как символ с чертой

 (например, ).

Операция отрицания высказываний « – не ».

Таблица 3

Пример: запишем в символьной форме расположение точек относительно прямой и проведем относительно двух полученных высказываний операцию отрицания.

§5. Импликация.

Импликация двух высказываний «если , то ».

        Таблица  4

Пример 1: установите истинность данных утверждений.

Если ∠AOC > 90°, то ∠COB < 90.

Если ∠AOC > 90°, то ∠COB > 90°.

Если ∠AOC > 90°, то ∠COB < 90° - истина.

Если ∠AOC > 90°, то ∠COB > 90° - ложь.

§6. Эквивалентность.

Эквивалентность  двух высказываний  и .

Таблица  5

Пример:

X: AB = AC.

: AB ≠ AC.

B: △ABC – равнобедренный.

 эквивалентны, что видно таблицы.

§7. Алфавит ЛВ. Формулы ЛВ. Атомарная формула.

Алфавитом называется произвольное множество символов. Произвольная  конечная последовательность символов алфавита (возможно, пустая) называется словом этого алфавита.

Алфавит логики высказываний есть следующее множество символов:

Символы  с индексом или без индексов называются высказывательными переменными.

Формулой ЛВ называется слово алфавита ЛВ,  полученное применением следующих правил:

1. Атомарная формула логики высказываний является формулой логики высказываний;
2. Если X, Y – формулы, то X⋀Y, X⋁Y, X→Y, ¬X – формулы ЛВ.

Атомарной формулой ЛВ называется  однобуквенное слово, являющееся высказывательной  переменной.

Примеры:

1. Слово((X → Y) → (X ∧ ¬Y))  является формулой ЛВ. Вот

последовательность его построения:  – формулы ЛВ;

 (X → Y), (X ∧ ¬Y) – формулы ЛВ; ((X → Y) → (X ∧ ¬Y)) – формула ЛВ.

2. ¬X ∨ Y) ∧ (X → Y) → Y) не является формулой ЛВ, так как нет

левой открывающей скобки, правой закрывающей скобки и открывающей скобки после знака ⋀.

3. Внешнюю пару скобок в формулах ЛВ принято опускать. Вместо

((X → Y) ⋁ Z) будем писать (X → Y) ⋁ Z.

Для каждой формулы может быть построена соответствующая ей таблица истинности, куда заносятся, так называемые, оценки переменных «истина» и «ложь». Формулы называются равносильными, если при любых оценках переменных истинностные значения этих формул совпадают.

Если существует интерпретация, для которой все формулы являются истинными, то формула ЛВ выполнима.

Напримерб если ФС // ВАб то ∠ФИП = ∠РУА         и ∠ВУР = ∠ПИСю

X: AC || DF;

Y: ∠ABG = ∠HEF;

Z: ∠DEH = ∠GBC.

F = X → (Y ⋀ Z).

Составим таблицу истинности:

Так как существует интерпретация, для которой все формулы являются истинными, то данная формула ЛВ выполнима.

Глава 2.

§1. Предложения, зависящие от переменной.

Изучая математику, мы постоянно имеем дело с предложениями (утверждениями), зависящими от переменных. Такие предложения обозначают через  и т.д. Для каждого предложения указывается, на каком множестве оно определено или задано.

Рассмотрим предложение . Зафиксируем , то есть выберем какое-то одно значение . Наше исходное предложение с учетом  будет выглядеть так: . Множество , на котором задано предложение , можно разбить на два подмножества:

1. первое из них обозначим , оно содержит те, и только те элементы , для которых  истинно;
2. второе из них обозначим , оно содержит те, и только те элементы , для которых  ложно;  является дополнением множества  до множества .

Например, для предложения , множеством истинности   является интервал (-2; 2), множеством  – объединение промежутков (-∞;-2] ∪ [2;+∞).

Два предложения  и , заданные на одном и том же множестве, называются равносильными, если их множества истинности совпадают.[1, стр.38] Например, предложения , и

x ∈ R, являются равносильными, так как  множеством истинности каждого из них является интервал .

К предложениям, зависящим от переменных возможно применение всех логических операций.

Отрицанием предложения , называется предложение , определенное на том же множестве  и обращающееся в истинное высказывание для тех и только тех элементов множества , для которых  – ложное высказывание. Из определения следует, что если   - множество истинности предложения ,то множеством истинности отрицания  является дополнение  до множества . [7, стр.39]

Изобразим схематически множества .

Рассмотрим логические операции умножения, сложении и импликации для предложений , заданных на одном и том же множестве .

• Сумма  является истинным высказыванием для тех и только для тех элементов  множества , для которых, по крайней мере, одно из слагаемых обращается в истинное высказывание. На рисунке два круга схематически изображают множества истинности  и  соответственно для  и . Множеством истинности суммы  будет являться объединение  множеств  и . На рисунке это заштрихованная область. Составим для суммы  таблицу истинности, она полностью аналогична таблице дизъюнкций алгебры логики высказываний (см. Табл. 2):

• Произведение  является истинным высказыванием для тех и только для тех элементов  множества , для которых оба сомножителя  обращаются в истинные высказывания.

Множеством истинности произведения  будет являться пересечение  множеств  и . На рисунке это заштрихованная область.

Составим для произведения A(x)B(x) таблицу истинности, она идентична таблице конъюнкций алгебры логики высказываний (см. Табл. 1):

• Импликация  является истинным высказыванием для тех и только для тех элементов  множества , для которых посылка  истинна, а заключение  – ложно.

Множеством истинности импликации   будет являться заштрихованная область на рисунке.

Составим для импликации  таблицу истинности:

Рассмотрим пример.

Пусть A(x)≡{данная фигура – четырехугольник}

и B(x) ≡ {в данной фигуре противоположные стороны попарно параллельны}. В чем заключается предложения A(x)B(x)? Каково его множество истинности?

Предложение A(x)B(x) заключается в том, что верно, по крайней мере, одно из двух утверждений верно: «данная фигура – четырехугольник» и «в данной фигуре противоположные стороны попарно параллельны». Множеством истинности будет являться «параллелограмм», как мы знаем, определение параллелограмма звучит следующим образом: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

§2. Взаимно обратные и теоремы.

В курсе математики большинство теорем формулируются следующим образом: для любого элемента  множества  из предложения A(x) следует предложение B(x). [7, стр.42]

Рассмотрим теорему:

1. Площадь параллелограмма  равна произведению его основания на высоту.

Такую теорему можно представить следующим образом:

 (∀x)  A(x)⇒B(x), x∈M.

A(x) = {четырехугольник х является параллелограммом},

В(х) = {площадь параллелограмма х равна произведению его основания на высоту},

M – множество всех четырехугольников.

То есть наша теорема звучит следующим образом: если четырехугольник является параллелограммом, то его площадь равна произведению его основания на высоту.

Рассмотрим следующие теоремы.

1. Если четырехугольник является прямоугольником, то его площадь равна произведению его смежных сторон.
2. Если четырехугольник является квадратом, то его площадь равна квадрату его стороны.

Каждая из теорем является высказыванием вида

, а значит, все три рассмотренные нами теоремы имеют одинаковое строение. Рассмотрим каждую теорему подробнее. В первой теореме рассматривается множество  всех четырехугольников  и на этом множестве два предложения:

A(q) = {четырехугольник q – прямоугольник},

B(q) = {площадь прямоугольника q равна произведению его смежных сторон}.

Теорема утверждает, что для любого четырехугольника верно следующее: если четырехугольник является прямоугольником, то его площадь равна произведению его смежных сторон. Таким образом, эта теорема понимается как высказывание . (В геометрии доказывается, что эта теорема верна).

Во второй теореме рассматривается множество  всех квадратов  и на этом множестве два предложения:

A(k) = {четырехугольник  k – квадрат},

B(k) = {площадь квадрата k равна квадрату его стороны}.

Теорема утверждает, что для любого четырехугольника верно следующее: если четырехугольник является квадратом, то его площадь равна квадрату его стороны. Таким образом, эта теорема понимается как высказывание . (В геометрии доказывается, что эта теорема верна).

Рассмотрим еще одну теорему:

1. Пусть  – множество всех параллелограммов, и пусть

A(p) = {параллелограмм p- квадрат},

B(p) = {площадь квадрата  p равна квадрату его стороны}.

Тогда . То есть для любого параллелограмма верно следующее: если параллелограмм – квадрат, то его площадь равна квадрату его стороны.

Теорема 3 не тождественна теореме 2,  - это 2 различные теоремы, так как предложения  заданы в первом случае на множестве всех квадратов , а во втором – на множестве всех параллелограммов , то есть:

теорема 2 имеет вид:;

теорема 3:.

Общий вид рассматриваемых нами теорем:

прямая теорема: ;

обратная теорема: ;

противоположная обратной: ;

Четкое и однозначное выделение в каждой теореме условия и заключения позволяет однозначно определять понятия обратной и противоположной теорем.

Теоремы и

 называются взаимно обратными. [7, стр. 44]

Одну из этих теорем называют прямой, а другую соответственно обратной. Любую из взаимно обратных теорем можно принять за прямую. Таким образом, поменяв местами в данной теореме условие и заключение местами, получим формулировку теоремы, обратную данной. Для пары взаимно обратных теорем существует три варианта:

1. Обе теоремы верны.
2. Одна из теорем верна.
3. Обе теоремы неверны.

Примером первого случая может служить следующее: пусть  – множество всех выпуклых многоугольников, и пусть

A€ = {многоугольник p лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его  соседние вершины},

B€ = {многоугольник p-выпуклый}.

Тогда . То есть для любого многоугольника верно следующее: если многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины, то такой многоугольник выпуклый.

Сформулируем теорему, обратную данной: , она звучит так: если многоугольник выпуклый, то он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Обе теоремы верны: и прямая, и обратная.

Для второго случая:

Пусть  – множество всех многоугольников, и пусть

A(m1,m2,…,mn ) = {многоугольники m1,m2,…,mn равны},

B(m1,m2,…,mn)  =  {многоугольники m1,m2,…,mn имеют  равные площади}.

Тогда . То есть для любых многоугольников верно следующее: если многоугольники равны, то они имеют равные площади.

Сформулируем теорему, обратную данной:  она звучит так: если многоугольники имеют равные площади, то они равны. Обратная теорема неверна.

Для третьего случая: (поменяем условие в теореме о вписанном в окружность угле): пусть  – множество всех углов, и пусть

A€ = {вершина угла e лежит на окружности, а его стороны не пересекают окружность}, B€ = {угол e вписанный}. Тогда . То есть для любого угла верно следующее: если вершина угла лежит на окружности, его стороны не пересекают окружность, то такой угол вписанный, что вообще говоря, неверно, потому как теорема о вписанном угле, которая звучит так: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Сформулируем теорему, обратную данной: . Она звучит так: если угол вписанный, вершина угла лежит на окружности, его стороны не пересекают окружность. Обратная теорема также неверна.

§3. Необходимые и достаточные условия.

Если теорема  верна, то предложение   называется достаточным условием для , а предложение  – необходимым условием для . [7,стр.45]

Рассмотрим следующую теорему: ,

H – множество всех параллелограммов,

A(h) = {в параллелограмме h все углы прямые},

B(h) = {параллелограмм h является прямоугольником}.

Эта теорема верна, и, следовательно,   является достаточным условием для то есть, для того, чтобы параллелограмм  являлся прямоугольником, достаточно, чтобы в этом параллелограмме  все углы были прямые. Предложение  является необходимым условием для то есть для того чтобы в параллелограмме  все углы были прямые, необходимо, чтобы параллелограмм  являлся прямоугольником.

Если справедлива не только прямая теорема , но и ей обратная , то  является необходимым и достаточным условием для , а  является необходимым и достаточным условием для .

В тех случаях, когда в теореме содержатся слова «необходимо и достаточно», доказательство обязательно должно состоять из доказательства необходимости и из доказательства достаточности. В такой формулировке объединены формулировки двух теорем: прямой и обратной. Каждая нуждается в доказательстве, так как из справедливости одной не следует справедливость другой. Иногда вместо слов «необходимо и достаточно» употребляют слова «тогда и только тогда», « в том и только том случае» и т.д.

§4. Взаимно противоположные теоремы.

Теоремы  и  называются взаимно противоположными. [7, стр. 46]

Если в формулировке теоремы заменить условие и заключение их отрицаниями, то получится формулировка теоремы, противоположная данной.

Всякая теорема  порождает еще три теоремы:

1. обратную ;
2. противоположную ;
3. противоположную обратной .

Рассмотрим теорему Пифагора:

1. Исходная теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема верна).
2. Обратная теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный (теорема верна).
3. Противоположная теорема: если треугольник непрямоугольный, то квадрат одной стороны треугольника не равен сумме квадратов двух других сторон (теорема верна).

Глава 3.

§1. Понятие. Классификация понятий.

Понятие – это мысль, в которой обобщаются и выделяются предметы по их более или менее существенным признакам. [3, стр.4]

Понятие = имя.

У понятия есть две характеристики:

1. Объём (все обобщаемые предметы).
2. Содержание (признаки, по которым предметы обобщаются).

Понятие задаётся следующим образом: указываются общие и отличительные признаки.

Признак – это то, чем предметы могут быть схожи друг с другом или отличаться друг от друга.

Наличие – положительный признак, отсутствие – отрицательный признак.

Классификация признаков:[3, стр.5]

Рисунок 11

Рисунок 12

Необходимые – те признаки, без которых предмет перестанет быть самим собой.

Основные – те признаки, которые обуславливают все остальные необходимые признаки.

Производные – признаки, обуславливаемые необходимыми признаками.

Собственные – те признаки, которые присущи данному рассматриваемому классу.

Несобственные – признаки, которые присущи не только рассматриваемому классу, но и другим классам тоже.

Случайные – те признаки, без которых предмет может обойтись, оставаясь самим собой.

Неотделимые – признаки, присущие всем предметам рассматриваемого класса.

Отделимые – признаки, присущие лишь некоторым предметам рассматриваемого класса.

Пример 1. Охарактеризуйте перечисленные после двоеточия признаки предмета, мыслимых в приведенных ниже понятиях.

Квадрат: четырехугольник, равнодиагональный, диагонали взаимно перпендикулярны, равноугольный, сторона равна 20 см, диагонали в точке пересечения делятся пополам. [3, стр.6, упр.1 (а)].

Вспомним определение квадрата: квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Что такое прямоугольник? Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Что такое параллелограмм? Параллелограммом называется четырехугольник, у которого все стороны попарно параллельны. Таким образом, квадратом называется четырехугольник, у которого все  стороны попарно параллельны, все углы прямые и все стороны равны. Теперь, руководствуясь таблицей классификации признаков, указанной выше, охарактеризуем каждое из данных нам понятий:

• четырехугольник: необходимый, основной;
• равнодиагональный: необходимый, производный, несобственный (прямоугольник  также обладает этим признаком);
• равносторонний: необходимый, производный, несобственный (ромб также обладает этим признаком);
• диагонали взаимно перпендикулярны: необходимый, производный, несобственный (ромб также обладает этим признаком);
• равноугольный: необходимый, производный, несобственный (прямоугольник  также обладает этим признаком);
• сторона равна 20 см: случайный, отделимый;
• диагонали в точке пересечения делятся пополам: необходимый, производный, несобственный (ромб также обладает этим признаком).

Содержание -  совокупность общих и отделимых признаков данного понятия.

Элемент объема – это отдельный предмет, обладающий всеми признаками, включенными в содержание.

Части объема – это такие совокупности элементов объема, которые обладают каким-то особым признаком, отличающим их от остальных элементов.

Часть можно выделить в каждом объеме, содержащем более одного элемента. [3, стр.6]

Пример 2. Назовите некоторые части объемов следующего понятия: четырехугольник.

В объем понятия «четырехугольник» входят: параллелограмм, ромб, трапеция.

Добавление к содержанию понятия нового признака, присущего лишь некоторым обобщенным в понятии предметам, выделяет часть объема. Если же добавляемый признак присущ всем элементам объема, то он не выделяет часть объема.[3, стр.6]

§2. Ограничение и обобщение понятий.

Переход от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом называется ограничением понятия. [3, стр.10]

Объемы сравнимы только тогда, когда один из них целиком входит в другой, то есть объем понятия  целиком входит в объем понятия  в том и только том случае, если каждый элемент  является элементом .

Ограничение производится путем изменений, вносимых в содержание. Добавление к содержанию признака, присущего некоторым, определяемым данным понятиям, предметам, выделяет в объеме часть и ведет к уменьшению объема.

К уменьшению объема ведет любое увеличение содержания, что отражается в так называемом законе обратного отношения: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем.[3, стр.10]

Кроме добавления информативно непустого признака, ограничить понятия можно уточнив его путем исключения информативно непустого признака, стоящего через союз «или». [3, стр. 10]

Пример 1. Ограничить понятие путем исключения информативно непустого признака, стоящего через союз «или».

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны или углы попарно равны. Исключаем часть выражения «углы попарно равны», стоящую через союз или, она является информативно непустым признаком, получаем: четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Мы знаем, что полученная формулировка точно совпадает с определением параллелограмма. Таким образом, мы ограничили исходное понятие до более точного понятия «параллелограмм».

Уточнение содержания может быть произведено путем замены менее определенного признака более определенным.

Произведем уточнение понятия «выпуклый многоугольник» до понятия «четырехугольник». Выпуклый многоугольник (n-угольник) – это геометрическая фигура, составленная из отрезков таких, что смежные не лежат на одной прямой, а несмежные не имеют общих точек, при этом фигура лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Четырехугольник – это геометрическая фигура, составленная из четырех отрезков, что смежные не лежат на одной прямой, а несмежные не имеют общих точек, при этом фигура лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. При ограничении объем получившегося понятия полностью входит в объем исходного, что обычно изображают кругами Эйлера:

Данная схема (Рис. 9) читается так: всякий ромб является параллелограммом, но не наоборот.

Указать часть можно лишь в объеме, содержащем более одного предмета.

Понятия с объемом, содержащим только один предмет (единичные понятия), ограничить нельзя.

[3, стр.11]

Если ограничение понятия многоступенчато, то она продолжается до тех пор, пока не дойдет до единичного понятия (понятия с единичным объемом). Таким образом, единичное понятие является пределом ограничения.

Отношение объемов понятий при многоступенчатом ограничении изображается схематически в виде концентрических кругов. [3, стр.11]

Например,  «многоугольник» - «четырехугольник» - «параллелограмм» - «прямоугольник» - «квадрат». Изобразим данное многоступенчатое ограничение в концентрических кругов.

Читается данная схема следующим образом:

• всякий квадрат есть прямоугольник, но не наоборот;
• всякий прямоугольник есть параллелограмм, но не наоборот;
• всякий параллелограмм есть четырехугольник, но не наоборот;
• всякий четырехугольник есть многоугольник, но не наоборот.

Если совершается переход от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом, это называется обобщением понятия.

Существует 4 способа обобщения:

• отбрасывание информативно непустого признака, включенного в содержание посредством «и»;
• присоединением такого признака через «или»;
• заменой в признаке единичного имени на общее имя со словом «некоторые»;
• заменой слова «все» в таком признаке на слово «некоторые».

[3, стр. 11-12]

Пределом обобщения являются категории – наиболее общие понятия.

[3, стр. 11-12]

Пример 2. Исключите только одно понятие из ряда так, чтобы оставшиеся можно было бы включить в один общий род, укажите этот род.

[3, стр. 13, упр. 3]

Прямоугольник, окружность, треугольник, куб, трапеция.

Если исключить понятие «куб»,  то останутся плоские геометрические фигуры: прямоугольник, окружность, треугольник, трапеция. Если же исключить понятие «окружность, то останутся геометрические фигуры, ограниченные прямыми: прямоугольник, треугольник, куб, трапеция.

§3. Деление объема понятия.

Деление объема понятия – это систематическое перечисление всех непересекающихся частей объема по какому-то одному основанию.

[3, стр. 17]

Непересекающиеся части могут получиться только, если каждый элемент объема входит только в одну часть.

Основанием деления объема может быть любой признак, который видоизменился, то есть имеет различные модификации в разных частях объема или, по крайней мере, имеется только у части элементов объема. [3, стр. 17]

В соответствии с задачами операции деления формулируют четыре требования к правильному делению:

• деление должно производиться по одному основанию;
• члены деления (части, на которые делится объем) не должны пересекаться;
• деление должно быть соразмерным, то есть сумма членов деления должна быть равна делимому объему;
• деление должно быть последовательным, иными словами, ни один член деления не может входить в другой, и все они находятся на одном уровне.[3,стр. 17]

В тех случая, когда невозможно осуществить деление по видоизменению признака, можно ограничиться  так называемым дихотомическим делением. «Дихотомия» в переводе с греческого означает «деление надвое». Осуществляется такое деление следующим образом: указывается какая-либо часть объема, а все остальное содержится в объеме противоречащего понятия.

При дихотомическом делении во второй части, начинающейся с «не», содержатся все разновидности по видоизменению признака, по которому выделена первая часть, и тем самым обеспечивается полнота деления.

[3, стр. 17]

Пример: «Квадраты» и «не квадраты».  В понятие «квадраты» входят только те прямоугольники, у которых все стороны равны, а в понятие «не квадраты» входят все остальные четырехугольники.

При делении делится не предмет, а объем понятия, должны быть перечислены разновидности обобщенных в понятии предметов, а не части предмета. Ошибки разделения предмета на части можно избежать, если не употреблять при осуществлении деления выражений  «делятся на», «состоят из», следует употреблять глагол «бывают».

§4. Отношение между понятиями.

Отношения устанавливают только между сравнимыми понятиями.

Понятия называют сравнимыми, если их можно отнести к общему классу, или – более точно – если они имеют общий ближайший род. [3, стр. 21]

В противном случае понятия называются несравнимыми.

Пример 1. Сравнимы ли понятия трапеция и прямоугольный треугольник?

Трапеция относится к роду четырехугольников, а прямоугольный треугольник соответственно к роду треугольников,  данные понятия относятся к разным родам, значит сравнить их нельзя.

Понятия совместимы, если у них есть общие элементы объемов, причем могут быть три варианта совместимости [3, стр. 22]:

1.

        Рисунок 16

Все элементы первого объема являются элементами второго и наоборот – все элементы второго суть элементы первого (отношение эквивалентности);

2.

        Рисунок 17

все элементы одного объема суть  элементы другого объемы, но обратное неверно (отношение подчинения А к В);

3.

        Рисунок 18

некоторые (но не все) элементы одного объема являются элементами другого объема, то есть у двух объемов есть элементы общие (совпадающие) и несовпадающие (отношение перекрещивания).

[3, стр. 22]

Этими определениями нужно руководствоваться при установлении отношений совместимости.

Пример 2. Понятия «параллелограмм» и «квадрат».

1. Прежде чем говорить о равнозначности этих понятии, проверим себя двумя утверждениями: « всякий параллелограмм – квадрат» и « всякий квадрат – параллелограмм». Если они оба истинны, то эти понятия действительно, эквивалентны. Но мы знаем, что « всякий параллелограмм – квадрат» является ложным утверждением, значит наши понятия неравнозначны.

2. Подчинение двух понятий проверяется составлением двух таких утверждений: « всякий квадрат – параллелограмм», но «не всякий параллелограмм – квадрат».  Значит «параллелограмм» - более широкое, подчиняющее понятие, а «квадрат» меньшее по объему, оно подчиненное.

3. Перекрещивание имеет место только тогда, когда верны таки утверждения:  «только некоторые параллелограммы – квадраты» и «только некоторые квадраты – параллелограммы». Таким образом «параллелограмм» и «квадрат» не являются перекрещивающимися понятиями.

Аналогичным образом устанавливаются отношения несовместимости, при которых объемы  понятий не имеют общих элементов, иначе говоря, А и В несовместимы, если ни один элемент А не является элементом В и наоборот.[3, стр.22]

При несовместимости также могут быть три варианта:

                        Рисунок 19

2. Несовместимые понятия в сумме исчерпывают весь родовой объем (противоречие) В = не А;
3. 

                        Рисунок 20

4. они не исчерпывают весь родовой объем и находятся  на разных полюсах (противоположность);
5. 

                        Рисунок 21

6. не исчерпывая всего объема, они являются двумя разновидностями в пределах одного класса (соподчинение).

При практическом определении отношений обычно устанавливают просто несовместимость, например, понятия «квадрат» и «круг» несовместимы, потому что ни один квадрат не является кругом и наоборот. Различать противоречие, противоположность и соподчинение можно только содержательно. 

§5. Операции с объемами понятий.

Оперирование с понятиями предполагает умение образовывать сложные понятия из более простых, иначе говоря, представлять объемы понятий по сложно заданной совокупности признаков. Для этого нужно знать смысл основных операций с классами или подмножествами: объединение, пересечение, вычитание множеств и образование дополнения к множеству.

Операция объединения двух множеств А и В (А  В) состоит в образовании класса, включающего все элементы А и все элементы В.

Графически объединение классов отражается следующими схемами ( в зависимости от фактического отношения объединяемых множеств). Результат операции на всех схемах показан штриховкой:

 А  В

        Рисунок 22

 А  В

        Рисунок 23

 А  В

Рисунок 24

 А  В

Рисунок 25

Операция пересечения двух множеств А и В (А  В) состоит в создании класса, включающего все те и только те элементы, которые входят в А и В одновременно.

Графически пересечение классов изображается следующим образом:

 А  В

Рисунок 26

 А  В

Рисунок 27

 А  В

Рисунок 28

 А  В

Рисунок 29

Операция вычитания класса В из А (А\В) дает класс, состоящий из всех тех и только тех элементов А, которые не являются элементами В.

Графически вычитание классов изображается следующим образом:

 А\В

Рисунок 30

 А\В

Рисунок 31

 А\В

Рисунок 32

 В\А

Рисунок 33

 А\В

Рисунок 34

Операцией дополнения множества А (А’) является множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые не входят в А, иначе говоря, дополнение к А получается, когда из универсального класса (U)вычитают класс A (U\A).

Графически дополнение к классу изображается следующим образом:

Находят сложные классы, или объемы понятий со сложно заданными содержаниями, на графических схемах, называемых диаграммами Венна. Диаграмма Венна представляет собой прямоугольник, символизирующий универсальный класс, он разбивается горизонтальными и вертикальными линиями на класс и дополнение к нему по каждому классу, над которыми производятся операции.

Пример. Для нахождения класса ((A B)C’) универсальный класс сначала разбивается на А и А’:

Схема 1

Затем универсальное множество разбиваем еще и на В и В’:

Схема 2

При предположении, что классы А и В независимые друг от друга, то есть, что существуют элементы, общие для А и В (1), существуют элементы В, которые не входят в А (2), также существуют и такие, которые не входят в В, но входят в А (3), и существуют элементы,  не входящие нив А ни в В(4). Далее разбиваем универсальный класс на класс C и C’, также при предположении независимости С от А и В:

Схема 3

Нахождение сложного класса начинается на полностью расчерченной диаграмме (схема 3).В нашем примере ((A B)C’) нужно осуществить две операции: (1) объединение А и В, (2) пересечение полученного результата с С’. Результат первой операции представлен на следующей схеме 4, результат второй – на схеме 5.

Схема 4                             Схема 5

Для нахождения объемов понятий со сложно заданным содержанием необходимо сначала сопоставить каждому признаку выделяемый им класс предметов, заменить конъюнкцию признаков на пересечение соответствующих классов, дизъюнкцию признаков – на объединение классов, а отрицательные признаки представить как дополнение к соответствующему классу.

Список литературы.

1. Гохман А.В. Сборник задач по математической логике и алгебре множеств. – 1969г., 91 с.
2. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. – М.: 1961г.,  68 с.
3. Кузина Е. Б. Практическая логика. – М.: 1996г., 160с.
4. Куликов Л. Я., Москаленко А. И., Фомин А. А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993г., 288с.
5. Столяр А. А. Логическое введение в математику. – Минск: 1971г., 224с.
6. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. – Минск: 1965г., 255с.
7. Фетисов Ф. И. О доказательствах в геометрии. – М.: 1954г., 60 с.
8. Яковлев Г. Н. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: 1981г., 608 с.

Упражнения.

Упражнение 1. установите истинность утверждений.

        Рисунок 36

Если OC - биссектриса ∠AOB, то ∠AOC = ∠COB - истина.

Если OC - биссектриса ∠AOB, то ∠AOC > ∠COB - ложь.

2. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

⃒AC⃒>0 и ⃒BD ⃒>0;

⃒AC⃒>0 и⃒BD⃒<0.

            Рисунок 37

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний:

X = (| AC⃒>0), истина;

Y = (| BD⃒>0), истина;

Z = (| BD⃒<0), ложь.

Запишем исходные два высказывания, используя новые обозначения, получим следующее: .

X⋀Y = И⋀И = И;

X⋁Z = И⋀Л = Л.

3. AD = BC и AD ≠ AB; DC = BC и AD = AB.

                Рисунок 38

4. AO = OB и AB = 2OC; AO = OC и AB = OB.

            Рисунок 39

5. ∠ABC = ∠DBE  и ∠CBA ≠ ∠ABE;

∠ABC = ∠DBE  и ∠CBA = ∠ABE.

              Рисунок 40

6. AB = DC или AD = BC;

AB = DC или DС = BC;

AB = BC или BD = BC.

                Рисунок 41

7. ∠APC = ∠QPD или ∠BQF = ∠PQE;

∠APQ = ∠BQF или ∠FQE = ∠CPD;

∠EQP = ∠APC или ∠DPQ ≠ ∠FQE.

                Рисунок 42

8. Если ∠CBA = ∠ABC,то △ABC – равнобедренный;

если ∠CBA = ∠ABC,то △ABC – прямоугольный.

              Рисунок 43

9. Если в прямоугольнике ABCD диагонали AC = BD, то ABCD – квадрат.

              Рисунок 44

Упражнение 2. Пусть p – высказывание «сегодня ясно», q – «сегодня идет дождь», r – «сегодня идет снег», s – «сегодня пасмурно». Переведите на обычный язык следующие предложения: [4, упр.1.1.2., стр.5]

1. p → ¬(q ⋁ r).

«⋁» ≡ «или» (дизъюнкция),

q ⋁ r ≡  {сегодня идет дождь или снег},

«¬»≡  «не» (отрицание),

¬(q ⋁ r) ≡ {сегодня не идет дождь или снег},

«→»≡ «если, то» (импликация),

p → ¬(q ⋁ r) ≡ {если сегодня ясно, то не идет дождь или не идет снег}.

2. s → ¬p .
3. s ⋀ (r ⋁ q).
4. (s ↔ q) ⋁ p .
5. s ↔ (q ⋀ ¬r).
6. (s ↔ q) ⋀ ¬r.

Упражнение 3. Заполните таблицы истинности для каждой из формул логики высказываний. [4, упр.1.1.6., стр.6]

1. (p ⋁ q) ⋀ ((p → q) → r) ≡ F
2. ((p ⋁ q) → ¬r) → p ≡ F.
3. (p→ q) ⋀ ¬p → ¬q = F.
4. ¬p ⋀ q → p ⋁ q = F.
5. (p → q) ⋀ (r → q) → (p ⋁ r → q) = F.

6. (p → q) ⋀ (p→ r) → (p → q ⋀ r) = F.
7. p ⋁ q → (p → r ⋀ q) = F.
8. p → ¬(q ⋀ r)  = F.
9. r → (r → q) = F.

Упражнение 4. Докажите эквивалентность формул.

[4, упр. 1.1.12., стр. 7]

1. p ⋁ q ≡ ¬p → q.

2. p ⋀ q ≡ ¬(p → ¬q).
3. p ↔ q ≡ (p→ q) ⋀ (q → p).
4. ¬(p ⋀ q) ≡ ¬p ⋁ ¬q.
5. p ↔ q ≡ (¬p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ ¬q).
6. (p ⋀ q) → r ≡ p → (q → r).
7. (p ⋁ q) ⋀ ( p ⋁ ¬q) ≡ p.

Упражнение 5. Примем следующие обозначения для предикатов:

P(x) – «х – простое число»,

E(x) – «х – четное число»,

D(x, y) – «у делится на х»,

I(x, y) – «х равно у». [4, упр.1.1.26., стр. 10 ]

Переведите на обычный язык:

1. P(7) ≡ { 7 – простое число }.
2. E(2)  ⋀ P(2).
3. (х) (D(2, х) → E(х)).
4. (x) (E(x) ⋀ D(6, x)).
5. (х) (¬Е(х) → D(2, x)).
6. (х) (Р(х) → (у) (Е(у) ⋀ D(x,y))) ≡ {для любого х верно, что если х – простое число, то существует такое у, что у - четное число и делится на х}.
7. (х) (E(x) ⋀ P(x) ⋀ (у) (Е(у) ⋀ P(у) → I(x, y))).
8. (х) (у) (P(у) ⋀ D(x, у) → I(x, y) ⋁ I(x, 1)).
9. (х) (¬I(1, х) → (у) (P(у) ⋀ D(у, х))).

Упражнение 6. Для каждого из следующих утверждений о натуральных числах дайте три разные формулировки, используя слова «достаточно», «необходимо», только тогда, когда». [4, упр.1.2.1., стр. 13]

1. Если a делится на 24, то а делится на 2 и на 3;

Если а  24, то а  2 и а  3.

• Чтобы а  2 и а  3, достаточно, чтобы а  24.

Например, 24, 48, 72, то есть любое число кратное 24 делится на 2 и на 3.

• Чтобы а  24, необходимо чтобы а  2 и а  3.

а = 6, 12, 18,… делятся на 2 и на 3, но этого не достаточно, чтобы а  24.

• а  24 только тогда, когда а  2 и а  3.

а = 6, 12, 18 делятся на 2 и на 3, но не делятся на 24;

а = 26 делится на 2, но не делится на 24;

а = 48 делится на 2 и на 3, а значит а делится и на 24.

2. Если а делится на 20 и на 30, то а делится на 60.
3. Если произведение двух чисел делится на простое число p, то хотя бы один из сомножителей делится на р.
4. Если а делится на два различных простых числа, то а делится и на их произведение.
5. Если два числа делятся друг на друга, то они равны.
6. Если а делится на b, то НОД а и b равен b.
7. Если а имеет ровно два различных делителя не равных между собой.

Упражнение 7. Для каждого из следующих утверждений сформулируйте обратное, противоположное, противоположное к обратному утверждения.

[4, упр.1.2.3., стр. 14]

• Прямое утверждение: (x) A(x) → B(x), x  M.
• Обратное утверждение: (x) B(x) → A(x), x  M.
• Противоположное к прямому утверждение:

(x)  → , x  M.

• Противоположное к обратному утверждение:

(x)  → ,  x  M.

1. Квадратное уравнение (ax2 + bx + c = 0) имеет корни только в том случае, когда его дискриминант (D) неотрицателен/

• Если D ≥ 0, то ax2 + bx + c = 0 имеет корни.
• Если ax2 + bx + c = 0 имеет корни, то D ≥ 0.
• Если D < 0, то ax2 + bx + c = 0 корней не имеет.
• Если ax2 + bx + c = 0 корней не имеет, то D < 0.

2. Если дискриминант (D) квадратного трехчлена (ax2 + bx + c) равен нулю, то его корни совпадают.
3. Сумма корней квадратного трехчлена (х1 + х1)  x2 + px + q равна –p,  а произведение корней (х1 * х2) равно q.
4. Целый корень квадратного трехчлена x2 + px + q с целыми коэффициентами является делителем свободного члена q.
5. Квадратный трехчлен (ax2 + bx + c) с неотрицательным дискриминантом (D ≥ 0) можно разложить в произведение линейных множителей ((х – х1) * (х – х2)).

Упражнение 8. [2, пример 4, стр. 13] Приведите доказательство, не опирающееся на аксиому параллельности.

 Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство: Пусть дан произвольный треугольник △ABC,

                Рисунок 45

 разобьем его на два треугольника: возьмем произвольную точку D  AB, соединим точки C и D, получаем △ACD  и △BCD. Предположим, что сумма углов треугольника равна х, тогда

△ACD  :  1 + 2 + 6 = х    (1)

△BCD   :  4 + 3 + 5 = х   (2)

Но △ACD  и △BCD составляют △ABC, то есть общая сумма углов △ACD  и △BCD равна сумме углов △ABC.

Складываем почленно (1) и (2):

1 + 2 + 6 +  4 + 3 + 5 = х + х

1 + 2 + 3 +  4 + ( + ) = 2 х    (3)

Так как  и  - смежные, то ( + ) составляет развернцтый угол:   +  = 180°.   (4)

Рассмотрим △ABC: 1 + 2 + 3 +  4 = х.   (5)

Подставим (4), (5) в (3), получим:

х + 180° = 2х

х = 180°.

В самом начале доказательства мы предположили, что сумма углов любого треугольника равна х, так как мы привыкли, что сумма углов любого треугольника одинакова, но в условии задачи ничего об этом не сказано, мы же предположили, что она будет одна и та же для любого треугольника, что необоснованно, так как наше доказательство должно разбиваться на две части:

• доказать, что сумма углов для любого треугольника одна и та же;
• доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.

Переведем нашу задачу на язык математической логики.

Утверждение: сумма углов треугольника равна 180°.

Мы знаем, что в курсе математики большинство теорем формулируется следующим образом: «для любого элемента х множества М из предложения А(х) следует предложение В(х)».

(x) A(x) → B(x), x  M.

A(x) ≡ {многоугольник х является треугольником},

B(x) ≡ {сумма углов треугольника равна 180°},

М – множество всех многоугольников.

Если многоугольник является треугольником, то сумма его углов равна 180° - логическая операция импликация («если, то»). Зададим е таблицу истинности.

То есть в нашем случае: Х  ≡ A(x), У ≡ B(x). В ходе доказательства мы предполагали, что A(x) – истинно, но из истины может следовать как истина, так и ложь.

Таким образом, рассмотрим два случая:

1. A(x) = и, B(x) = и, тогда A(x)→ B(x) является истиной. В данном случае все очевидно.
2. A(x) = и, B(x) = л, тогда A(x)→ B(x) является ложью.

То есть мы утверждаем, что A(x) = и, но не можем однозначно определить будет ли A(x)→ B(x) являться истиной. То есть опираясь на то, что дано в данной задаче, нельзя  доказать истинность этого утверждения.

Упражнение 9. «Прямоугольник состоит из четырех сторон и четырех прямых углов».  Производится ли здесь операция деления понятия «прямоугольник»?

Упражнение 10. Определите, произведена ли операция деления объема понятия. [2, упр.1, стр. 18]

Четырехугольник: ромб, трапеция, прямоугольник, квадрат.

Операция деления понятия «четырехугольник» произведена, так как понятия «ромб», «трапеция», «прямоугольник», «квадрат» являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольник», то есть предметы, мыслимые в этих понятиях – разновидности прямоугольников, как это и должно быть при делении объема.

Упражнение 11. Нарушено ли в следующем делении правило соразмерности?

Четырехугольники: параллелограммы, трапеции, квадраты.

 Упражнение 12. Проверьте правильность деления, в случае неправильного попробуйте произвести деление правильно. [2, упр.6, стр.21]

Четырехугольник: трапеция, квадрат, ромб.

Упражнение 13. Определите, произведена ли операция ограничения понятия: «параллелограмм» - «ромб».

Операция ограничения произведена, так как параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, а ромб – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Таким образом, мы видим, что в данном случае был использован первым способ обобщения.

Упражнение 14.  Какие из перечисленных признаков следует включить в содержание соответствующих понятий и будет ли этих признаков достаточно для адекватного задания содержания?

Параллелограмм: четырехугольник, стороны попарно параллельны, попарно равны, углы попарно равны, неравные диагонали, диагонали в точке пересечения делятся пополам. [2, стр.8, упр. 2 (д)]

Упражнение 15. Укажите содержание следующего понятия: трапеция.

Приложение 3.

Указания и ответы.

Упражнение 1.

1. Если OC - биссектриса ∠AOB, то ∠AOC = ∠COB - истина.

Если OC - биссектриса ∠AOB, то ∠AOC > ∠COB - ложь.

3. AD = BC и AD ≠ AB;.

DC = BC и AD = AB.

                Рисунок 46

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний:

X = (AD = BC), истина;

Y = (AD ≠ AB), истина;

Z = (DC = BC), ложь.

W = (AD = AB), ложь.

Запишем исходные два высказывания, используя новые обозначения, получим следующее: X⋀Y,  X⋀Z.

X⋀Y = И⋀И = И; Z⋁W = Л⋀Л = Л.

4. AO = OB и AB = 2OC – истина.

AO = OC и AB = OB – ложь.

             Рисунок 47

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний:

X = (AO = OB  ), истина;

Y = (AB = 2OC), истина;

Z = (AO = OC ), истина.

W = (AB = OB ), ложь.

Запишем исходные два высказывания, используя новые обозначения, получим следующее: X⋀Y,  X⋀Z.

X⋀Y = И⋀И = И; Z⋁W = И⋀Л = Л.

5. ∠ABC = ∠DBE  и ∠CBA ≠ ∠ABE;

 ∠ABC = ∠DBE  и ∠CBA = ∠ABE.

               Рисунок 48

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний:

X = (∠ABC = ∠DBE), истина; Y = (CBA ≠ ∠ABE), истина;

Z = (CBA = ∠ABE), ложь.

Запишем исходные два высказывания, используя новые обозначения, получим следующее: X⋀Y, X⋀Z.

X⋀Y = И⋀И = И; X⋁Z = И⋀Л = Л.

6. AB = DC или AD = BC;

AB = DC или DС = BC;

AB = BC или BD = BC.

                     Рисунок 49

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний:

X = (AB = DC); истина;

Y = (AD = BC); истина;

Z = (DС = BC); ложь;

W = (AB = BC); ложь;

V = (BD = BC); ложь.

Запишем исходные высказывания, используя введенные обозначения:

X⋁Y = И⋁И = И;

X⋁Z = И⋁Л = И;

W⋁V = Л⋁Л = Л.

7. ∠APC = ∠QPD или ∠BQF = ∠PQE;

∠APQ = ∠BQF или ∠FQE = ∠CPD;

∠EQP = ∠APC или ∠DPQ ≠ ∠FQE.

                   Рисунок 50

Обозначим высказывания, используя рисунок, определим истинность элементарных высказываний:

X = (∠APC = ∠QPD ); истина;

Y = (∠BQF = ∠PQE); истина;

Z = (∠APQ = ∠BQF); истина;

W = (∠FQE = ∠CPD); ложь;

V = (∠EQP = ∠APC); ложь;

U = (∠DPQ ≠ ∠FQE); ложь;

Запишем исходные высказывания, используя введенные обозначения:

X⋁Y = И⋁И = И;

Z⋁W = И⋁Л = И;

V⋁U = Л⋁Л = Л.

8. Если ∠CBA = ∠ABC, то △ABC – равнобедренный; истина.

Если ∠CBA = ∠ABC, то △ABC – прямоугольный; ложь

.

               Рисунок 51

9. Если в прямоугольнике ABCD диагонали AC = BD, то ABCD – квадрат; истина.

                   Рисунок 52

Упражнение 2.

1. s → ¬p ≡ {если сегодня пасмурно, то сегодня не ясно}.
2. s ⋀ (r ⋁ q) ≡ {сегодня пасмурно и идет или снег, или дождь}.
3. s ↔ q) ⋁ p ≡ {если сегодня пасмурно, то идет дождь, или сегодня ясно}.
4. s ↔ (q ⋀ ¬r) ≡ {если сегодня пасмурно, то идет дождь и не идет снег}.
5. (s ↔ q) ⋀ ¬r ≡ {если сегодня пасмурно, то идет дождь и не идет снег}.

Упражнение 3. 

1. ((p ⋁ q) → ¬r) → p ≡ F.

5. (p → q) ⋀ (p→ r) → (p → q ⋀ r) = F.

6.  p ⋁ q → (p → r ⋀ q) = F.

Упражнение 4. 

6. (p ⋀ q) → r ≡ p → (q → r).

Упражнение 5. 

2. E(2)  ⋀ P(2) ≡ {2 –четное и простое число}.
3. (х) (D(2, х) → E(х)) ≡ {для любого х, если х делится на 2, то х – четное число}.
4. (x) (E(x) ⋀ D(6, x)) ≡ {существует такое число х, что оно четно и делится на 6}.
5. (х) (¬Е(х) → D(2, x)) ≡ {для любого х верно, что если х – нечетное число, то оно не делится на 2}.

7. (х) (E(x) ⋀ P(x) ⋀ (у) (Е(у) ⋀ P(у) → I(x, y))) ≡ {если существует х такое, что х – простое четное число и для любого у такого, что у – простое четное число, то х = у}.
8. (х) (у) (P(у) ⋀ D(x, у) → I(x, y) ⋁ I(x, 1)) ≡ {для любых х и у таких, что у – простое число и делится на х, то х = у или х = 1}.
9. (х) (¬I(1, х) → (у) (P(у) ⋀ D(у, х))) ≡ {для любого х, если х ≠ 1, то существует у такое, что у – простое число и х делится на у}.

Упражнение 12. Проверьте правильность деления, в случае неправильного попробуйте произвести деление правильно

Четырехугольник: трапеция, квадрат, ромб.

Деление неправильное: оно непоследовательно, так как если есть член деления «трапеция», мы знаем, что трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, то должна быть и «не трапеция», то есть такой четырехугольник, который является являющийся частью объема понятия «четырехугольник» и при этом противоречит понятию «трапеция», то есть параллелограмм – это первый уровень деления. Далее член деления «квадрат» предполагает такой член деления, как «параллелограмм», но это уже второй уровень деления. Вместе с тем данное деление неполное: перечислены не все виды четырехугольников, о чем уже говорилось выше. Правильное деление: четырехугольники бывают параллелограммы и трапеции.

Упражнение 13. Определите, произведена ли операция ограничения понятия: «параллелограмм» - «ромб».

Операция ограничения произведена, так как параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, а ромб – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Таким образом, мы видим, что в данном случае был использован первым способ обобщения.

Упражнение 14..  

Вспомним определение параллелограмма:  параллелограммом называется четырехугольник, у которого все стороны попарно параллельны. То есть, в содержание понятия «параллелограмм» из перечисленных признаков следует включить: четырехугольник; стороны попарно параллельны. Остальные признаки несущественны. Указанных признаков достаточно для адекватного раскрытия содержания.

Упражнение 15. 

Так как содержание – это совокупность общих и отделимых признаков данного понятия, то делаем вывод, что нам нужно все перечислить все признаки, задающие трапецию. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.