Урок "Равнобедренный треугольник и его свойства"
план-конспект урока по геометрии (7 класс) по теме

Здравствуйте, ребята! Сегодня у вас необычный урок. К вам в гости пожаловали царица наук Математика, герцогиня Теорема, баронесса Теорема. Они нам помогут сегодня узнать свойства равнобедренного треугольника.

Актуализация.

С вами хочет познакомиться царица наук Математика. Для начала она вам расскажет один интересный факт об известной фигуре. Итак, ребята посмотрите на рисунок.                                                                

-Какая фигура изображена на рисунке?                                  

-Треугольник.                                                                                       

-А что особенного у треугольника АВС?

- У треугольника АВС стороны АВ=ВС.

Так вот, ребята, треугольник, у которого две стороны

равны, называется равнобедренным. Стороны АВ и ВС

называются боковыми сторонами равнобедренного

треугольника, а не равная им сторона АС называется

основанием.

А теперь царица наук Математика предлагает вам выполнить следующие задания. Послушайте внимательно первое задание.

Ты на рисунок первый  посмотри,

 Там изображены фигуры три.

Среди браточков треугольников

 Ты равнобедренный найди.                                  

- Треугольник MNP

- А почему вы так решили, ответ вы дать не поспешили?

- Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. А на рисунке отмечено, что в треугольнике MNP сторона MN равна стороне NP.

-Как называются стороны MN и NP, если они равны?

- MN и NP боковые стороны равнобедренного треугольника MNP.

Теперь свое задание нам предлогает выполнить герцогиня Теорема. Послушайти внимательно как оно звучит:

А вот рисунок дан второй,

 В нем есть отрезок не простой.

 По треугольникам шагает,

 Название  свое меняет.        K

        C

                                   N

        D

                    M                E        A        B

                                   F        X        T

-Посмотрите внимательно на рисунок. Чем является AD  в треугольнике АВС?

-AD является высотой треугольника АВС т.к. это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника В, к прямой содержащей сторону АС.

- Чем является NF   в треугольнике  MNE?

-NF является медианой в треугольнике  MNE. Т.к. NF является отрезком, соединяющим вершину треугольника N  с серединой противоположной стороны МЕ.

- Чем является КР в треугольнике ХКТ?

- КР является биссектрисой треугольника ХКТ т.к. КР – отрезок биссектрисы угла ХКТ, соединяющий вершину треугольника К с противоположной стороной ХТ.  

Вы справились с заданием герцогини Теоремы, а теперь вас хочет испытать баронесса теорема. Вот в чем заключается ее испытание:

- А вот вам дан рисунок три,

  Внимательно ты посмотри,

  Там треугольники равны?

   И почему? Ты объясни.

        B        N

    А        С                 М                Р

- Т.к. АВ= MN, АС =MP,  угол А =  углу M . Значит, треугольник АВС равен треугольнику АВС по признаку: « Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равен двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.»

А теперь наши гости предлагают вам выполнить дополнительное задание.

 - Посмотрите на рис четыре, на нем отмечены угол 1 и угол 2, какие это углы?

        1        2

- Угол  1 и угол 2 называются смежными, т.к. у них одна сторона общая а две другие являются продолжением одна другой.

- Чему равна сумма смежных углов?

- Сумма смежных углов равна 180°.

Итак, ребята, мы повторили все то, что нам сегодня понадобиться на уроке для изучения свойств равнобедренного треугольника.

Введение нового.

Теперь к вам за помощью обращается Баронесса Теорема. Она предлагает нам свое утверждение, а нам нужно его доказать его. Вот как оно звучит:

« В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

-Рассмотрим  равнобедренный треугольник АВС у которого АВ=ВС.

Чем является ВС в треугольнике АВС?

        А

        В        С

- ВС является основанием треугольника АВС.

-Докажем что угол В равен углу С. Для этого проведем в треугольнике АВС  биссектрису угла ВАС.

Что значит, что ВD является биссектрисой угла ВАС?

- Т.к.  ВD биссектриса  угла ВАС то угол ВАD  равен углу  DАС.

- Отметим это. На какие две фигуры делит биссектриса ВD треугольник АВС?

-На два треугольника ВАD  и DАС.

- Теперь посмотрите на треугольники ВАD  и DАС. Что общего у этих двух треугольников?

- ВD- общая сторона.

 -А что вы можете сказать об угле первом и втором, о сторонах АВ и ВС?

- АВ = ВС и углы один и два равны.

- А, что из этого следует?

- Что треугольники ВАD  и DАС  равны по признаку «  Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равен двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.»

- А что следует из того, что эти треугольники равны?

- В равных треугольниках соответственные элементы равны.

- Что же нам надо было доказать?

- Что угол В равен углу С.

-Так равны ли угол В и угол С? И почему?

- Уго В равен углу С как соответственные элементы равных треугольников.

Итак, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Герцогиня Теорема предлогает доказать нам свое утверждение, которое звучит так: « В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой».

Обратимся снова к треугольнику АВС, в котором АD является биссектрисой. По доказанному ранее треугольник ВАD равен треугольнику САD.

- Какая сторона лежит против угла 1?

- Против угла один лежит сторона ВD.

-Какая сторона лежит против угла 2?

- Против угла два лежит сторона DC.

- А что мы знаем  о сторонах в равных треугольниках лежащих против равных углов?

- Против равных углов в равных треугольниках лежат равные стороны. Значит ВD = DC.

- Т.к. мы установили, что  ВD = DC, то чем является отрезок АD?

-Отрезок  АD является медианой треугольника АВС т.к. соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

-Что можно сказать об угле три и угле четыре?

-Угол три и угол четыре равны как соответственные элементы равных треугольников.

- Обратите внимание, как называются эти углы? 

-Эти углы являются смежными.

- Чему равна сумма смежных углов?

- Сумма смежных углов равна 180°. Т.е. сумма углов три и четыре равна 180°.

-А мы доказали, что это углы какие?

 - Угол три равен углу четыре.

-Какова градусная мера каждого из углов три и четыре, если они равны и их сумма равна 180°.

-Градусная мера каждого из них равна 90°.

- Т.к. градусная мера углов 3 и 4 равна 90° то чем является отрезок АD?

- Отрезок АD  является высотой треугольника АВС т.к. проведен из вершины А к противоположной стороне под углом 90°.

Итак, мы доказали, что  биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой.

Ребята, но справедливы и следующие утверждения:

1. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой и высотой.
2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и биссектрисой.

        В

     ( Первичное закрепление) 

-Теперь решим задачу.        

                                                                                                             A          10cm        C

                                                                            D

-Посмотрите внимательно на рисунок. Какой треугольник АВС?

-Треугольник АВС является равнобедренным т.к. АВ=ВС.

- Чему равен угол АВD?

     - Угол АВD равен 60°.

      -Чему равен отрезок АD?

      -  АD = 10см.

      - Чем является отрезок ВD?

     - Отрезок ВD является высотой.

      - А что мы знаем о высоте равнобедренного треугольника?

     - Высота проведенная, к основанию равнобедренного треугольника, является  биссектрисой и медианой.

    - Учитывая это условие чему равен угол АВС?

   - Угол АВС = 120° т.к. ВD- биссектриса угла АВС то угол АВС равен двум углам АВD.

    - Чему равна сторона АС?

    - Т.к.  ВD является медианой, значит, АС = 2АD= 20 см.

Запишите ответ.

        B

Задание №2.

        A        C

-Какой треугольник АВС?

-Треугольник АВС – равнобедренный т.к. АВ=ВС.

-Посмотрите на рисунок. Чему равен угол ВАС?

-Угол ВАС = 30°.

- К чему прилежат угол А и угол С?

-К стороне АС, которая является основанием треугольника АВС.

- Что нам известно об углах равнобедренного треугольника при основании?

- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

-Значит чему равен угол С?

- Угол С равен углу А и равен 30°.

ИТОГ УРОКА.Я думаю наши гости остались довольны вашей работой на уроке. Так с какими же свойствами равнобедренного треугольника вас познакомили наши гости?

- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

- Биссектриса проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и высотой.