Исследовательская работа: «Правильные многогранники в природе и их моделирование»
проект по геометрии (10 класс) на тему

Исследовательская работа

«Правильные многогранники в природе и их моделирование»                             

                                   Актуальность темы исследования.

    С древнейших времен представления о красоте связывали с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей, которых поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Люди с рождения и до зрелого возраста проявляют интерес к многогранникам  – едва научился ребенок ползти, как, в руках у него оказываются  деревянные кубики, затем интерес появляется к кубику - рубику и  ко всяким видам пирамидок.  Людей будто притягивают эти тела, на протяжении многих столетий. Египтяне строили гробницы фараонам в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.

Удивительно, но не только человек создает эти загадочные тела –  в природе правильные тела встречаются в виде кристаллов, другие – в виде вирусов. Шестиугольные соты пчел имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза о том, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

 Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе  мало,  - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по  численности  отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько.  А сколько?

Мы решили сами увидеть многогранники: создать их модели, вырастить кристалл соли, имеющий форму куба, из насыщенного раствора поваренной соли.

Таким образом, данная тема является актуальной,  а знания по данной проблематике – важными для современного общества.

Проблема: сколько существует видов правильных  многогранников, и где они встречаются в природе? 

Гипотеза исследования: Правильных многогранников вызывающе  мало, но они встречаются в природе и их   роль очень  важна.  

 Объект  исследования  –   многогранники

 Предмет  исследования  -  правильные многогранники

Цель  исследования: доказать, что основа строения живой и неживой природы - многогранники.

задачи:

• Проанализировать литературу о правильных многогранниках,  исследовав понятие и историю возникновения платоновых тел;
• Исследовать строение  живых и неживых природных объектов, определить в их строении  правильные  многогранники;
•  Используя метод моделирования, представить способы образования многогранников в природе:  моделирование многогранников из плоскостей
• Используя метод эксперимента  пронаблюдать процесс роста кристаллов поваренной соли, имеющих форму куба (гексаэдра);
• Сделать вывод.

Методы исследования:

• Теоретический: изучить историю платоновых тел, проанализировав математические энциклопедии, научно - популярную литературу, найти различные источники в сети Интернет.
• Исследовательский:

Анализ природных объектов:   где многогранники  встречаются в природе.

Моделирование: построить модели  изученных  платоновых  тел.

Эксперимент:   выращивание кристаллов  поваренной соли.

I.  Анализ литературных источников.  

Понятие  правильных многогранников.

С глубокой древности человеку известны,  пять удивительных многогранников.

По числу граней их называют:

-  правильный тетраэдр (четырёхгранник);

- гексаэдр (шестигранник) или куб;

- октаэдр (восьмигранник);

- додекаэдр (двенадцатигранник);

- икосаэдр (двадцатигранник).

Докажем, что существует пять правильных многогранников.
Условия существования правильного многогранника:
        - при каждой вершине не менее трех плоских углов;
        - сумма всех плоских углов при вершине меньше 360  градусов.

1. Грань многогранника - правильный треугольник

60 * 3=180 < 360 (тетраэдр), 60*4=240 < 360 (октаэдр)

60*5=300 < 360 (икосаэдр), 60*6=360 (не существует)

2. Грань многогранника – квадрат

90*3=270 < 360 (гексаэдр), 90*4=360 (не существует)

3. Грань многогранника - правильный пятиугольник

108*3=324 < 360 (додекаэдр), 108*4=432 (не существует)

4. Грань многогранника - правильный шестиугольник

120*3=360 (не существует)

Вывод: существует только пять правильных выпуклых многогранников.  Гранями являются -  правильный треугольник, пятиугольник и квадрат. (приложение Таблица 1)

История   многогранников.

Впервые упоминались многогранники еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Вспомним знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. 

 Названия многогранников пришли из Древней Греции,  в них  указывается число граней. Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

  Евклид (ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик.

Основное сочинение Евклида называется «Начала».  «Начала» состоят из тринадцати книг.   XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским. В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две.   Некоторый «платонизм» Евклида связан  с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». «Начала» могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

                   Платон и Платоновы тела

  Платон (Platon) (род. 427 - ум. 347 гг.до н.э.) - греческий философ. Родился в Афинах. Настоящее имя Платона было Аристокл.   

    Многогранники называют телами Платона, т.к. они занимали  важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 году в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Вершины + Грани - Рёбра = 2.

 II. Описание объекта исследования.

 Многогранник называется правильным, если, во-первых, он выпуклый, во-вторых, все его грани - равные друг другу правильные многоугольники, в-третьих, в каждой его вершине сходятся одинаковое число граней, и, в-четвертых, все его двугранные углы равны.

                 Правильные многогранники – самые уникальные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Доказательством тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

   Икосаэдр привлёк количеством звёздчатых форм и тем, что часто встречается как в живом, так и в неживом мире. Октаэдр же поразил количеством кристаллов, имеющих его форму и единственной звёздчатой формой. Также эти тела находят место во многих теориях строения Вселенной, в различных областях науки.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр (Приложение  рис. 1)

Икосаэдр точно передает форму одноклеточных организмов. Из всех многогранников именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление воды (Приложение рис.2) 

        Кристаллы бора имеют форму икосаэдра (Приложение рис.3)   Октаэдр чаще всего  встречается в природе. А именно, в строении кристаллов. Форму октаэдра имеют кристаллы алмаза, перовскита, оливина, флюорита, шпинели, алюминиево-калиевых квасцов, медного купороса и даже хлорида натрия и золота  (Приложение рис.4, 5)

III .  Анализ применяемых методик.

Для доказательства гипотезы применялась авторская методика:

1 шаг: выделяются объекты живой  и неживой природы для анализа их строения

2 шаг: проводится моделирование найденных в природных объектах многогранников из плоскостей

3 шаг: проводится выращивание кристаллов поваренной соли в разных условиях при составлении  растворов хлорида натрия (насыщенный и ненасыщенный).  

4. Вывод о подтверждении гипотезы делается на основании всех полученных результатов.

IV. Полученные результаты и обсуждение.

       Нами были проанализированы неживые объекты из коллекции минералов  в кабинете географии. В неживой природе многогранники встречаются в виде кристаллов. В земле иногда находят камни такой формы, как будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это многогранники с плоскими гранями и прямыми ребрами. Но в большинстве своем камни и металлы - это поликристаллы, т.е. сростки многих мелких кристаллических «зерен», и в этих сростках уже неразличимы многогранные формы отдельных монокристаллов. Поэтому в очертаниях зерна уже не остается следов многогранника.

      Нами были проанализированы следующие живые объекты: одноклеточные  простейшие феодария и вольвокс, модель молекулы ДНК, модели строения вирусов. Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, большинство вирусов, вызывающих болезни человека и животных, или скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминают икосаэдр.

    Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.     Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

     Вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью и более, чем с семью)

      Отдельные вирусные частицы – вирионы представляют собой симметричные тела, состоящие из повторяющихся элементов. Большинство вирионов имеет форму палочек или правильных многогранников. У вирионов в форме палочек в центре находится спирально закрученная нуклеиновая кислота. Капсид состоит из идентичных субъединиц белка, расположенных вдоль молекулы нуклеиновой кислоты.
     Существуют вирусы и с более сложным строением. Некоторые фаги, помимо икосаэдрической головки, имеют полый цилиндрический отросток, окруженный чехлом из сократительных белков. У большей части вирусов, вызывающих болезни человека и животных, капсид почти всегда имеет форму икосаэдра – правильного двадцатигранника с двенадцатью вершинами и гранями из равносторонних треугольников. Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую нитевидную спираль, точнее на  правильный двадцатигранник, или икосаэдр.  

   Проанализировав строение  природных объектов, мы пришли к выводу, что правильные многогранники явление в природе не частое. Хотя многогранники встречаются в природе, они чаще представлены в неправильной форме или правильные многогранники объединены в поликристаллы.

Нами было произведено моделирование правильных многогранников.

1. С помощью развертки.

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки (приложение рис.6)

2.Моделирование  многогранников из ленты (приложение рис.7)

  3. Моделирование с  помощью оригами.              (Приложение Фото 1-4)

      Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин - "оригамика". Для педагогов оригами уникальная возможность развития тонкой моторики ребенка, что прямо связано с развитием интеллекта. Для психологов оригами - это одно из направлений арттерапии, возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства.

    Нами были изучены и опробованы при создании моделей правильных многогранников 2 метода оригами.  С помощью модуля Miyuki Kawamura и узлового  оригами

(Приложение рис.8, схемы модулей рис. 9-10)

Для  экспериментального подтверждения гипотезы нами было произведено выращивание кристаллов поваренной соли.

Кристаллы поваренной соли NaCl представляют собой бесцветные прозрачные кубики. Этапы выращивания кристаллов поваренной соли:

1. Налить  в прозрачный стакан горячую воду.

2. Насыпать пищевую соль в стакан и оставить минут на 5, постоянно помешивая. За это время  соль растворится. Желательно, чтобы температура воды пока не снижалась.

3. Добавить ещё соль и снова перемешать. Повторять этот этап до тех пор, пока соль уже не будет растворяться и будет оседать на дно стакана. Получен насыщенный раствор соли.

4. Перелить полученный раствор в чистый стакан  через салфетку  избавившись при этом от излишек соли на дне и различных примесей.

5. Выбрать любой понравившийся более крупный кристаллик поваренной соли «затравка» привязать за нитку и подвесить, чтобы он не касался стенок стакана.

6. Через 2-3 дня можно заметить значительный рост кристаллика. Если повторить всё то же ещё раз (приготовить насыщенный раствор соли и опустить в него этот кристаллик), то он будет расти гораздо быстрее (извлечь кристаллик и использовать уже приготовленный раствор, добавляя в него воды и необходимую порцию пищевой соли).

7. Необходимо помнить, что раствор должен быть насыщенным, то есть при приготовлении раствора на дне стакана всегда должна оставаться соль (на всякий случай).

(приложение Фото 5- 9)

Опыты по выращиванию кристаллов

Опыт № 1  Цель: выращивание кристаллов.

Оборудование: два стакана: стакан №1 с насыщенным раствором поваренной соли, стакан №2  со  слабым (ненасыщенным) раствором поваренной соли, две нитки с  кристалликами - «затравками».    Ход  работы:

Помещаем в каждый стакан нитки с кристалликами - «затравками и начинаем вести наблюдение.                  Итоги наблюдений 1-ой недели опыта

Выводы из опыта:

1.  В стакане № 1 идет процесс кристаллизации.
2. В стакане № 2  кристалл – «затравка» растворился, так как в стакане находится  ненасыщенный раствор соли.

Таблица 2

Итоги наблюдений 2-ой недели опыта

Выводы из опыта:

1. В стакане № 1и №2 продолжается процесс кристаллизации.
2. Понижение уровня раствора в стаканах связано с испарением воды.

Таблица 3

Итоги наблюдений 3- 7 недели опыта

Выводы из опыта:

1. В стакане № 1 идет процесс кристаллизации.

2. В обоих стаканах   испарение  воды продолжается.

3. В стакане №2  тоже начался процесс  кристаллизации, но позднее, когда раствор стал насыщенным, и выразился в образовании налёта на  стенках стакана.                                  

Выводы из опыта:

1. Стакан № 1. Прошёл процесс кристаллизации, выразившийся в образовании кристалликов на нитке и на стенках стакана.
2. Стакан № 2. Образование кристалликов на стенках стакана.

Общие выводы из экспериментального этапа работы:

1. Поваренная соль состоит из кристаллов в виде кубиков.

2. При соприкосновении кристаллов соли с водой, они растворяются.

3. Быстрее всего кристаллы  соли могут образовываться в насыщенном растворе поваренной  соли.

4. По мере того как вода испаряется, соль снова  образует кристаллы.

5. В домашних условиях  можно вырастить кристаллы при необходимых условиях. Условиями образования кристаллов соли в домашних условиях являются:

А) наличие насыщенного солевого раствора;

Б) ниточки с затравкой.

V.  Заключение

             Основной целью представленной работы являлось изучение правильных многогранников, их видов и свойств. Поэтому был проведен сравнительный анализ учебной и научно-популярной литературы, а также ресурсов сети Интернет.

 Проявление правильных многогранников в природных структурах послужило причиной огромного интереса к этому разделу геометрии в современной науке.

С древних времен правильные многогранники – удивительные символы симметрии, привлекали внимание множества выдающихся мыслителей от Платона, Пифагора, Евклида до современных ученых в различных областях науки.

В процессе исследования были изучены удивительные особенности строения правильных многогранников, их виды и свойства. Рассмотрены интересные исторические  факты. Увидели красоту, совершенство и гармонию форм этих тел, которые изучаются учеными на протяжении многих столетий и не перестают удивлять нас.

Мы  выполнили все задачи, которые ставили перед собой в начале данной исследовательской работы:

1) расширили собственную систему знаний и сведений о правильных многогранниках

2) рассмотрели   связь правильных многогранников с природой;

3) выполнили моделирование   многогранников разными  способами;

4) экспериментальным путем получили    процесс роста кристаллов поваренной соли, имеющих форму куба (гексаэдра);

Сейчас возникла новая волна интереса к правильным многогранникам. Это связано с той ролью, которую в современной науке играют соображения  симметрии, связанные с кристаллографией. Так как биотехнологии играют сейчас все большую роль в технических решениях проектов, то важным считаем подтверждение того, что в строении живых и неживых объектов Земли ведущую роль играют многогранники.

 Вывод: основа строения живой и неживой природы - многогранники. Гипотезу можно считать полностью доказанной

Литература

1. Атанасян Л.С и другие. Геометрия 10 - 11.- М.: Просвещение, 2008.
2. Гончар В. В. Модели многогранников. –  М.: Аким, 1997. – 64 с.
3. Евклид. Начала.- В 3 т. М.; Л.; 1948 – 1950.
4. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с.
5. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.
6. Материалы VII Сибирской конференции «Оригами в учебном процессе», Омск: ОмГУ, 2004
7. «Polyhedron Origami For Beginners», Miyuki Kawamura, Tokyo, Japan, Published by Nihon CO., LTD, 2001
8. Фройденталь Г. Математика в науке и вокруг нас.  М.: Мир, 1977
9. Зоркий П.М. Архитектура кристаллов. М. Наука, 1968
10. Глейзер Г. И. “История математики в школе IX-X классы”, М. Просвещение, 1983г.