Дидактический материал по Геометрии 7 класс.
методическая разработка по геометрии (7 класс) на тему

                                  САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ  7 КЛАСС

1. Основные геометрические фигуры

Вариант 1

1. Изобразите прямую a и точки A, B, принадлежащие ей, и точки C, D, ей не принадлежащие.

2. На рисунке 1 изображены прямые CD и EF. Определите пересекаются ли они.

3. Отметьте точку. Можно ли через нее провести: а) прямую линию; б) кривую линию? Сколько

   таких линий можно провести?

4. Изобразите две пересекающиеся прямые m и n. Отметьте точки: O∈m и O∈n; M∈m и N∈n; A∉m,

    B∈ n; C∈ m, D∉ n. Как по-другому можно назвать прямые m и n? Может ли точка A принадлежать

    прямой n, а точка D принадлежать прямой m?

5*. Сколько точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Изобразите соответствующие

     геометрические ситуации.

6*. Найдите наибольшее число прямых, которые можно провести через различные пары из 6 точек.

Вариант 2

1. Изобразите прямую b и точки C, D, принадлежащие ей, и точки E, F, ей не принадлежащие.

2. На рисунке 2 изображены прямые AB и CD. Определите пересекаются ли они.

3. Отметьте две точки. Можно ли через них провести: а) прямую линию; б) кривую линию?

     Сколько таких линий можно провести?

4. Изобразите две параллельные прямые k и l. Отметьте точки: K∈ k и L∈ l; E∉ l, F∉ l; G∈ l,

     H∉ k и P∈ k. Как по-другому назвать прямые k и l? Могут ли точки E и F принадлежать прямой k?

5*. Сколько точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые?

6*. Найдите наибольшее число прямых, которые можно провести через различные пары из 5 точек.

2. Отрезок и луч

Вариант 1

1. Изобразите две пересекающиеся в точке O  прямые MN и KL. Запишите все образовавшиеся лучи.

2. На прямой a возьмите три точки H, P, Q. Запишите все образовавшиеся при этом отрезки.

3. Изобразите три отрезка и их сумму.

4. Изобразите отрезок AB и отрезок АВ/2.

5*. На прямой b отмечены четыре точки B1, B2, B3, B4. Сколько при этом получилось:

     а) полупрямых;   б) отрезков?

6*. Изобразите n прямых, которые разбивают плоскость на 11 частей. Чему равно n?

Вариант 2

1. Изобразите две прямые, проходящие через одну точку C. Назовите эти прямые и запишите все

   образовавшиеся при этом полупрямые.

2. На прямой b возьмите три точки А, В, С.  Запишите все образовавшиеся при этом отрезки.

3. Изобразите два отрезка и их разность.

4. Изобразите отрезок CD и отрезок 3CD.

5*. На прямой a отмечены четыре точки A1, A2, A3, A4, A5. Сколько при этом получилось:

     а) полупрямых; б) отрезков?

6*. Изобразите n -  прямых, которые разбивают плоскость на 13 частей. Чему равно m?

  САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ  7 КЛАСС

3. Измерение длины отрезка

Вариант 1

1. Изобразите отрезок длиной: а) 2 см; б) 55 мм; в) 4⅕ см; г) 1,2 дм.

2. Точки A, B, C принадлежат одной прямой, причем B лежит по одну сторону от A и C. Найдите

   длину отрезка BC, если: а) AB=9,5 см, AC=4 см; б) AC=11,2 см, AB=28 см.

3. На данном отрезке KL=6 см найдите точку X, удаленную от K на: а) 1 см дальше, чем от L;

    б) расстояние в 2 раза меньшее, чем от L.

4. На прямой a последовательно отложены отрезки DE=2 см, EF=3 см и FG=4 см. Найдит

    расстояние между серединами отрезков: а) DE и EF; б) DE и FG; в) EF и DG.

5*. Отрезок GH делится точкой O в отношении 5:7, а точкой P в отношении 5:11, считая от точки G.

     Расстояние между точками O и P равно 30 см. Определите длину отрезка GH.

6*. Здание Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова на Воробьевых

      горах в 3 раза выше колокольни Ивана Великого в Московском Кремле и выше ее на 208 м,

      считая от уровня Москвы реки. Найдите высоты этих зданий, если Кремлевский холм на 30 м

     выше, а Воробьевы горы на 78 м выше уровня Москвы реки.

Вариант 2

1. Изобразите отрезок длиной: а) 3 см; б) 84 мм; в) 2см; г) 0,8 дм.

2. Точки D, E, F принадлежат одной прямой, причем D  лежит между точками E и F. Найдите длину

   отрезка DF, если: а) EF=21 см, DE=6 см; б) ED=3,8 см, EF=27,1 см.

3. На данном отрезке AB=8 см найдите точку C, чтобы она была удалена от: а) A на 3 см ближе, чем

    от B; б) B в 3 раза дальше, чем от A.

4. На прямой b последовательно отложены отрезки KL=3 см, LM=4 см и MN=7 см. Найдите

    расстояние между серединами отрезков: а) LM и MN; б) MN и KL; в) KN и MN.

5*. На отрезке PQ отмечена точка H такая, что отрезок PH равен 14/17 PQ. На отрезке PH взята точка

      S такая, что HS=2,5HQ и PS=78 см. Найдите расстояние между: а) точками P и Q; б) серединами

       крайних отрезков.

6*. По обеим сторонам одной аллеи посажено 80 деревьев через 4 м друг от друга. На другой аллее

      посажено всего 159 деревьев через 6 м друг от друга. Во сколько раз одна аллея короче другой?

4. Полуплоскость и угол

Работа № 1

Вариант 1

1. Изобразите две пересекающиеся прямые. На сколько частей: а) делит каждая из них плоскость, как

   называется каждая из них; б) делят они плоскость?

2. Изобразите прямую m и точки K, L, M, N, если K и N лежат в одной полуплоскости относительно

    m, отрезок MN пересекает l, а отрезок KL не пересекает l.

3. Изобразите угол EOВ и проведите в нем три внутренних луча. Сколько всего углов получилось?

4. На (рис. 3)  OCAB и ∠AOD=∠BOE. Запишите все пары равных углов. Обоснуйте свой вывод.

5*. По данным сумме и разности двух углов Ψ  и φ  (рис. 4) постройте сами углы.

6*. На прямой даны m точек. Сколько получилось отрезков?

Вариант 2

1. Изобразите две параллельные прямые. На сколько частей: а) делит каждая из них плоскость, как

   называется каждая из них; б) делят они плоскость?

2. Изобразите прямую k  и точки A, B, E, F, причем известно, что отрезок EF не пересекает k, и точки

    A, F лежат в разных полуплоскостях относительно k.

3. Изобразите развернутый угол COD и проведите в нем три внутренних луча. Сколько всего углов

   получилось?

4. На (рис. 5) углы MOK и NOL равны, OH – биссектриса угла MON. Есть ли еще равные углы?

    Почему они равны?

5*. По данным сумме и разности двух отрезов a и b (рис. 6) постройте сами отрезки.

6*. Внутри угла проведено n лучей. Сколько получилось углов?

Работа № 2

Вариант 1

1. Чем отличается развернутый угол от прямой?

2. Изобразите прямую AB, на ней точку O. Сколько развернутых углов образовалась? Можно ли их

   считать вертикальными?

3. Изобразите угол COD и при помощи только линейки постройте равный ему угол.

4. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

5*. Докажите, что угол, дополняющий меньший из двух смежных углов до прямого, равен

    полуразности смежных углов.

6*. Концы отрезка XY принадлежат сторонам угла MON. Для каких углов MON отрезок XY (кроме

     концов) будет состоять из его внутренних точек?

Вариант 2

1. Какой угол должны образовывать два луча, чтобы  они составляли одну прямую?

2. Изобразите угол AOB и вертикальный к нему. Сколько пар вертикальных углов образовалось при

    этом?

3. Даны два равных угла. Сравните два смежных с ними угла.

4. Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов.

5*. Из точки O выходят последовательно лучи OA, OB, OC и OD. Угол AOB равен углу COD, а угол

    BOC равен углу AOD. Изобразите эту геометрическую ситуацию.

6*. Концы отрезка HP принадлежат сторонам угла KOL. Для каких углов KOL отрезок HP будет

    состоять из внутренних точек, не принадлежащих данному углу?

5. Измерение величины угла

Вариант 1

1. Найдите угол P, если он: а) составляет половину прямого угла; б) составляет треть развернутого

   угла; в) на 30° меньше своего смежного угла.

2. Данный угол равен 72°. Какую часть он составляет от: а) угла, равного 144°; б) прямого угла; в)

    развернутого угла?

3. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: а) 1:3; б) 2:7; в) 1:7.

4. На рисунке 7 ∠ABD=∠CBE, BF – биссектриса ∠DBE. Есть ли еще равные углы? Ответ обоснуйте.

5*. Из вершины угла KOL, равного 140o, проведены два луча: OB – биссектриса угла, и OC, делящий

     его в отношении 3:5, считая от стороны OL. Найдите все образовавшиеся углы.

6*. Даны два непересекающихся угла с общей вершиной, причем их стороны соответственно

    перпендикулярны, и один угол в два раза меньше другого. Найдите эти углы.

Вариант 2

1. Найдите угол Q, если он: а) составляет треть прямого угла; б) составляет пятую часть развернутого

    угла; в) на 60° больше своего смежного угла.

2. Данный угол равен 20°. Какую часть он составляет от: а) угла, равного 60°; б) прямого угла;

    в) развернутого угла?

3. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: а) 1:2; б) 4:5; в) 3:5.

4. На рисунке 8 ∠KOL=∠NOP, OM – биссектриса ∠KOP. Есть ли еще равные углы? Ответ обоснуйте.

5*. Из вершины угла EFG проведен луч FH, который делит его на две части, разность между

    которыми равна 30. Найдите угол между FH и биссектрисой данного угла.

6*. Даны два пересекающихся по лучу угла AOB и COB, причем известно, что их сумма равна 14/5

    прямого угла и что продолжение стороны OA за вершину делит угол COB пополам. Найдите эти

   углы.

6. Ломаные и многоугольники

Вариант 1

1. Изобразите простую незамкнутую 6-стороннюю ломаную. Определите число ее вершин (В).

2. Изобразите непростую замкнутую ломаную. На сколько частей разбивает она всю плоскость в

   вашем случае?

3. Изобразите выпуклый  семиугольник. Из одной его вершины проведите все диагонали. На сколько

   треугольников разбивают они данный многоугольник?

4. Многоугольник имеет 10 диагоналей. Найдите число его углов.

5*. Сколько сторон в многоугольнике, если их число в k раз больше числа диагоналей, проведенных

    из одной вершины, если k равно: а) 2; б) 4; в) 5?

6*. Точки A1, A2, A3, A4 расположены так, как показано на рис. 9. Докажите, что существует 5

   простых замкнутых ломаных, все вершины которых являются данными точками.

6. Ломаные и многоугольники

Вариант 2

1. Изобразите простую замкнутую 7-стороннюю ломаную. Определите число ее вершин (В).

2. Изобразите непростую незамкнутую ломаную. На сколько частей разбивает она всю плоскость в

    вашем случае?

3. Изобразите невыпуклый  пятиугольник. Проведите все его диагонали. Сколько их?

4. Многоугольник имеет 12 диагоналей. Найдите число его углов.

5*. Сколько сторон в многоугольнике, если их число в h раз меньше числа его диагоналей, если

    равно: а) 0,5; б) 1; в) 2; г) 2,5?

6*. Точки B1, B2, B3, B4 расположены так, как показано на рис.  10. Докажите, что существует 20

   простых незамкнутых ломаных, все вершины которых являются данными точками.

7. Треугольники

Вариант 1

1. Изобразите треугольник DEF и все его медианы. Сколько их?

2. Изобразите треугольник и его высоты таким образом, чтобы одна из них не лежала в

    треугольнике.

3. Найдите периметр треугольника, если две его стороны равны и каждая в 3 раза больше третьей

    стороны, равной 9 см.

4. Периметр треугольника равен 153 см, а стороны относятся как 2:3:4. Найдите стороны данного

   треугольника.

5*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются его биссектрисами?

6*. Одна из сторон треугольника равна 8 см. Медиана, проведенная из ее вершины, делит периметр

    треугольника на две части, одна из которых меньше другой на 2 см. Найдите две другие стороны

    треугольника, если известно, что они равны.

Вариант 2

1. Изобразите треугольник NOP и все его биссектрисы. Сколько их?

2. Изобразите треугольник, один угол которого прямой, проведите в нем высоты. В какой точке они

     пересекутся?

3. Найдите периметр треугольника, если у него одна сторона равна 15 см, вторая на 2,5 см больше, а

    третья в 4 раза меньше первой.

4. Периметр треугольника равен 156 см, стороны относятся как 3:4:5. Найдите стороны данного

    треугольника.

5*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются его высотами?

6*. Одна из сторон треугольника равна 12 см. Медиана, проведенная к ней, делит периметр

    треугольника на две части, одна из которых больше другой на 3 см. Найдите каждую из двух

    других сторон треугольника, если известно, что одна из них равна данной стороне.

8. Первый признак равенства треугольников

Вариант 1

1. На рисунке 11 AB=DF, ∠A=∠F и AB=FE. Будут ли данные треугольники равны?

2. Отрезки DH и RS пересекаются в точке H и делятся в ней пополам. Найдите отрезок RH, если

    SD=11,5 см.

3. На рисунке 12 найдите пары равных треугольников.

4. Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его

    биссектрисе.

5*. На продолжении каждой стороны правильного треугольника ABC отложены равные отрезки, а

     именно AA1=BB1=CC1. Докажите, что треугольник A1B1C1 тоже правильный. Сделайте

     соответствующий рисунок.

6*. Треугольник, периметр которого равен 12 см, делится высотой на две части, периметры которых

     равны 7 см и 9 см. Найдите данную высоту.

Вариант 2

1. На рисунке 11 AB=EF, CB=DE и ∠B=∠E. Будут ли данные треугольники равны?

2. Отрезки TU и VW пересекаются в точке X и делятся в ней пополам. Соедините концы отрезков и

    найдите равные треугольники.

3. На рисунке 13 найдите пары равных треугольников.

4. На сторонах угла G отложены равные отрезки GA, GC и проведена его биссектриса, на которой

    отмечена точка B. Докажите, что BG является биссектрисой угла ABC.

5*. На каждой стороне правильного треугольника XYZ отложены равные отрезки, а именно

     XX1=YY1=ZZ1. Докажите, что треугольник X1Y1Z1 тоже правильный. Сделайте соответствующий

     рисунок.

6*. Периметр треугольника CDE равен 21 см. Из вершины D выходят равные стороны. Медиана CM 

     делит треугольник на два треугольника, причем один из них имеет периметр на 3 см больше, чем

     другой. Найдите стороны данного треугольника.

9. Второй признак равенства треугольников

Вариант 1

1. На рисунке 14 определите равные треугольники.

2. Какие треугольники на рисунке 15 равны?

3. Есть ли на рисунке 16 равные треугольники?

4. На рисунке 17 ∠1=∠2, ∠3=∠4. Докажите равенство ∠5 и ∠6.

5*. Изобразите два неравных треугольника, у которых имеется по две равные стороны и одному

    равному углу.

6*. Проведите прямую, имеющую общие точки со всеми сторонами данного треугольника.

Вариант 2

1. На рисунке 18 определите равные треугольники.

2. Какие треугольники на рисунке 19 равны?

3. Есть ли на рисунке 20 равные треугольники?

4. Треугольники RST и R1S1T1 равны (рис. 21). Отрезки SQ и S1Q1 образуют равные углы со сторонами

    треугольников соответственно RS и R1S1. Докажите равенство отрезков TQ и T1Q1.

5*. Изобразите два неравных треугольника, у которых имеется по два равных угла и одной равной

     стороне.

6*. Докажите, что нельзя провести прямую таким образом, чтобы она пересекала все стороны

     треугольника по внутренним точкам.

10. Равнобедренные треугольники

Вариант 1

1. Основание равнобедренного треугольника равно 16,3 см. Найдите другие стороны треугольника,

   если его периметр равен 40,5 см.

2. Боковые стороны равнобедренного треугольника каждая  больше в 2 раза его основания. Найдите

    стороны треугольника, если его периметр равен 44 см.

3. В треугольнике CDE (рис. 22) DH⊥CE, CH=EH. Докажите, что треугольник равнобедренный.

4. На рисунке 23 RT – основание равнобедренного треугольника SRT, ∠1=∠4 и SH⊥RT. Докажите:

    а) ∠6=∠7; б) RM=TN; в) ∠1=∠4.

5*. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 44 см. Из вершины C его основания AC

     проведена медиана CM. Найдите стороны данного  треугольника, если периметр треугольника

     BCM на 8 см меньше периметра треугольника ACM.

6*. Сколько равнобедренных треугольников изображено на рисунке 24, где A1A2A3A4A5 – правильный

    пятиугольник?

Вариант 2

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание меньше ее на 0,85 см.

    Найдите периметр треугольника.

2. Основание равнобедренного треугольника на 0,7 см больше его боковой стороны. Найдите

    стороны треугольника, если его периметр равен 25 см.

3. На рисунке 25 ∠1=∠2. Определите вид треугольника KLM.

4. На рисунке 23 SM=SN, SH⊥MN и RM=TN. Докажите: а) ∠2=∠3; б) ∠1=∠4; в) SR=ST.

5*. В равностороннем треугольнике ABC сторона AC продолжена за вершину C и на продолжении

    отложен отрезок CD. Точка D соединена с вершиной B треугольника. Найдите периметр данного

    треугольника, если известно, что периметр треугольника BCD на 15 см меньше периметра

    треугольника ABD.

6*. Сколько различных типов равных равнобедренных треугольников изображено на рисунке 24, где

    A1A2A3A4A5 – правильный пятиугольник?

11. Третий признак равенства треугольников

Вариант 1

1. Докажите, что на рисунке 26 ∠B=∠D.

2. На рисунке 27 укажите пары равных треугольников.

3. На рисунке 28 укажите пары равных треугольников.

4. Докажите, что если в треугольнике высота делит сторону, к которой она проведена, пополам, то

   треугольник равнобедренный.

5*. На одной стороне угла P отложены отрезки PA и PB. На другой его стороне отложены отрезки

    PA1=PA и PB1=PB. Докажите, что прямые AB1 и A1B пересекаются в точке, принадлежащей

   биссектрисе данного угла P.

6*. Найдите в треугольнике XYZ на стороне XY или на ее продолжении точку M, одинаково

   удаленную от вершин X и Z. Отметьте особый случай.

Вариант 2

1. Докажите, что на рисунке 29 ∠H=∠G.

2. На рисунке 30 укажите пары равных треугольников.

3. На рисунке 31 укажите пары равных треугольников.

4. Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна к стороне, которую она делит

    пополам, то треугольник равнобедренный.

5*. Докажите, что перпендикуляры, проведенные к обеим сторонам угла на равных расстояниях от

    вершины, пересекаются на его биссектрисе.

6*. Каждая из точек X и Y одинаково удалена от точек S и T. Определите положение прямой XY по

   отношению к отрезку ST.

12. Соотношение между  сторонами и  углами треугольника

Вариант 1

1. В треугольнике CDE известно, что CD>DE>CE. Найдите наименьший угол данного треугольника.

2. Известно, что в треугольнике FGH ∠G>∠F=∠H. Сравните стороны данного треугольника.

3. В треугольнике ABC наибольшей стороной является CB. Какие углы могут быть у данного

    треугольника?

4. Внешний угол при вершине L треугольника LMN острый. Какой вывод можно сделать о

    внутренних углах данного треугольника?

5*. Докажите, что, если две стороны и угол против большей из них одного треугольника

    соответственно равны двум сторонам и углу против большей из них другого треугольника, то

    треугольники равны.

6*. Как можно найти расстояние между пунктами A и B, если между ними есть препятствие

    (например, поезд)?

Вариант 2

1. В треугольнике DEF известно, что EF. Найдите наибольший угол данного треугольника.

2. Известно, что в треугольнике NOP O>∠P>∠N. Сравните стороны данного треугольника.

3. В треугольнике KLM наименьшей стороной является KM. Какими могут быть углы данного

   треугольника?

4. Внешний угол при вершине C треугольника ABC прямой. Какой вывод можно сделать о

    внутренних углах данного треугольника?

5*. Докажите, что если две стороны и угол против меньшей из них одного треугольника

     соответственно равны двум сторонам и углу против меньшей из них другого треугольника, то

      треугольники могут быть как равными, так и неравными.

6*. Как можно найти расстояние между пунктами A и B, если к A нельзя подойти?

13. Соотношение между сторонами треугольника

Вариант 1

1. Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 9 см, 2 см, 6 см; б) 11 см, 16 см, 27 см?

2. Существует ли треугольник, стороны которого относятся как: а) 2:3:5; б) 3:7:11?

3. В равнобедренном треугольнике известны две стороны, равные 40 см и 15 см. Какая из них

   является основанием?

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 72 см. Одна его сторона составляет3/8  периметра.

    Найдите стороны треугольника.

5*. Докажите, что периметр треугольника больше суммы отрезков, соединяющих какую-либо точку

    внутри треугольника с его вершинами, и меньше удвоенной этой суммы.

6*. Докажите, что периметр треугольника больше суммы его медиан.

Вариант 2

1. Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 1 см, 7 см, 5 см; б) 12 см, 13,5 см, 20 см?

2. Существует ли треугольник, стороны которого относятся как: а) 1:8:19; б) 2:4:6?

3. В равнобедренном треугольнике известны две стороны, равные 18 см и 36 см. Какая из них

    является боковой стороной?

4. Две стороны равнобедренного треугольника относятся как 2:5. Найдите стороны треугольника,

    если его периметр равен 96 см.

5*. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, которые выходят с ней из одной

    вершины, и больше полуразности суммы этих сторон и третьей стороны треугольника.

6*. Докажите, что периметр треугольника меньше удвоенной суммы его медиан.

14. Прямоугольные треугольники

Вариант 1

1. Изобразите прямоугольный треугольник: а) равнобедренный; б) неравнобедренный. Запишите его

    катеты и гипотенузу.

2. Найдите наибольшие стороны треугольников из предыдущей задачи. Ответ обоснуйте.

3. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке 32.

4. Постройте прямоугольный треугольник по катетам, равным 3 см и 4 см. Всегда ли такой

    треугольник можно построить?

5*. В треугольнике CDE проведена медиана CH. Докажите, что в треугольниках CHE и CHD

    найдутся равные высоты.

6*. Постройте прямоугольный треугольник по катету (a) и биссектрисе (m) острого угла,

     прилежащего к этому катету.

Вариант 2

1. Изобразите равнобедренный треугольник: а) прямоугольный; б) тупоугольный. Запишите его

   основание и боковые стороны.

2. Найдите наибольшие стороны треугольников из предыдущей задачи. Ответ обоснуйте.

3. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке 33.

4. Постройте прямоугольный треугольник по катету, равному 2,5 см, и прилежащему к нему углу,

    равному 30°. Всегда ли такой треугольник можно построить?

5*. В треугольнике KLM проведена медиана LO. Докажите, что в треугольниках KOL и MOL найдутся

     равные высоты.

6*. Постройте прямоугольный треугольник по катету (b) и биссектрисе (m) прямого угла.

15. Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

1. Изобразите точку A∉ a. Опустите из нее на данную прямую перпендикуляр AH и наклонную AM.

   Сравните их длины. Почему получился такой результат?

2. Изобразите прямоугольный треугольник. Запишите проекции его катетов на гипотенузу.

3. Изобразите геометрическую ситуацию, при которой проекцией отрезка на данную прямую

    является точка.

4. Докажите, что любая точка прямой, проведенной перпендикулярно к отрезку через его середину,

    одинаково удалена от концов данного отрезка.

5*. Из точки X, взятой вне прямой m, опустили на нее перпендикуляр XH и по одну сторону от него

     провели наклонные XA, XB, XC таким образом, что HXA=AXB=BXC. Докажите, что:

     а) HA;   б) HA.

6*. Даны две параллельные прямые a, b и точка O, не принадлежащая им и лежащая вне полосы,

    образованной ими. Докажите, что нельзя найти треугольник с вершинами O, A∈ a и B∈ b 

     наименьшего периметра.

Вариант 2

1. Изобразите точку B∉ b. Опустите из нее на данную прямую перпендикуляр BP и наклонную BG.

    Какой отрезок больше и почему?

2. Изобразите прямоугольный равнобедренный треугольник. Запишите проекции его боковых сторон

    на основание.

3. Изобразите геометрическую ситуацию, при которой проекция отрезка на данную прямую равна

    самому отрезку.

4. Докажите, что любые две вершины треугольника одинаково удалены от медианы, проведенной из

    третьей вершины данного треугольника.

5*. Из точки Z, взятой вне прямой n, проведены к ней перпендикуляр ZP и наклонные ZA, ZB, ZC, …

    такие, что ZA>ZB>ZC>… , причем каждая следующая больше предыдущей на одну и ту же

    величину d (ZB=ZA+d, ZC=ZB+d и т.д.). Докажите, что PA… .

6*. Даны две прямые  k || l и точка R, не принадлежащая им и лежащая внутри полосы, образованной

      ими. Докажите, что нельзя найти треугольник KLR, K∈ k и L∈ l наименьшего периметра.

16. Окружность и круг

Вариант 1

1. Изобразите окр.(A; 2,5 см). Запишите неравенство, которому удовлетворяют точки M, не

   принадлежащие соответствующему кругу.

2. Наибольшая хорда окружности равна 25 см. Найдите ее радиус.

3. Каким неравенствам удовлетворяют длины хорд AB окружности радиуса R?

4. Как расположены центры окружностей одного и того же радиуса, проходящих через данную

   точку? Изобразите соответствующую геометрическую ситуацию.

5*. Через точку диаметра окружности проведены две равные хорды. Докажите, что они одинаково

  наклонены к диаметру.

6*. В окружности с центром в точке O концы диаметров AB и CD соединены хордами  BC и BD таким

  образом, что ∠BOD>∠BOC. Докажите, что хорда BD расположена ближе к центру окружности, чем

   хорда BC.

Вариант 2

1. Изобразите окр.(B; 3,2 см). Запишите неравенство, которому удовлетворяют точки K, лежащие

   внутри соответствующего круга.

2. Радиус окружности на 12,4 см меньше ее диаметра. Найдите ее наибольшую хорду.

3. Каким неравенствам удовлетворяют длины хорд EF окружности диаметра D?

4. Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки? Изобразите

   соответствующую геометрическую ситуацию.

5*. Через точку диаметра окружности проведены две хорды, одинаково наклоненные к нему.

    Докажите равенство этих хорд.

6*. Даны хорды окружности AB, BC, CA, причем AB>BC>CA. Сравните их расстояния до центра

    окружности.

17. Взаимное расположение прямой и  окружности

Вариант 1

1. Изобразите окружность и две прямые, одна из которых пересекает окружность, а другая не имеет с

   окружностью ни одной общей точки. Запишите соответствующие условия такого расположения

   окружности и прямых, сделав необходимые измерения.

2. Определите вид треугольника AMB на рис. 34, где AM – касательная к данной окружности.

3. Определите взаимное расположение прямой и окружности радиуса 9,5 см, если расстояние от

   центра окружности до прямой равно: а) 6 см; б) 1 дм; в) 18 см.

4. Из внешней точки окружности проведены к ней две касательные и секущая, проходящая через

   центр окружности. Докажите, что эта секущая делит пополам хорду, соединяющую точки касания.

5*. Докажите, что перпендикуляр к касательной в точке касания проходит через центр окружности.

Вариант 2

1. Изобразите окружность и точку вне ее. Проведите через точку две прямые, одна из которых

   пересекает данную окружность, а другая не имеет с ней ни одной общей точки. Сколько таких

   прямых можно провести? От чего зависит взаимное расположение прямой и окружности?

2. Через данную точку окружности проведите к ней касательную.

3. Определите взаимное расположение прямой и окружности радиуса 4,2 см, если расстояние от

   центра окружности до прямой равно: а) 8,4 см; б) 2,1 см; в) 4,2 см.

4. Из внешней точки A окружности проведены к ней две касательные AB и AC. Найдите расстояние

    между точками касания B и C, если ∠BAC=60o и длина ломаной BAC равна 1 дм.

5*. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к касательной, проходит через

  точку касания.

18. Взаимное расположение двух окружностей

Вариант 1

1. Изобразите две окружности: а) непересекающиеся и лежащие одна вне другой; б) пересекающиеся;

    в) касающиеся внутренним образом. Запишите соответствующее условие такого расположения,

    сделав необходимые измерения.

2. Определите взаимное расположение двух окружностей радиусов 6,5 см и 2 см, если расстояние

    между их центрами равно: а) 10 см; б) 4,5 см; в) 8,5 см; г) 3 см.

3.  Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 4:5. Найдите их диаметры, если

    ширина кольца, образованного этими окружностями, равна 7 см.

4. Две окружности не пересекаются и расположены одна внутри другой. Их диаметры относятся как

    2:5. Диаметр большей окружности делится меньшей окружностью на три части, причем крайние

    равны 10 см и 5 см. Найдите диаметры окружностей и расстояние между их центрами.

5*. Докажите, что все равные хорды, проведенные в данной окружности, касаются некоторой другой

    окружности. Определите взаимное расположение этой и данной окружностей.

6*. Данная окружность, радиус которой равен 3 дм, касается внутренним образом шести равных

   окружностей, каждая из которых касается двух других внешним образом (рис. 35). Найдите их

   радиусы.

Вариант 2

1. Изобразите две окружности: а) непересекающиеся и лежащие одна внутри другой; б) касающиеся

   внешним образом; в) пересекающиеся. Запишите соответствующее условие такого расположения,

    сделав необходимые измерения.

2. Определите взаимное расположение двух окружностей радиусов 3,5 см и 6 см, если расстояние

    между их центрами равно: а) 10 см; б) 9,5 см; в) 2,5 см; г) 1 см.

3.  Найдите радиусы двух концентрических окружностей, если известно, что их диаметры относятс

    как 2:5 и ширина кольца, образованного этими окружностями, равна 24 см.

4. Две окружности не пересекаются и расположены одна внутри другой. Диаметр большей

    окружности делится меньшей окружностью на три части, равные 2 см, 10 см и 6 см. Найдите

    радиусы окружностей и расстояние между их центрами.

5*. Найдите условие, при котором внутри окружности (O; R) целиком лежит окружность (O1; r).

6*. Данная окружность, радиус которой равен 1 дм, касается внешним образом шести равных

     окружностей, каждая из которых касается внешним образом двух других (рис. 36). Найдите и

    диаметры.

19. Задачи на построение

Вариант 1

1. Разделите данный отрезок MN пополам.

2. Проведите касательную к данной окружности в данной на ней точке.

3. Постройте треугольник ABC по стороне BC и углам B, C. Всегда ли возможно построение?

4. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к нему.

5*. Точка A –  одна из точек пересечения двух окружностей с центрами O1 и O2. Проведите через A

   прямую, которая пересекала бы окружности в точках B и C таким образом, чтобы хорды AB и AC

   были равны.

6*. Разделите прямой угол L на три равные части.

Вариант 2

1. Разделите данный угол KLM пополам.

2. Через точку, принадлежащую данной прямой, проведите перпендикулярную к ней прямую.

3. Постройте треугольник BCD по сторонам BC и BD и углу B. Всегда ли возможно построение?

4. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к другому катету.

5*. Через точку A, взятую внутри окружности с центром в точке O проведите хорду EF таким

    образом, чтобы EA-FA=d, где d заданная длина.

6*. Разделите прямой угол POH на шесть равных частей.

ОТВЕТЫ

1. Основные геометрические фигуры

Вариант 1. 3. а), б) Да, бесконечно много. 5. 0; 1; 3. 6. 15.

Вариант 2. 3. а) Да, одну; б) да, бесконечно много. 5. 0; 1; 3; 4. 6. 10.

2. Отрезок и луч

Вариант 1. 5. а) 8; б) 6.

Вариант 2. 5. а) 10; б) 10.

3. Измерение длины отрезка

Вариант 1. 2. а) 5,5 см; б) 16,8 см. 4. а) 2,5 см; б) 6 см; в) 1 см. 5. 288 см. 6. 234 м и 74 м.

Вариант 2. 2. а) 15 см; б) 23,3 см. 4. а) 5,5 см; б) 9 см; в) 3,5 с м. 5. а) 204 см; б)147 см. 6. В 3 раза.

4. Полуплоскость и угол

Работа № 1

Вариант 1. 1. а) на две части, каждая из которых называется полуплоскостью; б) на четыре части. 3 10. 6. m(m-1)/2 

Вариант 2. 1. а) на две части, каждая из которых называется полуплоскостью; б) на три части. 3. 10. 6. (m+2)(m+1)/2.

4. Полуплоскость и угол

Работа № 2

Вариант 1. 2. 2; нет. 4. Прямой угол. 6. Данный угол меньше развернутого угла.

Вариант 2. 2. 2 пары. 4. Развернутый угол. 6. Данный угол больше развернутого угла.

5. Измерение величины угла

Вариант 1. 1. а) 45°; б) 60°; в) 75°. 2. а)½ ; б)⅘ , в)⅖ . 3. а) 45°, 135°; б) 40°, 140°; в) 22°30', 157°30'. 5. ∠KOB=∠LOB=70°; ∠LOC = 52°30'; ∠KOC = 87°30'; ∠BOC = 17°30'. 6. 60°, 120°.

Вариант 2. 1. а) 30°; б) 36°; в) 120°. 2. а)⅓ ; б)2/9 , в)1/9 . 3. а) 60°, 120°; б) 80°, 100°; в) 67° 30', 112°30'. 5. 15°. 6. 108°, 144°.

6. Ломаные и многоугольники

Вариант 1. 1. В = 6. 3. 5. 4. 5. 5. n =3k/(k-2), где n – число сторон в многоугольнике; а) нет многоугольника; б) 6; в) 5.

Вариант 2. 1. В=7. 3. 5. 4. 6. 5. n = 2h+3, где n – число сторон в многоугольнике; а) 4; б) 5; в) 7; г) 8.

7. Треугольники

Вариант 1. 3. 63 см. 4. 34 см, 51 см, 68 см. 5. Правильным. 6. 10 см, 10 см или 6 см, 6 см.

Вариант 2. 3. 36,25 см. 4. 39 см, 52 см, 65 см. 5. Правильным. 6. 12 см, 15 см или 12 см, 9 см.

8. Первый признак равенства треугольников

Вариант 1. 1. Нет. 2. 11,5 см. 6. 2см.

Вариант 2. 1. Да. 6. 8 см, 8 см, 5 см или 6 см, 6 см, 9 см.

10. Равнобедренные треугольники

Вариант 1. 1. 12,1 см, 12,1 см. 2. 17,6 см, 17,6 см, 8,8 см. 5. 12 см, 12 см, 20 см. 6. 35.

Вариант 2. 1. 38,15 см. 2. 8,1 см, 8,1 см, 8,8 см. 3. Равнобедренный. 5. 45 см. 6. 5.

11. Третий признак равенства треугольников

Вариант 1. 6. M – точка пересечения прямой XY с прямой, перпендикулярной XZ и проходящей через середину отрезка XZ. Особый случай: треугольник XYZ равнобедренный и XZ его основание, тогда точка M совпадает с вершиной Y треугольника.

Вариант 2. 6. Прямая XY  перпендикулярна ST и проходит через его середину.

12. Соотношение между  сторонами и  углами треугольника

Вариант 1. 1. <D. 2. FH > GH = GF. 3. Углы B и C – острые, угол A – острый, прямой или тупой. 4. Угол L - тупой, углы M и N – острые. 6. Решение показано на рисунке 37: выбирают точку C, из которой видны обе точки A и B.

Вариант 2. 1. ∠E. 2. NP > NO > OP. 3. Угол L - острый, каждый из углов K, M может быть острым, прямым или тупым, причем углы K и M одновременно не могут быть оба прямыми или тупыми. 4. Угол C - прямой, углы A и B - острые. 6. Решение показано на рисунке 38: BC – произвольный отрезок, из точки D видна точка A, AB = GF.

13. Соотношение между сторонами треугольника

Вариант 1. 1. а), б) Нет. 2. а), б) Нет. 3. 15 см. 4. 18 см, 27 см, 27 см.

Вариант 2. 1. а), б) Нет. 2. а), б) Нет. 3. 15 см. 4. 18 см, 27 см, 27 см.

16. Окружность и круг

Вариант 1. 2. 12,5 см. 3. 0 < AB ≤ 2R. 4. Центры принадлежат окружности данного радиуса с центром в данной точке.

Вариант 2. 2. 24,8 см. 3. 0 < EF ≤ D. 4. Центры принадлежат прямой, перпендикулярной к отрезку, соединяющему данные точки, и проходящей через его середину. 6. hAB < hBC < hCA.

17. Взаимное расположение прямой и  окружности

Вариант 1. 2. Прямоугольный. 3. а) Пересекаются; б), в) не имеют общих точек. 6. 9,4 см.

Вариант 2. 3. а) Не имеют общих точек; б) пересекаются; в) касаются. 4. 5 см.

18. Взаимное расположение двух окружностей

Вариант 1. 2. а) Не имеют общих точек, лежат одна вне другой; б) касаются внутренним образом; в) касаются внешним образом; г) не имеют общих точек, одна лежит внутри другой. 3. 56 см, 70 см. 4. 10 см, 25 см; 2,5 см. 5. Окружность, концентрическая данной, радиус которой равен расстоянию от центра окружностей до любой из равных хорд. 6. 1 дм.

Вариант 2. 2. а) Не имеют общих точек, лежат одна вне другой; б) касаются внешним образом; в) касаются внутренним образом; г) не имеют общих точек, одна лежит внутри другой. 3. 16 см, 40 см. 4. 5 см, 9 см; 2 см. 5. OO1<R-r. 6. 2 дм

19. Задачи на построение

Вариант 1. 5. Разделим пополам отрезок O1O2, O1H=HO2; проведем прямую AH и прямую a такую, что A∈ a и a⊥AH; назовем точки пересечения a с окружностями B и C, которые и будут искомыми, так как AB=AC, потому что H принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку BC. 6. Строим окр.(L; R), она пересечет стороны угла в точках M и N; строим окр.(M; R), назовем точку ее пересечения с  дугой MN  – K; треугольник KLM – равносторонний, значит, ∠MLK = 60°; проводим его биссектрису LP; таким образом, ∠MLP =∠PLK =∠KLN = 30°, т.е. прямой угол L разделен на три равные части.

Вариант 2. 5. Строим окр.(O; OA) и окр.(A; d); берем одну из точек пересечения B=окр.(O; OA)∩окр.(A; d); проводим хорду AB и продолжаем ее до пересечения с данной окружностью, точки пересечения называем E и F, EF – искомая хорда. 6. Сначала делим прямой угол на три равные части (см. решение задачи 6 из первого варианта), а потом в каждом полученном угле проводим биссектрису.