Дидактический материал по Геометрии 11 класс.
методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему

Зачёт по геометрии 11 кл.

Тема :   Метод координат в пространстве.

Карточка №1

1. Расскажите, как задаётся прямоугольная система координат в пространстве и как определяются координаты вектора.
2. Запишите формулы   выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.
3. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Вычислите угол между векторами ВD  и   CB.

Зачёт по геометрии 11 кл.

Тема :   Метод координат в пространстве.

Карточка №2

1.Расскажите о связи между координатами векторов и координатами точек.

2. Запишите формулы выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.

3. Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если А(1;1;0), В (3;-1; 0), С(4; -1;2), D (0;1;0)

Зачёт по геометрии 11 кл.

Тема :   Метод координат в пространстве.

Карточка №3

1. Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов, используя скалярное произведение.
2. Запишите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
3. Даны точки   А(0;4;0), В (2;0;0), С(4;0;4), D(2;4;4). Докажите, что АВСD - ромб.

Зачёт по геометрии 11 кл.

Тема :   Метод координат в пространстве.

Карточка №4

1.Сформулируйте   основные свойства скалярного произведения векторов.

2. Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Даны координаты трёх вершин параллелограмма АВСD : А(-6;-4; 0), В(6; -6;2), С(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами АС и ВD.

Зачёт по геометрии 11 кл.

Тема :   Метод координат в пространстве.

Карточка №5

1.Дать определение движения пространства. Приведите примеры движения.

2. Запишите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.

3. Даны векторы а 1;2;-1      b -3; 1; 4    c  3; 4 ;-2    d  2 ;-1; 3  . вычислите скалярное произведение    ( a +  2b) ( c-d).

Зачёт по геометрии 11 кл.

Тема :   Метод координат в пространстве.

Карточка №6

1. Назвать виды движения.
2. Как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов этих прямых.
3. Вычислите косинус угла между прямыми АВ и СD    если: А (7; -8;15), В (8; -7; 13), С (2; -3; 5) D(-1; 0; 4).

Зачёт по теме «Метод координат в пространстве.  Движения».

Работу выполнил(а)________________________________________________.

1. В прямоугольной системе координат оси носят названия: Ох - ________________________

Оу - ____________________________, Оz - ________________________________________.

2. Какие координаты имеет точка А, если она лежит на оси ординат?____________________
3. Какие координаты имеет точка В, если она лежит в плоскости Оxz?___________________
4. Каждая координата суммы двух или более векторов равна___________________________
5. Радиус-вектором данной точки называется _________________________________________
6. Координаты ________________________________ равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
7. Каждая координата середины отрезка равна ________________________________________
8. Вычисление длины вектора  производится по формуле _______________________.
9. Может ли одна из координат вектора равняться 7, если длина этого вектора равна 5? _____
10. Запишите формулу для вычисления расстояния между точками А 

_____________________________________________________________________________

11. Чтобы найти координаты вектора надо ___________________________________________
12. Запишите формулу скалярного произведения векторов

а) в длинах:_________________________________________________________________

б) в координатах:____________________________________________________________

13. Когда скалярное произведение равно 0?___________________________________________.
14. Когда скалярное произведение отрицательно?______________________________________.
15. Запишите формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
16. Когда ненулевой вектор называется направляющим?________________________________
17. Движение пространства – это____________________________________________________

_______________________________________________________________________

Зачёт №1

«Метод координат в пространстве»

Вариант 1

1. Даны точки А(5; 0; 2), В(4; -3; 2),

С(0; 0; 1), D(2; -4; -4). Найдите:

а) координаты векторов    АВ и СD;

б) координаты векторов    а = АВ + СD,

b = AB – CD, с = -⅓АВ;

в) длины векторов а и b;

г) скалярное произведение векторов

АВ и СD, а и b.

2.  Вершины треугольника КМN имеют координаты K(-2; 3; -2), M(8; 1;2), N(2; -3; 0). Найдите:

а) координаты середины стороны КМ;

б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);

в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Зачёт №1

«Метод координат в пространстве»

Вариант 2

1. Даны точки А(5; -5; 0), В(-2; 1; -3),

С(0; 3; 1), D(1; 3; -4). Найдите:

а) координаты векторов    АВ и СD;

б) координаты векторов     а = АВ + СD,

b = AB – CD, с = ⅓АВ;

в) длины векторов    а и b;

г) скалярное произведение векторов

АВ и СD, а и b.

2.  Вершины треугольника КМN имеют координаты K(8; 3; 5), M(14; 1;0), N(12; -5; 0). Найдите:

а) координаты середины стороны КМ;

б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);

в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Урок 30 Геом. 11 кл

Зачет по карточкам

№1

1.Объясните , какое тело называется цилиндром

2. Какая фигура образуются при вращении треугольника АВС вокруг оси ( достроить). Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения  треугольника  АВС вокруг его стороны АС, если АС=8см, ВС=5см.

3. Высота конуса равна 6см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом в 30 . Найдите площадь сечения конуса плоскостью , проходящей через две образующие , угол между которыми равен 60.

4. Радиус шара  равен R . Найдите площадь поверхности вписанного  в шар куба.

Урок 30 Геом. 11 кл

Зачет по карточкам

№2

1.Объясните ,какое тело  называется конусом .

2. Вычислите полную поверхность тела вращения , которое  получается в результате  вращения  треугольника АВС вокруг его стороны  АВ, если АВ=4см, ВС=3см.

3. Радиус шара равен 8см. Через конец радиуса , лежащего на сфере , проведена плоскость под углом 45 к радиусу . Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

4. Куб с ребром  а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

 Многогранники и площади их поверхностей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Назовите элементы многогранника и дайте их определения.

2. Что называется основанием боковой гранью, ребром призмы?

3. Какая призма называется прямой (наклонной)?

4. Какая призма называется правильной?

5. Что принимается за боковую (полную) поверхность призмы?

6. Докажите, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

7. Какой многогранник называется параллелепипедом?

8. Докажите, что у параллелепипеда противоположные грани равны и параллельны.

9. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам.

10. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

11. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

12. Что такое куб?

13. Назовите элементы пирамиды и дайте их определения.

14. Какая пирамида называется правильной?

15. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

16. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

17. Дайте определение тетраэдра. Какое наименьшее число ребер (граней, вершин) имеет многогранник?

18. Какие многогранники называются правильными? Перечислите известные вам виды правильных многогранников.

19. Докажите, что у прямой призмы все боковые грани - прямоугольники.

20. В пирамиде все боковые грани равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

21. В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что они составляют с плоскостью основания равные углы.

22. Докажите, что у правильной призмы все боковые грани - равные прямоугольники.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Нарисуйте многогранник. Что является основанием и боковыми гранями многогранника? Назовите элементы многогранника и дайте их определения. Ответ поясните рисунком.

2. Почему все высоты призмы равны между собой? Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды.

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 2

1. Сколько вершин, граней, ребер имеет шестиугольная призма? Ответ поясните на модели призмы.

2. Дан прямоугольный параллелепипед  с высотой . Найдите величину двугранного угла , если четырехугольник  - квадрат со стороной .

3. а) Каким свойством обладают противоположные грани параллелепипеда?

б) Докажите свойство, сформулированное в п. а).

КАРТОЧКА 3

1. Дайте определение тетраэдра. Какое наименьшее число ребер (граней, вершин) имеет многогранник?

2. В основании пирамиды лежит семиугольник. Сколько граней, вершин, ребер, апофем имеет эта пирамида? Ответ поясните рисунком.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания , боковое ребро .

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 4

1. Нарисуйте призму, назовите ее элементы. Что является основанием, боковыми гранями призмы?

2. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно одной из сторон основания. Можно ли принять это ребро за высоту пирамиды? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда?

б) Докажите свойство, сформулированное в п. а).

КАРТОЧКА 5

1. Что называется основанием, боковой гранью пятиугольной призмы? Ответ поясните рисунком.

2. Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из ее боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Является ли данная пирамида правильной? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности прямой призмы.

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 6

1. Какая призма является прямой (наклонной). Ответ поясните рисунком.

2. Дан прямой параллелепипед , в основании которого лежит ромб с углом . Выпишите большие диагонали параллелепипеда. Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности наклонной призмы.

б) Выведите, формулу для п. а).

КАРТОЧКА 7

1. Какой параллелепипед называется прямоугольным? Ответ поясните рисунком.

2. Призма имеет 20 граней. Какой многоугольник лежит в ее основание? Сколько вершин и ребер имеет эта призма?

3. а) Что принимается за площадь боковой поверки правильной усеченной пирамиды?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 8

1. Какая призма называется правильной? Ответ поясните рисунком.

2. Сколько граней, ребер, вершин имеет пятиугольная пирамида? Ответ поясните рисунком.

3. а) Сформулируйте утверждение о высоте пирамиды, в которой все боковые ребра равны между собой.

б) Докажите утверждение п. а).

КАРТОЧКА 9

1. Какая призма называется параллелепипедом? Ответ поясните рисунком.

2. Сколько плоскостей симметрии можно провести через вершину правильного тетраэдра? Ответ поясните рисунком.

3. а) Чему равен квадрат любой диагонали прямоугольного параллелепипеда?

б) Докажите теорему о квадрате диагонали правильного параллелепипеда.

КАРТОЧКА 10

1. Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильного параллелепипеда? Ответ обоснуйте.

2. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через ее высоту и апофему. Как расположена плоскость сечения по отношению к стороне основания? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

Ответ: плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей.

3. а) Что принимается за площадь полной поверхности правильного тетраэдра?

б) Выведите формулу для п. а).

3. а) Докажите, что боковые грани прямой призмы - прямоугольники.

б) Можно ли утверждать, что боковые грани правильной призмы равны? Ответ обоснуйте.

б) плиток, требуемых для облицовки стен операционной комнаты;

в) материала, идущего на покрытие купола Московского цирка на Цветном бульваре?

Ответ обоснуйте.

3. а) Что принимается за площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда?

б) Выведите формулу для п. а).

*Фриз - окрашиваемая поверхность стен между потолком и гобеленом или между потолком и панелью (при отсутствии гобелена) с минимальной высотой 50 мм.

КАРТОЧКА 11

1. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида?

2. Дан наклонный параллелепипед . Известно, что угол основания, . Какое из диагональных сечений параллелепипеда больше? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Как найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, не применяя формулу?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 12

1. Сколько центров симметрии имеет параллелепипед? Ответ поясните рисунком.

2. Будет ли сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно ее боковой грани? Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу для площади полной поверхности куба по его ребру .

б) Выведите формулу полной поверхности куба, зная его диагональ .

КАРТОЧКА 13

1. Какая призма называется кубом? Ответ поясните рисунком.

2. Дана правильная треугольная пирамида. Можно ли утверждать, что ее апофемы равны? Ответ обоснуйте.

3. а) Что принимается за площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы?

б) Выведите формулу для п. а).

Тела вращения и площади их поверхностей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Что такое боковая поверхность основания, образующие, ось, радиус и высота цилиндра?

2. Что представляет собой сечение цилиндра, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра? Как называется такое сечение?

3. Объясните, что такое развертка боковой поверхности цилиндра. Что принимается за площадь боковой поверхности цилиндра?

4. Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

5. Что называется площадью полной поверхности цилиндра? Как ее вычислить, если даны радиус и высота цилиндра?

6. Что такое боковая поверхность, основание, образующие ось и высота конуса?

7. Что представляет собой осевое сечение конуса? Как называется такое сечение?

8. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса?

9. Объясните, что представляет собой развертка боковой поверхности конуса. Что принимается за площадь боковой поверхности конуса?

10. Докажите, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

11. Что принимается за площадь полной поверхности конуса? Как ее вычислить, если даны радиус основания и образующая?

12. Что такое боковая поверхность, основания, образующие усеченного конуса?

13. Докажите, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

14. Что называется сферой или шаровой поверхностью?

15. Какое тело называется шаром? Что такое центр, радиус, диаметр шара?

16. Что представляет собой сечение шара плоскостью? Что такое большой круг шара?

17. Докажите, что пересечение шара плоскостью есть круг.

18. Что такое касательная плоскость к сфере? Какая точка называется точкой касания сферы и плоскости?

19. Докажите, что плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

20. Какая прямая называется касательной к шару?

21. Докажите, что через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечное множество касательных прямых, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

22. Выведите уравнение сферы данного радиуса с центром в точке с данными координатами.

23. Исследуйте взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

24. Докажите, что радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости.

25. Докажите, что если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Сделайте рисунок цилиндра. Что называется образующими, основанием, осью, высотой цилиндра?

2. Объясните, как получить конус вращением прямоугольного треугольника.

3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.

КАРТОЧКА 2

1. Какой фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Ответ поясните рисунком.

2. Объясните, как получить усеченный конус вращением прямоугольной трапеции.

3. Выведите формулу площади боковой поверхности цилиндра.

КАРТОЧКА 3

1. Что представляет собой сечение цилиндра, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра? Как называется такое сечение? Ответ поясните рисунком.

2. Перечислите случаи взаимного расположения сферы и плоскости. Ответ поясните рисунком.

3. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса.

КАРТОЧКА 4

1. Имеет ли цилиндр: а) центр симметрии; б) ось симметрии; в) плоскость симметрии? Ответ обоснуйте.

2. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса? Ответ поясните рисунком.

3. а) Исследуйте взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

б) Докажите, что всякое сечение шара плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного центра шара на секущую плоскость.

КАРТОЧКА 5

1. Сделайте рисунок конуса. Что называется образующими, вершиной, высотой, основанием конуса?

2. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью: а) параллельной основанию; б) параллельной оси? Ответ поясните рисунком.

З. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

КАРТОЧКА 6

1. Имеет ли шар: а) оси симметрии; б) плоскость симметрии? Ответ поясните.

Ответ: а) бесконечное множество; б) бесконечное множество.

2. Какой фигурой является: а) осевое сечение конуса; б) сечение конуса плоскостью, параллельной основанию? Ответ поясните рисунком.

Ответ: а) равнобедренным или равносторонним треугольником: б) кругом или точкой.

3. Выведите формулу площади поверхности сферы.

КАРТОЧКА 7

1. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса? Ответ поясните рисунком.

2. Может ли касательная плоскость иметь со сферой несколько общих точек? Ответ обоснуйте.

3. а) Докажите, что радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости

б) Докажите, что через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечное множество касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

КАРТОЧКА 8

1. Какая фигура получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии? Ответ поясните рисунком.

2. Имеет ли конус: а) ось симметрии; б) центр симметрии; в) плоскость симметрии?

3. а) Докажите, что если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

б) Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

КАРТОЧКА 9

1. Сделайте рисунок сферы. Что называется центром, радиусом, диаметром сферы?

2. В каком случае осевым сечением цилиндра является квадрат, а осевым сечением конуса - равносторонний треугольник? Ответ поясните рисунком.

3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара имеющего диаметром высоту конуса.

Объемы тел

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Сформулируйте основные свойства объемов тел.

2. Как найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная длины трех ребер, выходящих из одной вершины?

3. Докажите, что объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

4. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

5. Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

6. Докажите, что объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

7. Докажите, что объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

8. Докажите, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

9. Докажите, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

10. Докажите, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

11. Выведите формулу объема усеченной пирамиды.

12. Выведите формулу объема шара.

13. Выведите формулу объема шарового слоя.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Запишите формулы объемов конуса и его пятой части.

2. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна , высота пирамиды равна . Чему равен объем пирамиды?

3. а) Зная формулу объема прямоугольного параллелепипеда, докажите, что объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

б) Зная формулу объема прямоугольного параллелепипеда, докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

КАРТОЧКА 2

1. Запишите формулу объемов пирамиды и ее третьей части.

2. Чему равен объем шара, если площадь его сферической поверхности равна ?

3. а) Зная формулу объема прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, выведите формулу объема прямой треугольной призмы.

б) Зная формулу объема любого параллелепипеда, докажите, что объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 3

1. Запишите формулы объемов цилиндра и его двадцатой части.

2. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Чему равна образующая конуса, если радиус основания равен ?

3. а) Зная формулу объема прямой треугольной призмы, докажите, что объем прямой призмы равен произведению площади основании на высоту.

б) Зная формулу объема треугольной призмы, докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 4

1. Запишите формулы объемов шара и его двенадцатой части.

2. Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара, чтобы его объем увеличился в два раза?

3. а) Докажите, что объем треугольной наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

б) Докажите, что объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

КАРТОЧКА 5

1. Запишите формулы объемов куба и его десятой части.

2. Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник. Чему равен диаметр основания конуса, если его образующая равна  см?

3. а) Зная формулу объема наклонной треугольной призмы, докажите, что объем произвольной наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

б) Зная формулу объема любой треугольной пирамиды, докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 6

1 Куб пересечен диагональной плоскостью, Чему равен объем каждой части куба?

2. Как вычислить объем цилиндра, зная диаметр его основания  и высоту ?

3. Выведите формулу объема конуса.

КАРТОЧКА 7

1. Прямоугольный параллелепипед пересечен диагональной плоскостью. Чему равен объем каждой его части?

2. Радиус шара равен радиусу основания равностороннего конуса. Какое из тел имеет больший объем?

Ответ: объем шара больше, так как при данном условии объем конуса можно рассматривать как часть объема шара, описанного около конуса.

3. а) Зная формулу объема треугольной пирамиды, докажите, что объем произвольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

б) Выведите формулу объема шарового слоя.

КАРТОЧКА 8

1. Чему равен объем правильной четырехугольной призмы, если сторона основания равна  м, высота призмы  м?

2. Угол между образующей конуса и радиусом основания равен , образующая конуса равна . Чему равен объем конуса?

3. Выведите формулу объема цилиндра.

КАРТОЧКА 9

1. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Радиус основания равен . Запишите формулу для объема конуса.

2. Радиус шара равен радиусу основания равностороннего цилиндра. Какое из тел имеет больший объем?

З. Выведите формулу объема шара.

КАРТОЧКА 10

1. Запишите формулу объема для правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно .

2. Даны равносторонние цилиндр и конус с равными радиусами оснований. Объем, какого тела больше? Ответ обоснуйте.

Ответ: объем цилиндра больше, так как при данном условии объем конуса можно рассматривать как часть объема цилиндра, описанного около конуса.

3. Дана наклонная треугольная призма с боковым ребром, равным . Сечение, перпендикулярное боковым ребрам, треугольник с катетами  и . Докажите, что объем призмы вычисляется по формуле .