Методы решения задач по теме: "Углы в пространстве (10-11 классы)."
методическая разработка по геометрии (10, 11 класс)

Лекция № 1

Рассмотрим три типа стереометрических задач на нахождение углов в пространстве:

1. нахождение  угла между прямыми;
2. нахождение  угла  между прямой и  плоскостью;
3. нахождение  угла между  плоскостями.

Углы в пространстве:

                                     угол между прямыми

Теория

Определения

1. Угол между пересекающимися прямыми – острый или прямой угол, образованный этими прямыми.

00< α ≤ 900

2. Угол между  параллельными прямыми   принято считать равным нулю.

α =00

3. Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между параллельными им пересекающимися прямыми.

Методы решения задач

№ 1.        Метод построения угла между прямыми (поэтапных вычислений)

Для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми, выбирают какой-нибудь треугольник, одним из углов которого является искомый угол. Если этот треугольник прямоугольный, то для нахождения угла используют тригонометрические функции, если треугольник произвольный, то используют теорему косинусов.

        Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми а  и b, выбирают какую-нибудь точку С и проводят через нее прямые а', b', соответственно параллельные aи b. Искомый угол будет равен углу между пересекающимися прямыми а'и b'.

Задача № 1

В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между  прямыми АВ и FE1.

Решение

1. Прямые АВ и FE1 скрещивающиеся. Проведем прямуюFCпараллельную прямой АВ. УголFС – искомый угол (угол  между пересекающимися прямымиFC и FE1).
2. Рассмотрим равнобедренную трапецию FC: F= СD1 = (диагонали боковых граней), FС = 2 (диагональ правильного шестиугольника), E1D = 1 (по условию). Проведем  высотуН,  

      FН = 0,5.

3. Из прямоугольного треугольника FН    

Ответ: .

Задача № 2

Найти косинус угла между прямыми  ВС

и АЕ, если  АВСD – правильный тетраэдр,                                            

Е – середина DC.

Решение

1. Искомый угол – это угол между скрещивающимися прямыми ВС и АЕ. Проведем ЕF параллельно ВС.   Угол АЕF – искомый.
2. В треугольнике ВСD  ЕF – средняя линия, пусть ВС = 2а,  ЕF = а.
3.  по двум сторонам и углу между ними: ,    AB = AD =  2а, BF = DE = а.               Значит,   АF =АЕ.
4. Из  найдем  АF по теореме косинусов:

5. Из  по теореме косинусов найдем косинус угла АЕF

Ответ:

№ 2. Координатно-векторный метод

1. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если

он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной а.

2. Пусть φ – угол между прямыми  а и b,  ,   –

направляющие векторы прямых   а и b. Косинус угла φ можно найти по формуле      .

• Соотношение отрезков в правильных многоугольниках

Равносторонний треугольник

AC = AB = BC = a

 =  =  =

BO= =  BM;     MO =  BM;     BP ==  BM;    OP =  BM  

BM  AC;   AM = MC

FC = =  =  =

Квадрат

AB = DC = CD = DA = a

AC = BD = a;      

BO = OD = AO = OC =

BP = PO = OK = KD = AF =FO = OE = EC =

Правильный шестиугольник

AB = BC = CD = DE = EF = FA = a

AO = BO = CO = DO = EO = DO = a

AD = BE = FC = 2a

AE =   = a

Задача № 3

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F – точки, расположенные на ребрах CD и C1D1 так, что   DE = DC,

С1F = С1D1.

Решение

1. Введем прямоугольную систему координат. Тогда  , , , .
2. ,   –  направляющие векторы  прямых  АЕ и DF.
3. Пусть  – угол между прямыми  АЕ и DF.  Применим формулу:

 ,   .

Ответ:  .

Полезные ссылки

1. Угол между скрещивающимися прямыми. Решение задачи №6. Презентация.
2. Угол между прямыми. Решение задач №14, 15. Презентация.
3. Угол между скрещивающимися прямыми. Решение задач № 1 - 12. Презентация.
4. Угол между прямыми. Решение задач № 3-7. Презентация.
5. Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Теория и задачи.
6. Угол между скрещивающимися прямыми, геометрические методы. Теория и задачи.
7. Угол между скрещивающимися прямыми
8. Онлайн тесты ЕГЭ
9. Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
10. В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия.

Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010

Лекция № 2

Углы в пространстве:

                         угол между прямой и плоскостью

Теория

Определение

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

а – прямая

AА', –перпендикуляр к плоскости

А' – основание перпендикуляра

О – основание наклонной

ОА' – проекция прямой на плоскость

 –  угол между прямой и плоскостью

Методы решения задач

№ 1.        Метод построения угла между прямой и плоскостью  (поэтапных вычислений)

Для нахождения угла между прямой и плоскостью можно использовать тригонометрические функции острых углов прямоугольного треугольника или теорему косинусов.

Задача № 1

В правильном тетраэдре ABCD

точка Е — середина ребра BD.

Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ABC.

Решение

1. Пусть а – сторона тетраэдра,  DО – высота,  ОВ – радиус описанной окружности, ОВ = .Опустим перпендикуляр ЕМ на плоскость АВС, точка М – середина ВО (по теореме Фалеса), АМ – проекция прямой АЕ на плоскость АВС. Искомый угол ЕАМ обозначим .
2. Треугольник DОВ подобен треугольнику ЕМВ с коэффициентом подобия  k = 2.

DО найдем из треугольника DОВ по теореме Пифагора:

DО =    ,   EM =  (средняя линия треугольника DOВ).

3. Найдем АЕ по теореме косинусов из треугольника АЕВ

, AE =

4. Из треугольника АЕМ ( находим

Ответ: .

№ 2. Метод параллельных прямых

Если точка пересечения прямой а и плоскости находится вне рисунка, данного в задаче, то выбирают какую-нибудь точку плоскости и проводят через нее прямую а', параллельную данной. Искомый угол будет равен углу между новой прямой и плоскостью.

Задача № 2

В правильной треугольной призме ABCA1В1C1, все ребра  которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой ВВ1 и плоскостью АВ1С1.

Решение

1. Прямая ВВ1 параллельна прямой АА1, следовательно, угол между прямой ВВ1 и плоскостью АВ1С1  равен углу между прямой АА1 и плоскостью АВ1С1. Из точки А1 опустим перпендикуляр на плоскость АВ1С1.  Точка  О – основание перпендикуляра, О  АМ, где АМ – медиана и высота равнобедренного треугольника АВ1С1 (АС1 = АВ1),  АО – проекция прямой АА1 на плоскость АВ1С1. Угол А1АМ – искомый угол.
2. Треугольник А1В1С1 – равносторонний и А1М – медиана и высота, значит, треугольник А1МС1 – прямоугольный (, по теореме Пифагора

находим А1М:

3. Из треугольника А1АМ (А1= 900)  tgA1AM = .

Ответ: .

№ 3. Координатно-векторный метод

1. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если

он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной а.

2. Пусть φ – угол между прямой а и плоскостью α,   – направляющий вектор прямой а,    – ненулевой вектор, перпендикулярный  плоскости α.  Синус угла φ можно найти по формуле      .
3. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда  

.

4. Координаты  можно найти, если известны координаты трех

точек плоскости M, N и P, не лежащих на одной прямой. Для этого находят координаты двух векторов, например,  и  .

Так как  α, то  и , то есть скалярное

произведение векторов равно нулю:  и    Координаты  находят, решив систему уравнений Система имеет бесконечное множество решений.

5. Скалярное произведение векторов    и  

выражается формулой  .

•   Соотношение отрезков в правильных многоугольниках (смотри выше)

Задача № 3

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол  между прямой AD1 и плоскостью, проходящей через точки A1, E и F, где точка Е – середина ребра C1D1, а точка Fлежит на ребре DD1, так, что D1F = 2DF.

Решение

1. Введем прямоугольную систему координат.

Тогда  , , , , ,

, , .

2. Пусть  – угол между прямой AD1 и плоскостью А1ЕF,

направляющий вектор прямой AD1,

 – ненулевой вектор, перпендикулярный  плоскостиА1ЕF, следовательно, перпендикулярный векторам   и   .

Найдем  координаты вектора , решив систему уравнений:

Пусть тогда .

.

3. Угол  найдем по  формуле:

,   .

Ответ:  .

№ 4. Метод объемов

При нахождении угла между прямой и плоскостью данным методом необходимо предварительно вычислить расстояние от точки до плоскости.

Пусть  – угол между прямой  ВС и плоскостью ABD.  Из точки С опускаем перпендикуляр  CN  на плоскость ABD. Длина этого перпендикуляра – расстояние от точки С до плоскости ABD, которое предварительно вычисляется методом объемов, показанным выше или любым другим методом. Затем из прямоугольного треугольника CNB находим  .

Задача № 4

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: АВ = 1,

AD =          , AA1=  . Найдите угол между прямой  ВВ1 и плоскостью АВ1С.

Решение

1. Рассмотрим пирамиду АВСВ1.

Найдем ее высоту, опущенную из точки В:

 ,  и   ,

 ,   а площадь треугольника АВ1С вычислим по формуле Герона, зная, что  АС = 2, АВ1 = , В1С = 3 (по теореме Пифагора)

Далее,  откуда   .

2. Из прямоугольного треугольника BNB1 (угол N равен 900)  находим

Ответ:  .

Полезные ссылки

1. Угол между прямой и плоскостью. Решение задач №12 - 15. Презентация.
2. Угол между прямой и плоскостью. Решение задач №12, 13. Презентация.
3. Угол между прямой и плоскостью. Решение задач № 14, 15. Презентация.
4. Угол между прямой и плоскостью. Решение задач № 12-18. Презентация.
5. Угол между прямой и плоскостью. Теория и задачи.
6. Онлайн тесты ЕГЭ
7. Угол между прямой и плоскостью
8. Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
9. В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010

Лекция № 3

Углы в пространстве:

                                  угол между плоскостями

Определения

1. Двугранный угол - фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей  а, не принадлежащими одной плоскости.
2. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.

3. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
4. Углом между пересекающимися плоскостями  называется двугранный угол  φ, образованный этими плоскостями ( 0 < φ ≤ 90° ).

Методы решения задач

№ 1.        Метод  построения  линейного угла двугранного угла  (поэтапных вычислений)

Данный метод позволяет находить угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Для нахождения угла между пересекающимися плоскостями α  и  β выбирают какую-нибудь точку С, принадлежащую линии с  пересечения  этих плоскостей и строят перпендикуляры a и  b в указанных плоскостях к прямой их пересечения с. Угол между прямыми a и b будет искомым углом между плоскостями α  и  β.

Величина угла находится либо из прямоугольного треугольника, либо из некоторого треугольника с применением теоремы косинусов.

Задача № 1

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна, а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями АВС и  АСМ, где точка М делит ребро BS так, что BM :MS=  2: 1.

Решение

1. Построим линейный угол двугранного угла. Плоскости  АВС и АСМ пересекаются по прямой АС. Построим перпендикуляры в каждой из данных плоскостей к прямой АС:

ВОАС (по свойству диагоналей квадрата).

Треугольники MSC и MSA равны, следовательно, МС = МА.

Треугольник АМС равнобедренный. Проведем в этом треугольнике высоту МО. Таким образом, искомый линейный угол – угол ВОМ.

2. В прямоугольном треугольнике  SOB (:

SO=.

3. Проведем перпендикуляр МН к плоскости основания,

, , значит, . По теореме Фалеса, если    , то

, следовательно, ОН = ОВ = 1.

4. Прямоугольный треугольник SOB подобен прямоугольному

треугольнику MHB, следовательно, ,

МВ = , откуда  МН = .

5. , из прямоугольного треугольника ОНМ находим:

tg=, .

Ответ: .

№ 2. Метод параллельных плоскостей

        Если линия пересечения плоскостей α  и  β не дана или находится вне  рисунка, то для нахождения угла между плоскостями  α  и  β выбирают плоскости α' и β', соответственно параллельные плоскостям α  и  β  или одной из них, так, чтобы  линия пересечения плоскостей была расположена на рисунке. После этого находят угол между плоскостями α' и β'.

Задача № 2

В  прямоугольном  параллелепипеде  ABCDA1B1C1D1  ,  у  которого  AB = 4,  

BC = 6, CC1 = 4.  Найдите  тангенс  угла  между плоскостями  CDD1и BDA1.

Решение

1. ПлоскостиCDD1 и  ABB1параллельны, следовательно, заменим плоскость CDD1 на плоскость ABB1 и найдем угол между  пересекающимися плоскостями ABB1и BDA1. Линия их пересечения – прямая А1В.
2. Треугольник АВА1 равнобедренный, проведем перпендикуляр АЕ, где  E  —  середина BA1.Треугольник A1BD  равнобедренный, значит DE – медиана и высота.

DE ⊥BA1,  AE ⊥BA1, следовательно,  угол  DEA —  линейный  угол искомого  угла.  

3. Из  прямоугольного треугольника  DAE  находим:

tg∠DEA =, гдеAD = 6 (по условию),

АЕ =  (половина диагонали квадрата).

Ответ: .

№ 3. Метод построения перпендикуляров к плоскостям

        Если прямые  и  лежат в плоскости   и эти прямые перпендикулярны плоскостям α  и  β соответственно, то  угол между этими прямыми равен углу между плоскостями α  и  β.

Задача № 3

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найти угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C.

Решение

1.  (диагонали квадрата),  , значит, .
2.  (диагонали квадрата),  , значит, .
3. Поэтому величина искомого угла равна величине угла между прямыми и . Треугольник  – равносторонний, так как его стороны – диагонали равных квадратов, следовательно, .

Ответ: .

№ 4. Координатно-векторный метод

        Нахождение угла между плоскостями α  и  β данным методом сводится к нахождению угла между векторами, перпендикулярными плоскостям     α  и  β.

1. Пусть φ – угол между  плоскостями α  и  β,

 – ненулевой вектор, перпендикулярный  плоскости α,    – ненулевой вектор, перпендикулярный  плоскости β.  Косинус угла φ можно найти по формуле

     .

2. Координаты векторов и   находят способом, который рассмотрен  выше в теме: «Угол между прямой и плоскостью». Например, координаты  можно найти, если известны координаты трех точек плоскости M, N и P, не лежащих на одной прямой. Для этого находят координаты двух векторов, например,  и  .

Так как  α, то  и , то есть скалярное

произведение векторов равно нулю:     и    Координаты  находят, решив систему уравнений   Система имеет бесконечное множество решений.

Скалярное произведение векторов    и  

выражается формулой  .

• Соотношение отрезков в правильных многоугольниках для нахождения координат точек (смотри выше)

Задача № 4

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями  и ,  где точкиE и F – середины ребер A1B1и B1C1 соответственно.

Решение

1. Введем прямоугольную систему координат. Тогда

, ,, .

2. Найдем вектор , перпендикулярный плоскости AD1E. Этот вектор должен быть перпендикулярен векторам   и  ,  значит,

решим систему уравнений:

Пусть тогда , тогда   .

3. Найдем вектор, перпендикулярный плоскости D1FC. Этот вектор должен быть перпендикулярен векторам   и  ,  значит,

решим систему уравнений:

Пусть тогда , тогда   .

4. Найдем искомый угол по формуле:

,  .

Ответ: 600.

№ 5. Метод объемов

При вычислении угла между плоскостями можно воспользоваться формулой объема треугольной пирамиды

S1 и S2– площади двух граней пирамиды,

а – общее ребро этих граней,

φ – угол между плоскостями этих граней.

Задача № 5

В прямоугольном параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1 известны ребра:  

АВ = 1, АD =  , AA1 = .

Найдите угол между плоскостями АВ1D1и  CB1D1.

Решение

1. Рассмотрим треугольную пирамиду AB1CD1:

2. Объем тетраэдра AB1CD1 найдем, «отрезая» от исходного параллелепипеда четыре  равнообъемных «куска»:

3. Объем параллелепипеда равен 1, а объем каждого «куска» равен:

4. Найдем площади граней АВ1D1и CB1D1:

АВ1 = СD1 = , AD1 = CB1 = 3, B1D1 = 2,

 .

5. Подставим найденные величины в формулу, получим:

, откуда  ,  .

Ответ:  .

Полезные ссылки

1. Угол между плоскостями. Решение задач № 1-5. Презентация.
2. Угол между плоскостями. Решение задач № 18-20. Презентация.
3. Угол между плоскостями. Решение задач № 1-9. Презентация.
4. Угол между плоскостями. Задачи. Презентация.
5. Угол между плоскостями. Метод координат. Теория и задачи.
6. Угол между плоскостями, геометрические методы. Теория и задачи.
7. Онлайн тесты ЕГЭ
8. Угол между плоскостями
9. Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
10. В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010