Методы решения задач по теме: "Расстояния в пространстве (10-11 классы)".
методическая разработка по геометрии (10, 11 класс)

Занятие № 1

Рассмотрим три типа стереометрических задач на нахождение расстояний в пространстве:

1. нахождение расстояния от точки до прямой;
2. нахождение расстояния от точки до плоскости;
3. нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояния в пространстве:

расстояние от точки до прямой в пространстве

Теория

Определение

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Теорема о трёх перпендикулярах

        Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема        

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Методы решения задач

При вычислении расстояния от точки до прямой необходимо:

1. определить плоскость, в которой находятся данная точка и данная прямая;
2. в этой плоскости построить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

№ 1.        Метод построения перпендикуляра (поэтапных вычислений)

Для нахождения расстояния от точки А до прямой а сначала находят основание А' перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а.  Если найти длину перпендикуляра АА' не удается непосредственно из условия задачи, то на прямой а выбирают какие-нибудь точки В, С и рассматривают треугольник АВС, в котором  АА' является высотой. Для нахождения АА' используют теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие треугольников, тригонометрические функции углов, формулы площади треугольника и др.

Задача № 1

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1  найдите    

расстояние от точки  А   до   прямой    BD1.

Решение

1. Расстояние от точки A до прямой BD1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую   BD1.  

Через точку А и прямую BD1 проводим плоскость АD1B.

АD1B – прямоугольный (, так как  

 D1D(ABC),  D1А – наклонная, АD – проекция,   АBAD, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах   AB АD1.  

Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1, проведенная к гипотенузе  BD1.    

2. Длину отрезка AH  можно найти различными способами.

Способ 1 (через площадь треугольника).       

В треугольнике  ABD1   АВ = 1 (по условию),  AD1 =  (как диагональ квадрата), BD1 =  (как диагональ куба).  

Найдем площадь  этого треугольника  по формулам:    

   и  , откуда

AB ∙ AD1 = BD1 ∙ AH

 =  .

Способ 2 (через подобие треугольников).

Треугольники   BAD1 и  ВНА  подобны по двум углам:                                         ,следовательно,    .         

 Откуда   АН  =   .

Способ 3 (через синус угла треугольника).

Из прямоугольных треугольников  BAD1 и  ВНА выразим синус угла В:

 ;        ,    откуда        AH  .

Способ 4 (через  теорему  Пифагора).

Пусть

Из   по теореме Пифагора находим  .

Из  по теореме Пифагора находим   .

Откуда   =

Тогда   ,   .

Ответ: 

Задача № 2

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF,  стороны  основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите  расстояние от точки S до прямой BF.

Решение

1. Расстояние от точки S до прямой BF есть длина перпендикуляра,

опущенного из точки S на прямую   BF.  Через точку S и прямую BF  проводим плоскость FSB.

FSB – равнобедренный (SF = SB), следовательно искомый перпендикуляр – это высота и медиана SM равнобедренного треугольника FSB.  

2. AFEDCB – правильный шестиугольник, следовательно,

FB = 2r = FB =   , .

3. Из SMB  (    по теореме Пифагора  ,  откуда

SM =   =  .

Ответ:  .

№ 2.         Метод параллельных прямых

Если искомый перпендикуляр выходит за пределы многогранника (точка А' находится вне участка прямой а, данного в задаче), то через точку А  проводят  прямую  с, параллельную прямой  а, и выбирают не ней более удобную точку С , из которой перпендикуляр опускаем на прямую а. Длина отрезка СС' будет равна искомому расстоянию от точки А до прямой а.

Задача № 3

В правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АF1.

Решение

1. Расстояние от точки  B до прямой   АF1    есть длина перпендикуляра, опущенного из точки   B   на прямую   АF1.  
2. О1 – центр верхнего основания призмы,  (ABO1F1 – параллелограмм, так как AB = F1O1 = 1  и    AB  F1O1), следовательно, расстояние от точки  В до прямой АF1 равно расстоянию от точки О1 до прямой АF1.
3. Треугольник AF1O1 – равнобедренный: AF1 = AO1=   (AF1 = AO1 как равные наклонные на  плоскость верхнего основания призмы  и          AF1 =  как диагональ боковой грани), O1F1 = 1.
4. По теореме Пифагора из треугольника AF1K находим высоту AK треугольника AF1O1:

  =  .

5. Площадь треугольника   AF1O1 найдем двумя способами:

     и

  , значит,

 .  

Ответ:   .

Задача № 4

В правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А1F1.

Решение

1. Расстояние от точки  B до прямой   А1F1    есть длина перпендикуляра, опущенного из точки   B   на прямую   А1F1.  
2.  , следовательно, .
3. BEF1A1 – равнобедренная трапеция  (BA1 = EF1  как диагонали граней правильной шестиугольной призмы),  A1F1 = 1 (по условию),  BE = 2  (как  диагональ правильного шестиугольника),

ρ  (В; A1F1) = BK = A1M , где  ВК  и  A1M– высоты трапеции.

4. В BА1М  (М = 900):  ВА1 = (диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы),

 ВМ =   , следовательно,  по теореме Пифагора   А1М = .

Ответ:    .

№ 3.        Координатный метод

Пусть    ,   , тогда расстояние между точками А и В можно вычислить по формуле   .

• Соотношение отрезков в правильных многоугольниках (для нахождения координат точек)

Равносторонний треугольник

AC = AB = BC = a

 =  =  =

BO =  BM;     MO =  BM;     BP =  BM;    OP =  BM  

BM  AC;   AM = MC

FC = =  = = =

Квадрат

AB = DC = CD = DA = a

AC = BD = a;      

 BO = OD = AO = OC =

BP = PO = OK = KD = AF =FO = OE = EC =

Правильный шестиугольник

AB = BC = CD = DE = EF = FA = a

AO = BO = CO = DO = EO = DO = a

AD = BE = FC = 2a

AE =   = a

Задача № 5

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки  D1  до   прямой  PQ, где P и Q – середины соответственно ребер  A1B1  и   ВС.

Решение

1. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А.  

Найдем координаты точек

.        

Тогда   

2. Из треугольника D1PQ  по теореме

косинусов , откуда

3. По основному тригонометрическому тождеству   получаем

        .  

4. Пусть , тогда  

Ответ: .

Полезные ссылки

1. Расстояние от точки до прямой. Решение задач  с №17 по № 20. Презентация.
2. Расстояние от точки до прямой. Решение задач   № 16, 17. Презентация.
3. Расстояние от точки до прямой. Решение задач  с №16 по №20. Презентация.
4. Расстояние от точки до прямой. Решение задач  с №19 по №22. Презентация.
5. Расстояние от точки до прямой. Решение задач .
6. Онлайн тесты ЕГЭ
7. Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
8. В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010

Занятие № 2

 Расстояния в пространстве:

               расстояние от точки до плоскости в пространстве

Теория

Определение

Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α называется расстоянием от точки А до плоскости α.

        α; А α.        

Определение

        Прямая называется перпендикулярной к  плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если прямая, перпендикулярна  к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема (признак перпендикулярности  плоскостей)

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Методы решения задач

        При вычислении расстояния от точки до плоскости необходимо выполнить следующее:

1. доказать, что некоторая прямая, проходящая через данную точку А, перпендикулярна плоскости α;
2. вычислить длину перпендикуляра от точки А до плоскости α.

 1.        Метод построения перпендикуляра (поэтапных вычислений)

Для нахождения расстояния от точки А до плоскости α находят перпендикуляр АА', опущенный из точки А на плоскость α.

Если нахождение длины перпендикуляра не вытекает непосредственно из условия задачи, то на плоскости α выбирают какую-нибудь прямую а, проходящую через точку А', и находят длину перпендикуляра АА', опущенного из точки А на прямую а. Для этого используют теорему Пифагора или другие теоремы и формулы.

Задача № 1

В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки А до плоскости BDA1.

Решение

Построим перпендикуляр из точки А к плоскости BDA1.

1. Точка  О —  точка пересечения диагоналей основания куба,

следовательно, О – середина отрезка BD и АО BD.  

Прямая BD перпендикулярна прямой АО, лежащей в плоскости АОА1, значит, прямая BD перпендикулярна плоскости АОА1 (по определению).

2. Плоскость BDA1 проходит через прямую BD, прямая  BD

перпендикулярна плоскости АОА1, следовательно,  плоскости BDA1  и АОА1 перпендикулярны (по признаку перпендикулярности плоскостей).

3. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость BDA1

есть отрезок АН, проведенный из точки А на  линию пересечения  плоскостей BDA1 и АОА1  - прямую А1О (по определению).

4. АН – высота  прямоугольного треугольника  АОА1 (А1А АО), в

котором АА1 = 1 (по условию), АО = (половина диагонали основания), ОА1 = (по теореме Пифагора).

Высоту АН можно вычислить различными способами.

Способ 1 (через площади треугольников). 

Для площади S этого треугольника АОА1 имеют место равенства

  и  

AOAA1 =  A1 O AН,     

Откуда находим АН = .

Способ 2 (через подобие треугольников).

Треугольники АОА1 и НОА подобны по двум углам (. Следовательно,.   Откуда находим АН = .

Способ 3 (через синус угла).

Из прямоугольных  треугольников  АОА1 и НОА выразим синус угла АОА1:

sinАОА1 =  ,

sinАОА1 = ,   откуда АН = АО sinАОН =   .

Способ 4 (через  теорему  Пифагора).

Пусть А

Из   по теореме Пифагора  .

Из    по теореме Пифагора   .

Откуда  1 =

Тогда   ,   .

Ответ: 

№ 2. Метод параллельных прямых и плоскостей

Если точка А' находится вне участка плоскости α, указанного в задаче, то через точку А проводят прямую с, параллельную плоскости α, и выбирают на ней более

удобную точку С, проекция которой С' принадлежит данному участку

плоскости α.  Длина отрезка СС' равна искомому расстоянию от точки А до

плоскости α. Либо можно через точку А провести плоскость, параллельную

плоскости α,  и найти расстояние от произвольной точки этой плоскости до

плоскости α.

Задача № 2

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник ABC, АВ = АС = 5, ВС = 6. Высота призмы равна 3. Найдите расстояние от середины ребра до плоскости  .

Решение

Пусть   высота треугольника , тогда  середина стороны .

Прямая параллельна плоскости  , поэтому расстояния от точек и до плоскости равны.

Плоскость пересекает плоскость по прямой , где D - середина отрезка BC. Прямая BC перпендикулярна плоскости поскольку перпендикулярна прямым  и . Следовательно, плоскости и перпендикулярны. Поэтому расстояние от точки до плоскости равно высоте  прямоугольного треугольника  . Из условия следует, что

Отсюда  

Ответ: 2,4

Задача № 3

В единичном кубе  найти

расстояние от точки  D до плоскости

Решение

1. Так как плоскости и параллельны                              

()   и  D , О1 – центр верхнего основания куба,  то расстояние от точки D  до плоскости равно расстоянию от точки О1  до этой же плоскости.

2. В плоскости АВ1С проведем прямую В1О, где  О – центр нижнего

основания куба.  Из точки О1 опустим перпендикуляр  О1Е  на эту прямую.

3. Прямая О1Е лежит в плоскости ВВ1D1D, а прямая АС перпендикулярна

этой плоскости (АС  BD), следовательно, О1Е   АС и  О1Е  (. Искомое расстояние – отрезок О1Е.

4. В  треугольнике ОВ1О1 ( О1 = 900)   В1О1 =  (половина диагонали

квадрата), О1О = 1, ОВ1 =

.         Откуда  .

Ответ:   .

№ 3. Метод объемов

        При нахождении расстояния от точки до плоскости искомое расстояние представляют как высоту подходящей треугольной пирамиды, так как при вычислении объема   пирамиды можно в качестве основания выбрать любую ее грань.  Объем пирамиды  нужно выразить  двумя способами по  формуле   , откуда    .  

Задача № 4

        В правильной треугольной призме

ABCA1B1C1, все ребра  которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВСА1.

Решение

1.  = АО, где  АО .
2. Рассмотрим пирамиду  АА1СВ с основанием АВС и основанием ВА1С.

Найдем объем пирамиды АА1СВ  двумя способами:

,    , где А1А  и АО – высоты пирамиды.

3. АВC – правильный, АА1 = 1, значит,  
4.  

А1ВC – равнобедренный  (А1В = А1С как диагонали граней призмы),                , где высота             А1ВC,

5.  = ,  

 AO =   .

Ответ:   .

№ 4. Координатный метод

Расстояние от точки М ( до плоскости , заданной уравнением , можно вычислить по формуле                            .

        Для того, чтобы составить уравнение плоскости, необходимо знать координаты трех точек этой плоскости A (, B (,  C (, не лежащих на одной прямой и подставить координаты этих точек в общее уравнение плоскости . Затем решить систему уравнений

  ,  найти числа   и составить уравнение плоскости.

• Соотношение отрезков в правильных многоугольниках (смотри  выше)

Задача № 5

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости DEF1.

Решение

1. Введем прямоугольную систему координат и найдем координаты точек  

,

2. Пусть  – уравнение плоскости DEF1. Подставим координаты точек

D, E, F1  в это уравнение, решим полученную систему уравнений:

Откуда  . Следовательно, уравнение плоскости имеет вид                  

                        .

3. Применим формулу и вычислим расстояние от точки до плоскости

Ответ:  .

Полезные ссылки

1. Расстояние от точки до плоскости. Решение задач с №7 по №11. Презентация.
2. Расстояние от точки до плоскости. Решение задач с №8 по №11. Презентация.
3. Расстояние от точки до плоскости. Решение  задачи  №13. Презентация.
4. Расстояние от точки до плоскости. Решение задач №1,2. Презентация.
5. Расстояние от точки до плоскости. Решение задач №10,11. Презентация.
6. Расстояние от точки до плоскости, геометрические методы. Теория и задачи
7. Расстояние от точки до плоскости. Решение задач С2.
8. Онлайн тесты ЕГЭ
9. Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
10. В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010

Занятие № 3

Расстояния в пространстве:

расстояние между скрещивающимися прямыми

Теория

Определение

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

                                         ()

Методы решения задач

        При вычислении расстояния между скрещивающимися прямыми    необходимо::

1. найти общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых а и b;
2. вычислить длину общего перпендикуляра, используя теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие треугольников, тригонометрические функции углов треугольника и др.

№ 1. Метод построения общего перпендикуляра (поэтапных вычислений).

        В этом случае строится общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых а и b –  отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный каждой из них, и находится его длина (см. рисунок выше).

Задача № 1

В правильной четырехугольной пирамиде  SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD  и SA.

    Решение

1. Точка О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD (основания пирамиды).      Точка О лежит на прямой BD.

Из точки О проведем перпендикуляр на прямую SA. Пусть Е – основание этого перпендикуляра.

2. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOS, так как  BD  AО,  АО  AOS. Значит,   BD  ОЕ.

Таким образом, ОЕ – общий перпендикуляр  скрещивающихся прямыx BD и SA.

3. AOS – прямоугольный  (),  АО =  (половина диагонали квадрата),  AS = 1  (по условию),   ( по теореме Пифагора).
4. Найдем  ОЕ, вычислив двумя способами площадь треугольника AOS:     и   , откуда  АО SO = AS ОЕ,

ОЕ  =  0,5  

Ответ:  0,5.

№ 2. Метод  параллельных прямой и плоскости

Если одна из двух данных скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью. Значит, через прямую b можно провести плоскость β,  параллельно другой прямой a и найти расстояние от прямой а  до плоскости β.

Задача № 2

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и ВС.

Решение

1) Прямая ВС параллельна плоскости SAD, в которой  лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SAD.

2) Пусть Е и F соответственно середины ребер AD и ВС. Тогда  искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF.

В  треугольнике SEF имеем: EF = 1,

 SE = SF = ,  высота SO равна .

Для площади S треугольника SEF имеют место равенства

  и   , откуда    EF ∙ SO = SE ∙ FH,

получаем  FH =   .

Ответ:  .

№ 3. Метод параллельных плоскостей

Если данные скрещивающиеся прямые а и b лежат соответственно в параллельных плоскостях α и  β, то расстояние между прямыми а и b равно расстоянию между плоскостями        α  и  β. В этом случае длина перпендикуляра CD, опущенного из произвольной точки С плоскости α на плоскость  β, будет равна расстоянию между прямыми а и b.

Значит, можно построить через каждую из двух прямых аb плоскость, параллельную другой прямой и найти расстояние  между этими плоскостями.

Определение

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую. 

Задача № 3

В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВС1.

Решение

1) Плоскости АВ1D1 и BDC1,  в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими  

прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.

2) Диагональ СА1 куба перпендикулярна

этим плоскостям.  Обозначим Е и F точки

пересечения диагонали СА1

соответственно с  плоскостями АВ1D1 и

BDC1. Длина отрезка EF будет равна расстоянию  между прямыми АВ1 и ВС1.

3) Пусть О и О1 соответственно центры граней ABCD и A1B1C1D1 куба.         В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя  линия треугольника АСЕ и, значит,        EF = FC. Аналогично доказывается, что О1Е — средняя линия треугольника А1С1F и, значит, А1Е = EF. Таким образом, FC = EF = A1E, следовательно,   EF составляет одну треть диагонали СА1,  т. е. EF =

Ответ:   .

№ 4.  Метод объемов

Расстояние между скрещивающимися

прямыми можно найти по формуле объема

тетраэдра (треугольной пирамиды):

   откуда    ,

где   AB = a, CD = b  – скрещивающиеся ребра

тетраэдра  ABCD,    

 d – расстояние между ними,

 – угол между  AB и  CD.

Задача 4

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой  равны 1, найдите расстояние между прямыми  Аи.

Решение

1. Найдем синус угла   между данными прямыми.

Проведем , углом между скрещивающимися прямыми будет угол между прямыми  ВМ и  ВС1.  

Найдем косинус угла из треугольника  по теореме косинусов:

,

где ВМ = АВ1 =  (диагональ квадрата АА1В1В), ВС1 =  (гипотенуза прямоугольного треугольника ВСС1), С1М = 1.

Тогда     (по основному тригонометрическому тождеству).

2. Расстояние  h от точки  до прямой  равно     (находим из правильного шестиугольника в основании).
3. Объём пирамиды  с основанием  равен V =  .
4. Расстояние между прямыми  и  равно

Ответ: .

Полезные ссылки

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение задач с № 1 по №7. Презентация.
2. Расстояние между скрещивающимися прямыми, геометрические методы. Теория и задачи №1.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми, геометрические методы. Теория и задачи №2.
4. Онлайн тесты ЕГЭ
5. Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
6. В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010