Модель "Перевёрнутый класс". Конус. Усечённый конус.
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Конспект урока по теме « Конус. Усечённый конус »

Участники: студенты 22 группы, обучающиеся по профессии 54.01.02. Ювелир.

При освоении профессии СПО технического профиля профессионального образования математика изучается более углублённо как профильная учебная дисциплина на уровне ФГОС среднего общего образования.

Технология проведения: смешанное обучение, модель «перевернутый класс»

Продолжительность занятия:  90 минут (одна пара)

Цель:  формирование навыков решения практических задач по теме

            «Конус. Усечённый конус»

Задачи:

Образовательные: 

- обеспечить усвоение следующих основных знаний: понятие конуса (усечённого конуса), его элементов. Формулы площади поверхности конуса (усечённого конуса);

- сформировать следующие умения и навыки:  планирование учебной работы, решения задач, работы со справочным материалом, формирование навыков самоконтроля.

Развивающие: 

- развивать у обучающихся умение выделять главное, существенное в изучаемом материале; формировать умения сравнивать и обобщать изучаемые факты и понятия;

- развивать у обучающихся самостоятельность мышления в процессе учебной деятельности, используя творческие задания, самостоятельные упражнения, обобщение;

-  развивать познавательные интересы обучающихся.  

- развивать пространственное воображение  учащихся,  умение применять формулы планиметрии  при решении стереометрических задач;

- развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации;

Воспитательные: воспитывать ответственность за результат своего труда. Формировать навыки и умения  коммуникативного общения, самооценки и самоорганизации.

Тип урока: учебное занятие по изучению и первичному закреплению нового материала.

Структура урока.

Ход урока.

1 ЭАП:  Подготовительная работа

            Обучающимся на дом были предложены следующие действия:

(Материал дан с избытком, на выбор: либо видео, либо презентация, либо текстовый файл. Каждый выбирает для себя то, что более ему понятно. Изучает в определённом для себя темпе)

1. Самостоятельно изучить материал по теме урока и просмотреть файлы, дающие представление об изучаемых понятиях:

1. https://www.youtube.com/watch?v=9tX12GUc29o – видеоурок
2. https://www.youtube.com/watch?v=Pl-KyG65o-E –  видеоурок
3. Презентация – «Конус. Усечённый конус»
4. Решить тестовые задания на закрепление изученного материала через Интернет-сервис Google - диск (причём тестовые задания студент может выполнять неоднократно до тех пор, пока верно ответит на все вопросы)

Тестовые задания содержат вопросы на знание определений и простейшие задачи на вычисление его элементов.

2. Выписать в тетрадь основные определения, формулы и сделать зарисовки конуса + усечённого конуса и его элементов, используя теорию: Конус. Усечённый конус.  или https://ru.onlinemschool.com/math/formula/cone/ - конус

            http://www.math24.ru/усеченный-конус.html - усечённый конус

Таким образом, придя на занятия, у студентов уже имеются первичные сведения о конусе (усечённом конусе) как геометрической фигуре. Они должны знать определения, основные элементы и свойства.

В результате, у студентов к занятию имеется «готовый продукт» в форме конспекта в тетради или распечатки, например:

Конус — это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

2 ЭАП: Решение задач.

1. Организационный момент.   Звучит эпиграф к уроку: Единственным источником знаний является опыт. (А. Эйнштейн). А другой учёный Джордж Пойа писал: «Умение решать задачи - есть искусство, приобретающееся практикой». Сегодня на уроке мы попытаемся прикоснуться к этому великому искусству решать задач.   Сообщение темы урока и задач деятельности.

II.     Актуализация базовых знаний.

Фронтальный опрос (с целью обобщения знаний и проверки выполненной Д/З)

• Какая фигура называется конусом?  Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
• Почему конус  называют телом вращения? Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одной из его катетов.
• Назовите виды конусов? Наклонный конус, прямой конус, усеченный конус
• Назовите элементы конуса. Основание конуса -  круг. Высота конуса – это перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с центром основания.

Радиус конуса – это радиус его основания. Ось конуса – это прямая, проходящая через центр основания конуса и вершину (ось цилиндра является осью вращения конуса).

Образующая конуса - это отрезок, соединяющий вершину с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие  имеют одинаковую длину.

Образующая конуса  при вращении вокруг оси образует боковую (коническую ) поверхность конуса.

• Что представляет собой развертка конуса?

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор

• Назовите основные виды сечений конуса. Какая фигура получается в каждом случае? Осевое сечение конуса – сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса.  Все осевые сечения конуса – равные равнобедренные треугольники

Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра. В сечении – прямоугольники.

Круговое сечение конуса - сечение плоскостью перпендикулярной оси конуса. В сечении  - круг. Сечение, проходящее через вершину, не содержащее ось конуса (Сечение - равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – хорда окружности основания)

III.  Решение простейших задач на вычисление элементов конуса.

      (индивидуальная работа по вариантам с последующей самопроверкой).

Например: высота конуса равна 15 см, радиус основания 8 см. Найти его образующую.

 IV.  Решение задач на нахождение пощади поверхности конуса, усечённого конуса.

        Например:

1. Образующая конуса равна 25, высота 24. Найти площадь боковой и полной поверхности.
2. Найти площадь боковой и полной поверхности конуса, если радиус основания равен 2 см, а образующая равна 6 см.
3. Угол при основании осевого сечения конуса 300, радиус 6 см. SКЕ – сечение конуса, угол SКЕ равен 30 0 . Найти площадь  сечения SКЕ.
4. Диаметры оснований усеченного конуса 10 см и 16 см, высота 4 см. Найти Sп. п.

V.  Решение прикладных задач (по группам – 4 человека)

1 группа: Почему пожарное ведро делают в виде конуса? Сколько потребуется краски, для того чтобы покрасить пожарное ведро, если на 100см² необходимо затратить 10г? Длина окружности основания ведра С= 54см, длина образующей  ℓ=38см.

Решение:   Для решения задачи надо измерить:

а) длину окружности основания ведра: С= 54см        б) образующую: ℓ=38см

Найти: Sбок.                     Sбок.= πRℓ     С= 2πR                    R=

Sбок.= πRℓ= =             Sбок.=54·38:2= 1026см²          1026:100·10·2=205,2г

Ответ: 205,2г

2  группа: Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания  6 метров?

Решение:       

3 группа: Вычислите, сколько  метров гирлянды   понадобится   для украшения  ёлки?   Гирлянды будут висеть под углом 300 при вершине,  высота  елки – 12 м,  а  длина  еловой  ветви  при основании - 5 м.

Решение:  Форму елки примем за конус с высотой 12м и радиусом основания – 5м. Нити гирлянд закреплены на макушке елки и распределены по боковой поверхности конуса через 30°. Сколько нитей гирлянд на елке?   360° : 30° = 12 (нитей). Как найти длину одной нити? Она равна образующей конуса.  Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Из прямоугольного  НВС находим  ВС= 13 см.

Чтобы найти длину всей гирлянды длину нити умножаем на количество нитей. Длина гирлянды 12·13 =156 (м)    Ответ: 156 м

4 группа: Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания  6 метров?   

На подгиб и швы  необходимо добавить 5%.                                         

 Решение: Дано: конус, h=4 м,  dосн =6 м

 Найти: Sбок=?

Решение: Палатка имеет форму конуса, следовательно нам необходимо вычислить площадь поверхности конуса. Мы знаем, что Sпол =  Sосн  +  Sбок  , где Sбок = πRℓ и Sосн = πR2

         R=d:2 = 6:2 = 3(м)  Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Опустим высоту (медиану) ВН. Она разобьет  АВС на два равных прямоугольных треугольника.   Из ВНС по теореме Пифагора найдем образующую,  ВС = =5м.

    Sбок = πRℓ= π· 3·5 = 15 π ≈ 47,1 (м2),                                          

    Sосн = πR2 = 9π ≈ 28,26 (м2), 

    Sпол =  Sосн  +  Sбок  = 75,36 ≈ 75,4(м2)  брезента

Найдем  5% от  Sпол , что составит 3,8 м2.   Значит S = Sпол  + 3,8 =79,2 (м2) 

5 группа:   Понятие «Освещённость»  как физическая величина, численно равная световому потоку, падающему на единицу поверхности, известна вам из курса физики. Освещённость прямо пропорциональна силе света источника света. А мы сегодня будем будим  вычислять площадь освещаемой поверхность.

Фонарь установлен на высоте 8 м. Угол рассеивания фонаря 120°. Определите, какую поверхность освещает фонарь.

Решение: Освещаемая поверхность – круг, основание конуса. Лампа фонаря – вершина конуса.  Лучи направленные на окружность основания – образующие конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Опустим высоту. Она поделит данный треугольник на два равных прямоугольных треугольника с острыми углами в 30° и 60°.

Из FOC по второму свойству прямоугольного треугольника находим FC=16 м. По определению тангенса (или по теореме Пифагора) вычисляем ОС=.

Площади освещаемой поверхности равна площади основания (круга).

S = π R2 = 192π  ≈ 603(м2).       Ответ: S= 603 м2.            

Пример домашнего задания, которое студент должен выполнить в тетради с последующей проверкой преподавателя.

 (выдаётся на бланке или ссылкой на документ)

Теоретический материал по теме: Конус. Усечённый конус.

Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Треугольник POA вращается вокруг стороны PO.

PO — ось конуса и высота конуса.

P — вершина конуса.

PA — образующая конуса.

Круг с центром O — основание конуса.

AO — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось PO конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.

APB — осевое сечение конуса.

∡PAO=∡PBO — углы между образующими и основанием конуса.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора — это длина окружности основания конуса длиной 2πR, угол развёртки боковой поверхности α.

В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

 Радиус сектора — это образующая конуса.

Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом l:

Sбок.=πl2⋅α360°.

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом l, но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом R.

Сравним выражения длины дуги и выразим α через R:

2πl⋅α360°=2πR;α=2πR⋅360°2πl=R⋅360°l.

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:

Sбок.=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl.

                   Усечённый конус

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

OO1 — ось конуса и высота конуса.

AA1 — образующая конуса.

Круги с центрами O и O1 — основания усечённого конуса.

AO и A1O1 — радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO1 конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

AA1B1B — осевое сечение конуса.

Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:

Sбок.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅(PA1+AA1)−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+(πR−πr)⋅PA1. 

Так как ΔPAO∼ΔPA1O1, то стороны их пропорциональны:

PAPA1=Rr;l+PA1PA1=Rr;r⋅(l+PA1)=R⋅PA1;rl=R⋅PA1−r⋅PA1;PA1⋅(R−r)=rl;PA1=rlR−r.

Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:.

Sбок.=πRl+π⋅PA1⋅(R−r)=πRl+π⋅rlR−r⋅(R−r);Sбок.=πRl+πrl=πl⋅(R+r).