Отличия геометрии Евклида и Лобачевского
проект по геометрии (10 класс)

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Павловский техникум народных художественных промыслов России»

Индивидуальный проект

Тема: «Отличие геометрии Лобачевского

от геометрии Евклида»

Автор: Кондрашева Дарья Борисовна,

обучающаяся I курса по специальности

54.02.02 Декоративно-прикладное

искусство и народные промыслы

(по видам)

Руководитель: Клюкина О. В.,

преподаватель математики

ГБПОУ ПТ НХП РФ

г.Павлово, 2017 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3

1. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ………………………………………5

1. Биография Евклида……………………………………………………...5
2. Биография Н.И. Лобачевского………………………………………….7

1. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ……..…………………………………..10

1. История возникновения и развития математики…………………..…10
2. Основные этапы развития математики……………………………….13
3. Понятие об аксиоматическом методе………………………………....14
4. Постулаты Евклида…………………………………………………….15
5. Аксиоматика геометрии Лобачевского……………………………….21

2. ОТЛИЧИЕ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА ОТ ГЕОМЕТРИИ

ЛОБАЧЕВСКОГО…………………………………………………………….27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….………31

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ  ЛИТЕРАТУРА  И  ИНФОРМАЦИОННЫЕ

РЕСУРСЫ………………………………………………………………………...32

ВВЕДЕНИЕ

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально - ещё Ломоносов говорил: «Алхимия - мать химии: дочь не виновата, что её мать глуповата».

Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям посвящен этот проект.

Тема проекта – «Отличие геометрии Евклида от геометрии Лобачевского». Актуальность темы определяется необходимостью рассмотрения геометрии как развивающейся под влиянием практической деятельности человека науки.

Цель данной работы состоит в изучении геометрии Евклида и геометрии Лобачевского, а также составлении их сравнительной характеристики.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Изучить биографию известных математиков Евклида и Н.И. Лобачевского;
2. Рассмотреть историю возникновения и развития математики как науки;
3. Проанализировать аксиоматику евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского;
4. Дать сравнительную характеристику геометрии Евклида и геометрии Лобачевского.

Проект состоит из введения, трех частей, заключения, списка использованной литературы и информационных ресурсов и приложений.

В первой части работы рассмотрены биографии Евклида и Н.И. Лобачевского.

Во второй части рассмотрена историю возникновения и развития математики как науки, проанализированы аксиоматики евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского;

В третьей части дана сравнительная характеристика геометрии Евклида и геометрии Лобачевского.

В заключении подведены итоги по результатам проделанной работы.

В качестве теоретической основы были использованы источники учебной литературы, труды ученых, информационные ресурсы.

При написании проекта применялись методы анализа, сравнения, обобщения.

1. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. БИОГРАФИЯ ЕВКЛИДА

2.     Во времена Птолемея Александрия, столица Египетского царства, была крупным культурным центром, чтобы возвеличить своё государство, Птолемей призвал в страну учёных и поэтов, создав для них храм муз - Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономическая башня, комнаты для уединённой работы и, главное, великолепная Александрийская библиотека.

В числе приглашённых оказался и Евклид, основавший здесь математическую школу и создавший для своих учеников фундаментальный труд по геометрии под общим названием «Начала» (около 325 г. до н. э.). В нём изложены основы планиметрии, стереометрии, теории чисел, алгебры, описаны методы определения площадей и объёмов и т. д. «Начала» состоят из 13 книг. Частично они представляют собой обработку трактатов греческих математиков V-IV вв. до н. э. Ни одна научная книга не пользовалась такой популярностью, говорили даже, что после Библии это самый популярный письменный памятник древности. «Начала» копировали на папирусе; пергаменте, бумаге, а потом и типографским способом (впервые в 1533 г. в Базеле, Швейцария). Вплоть до XX в. книга считалась базовым учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

Ещё одно значительное сочинение Евклида «Данные» представляет собой введение в геометрический анализ. Учёному принадлежат также произведения «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии, «Оптика», содержащая учение о перспективе, и «Катоптрика», в которой излагается теория отражений в зеркалах, а также небольшой трактат «Сечения канона», включающий десять задач о музыкальных интервалах, сборник задач по делению площадей фигур «О делениях», который дошёл до нас в арабском переводе.

Умер Евклид предположительно в Александрии.

3. БИОГРАФИЯ Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

       Н.И. Лобачевский окончил Казанский университет. В 1814 г. он приступил к чтению лекций по теории чисел. Вскоре Лобачевский взялся за переустройство университетской библиотеки и университетского музея, находившихся в хаотическом состоянии. Со смертью Александра I дела обернулись к лучшему. Специальный уполномоченный правительства для преднамеренного преследования Казанского был уволен. Нуждаясь в политической и моральной поддержке своей деятельности университете, новый попечитель обеспечил назначение в 1827 году уже профессора Лобачевского ректором, он занимал эту должность в течение 19 лет.

Математик был теперь главой университета, но эта должность отнюдь не была синекурой. Под его умелым руководством весь штат был реорганизован, были привлечены лучшие люди, преподавание было либерализовано, несмотря на официальные препятствия, была построена библиотека, соответствующая высшему уровню научных требований, были организованы механические мастерские для изготовления научных инструментов, которые требовались для исследований и преподавания, была основана и оборудована обсерватория - любимое детище энергичного ректора. Даже ректорское достоинство не удерживало Лобачевского от работы руками в библиотеке и музее, когда он чувствовал, что его помощь необходима. Университет был его жизнью, и он любил его. Кажется невероятным, что Лобачевский, так сильно перегруженный преподавательскими и административными обязанностями, мог находить время для научной работы. Он создал один из величайших шедевров всей математики – неевклидову геометрию и поставил веху в человеческом мышлении. Он трудился над этим с перерывами не менее 20 лет. Его первое публичное сообщение по этой теме было сделано на физико-математическом факультете Казанского университета в 1826 году и затем представлено в статье «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» («Учёные записки Казанского университета», 1835 г.).

Европейские учёные узнали о работах Лобачевского лишь в 1840 г., и уже в 1842 г. он был избран членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества.

Лобачевскому принадлежит также ряд работ по математическому анализу. Он дал общее определение функциональной зависимости. В алгебре известен его метод приближённого решения уравнений любой степени; учёный первым в России опубликовал курс высшей алгебры.

В Казанском университете Лобачевский читал лекции по астрономии и проводил астрономические наблюдения. Благодаря его энтузиазму при университете была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838 г., на год раньше Пулковской (ныне Главная астрономическая обсерватория РАН, близ Петербурга).

В 1846 году его грубо лишили должностей профессора и ректора университета, хотя тогда он был полон физических и умственных сил, более чем когда-либо он был способен продолжать свои математические исследования. Отвратительная неблагодарность властей сломила Лобачевского. Он оставил все надежды снова стать кем-то в университете, который своей научной славой почти целиком был обязан его усилиям, и после этого появлялся в нем только случайно, чтобы помочь на экзаменах. Хотя его зрение быстро ухудшалось, он был еще способен к интенсивному математическому мышлению. Он все еще любил университет. Его здоровье пошатнулось, когда умер его сын; но он все еще надеялся, что сможет принести некоторую пользу. В 1855 году университет праздновал свое пятидесятилетие. Лобачевский лично присутствовал на торжествах и принес юбиляру экземпляр «Пангеометрии» - завершающей научной работы его жизни. Эта работа не была написана его собственной рукой: он диктовал ее, так как в то время был уже слепым. Через несколько месяцев, 24 февраля 1856 года, 62-х лет от роду, Николай Иванович Лобачевский умер.

В 1883-1886 гг. Казанский университет издал «Полное собрание сочинений по геометрии Лобачевского». В 1893 г. в честь столетия со дня рождения Лобачевского ему воздвигли памятник в Казани на собранные по международной подписке средства. В 1895 г. Казанское физико-математическое общество учредило премию имени Лобачевского за выдающиеся работы в области геометрии. Эту награду поныне присуждает Российская академия наук.

ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ.

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

Математика представляет собой одну из самых важных фундаментальных наук. Слово «математика» происходит от греческого слова «matema», что в переводе означает «знание».

Возникла математика на первых этапах создания человеческой культуры в связи с практической деятельностью человека. С самых древних времен люди, производя различные работы, встречались с необходимостью сравнивать, вычислять, определять формы плоских и пространственных фигур, измерять их площади и объемы.

Еще в самые далекие времена счет считался математической деятельностью. Он был просто необходим, к примеру, чтобы заниматься торговлей или даже скотоводством, ведь даже выгуливая скот на пастбище, необходимо было следить за их количеством. Чтобы было легче справляться с данной задачей, использовались части тела, например, пальцы на руках и ногах. Тому подтверждением являются наскальные рисунки, изображающие числа, в виде изображенных в ряд нескольких пальцев. Именно данные факты подтверждают появление математики и счета.

Одними из первых существенных открытий являются представление о самом числе, а также изобретение основных четырех действий, знакомых сейчас нам всем: умножение, деление, сложение и вычитание. Первыми же геометрическими достижениями являются самые простые понятия, такие как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики происходило благодаря египтянам и вавилонянам, примерно, 3000 лет до нашей эры. Сохранившиеся до наших дней глиняные таблички с текстами дают нам представления о проводимых вычислениях. Простейшая арифметика была необходима при обмене денег, расчетах за товар, для вычисления процентов, налогов и прочего. Различного виды строительства вынуждали проводить многочисленные геометрические, а также арифметические задачи. Еще одной достаточно важной  задачей был календарь, который нужно было рассчитать, чтобы определять сроки работ, а также праздников.

Вавилонская астрономия дает нам начало в делении на части (градусы, минуты). Им также принадлежит система счисления, символы, которые обозначают единицу, обозначение чисел с использованием десятка и символа единицы. Правда в системе счисления отсутствовал ноль, что приводило к обозначению одним и тем же символом разных чисел.

Древний же Египет немного уступал в своем уровне развития. Его письменность основывалась на иероглифах, соответственно для обозначения чисел от 1 до 9 использовали вертикальные черточки, а после 10 - символы, чередуя которые можно было записать любое необходимое число. История появления математики рассказывает о том, что примерно до начала 17 века математика считалась наукой о числах, величинах, геометрических фигурах.

С начала 17 века областью применения математики были торговля, счет, астрономия, землемерные работы и архитектура. В 18 же веке бурное развитие техники и естествознания привели к возникновению идеи о измерениях, движении в форме переменных величин, которые были связаны между собой. В 19-20 века математика занимает новые ступени своего развития, вырастая в вычислительную математику. И это лишь небольшая частичка того, что можно рассказать о том, как возникла математика.

Возникнув из нужд практики, математика развивалась и развивается под влиянием практики. А так как более сложная практика требует более сложной математики, можно сказать, что математика не исчезала и не исчезнет. Она оказывала, оказывает и будет оказывать большое влияние на жизнь людей, чем определяется её огромная роль в современном мире. Математика учит нас сравнивать, обобщать, анализировать, проводить классификацию, то есть учит нас логически мыслить, что нужно уметь делать человеку любой профессии.

2. ОСНОВНЫЕ ПЕРИОДЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

За свою историю математика прошла большой и нелегкий путь развития.

Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) – крупнейший современный математик, академик, известный своими выдающимися трудами в различных областях математики – выделил 4 периода в развитии математики:

I период зарождения математики, который длился до VI-V вв. до н.э.

Считается, что первыми математическими представлениями обладали еще питекантропы, жившие .

Первые представления о геометрических фигурах начали формироваться еще в эпоху Шелльской культуры (). Известны десятки тысяч орудий, изготовленных в эту эпоху, создавая которые человек имел дело с многочисленными геометрическими формами: окружностью, треугольником, четырехугольником, сферой).

Крупнейшим достижением Шелльской эпохи было изобретение огня. С появлением огня людям приходилось сопоставлять определенные отрезки времени с количеством топлива, таким образом складывалось понятие о числе.

II период – период элементарной математики (период математики постоянных величин). Длился с VI-V вв. до н.э. по XVII в. н.э.

Уже в начале этого периода древнегреческий математик Евклид создает серию из 13 книг под названием «Начала», в которых, в частности излагается вся элементарная геометрия.

В середине XVII в. в основном сложилась алгебраическая символика. Создание развитой символики, введение знака радикала и разработка правил операций со степенями позволили европейским ученым подойти к проблеме решения уравнений степени выше второй. Именно в этой области были получены первые значительные успехи: найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

III период – период математики переменных величин, изучающей процессы движения, изменения, развития. Длился с XVII по XIX в. н.э.

В этот период в работах Рене Декарта на базе широкого использования метода координат создается аналитическая геометрия. В работах Ньютона и Лейбница завершается создание дифференциального и интегрального исчислений.

IV период – период современной математики (математики математических структур). Длится с середины XIX в. по настоящее время.

На современном этапе математика представляет собой совокупность нескольких дисциплин:  Алгебры;   Геометрии;    Математического анализа;

Теории вероятностей;  Математической статистики;   Дискретной математики и др.

Каждая из перечисленных дисциплин занимается изучением избранного ею класса структур. В качестве наиболее корректного способа описания структур математика признает аксиоматический метод.

3. ПОНЯТИЕ ОБ АКСИОМАТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ

Суть аксиоматического метода состоит в следующем:

1. Вводятся в рассмотрение первичные (неопределяемые) объекты. В геометрии такими понятиями являются понятия точки, прямой, плоскости, в алгебре - понятия числа, множества.
2. Свойства этих объектов, их взаимосвязи формулируются в специальных предложениях, называемых аксиомами, которые принимаются без доказательства. Перечень аксиом может быть различным.

В школьной аксиоматике 20 аксиом. К ним относятся следующие предложения: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки; имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости; через любые две точки проходит прямая, и при том только одна; через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна и др.

3. Формируется понятийный аппарат (даются определения новым понятиям) на основе первичных и ранее определенных понятий.

Например, отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Скрещивающимися называются две прямые, не лежащие в одной плоскости.

4. Устанавливается истинность новых предложений, то есть доказываются теоремы, на основе аксиом и ранее доказанных теорем.

С использованием аксиоматического метода построены все перечисленные дисциплины.

4. ПОСТУЛАТЫ  ЕВКЛИДА

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию. «Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении. «Начала» Евклида значительно повлияли на развитие математики. В течение многих веков они служили образцом математической строгости. До настоящего времени «Начала» Евклида составляют основу школьного курса геометрии. Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,

Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2. Линия есть длина без ширины.

Определение 3. Границы линии суть точки.

Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

Постулаты Евклида:

1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
3. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
4. И чтобы все прямые углы были равны.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
4. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
5. И если удвоим равные, то получим равные.
6. И половины равных равны между собой.
7. И совмещающиеся равны.
8. И целое больше части.
9.  И две прямые не могут заключать пространства.

Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.

Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на V постулат. Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.

Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату.

Другие предлагали по-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению, более очевидным предложением. Так, например, в XI веке Омар Хайям ввел вместо V постулата «принцип», согласно которому две лежащие в одной плоскости сходящиеся прямые пересекаются и не могут расходиться в направлении схождения. С помощью этого принципа Хайям доказывает, что в четырехугольнике ABCD, в котором углы при основании А и В – прямые и стороны АС, ВD равны, углы С и D так же прямые, а из этого предложения о существовании прямоугольника выводится V постулат. Рассуждения Хайяма получили оригинальное развитие в XIII веке у Насирэдинна ат-Туси, работы которого в свою очередь стимулировали исследования Д. Валлиса. В 1663 году Валлис доказал постулат о параллельных, исходя из явного допущения, что для каждой фигуры существует подобная ей фигура произвольной величины. Это допущение он считал вытекающим из существа пространственных отношений.

С логической точки зрения результаты Хайяма или Валлиса лишь выявляли равносильность V постулата и некоторых других предложений геометрии. Так, Хайям, по существу, установил эквивалентность постулата и предложения о сумме углов треугольника, а Валлис показал, что не только из V постулата можно вывести учение о подобии, но и обратно – их евклидова учения о подобии следует V постулат.

Один из обнадеживающих способов подхода к доказательству пятого постулата, которым пользовались многие геометры XVIII и первой половины XIX веков, состоит в том, что пятый постулат заменяется его отрицанием или каким-либо утверждением, эквивалентным отрицанию. Опираясь на измененную таким образом систему постулатов и аксиом, доказываются всевозможные предложения, логически из нее вытекающие. Если пятый постулат действительно вытекает из остальных постулатов и аксиом, то измененная указанным образом система постулатов ми аксиом противоречива. Поэтому рано или поздно мы придем у двум взаимно исключающим выводам. Этим и будет доказан пятый постулат.

Именно таким путем пытались доказать пятый постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт (1728-1777) и А.М. Лежандр (1752-1833).

Исследования Саккери были опубликованы в 1733 году под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии». Саккери исходил из рассмотрения четырехугольника  с двумя прямыми углами при основаниии с двумя равными боковыми сторонами  и . Из симметрии фигуры относительно перпендикуляра  к середине основания следует, что углы при вершинах  и  равны. Если принять пятый постулат и, следовательно, евклидову теорию параллельных, то можно установить, что углы  и  прямые и  - прямоугольник. Обратно, как доказывает Саккери, если хотя бы в одном четырехугольнике указанного вида углы при верхнем основании окажутся прямыми, то будет иметь место евклидов постулат о параллельных. Желая доказать этот постулат Саккери делает три возможных предположения: либо углы  и  прямые, либо тупые, либо острые (гипотезы прямого, острого и тупого угла). Для доказательства пятого постулата необходимо опровергнуть гипотезы острого и тупого угла. Совершенно точными рассуждениями Саккери приводит к противоречию гипотезу тупого угла. Вслед за тем, приняв гипотезу острого угла, он выводит весьма далеко идущие ее следствия с тем, чтобы и здесь получить противоречие. Развивая эти следствия Саккери строит сложную геометрическую систему, не заключая о противоречии только потому, что полученные им выводы не соответствуют привычным представлениям о расположении прямых. В результате он «находит» логическое противоречие, но в результате вычислительной ошибки.

Идеи Ламберта, развитые им в сочинении «теория параллельных линий» (1766г.), близко примыкают к соображениям Саккери.

Он рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами. Относительно четвертого угла так же возникают три гипотезы: этот угол прямой, тупой или острый. Доказав эквивалентность пятого постулата гипотезе прямого угла и сведя к противоречию гипотезу тупого угла, Ламберт, подобно Саккери, вынужден заниматься гипотезой острого угла. Она приводит Ламберта к сложной геометрической системе, в которой ему не удалось встретить логического противоречия. Ламберт нигде в своем сочинении не утверждает, что V постулат им доказан, и приходит к твердому заключению, что и все другие попытки в этом направлении не привели к цели.

«Доказательства евклидова постулата, - пишет Ламберт, - могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат».

Более того, развивая систему гипотезы острого угла, Ламберт обнаруживает аналогию этой системы со сферической геометрией и в этом усматривает возможность ее существования.

«Я склонен даже думать, что третья гипотеза справедлива на какой-нибудь мнимой сфере. Должна же быть причина, вследствие которой она на плоскости далеко не поддается опровержению, как это легко может быть сделано со второй гипотезой».

Лежандр в своем доказательстве пятого постулата рассматривает три гипотезы относительно суммы углов треугольника.

1.  Сумма углов треугольника равна двум прямым.
2.  Сумма углов треугольника больше двух прямых.
3.  Сумма углов треугольника меньше двух прямых.

Он доказал, что первая гипотеза эквивалентна пятому постулату, вторая гипотеза невозможна; и приняв третью гипотезу приходит к противоречию, неявно воспользовавшись в доказательстве пятым постулатом через один из его эквивалентов.

В результате проблема параллельных оставалась к началу XIX века неразрешенной и положение казалось безвыходным. Большой знаток вопроса венгерский математик Фаркаш Бояи в 1820 году писал своему сыну Яношу: «Молю тебя, не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий: ты затратишь на это все свое время, а предложения этого вы не докажете все вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца: я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил… Этот беспросветный мрак… никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо, совершенным даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе…».

Беспросветный мрак, о котором с горечью писал старший Бойяи, рассеял Лобачевский и, несколько позднее, Я. Бояи.

2.4. АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Пятый постулат называется постулатом о параллельных. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида. Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате: немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной), Н.И. Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявили, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Н.И. Лобачевский доказал, что пятый постулат не зависит от остальных предложений и доказать его нельзя.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её». В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её».

Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются.

Геометрия Лобачевского изучает свойства «плоскости Лобачевского» (в планиметрии) и «пространства Лобачевского» (в стереометрии). Плоскость Лобачевского - это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем - расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского.

Лобачевский доказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модель плоскости и пространства Лобачевского. Однако сам Лобачевский видел свидетельство непротиворечивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригонометрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачевского неправомерен. В своем мемуаре он доказал, что формулы сферической тригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было бы доказать, что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических формул и «абсолютной геометрии» - предложений, не зависящих от пятого постулата. Лобачевский попытался провести такое доказательство, но в его рассуждения вкралась ошибка.

Новая система геометрии не получила признания при жизни её творца. Коллега Лобачевского по Казанскому университету П.И. Котельников (1809-1879) в своей актовой речи 1842 г. открыто заявил: «не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд - построить целую науку, геометрию, на новом предложении: сумма углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых труд . который рано или поздно найдет своих ценителей». За исключением этого выступления неизвестны другие официальные положительные отзывы о Лобачевском, как о творце новой геометрии.

Ситуация изменилась только в 60-х годах XIX века. Несмотря на враждебное отношение отдельных влиятельных математиков старших поколений, к изучению и разработке неевклидовой геометрии приступает все большее число выдающихся молодых ученых. Некоторую роль в этом сыграло посмертное издание писем Гаусса. В Европе идеи неевклидовой геометрии воспринимаются с энтузиазмом, появляются переводы трудов Лобачевского. Меняется отношение к новой геометрии и в России. В 1868 г. профессор Московского высшего технического училища А.В. Летников (1837-1888) поместил в II томе «Математического сборника» русский перевод «Геометрических исследований» Лобачевского с предисловием, в котором геометрические труды Лобачевского характеризуются как «весьма замечательные, но мало известные», а профессор Э. П. Янишевский опубликовал в Казани «Историческую записку о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского». И, наконец, в том же 1868 году выходит статья Э. Бельтрами (1835 - 1900) об интерпретациях геометрии Лобачевского «опыт интерпретации неевклидовой геометрии», в которой он отправлялся от работ Миндинга. В этой работе Бельтрами вычислил линейный элемент (квадрат дифференциала дуги) плоскости Лобачевского в координатах u, v, равных расстояниям точки от двух взаимно перпендикулярных прямых, деленным на r (в настоящее время эти координаты называют бельтрамиевыми), и нашел, что в этой системе координат вид линейный элемента. Вычисляя далее гауссову кривизну поверхности с таким линейным элементом, Бельтрами обнаружил, что гауссова кривизна плоскости Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу, то есть что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной отрицательной кривизны. Так как всякую поверхность с точки зрения ее внутренней геометрии можно рассматривать как интерпретацию любой поверхности, наложимой на нее, а необходимым и достаточным условием наложимости поверхностей является равенство гауссовых кривизн в соответственных точках поверхностей, Бельтрами сделал вывод, что плоскость Лобачевского может быть интерпретирована любой поверхностью постоянной отрицательной кривизны. Впоследствии (1900) Гильберт доказал, что всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометрична только части или нескольким частям плоскости Лобачевского, но никогда не изометрична плоскости Лобачевского целиком. С другой стороны, рассматривая точки евклидовой плоскости с координатами, численно равными «бельтрамиевым координатам» u, v плоскости Лобачевского, Бельтрами получает вторую интерпретацию. При этой интерпретации вся плоскость Лобачевского изображается внутренностью круга, ограниченного окружностью. Бальтрами показал, что прямые линии плоскости Лобачевского при этом изображаются хордами этого круга, а расстояние токи Р с координатами (u,v) до начала координат 0 равно. Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произвольными точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами явилась первым, правда, неполным, доказательством непротиворечивости плоскости Лобачевского. Впоследствии появились интерпретации Кэли и Клейна.

Задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т.е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Лобачевского геометрии.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой следующее: "Неевклидова прямая – это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A.

Лобачевский указывал на связь геометрии с физикой, и, хотя его измерения углов с треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.

Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна (1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского. Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрия Лобачевского геометрия является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.

2. ОТЛИЧИЕ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА

          ОТ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

1. В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т.е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2. Сумма углов всякого треугольника меньше 1800 и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность 1800 - (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.

3. Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b`, которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек). Угол ее между прямой b (или b`) и перпендикуляром из О на а - так называемый угол параллельности - по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b` с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
4. Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
5. Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6. Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
7. Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8. Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
9. Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Лобачевского геометрия переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Лобачевского геометрии.

Ещё одним отличием геометрии Евклида и геометрии Лобачевского является тот факт, что в геометрии Евклида существует всего 3 признака равенства треугольников, а геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Геометрия Евклида работает на маленькой поверхности, а геометрия Лобачевского на развернутой плоскости с учетом кривизны поверхности. Треугольники геометрии Евклида мы встречаем в учебниках, в науке, а треугольники Лобачевского мы можем увидеть в окружающем мире.

Геометрия Лобачевского (в том числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данный проект меня заинтересовал. В ходе работы, я узнала исторические сведения о математике и учёных, развивавших математику, посмотрела на геометрию, как в повседневной жизни, так и с научной точки зрения.

Скорее всего, в следующем году я также проведу исследовательскую работу или составлю проект, ведь очень важно каждому человеку развивать себя, узнавать новую информацию, новые удивительные факты.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

И ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Евклид
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Лобачевский,_Николай_Иванович
4. http://pandia.ru/text/79/014/74072.php
5. http://xreferat.com/54/1282-1-evklid-i-lobachevskiiy.html
6. http://schools.keldysh.ru/sch1215/data/t_geom3.html
7. http://to-name.ru/biography/nikolaj-lobachevskij.htm
8. http://sto-geniev.narod.ru/uchenye/lobachevskiy.html
9. https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник
10. http://www.chitalnya.ru/work/198440/
11. http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/104199/Лобачевского
12. http://www.bestreferat.ru/referat-207255.html
13. http://pandia.ru/text/79/014/74072.php