Конспект урока "Аксиома параллельных прямых" 7 класс
план-конспект урока по геометрии (7 класс)

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Мотивационно – ориентировочная часть

Актуализация

№1.  Укажите на рисунке:
1) накрест лежащие углы

2) односторонние углы

3)  соответственные углы

№1.

1. 5 и 3
   6 и 4
2. 4 и 5
   3 и 6
3. 1 и 5
   2 и 6
   3 и 7
   4 и 8

№2 Установите соответствие

1) a | | b, так как накрест лежащие углы равны

2) a | | b, так как соответственные углы равны

3) a | | b, так как сумма  односторонних углов равна 180°

- Сформулируйте первый  признак  параллельности двух прямых?

- Сформулируйте второй  признак  параллельности двух прямых?

- Сформулируйте третий  признак  параллельности двух прямых?

№2.

А – 3

Б – 2

В – 1

-Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны,  то прямые параллельны.

-Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

- Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Мотивация

Предлагается решить задачу:

Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а.

Дано: а, М∉а

Построить: с⊥а

Построение:

1) а⊥b , М∈b

        2) в ⊥с,  М∈с

Доказательство:

1. Т.к.  а⊥в и  в ⊥с   , то ∠1 = ∠2=90°
2. ∠1 и ∠2  - односторонние  углы  при прямых с и а  секущей  в.
3. ∠1+ ∠2=180° 
   Значит а || с (по третьему признаку параллельности прямых).

Возникает вопрос:  через точку М, не лежащую на прямой а, сколько можно провести прямых, параллельных прямой а, т.е. сколько решений у данной задачи?

Этот вопрос имеет большую историю. В книге «Началах» Евклида содержится пятый постулат, из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Оказывается, доказать это невозможно, хотя ученые на протяжении многих веков пытались это сделать. И лишь в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку  параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных положений теории и является аксиомой. Она называется  аксиомой параллельных прямых.

Постановка учебной задачи урока

Сегодня нужно изучить аксиому параллельных прямых 

2. Операционно-познавательная часть

Тема урока: «Аксиома параллельных прямых»

Аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и, вообще, строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами.

На самом деле с аксиомами мы с вами уже встречались ранее. Например, сколько прямых можно провести через 2 точки?

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.   
Это утверждение тоже является аксиомой.

Сколько отрезков, равных данному, можно отложить на данном луче от его начала? 
На любом луче от его начала, можно отложить отрезок равный данному и при том только один.
 Это утверждение тоже является аксиомой.

Сколько углов, равных данному неразвернутому углу, можно отложить от любого луча в заданную сторону?

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Геометрия,  изложенная в книге «Начала» Евклида , т.е. содержащая в качестве аксиомы, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, называется евклидовой геометрией. Но есть и другие геометрии, например, геометрия Лобачевского, в которых данная аксиома заменена на другое утверждение.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856 гг.) – великий русский математик, один из создателей неевклидовой геометрии. Также был народным просветителем и ярким деятелем университетского образования. Знакомый с биографией Лобачевского У. Клиффорд назвал своего коллегу “Коперником геометрии”.

В геометрии Лобачевского, вместо аксиомы параллельных прямых, принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так  и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.

Вернемся к евклидовой геометрии.

У  аксиомы  параллельных прямых есть  два следствия, т.е. утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиомы.

Следствия из аксиомы параллельных прямых.

1°.  Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: а b,  с

Доказать:  с

Поиск доказательства:

Предположим что  с . Тогда как расположена прямая с по отношению к ?

• Значит, через точку М проходит 2 прямые параллельные прямой b.  Чему это противоречит?
• Значит  наше предположение неверно и с

Доказательство:

1. Пусть с не пересекает , тогда с || b

2. аb  и  с || b ,  но  с  М∈а и М∈с , что противоречит аксиоме параллельных прямых.
3. Значит наше предположение не верно и с.

2°.   Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

Доказать:  

Поиск доказательства:

- Допустим что , тогда как они расположены?
- Пусть прямые а и b пересекаются в точке М.

Тогда через точку М проходят  которые как расположены по отношению к прямой с?

Чему это противоречит?

- Значит наше предположение не верно и .

Доказательство:

1. Пусть

2. М∈а и М∈b, а по условию а получили противоречие с аксиомой параллельных прямых.
3. Значит наше предположение не верно и

Задание: Постройте  и к ним секущую с.

Отметим на рисунке накрест лежащие углы 1 и 2.

Измерьте углы  ∠1 и ∠2 с помощью транспортира.  Сравните их.

 Что в результате измерений мы обнаружили?

 Мы с вами «отрыли» новую теорему, которая называется  свойством параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать.

Например, рассмотрим теорему, выражающую признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам: “Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны”.

Что в этой теореме дано?

Что требуется доказать?

Значит, что в этой теореме условие, а что заключение?

Так, вот «открытая» нами теорема является обратной, для признака параллельности прямых по накрест лежащим углам.

Сформулируем определение теоремы, обратной данной:

Теоремой, обратной данной называется такая теорема, в которой условием является заключение  данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Тогда что в теореме , обратной теореме- признаку, рассмотренному выше, будет условием, а что заключением?

Сформулируем эту теорему, заполнив пропуски:

Если  две  _____  ________ пересечены секущей, то _____  ______  углы  ____.

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано: , MN – секущая, ∠1 и ∠2 – накрест лежащие.

Доказать: ∠1=∠2

Поиск доказательства:

1. Допустим что углы 1 и 2 не равны, тогда отложим от луча MN угол PMN равный углу 2, так чтобы углы были накрест лежащими при пересечении МР и b секущей MN.
2. Сравните прямые РМ и b. Как они взаиморасположены?
3. Сколько тогда прямых параллельных прямой b проходит через точку М?
4. Что получили в итоге?

Доказательство:

1. Пусть ∠1 ≠ ∠2. Тогда отложим от луча MN ∠PMN=∠ 2.
2. МРb, т.к. ∠PMN=∠ 2 - накрест лежащие углы при пересечении МР и b секущей MN (по 1-му признаку параллельных прямых )
3. М∈а, М∈МР,  значит через точку М проходят две прямые МРb,  а b, получили противоречие с аксиомой параллельных прямых.
4. Наше предположение было не верно, значит   ∠1=∠2

Следствие:

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Дано:

Доказать:

Поиск доказательства:

1. Пересекает ли прямая с прямую а?
2. Будет ли прямая с пересекать и прямую b и почему?

3. Какие углы образует секущая с с параллельными прямыми a и b?
4. Тогда чему равен угол 2?
5. Как тогда расположена секущая с по отношению к прямой b?

Доказательство:

1) Т.к.  с⊥a, то   a и b

 , т.к.  с⊥a (по определению перпендикулярных прямых)

3) накрест лежащие углы при
а  , значит (по свойству 1 параллельных прямых) .

4)  (по определению перпендикулярных прямых)

Вернёмся к нарисованным вами ранее параллельным прямым  с секущей с.

Отметим угол 3

Измерьте углы  ∠2 и ∠3 с помощью транспортира.  Сравните их.

 Что в результате измерений мы обнаружили?

 Мы с вами «отрыли» новую теорему, которая называется свойством параллельных прямых по соответственным углам

Она также является теоремой, обратной признаку параллельных прямых по соответственным  углам.

Рассмотрим теорему, выражающую признак параллельности двух прямых по соответственным углам: “Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны”.

Что в этой теореме дано, а что требуется доказать?

Значит где в этой теореме условие, а где заключение?

Тогда что в теореме , обратной теореме- признаку, рассмотренному выше, будет условием, а что заключением?

Сформулируем эту теорему, заполнив пропуски:

Если  две  _____  ________ пересечены секущей, то _____  ______  углы  ____.

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: ,   – соответственные.

Доказать:

Поиск доказательства:

1. Сравните  

2. Сравните   

3. Что из этого следует?

Доказательство:

1. Т.к.  , тогда , как  накрест лежащие  углы (по 1 свойству параллельных прямых )
2.    как вертикальные  углы ( по свойству вертикальных углов )
3. Следовательно .

Вернёмся к нарисованным вами ранее параллельным прямым  с секущей с.

Отметим угол 4.

Измерьте углы  ∠1 и ∠4 с помощью транспортира.  Найдите их величину.

  Что в результате измерений мы обнаружили?

 Мы с вами «отрыли» новую теорему, которая называется свойством параллельных прямых по односторонним углам.

Она также является теоремой, обратной 3-му признаку параллельных прямых по односторонним углам.

Рассмотрим теорему, выражающую признак параллельности двух прямых по односторонним углам: “Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна , то прямые параллельны”.

Что в этой теореме дано, а что требуется доказать?

Значит где в этой теореме условие, а где заключение

Тогда что в теореме , обратной теореме- признаку, рассмотренному выше, будет условием, а что заключением?

Сформулируем эту теорему, заполнив пропуски:

Если  две  _____  ________ пересечены секущей, то _____  ______  углов равна  ____.

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180̊

Дано:,  - односторонние

Доказать:

Поиск доказательства:

1. Сравните углы 1 и 2.

2. Сравните углы 2 и 4

3. Что из этого следует?

Доказательство:

1. Т.к. , тогда как  углы ( по свойству 1 параллельных прямых
2. Т. к.    - смежные, то ( по свойству смежных углов )
3. Следовательно

Задача:

Найдите все углы, образованные при пересечении параллельных прямых a и b секущей c, если один из углов равен 150°.

• с ||b

- Противоречит аксиоме параллельных прямых.

- пересекаются

Пересекаются

а

аксиоме параллельных прямых

∠1 = ∠2

Что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны 

“при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны” -  это дано.

“прямые параллельны” – требуется доказать

“при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны” -  условие

“прямые параллельны” – заключение

“при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны” -  заключение

“прямые параллельны” – условие.

Если  две  параллельные  прямые пересечены секущей, то накрест  лежащие углы равны.

- РМ b (по 1-му признаку параллельных прямых)

-две прямые  РМ b и а b

- противоречие с аксиомой параллельных прямых.

1. Да, т.к.
2. Будет, т.к.  а, и  , то по первому следствию, с пересекает и b.

, т.к. накрест лежащие углы.

 по свойству 1 параллельных прямых

5)

∠3 = ∠2

Что  при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны

“при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны” -  это дано.

“прямые параллельны” – требуется доказать

“при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны” -  условие

“прямые параллельны” – заключение

“при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны” -  заключение

“прямые параллельны” – условие.

Если  две  параллельные  прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

- , так как  это накрест лежащие  углы при  (по 1 свойству параллельных прямых)

-  так как вертикальные углы (по свойству вертикальных углов)

-  

∠1 + ∠4 =

Что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна

“при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна ” -  это дано.

“прямые параллельны” – требуется доказать

“при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна ” -  условие

“прямые параллельны” – заключение

“при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна ” -  заключение

“прямые параллельны” – условие.

Если  две  параллельные  прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна .

-  углы при  (по свойству 1 параллельных прямых)

-  -  смежные,  (по свойству смежных углов)

-

Дано: a, ∠1=150°

Найти: ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8.

Решение: т.к. a, то:

1. ∠1 и ∠5 – соответственные , значит
   ∠1 = ∠5  =150° (по 2-му свойству параллельных прямых)
2. ∠5 и ∠3 -  накрест лежащие, значит ∠5=∠3=150°(по 1-му свойству параллельных прямых )
3. ∠3 и ∠7 – соответственные, значит

∠3 = ∠7  =150°(по 2-му свойству параллельных прямых )

4. ∠3 и ∠6 – односторонние, значит

∠6 = 180°-150°=30°(по 3-му свойству параллельных прямых )

5. ∠4 и ∠6 -  накрест лежащие, значит ∠4=∠6=30°(по 1-му свойству параллельных прямых)
6. ∠4 и ∠8 – соответственные, значит
   ∠4 =∠8=30°(по 2-му свойству параллельных прямых )
7. ∠2 и ∠6 – соответственные , значит
   ∠2 = ∠6  =30°(по 2-му свойству параллельных прямых

Ответ: ∠1 = ∠3=∠5=∠7  =150°,
∠2 = ∠4=∠6=∠8  =30°.

Рефлексивно - оценочная часть

Какая была цель урока?

Изучить аксиому параллельных прямых.

Достигли мы ее?

Достигли

Как мы ее достигли?  
Сформулируйте аксиому параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Сформулируйте следствия из аксиомы параллельных прямых;

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Сформулируйте теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°

Домашнее задание:

Выучить теорию  §2 п.27-29

№ 197  Через точку, не лежащую на прямой р, проведены 4 прямые. Сколько этих прямых пересекает прямую р. Рассмотрите все возможные случаи.

№ 201 Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.

Дано: АВCD
∠DCB и ∠ABC – накрест лежащие
∠DCB+∠ABC =210°

Найти :∠DCB и ∠ABC

Решение.

1. Т.к. АВCDи  ∠DCB и ∠ABC – накрест лежащие, то ∠DCB=∠ABC (по первому свойству параллельных прямых.)
2. ∠DCB+∠ABC=210°, значит ∠DCB=∠ABC=210°:2=105°.

Ответ: ∠DCB=∠ABC=105°.

№205
По данным рисунка 117  найти угол 1.

Дано: прямые ВЕ и СР, секущие НМ и АК, ∠АОХ=73°, ∠РУХ=92°, ∠СТО=107°

Найти: ∠НХЕ

Решение:

1. ∠АОХ и ∠ВОТ – вертикальные углы, значит  ∠АОХ = ∠ВОТ = 73°,
2. ∠ВОТ и ∠СТО – односторонние  углы, при прямых ВЕ и СР и секущей АК
3. ∠ВОТ + ∠СТО=73°+107°=180°, значит   ВЕ СР (по признаку параллельных прямых)
4. ∠НХЕ и ∠ХУР – соответственные углы,  при  ВЕ СР и секущей НМ, значит
   ∠НХЕ =∠ХУР=92°.

Ответ: ∠НХЕ = 92°.