Методическая разработка по дисциплине «Математика» «Задачи по стереометрии с практическим содержанием для устного (и не только) счета» для студентов 1 курса всех профессий и специальностей
учебно-методический материал по геометрии (11 класс)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

«НОВОМОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Методическая разработка

по дисциплине «Математика»

«Задачи по стереометрии с практическим содержанием

для устного (и не только) счета»

для студентов 1 курса всех профессий и специальностей

Новомосковск 2024г.

Методические рекомендации «Задачи по стереометрии с практическим содержанием для устного (и не только) счета» составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса всех специальностей и профессий СПО.

Разработала: Дронова Татьяна Николаевна – преподаватель математики ГПОУ ТО «НПК».

Утверждена на заседании ЦМК естественно-научных, гуманитарных и социально-экономических дисциплин №____ от «____»____________20___г.

Председатель ЦМК естественно-научных, гуманитарных и социально-экономических дисциплин ____________Дронова Т.Н.

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для преподавателей, реализующих программу среднего общего образования по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса, обучающихся на базе основного общего образования по специальностям и профессиям технического, естественно-научного и социально-экономического профиля.

Методическая разработка содержит около сотни стереометрических задач с практическим содержанием из разных областей науки, житейского опыта. Решение этих задач возможно как устно, так и в письменной форме, что позволяет проводить уровневую дифференциацию при работе с обучающимися. А содержащиеся в задачах фактические данные помогут расширить кругозор студентов, развивать познавательный интерес к изучению математики. В конце каждой задачи приведен ответ.

В качестве индивидуального задания для самостоятельной работы можно предложить найти задачи по стереометрии, связанные с выбранной студентами специальностью или с их увлечениями.

Задачи

1. Привести примеры веществ, изученных в курсе химии, кристаллы которых имеют форму многогранников.
2. Укажите в окружающей вас обстановке примеры предметов, которые имеют: а) центр симметрии; б) ось симметрии; в) плоскость симметрии.
3. Диагональ куба равна 9 см. Определить его ребро ()
4. Площадь сечения, проведенного через диагонали противоположных боковых граней куба, равна см2. Определить ребро куба. (4см).
5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 3 дм, а его измерения относятся, как 1:2:2. Определить ребра параллелепипеда. (1дм, 2дм, 2дм)
6. Основанием прямого параллелепипеда, высота которого равна стороне основания, является ромб с диагоналями 24см и 10см. Вычислить боковую поверхность. (676см2)
7. Вычислить боковую поверхность правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно 12 см. (432см2)
8. Для крытого тока размером 308 м необходимо сделать двускатную крышу. Скаты крыши представляют собой угол, равный 600. Вычислить поверхность крыши. (480м2)
9. Можно ли из куска картона формы прямоугольника размером 5222см изготовить модель правильной четырехугольной призмы, высота которой равна 20см, а сторона основания 10см? (да)
10. В кинотеатре имеются два одинаковых зала, каждый объемом а м3. Можно ли утверждать, что объем обоих залов равен 2а м3? Почему? (Да. На основании допущения: объем тела, состоящего из частей, равен сумме объемов этих частей)
11. Советский павильон на Международной выставке в Брюсселе был выполнен в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами: длина - 150м, ширина -72м, высота -20м. Вычислите объем павильона и сравнить его с объемом вашей школы. (216000м3, а-76м, б-14м, с-22м; 46816м)
12. Определить полезную емкость 4-камерного ледяного склада на 60т, если каждая камера имеет форму прямоугольного параллелепипеда с внутренними размерами 653 м. (360м3)
13. Сколько воды необходимо для наращивания льда в ледяном складе прямоугольной формы размером 2040м, если на 1м2 складской площади требуется 8м3 воды с учетом ее расширения при замерзании? (6400м3)
14. Сколько тонн зерна вмещает склад прямоугольной формы размером 305м, если оно насыпано ровным слоем толщиной в 1м? Объемный вес зерна-0,8т. (120т)
15. Сахар-рафинад изготовляется в виде кусочков формы прямоугольного параллелепипеда размером 242410 мм. Сколько кусочков сахара должно содержаться в пачке весом в 0,5 кг? Удельный вес сахара -1,2.( шт.)
16. Ежедневно предприятие отправляет 3тыс. ящиков, в каждом из которых содержится по 50 заготовок призматической формы. Благодаря применению новой технологии удалось уменьшить сечение заготовки настолько, что стало возможным помещать в тот же ящик по 75 новых заготовок. Подсчитать экономию материала в процентах. Сколько ящиков с новыми заготовками должно отправить предприятие? ( 33% , 2 тыс. ящиков)
17. На машинах определенной грузоподъемности необходимо перевезти листовое железо, удельный вес которого равен 8. Какие следует произвести измерения и вычисления, чтобы правильно нагрузить машину?
18. В помещении зерносклада прямоугольной формы находится зерно, насыпанное равномерным слоем одной и той же толщины. Как определить количество зерна, находящегося в складе, не перевешивая зерно?
19. Кубатура одной комнаты здания равна 120м3. Определить кубатуру другой комнаты этого здания, если ее ширина в полтора раза больше ширины первой, а длина в три раза меньше? (60м3)
20. Мерой для отпуска зерновых отходов со склада служат два прямоугольных ящика с равными основаниями. Вместимость одного ящика – 50кг. Определить вместимость второго, если его высота в полтора раза превышает высоту первого. (75кг)
21. Из скольких кубиков с ребром в 3см каждый можно составить куб с ребром в 15см? (125)
22. Каким числом выражается объем прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 6см, 9см, 7см, если единицей измерения является куб с ребром 3см?(дробным)
23. Помещение выставочного зала, формы прямоугольного параллелепипеда, имеет модель, выполненную в своей натуральной величины. Как относятся объемы модели и здания? (1:8000)
24. Сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобочной трапеции, высота которого равна 3м, а стороны оснований 4м и 8м. Сколько необходимо земли на 1 км насыпи? (18000м3)
25. Перпендикулярное сечение канала – трапеция с основаниями 6м и 14м. Участок канала между шлюзами длиной 2км вмещает 6*104м3 воды. Определить глубину канала. (3м)
26. Как рассчитать размеры траншеи для силосования 360т початков кукурузы, если траншея должна иметь форму прямой призмы с равнобочной трапецией в основании? Вес 1 м3 початков равен 0,18т.  
27. Как определить количество кирпичей, сложенных в штабель прямоугольной формы?
28. Определить на глаз объем 100 ученических тетрадей.
29. Начертить на доске (в ортогональной проекции) прямоугольный параллелепипед объемом в 40дм3.
30. При обжиге объем кирпича уменьшается в 1,33 раза.  Как изменяются при этом линейные размеры кирпича? (Уменьшаются в
31. Два свинцовых куба с ребрами 6см и 5см переплавлены в один куб. Определить ребро этого куба. (Потери металла при переплавке не учитываются).
32. Размер паркетной дощечки равен 300407мм. Какое наименьшее количество их необходимо для настилки пола, площадь которого равна 120м2? (10000 шт или 0,84м3)
33. Стальная болванка, длина которой равна 5м, а сечение есть квадрат со стороной 70 мм, изготовляется с отклонением по стороне квадрата в +1,0 мм(ГОСТ 2591-51).Определить отклонение заготовки в весе. (Удельный вес стали -8) (5,6 кг)
34. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см и составляет с основанием угол, равный 450. Определить расстояние от центра основания до бокового ребра. (10см)
35. Центр основания правильной четырехугольной пирамиды удален от боковой грани на 15 см. Боковая грань образует с основанием угол, равный 300. Определить сторону основания. (60см)
36. Четыре боковых ската крыши покрывают площадь квадрата в 100 м2 и представляют собой равнобедренные треугольники, составляющие с потолком углы по 600. Сколько необходимо жести для кровли крыши? На допуск и соединение добавить 10%.
37. Необходимо изготовить из фанеры урну в форме правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 16см и 20см, а высота- 40см. Как рассчитать и выполнить разметку боковой стенки урны?
38. Можно ли использовать кран грузоподъемностью до 1т. Для установления гранитных плит формы правильной четырехугольной усеченной пирамиды, высота которой равна 0,3м, а стороны оснований-2м и 1м. Удельный вес гранита-2,5.
39. Определить грузоподъемность машины, необходимой для перевозки чугунной заготовки, которая имеет форму правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 1м и высотой 6м. Удельный вес чугуна – 7. (40т)
40. На электростанции имеется запас угля, сложенного в штабель формы четырехугольной усеченной пирамиды, основаниями которой являются прямоугольники. Как определить вес угля, находящегося в штабеле?
41. Можно ли из деревянного бруса, перпендикулярное сечение которого – квадрат со стороной 30мм, сделать ученический пенал формы пустотелого цилиндра с внутренним радиусом 15 мм? (нет)
42. Диаметр катка для укатывания грунта равен 1м, а ширина – 1,5 м. Какая площадь выравнивается катком за один его оборот?()
43. Диаметр ведра цилиндрической формы равен 20см, а высота-38см. Можно ли из куска жести прямоугольной формы размером 6240 см сделать заготовку боковой части этого ведра? (нет)
44. Крыша здания рынка представляет собой часть цилиндрической поверхности, радиус которой равен 8м. Длина крыши-50м.Определить поверхность крыши.(628м2)
45. Угол наклона ската крыши равен 600. Определить вид отверстия, которое нужно прорезать в крыше для вывода цилиндрической трубы диаметром 30см, и его наименьшие размеры. (Эллипс с диаметром 60см и 30см)
46. Сколько требуется железобетонных цилиндрических блоков для облицовки тоннеля диаметром 4м и длинной 300м, если внешняя поверхность каждого блока равна 12м2? ()
47. Толщина круглого точильного камня равна 5см. За время работы он сработался и уменьшился в диаметре на 3см.На сколько уменьшилась рабочая поверхность камня? ( см2)
48. Суточное выпадение осадков составило 15мм. Сколько воды выпало на круглую цветочную клумбу, диаметр которой равен 8м? ()
49. Павильон имеет в плане размер 4010м, а его видом спереди является сегмент высотой 5м. Крыша павильона представляет собой часть цилиндрической поверхности, радиус которой равен 5м. Вычислить поверхность крыши. (200)
50. При постройке главной магистрали городского водопровода использовались трубы диаметром 60см. Определить приблизительно объем земли, подлежащей вывозке с участка длиной 1км. ()
51. Определить емкость зернового элеватора, имеющего 40 цилиндрических резервуаров. Размеры резервуара: высота-30м, диаметр-10м. Объемный вес зерна-0,8т. (тыс. т)
52. Стационарная цилиндрическая цистерна с плоскими днищами емкостью на 12т заполнена горючим. Высота цистерны равна 6м, уровень горючего – 2м. Сколько горючего содержится в цистерне? (4т)
53. В цилиндрический сосуд диаметром 10 см опущено тело сложной конфигурации. Определить объем тела, если уровень жидкости в сосуде поднялся на 4см. ()
54. Автомашину грузоподъемностью 3т необходимо загрузить стальными болванками цилиндрической формы. Какие следует произвести измерения и вычисления, чтобы определить нужное количество болванок для полной загрузки автомашины?
55. В цилиндрический бидон, диаметр основания которого равен 16см, добавлено 3л керосина. На сколько поднялся уровень керосина в бидоне? ( 15см)
56. Длина вакуумной камеры цилиндрической формы советского синхрофазотрона равна 200м, а ее объем-160м3. Определить диаметр камеры. (1,0м)
57. Проволоку диаметром 4мм и длинной 1м вытягивают в проволоку диаметром 2мм. На сколько увеличиться длина проволоки? (на 3м)
58. Объем модели промышленного сооружения, имеющего форму цилиндра, в 8000 раз меньше действительного объема сооружения. Во сколько раз были уменьшены линейные размеры сооружения? (20)
59. Диаметр одного круглого бревна в три раза больше диаметра второго бревна. Как относятся объемы этих бревен, если их длины равны? (9:1)
60. Два водяных насоса имеют одинаковый ход поршня и делают с минуту одно и то же число качаний. Диаметр первого насоса в полтора раза меньше диаметра второго насоса. Во сколько раз второй насос производительнее первого?  (в  раза)
61. Два водяных насоса имеют поршни одного диаметра и делают в минуту одно и то же число качаний. Ход поршня одного насоса в два раза больше хода поршня второго насоса. Во сколько раз первый насос производительнее второго? (в 2раза)
62. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить в сосуд, диаметр которого в два раза больше первого? (4см)
63. Сколько надо отрезать по длине от круглой стальной заготовки диаметром 100 см, чтобы отковать вал диаметром 5см и длиной 1м? Угар и усадку в расчет не принимать. (25см)
64. Длина цилиндрической трубы равна 10 м. Внешний диаметр трубы- 10дм, внутренний- 9дм. Можно ли перевезти эту трубу на машине с прицепом, грузоподъемность которой 3т? Удельный вес материала трубы -4. (нет)
65. Ангар имеет в плане размер 5030м. Его видом спереди является сегмент высотой 18м. Определить объем ангара. (18000м3)
66. Какие необходимо произвести измерения, чтобы определить размер горючего, находящегося в горизонтально расположенной цилиндрической цистерне с плоскими днищами?
67. Стальная круглая заготовка, длина которой равна 5м, диаметр 100мм, изготовляется с отклонением по диаметру в 1мм. Вычислить отклонение в весе заготовки. Удельный вес металла равен 10. ()
68. Имеется заготовка цилиндрической формы диаметром 20мм Можно ли из нее отковать деталь такой же длины, поперечным сечением которой является квадрат со стороной 5см. Определить длину заготовки. (Потери металла при переплавке в расчет не принимать). ()
69. Необходимо построить здание определенного объема и с заданной площадью фундамента. Какую из форм здания следует выбрать: призматическую или цилиндрическую, чтобы его боковая поверхность была наименьшей? (Цилиндрическую).
70. Имеется заготовка формы конуса, образующая которого равна 12см, а диаметр-4см. На каком расстоянии по образующей от вершины нужно разрезать заготовку, чтобы получить деталь с диаметром сечения, равным 2см?
71. Сколько листового железа идет на изготовление бункера, имеющего форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2м и 3м, а образующая 4м? ()
72. Радиус металлического диска равен 3R.Сколько можно изготовить из него заготовок для конической воронки, образующая которой равна 3R, а радиус основания R? (3)
73. Диаметр основания конуса равен 12см, а угол основания которой равна 6см, вписан конус с высотой 9см. Определить объем конуса. ()
74. Сколько тонн ржи находится в конусообразной куче, высота которой равна 2м, а длина окружности основания- 19м. Насыпной вес 1м3 ржи равен 0,8т.()
75. Как определить вес какого-либо вещества, находящегося в конусообразной куче, зная его объемный вес?
76. В цилиндрический сосуд, наполненный водой на своей высоты, опущен металлический конус, высота и диаметр основания которого равны внутренним размерам цилиндра. На сколько поднимается уровень воды в цилиндре?
77. Свинцовый конус, высота которого равна 15см, переплавлен в цилиндр равного основания. Какой высоты получился цилиндр? Потери металла при переплавке в расчет не принимать. (5см)
78. Игрушечное ведерко формы усеченного конуса имеет размеры, которые в 6 раз меньше соответствующих размеров настоящего ведра. Во сколько раз емкость ведерка меньше емкости ведра? (в 213 раз)
79. Первый советский искусственный спутник Земли был изготовлен в форме шара, внешний диаметр которого равен 58 см. Определить (отражающую) поверхность спутника. (2)
80. Сколько метров шелковой материи шириной 1м необходимо для изготовления воздушного шара диаметром 4м? На соединение и отходы добавить 10% ()
81. Один из павильонов Дрезденской выставки 1928г. Был построен в виде шара, поверхность которого равна 784.Определить диаметр павильона. (28м)
82. На окраску шара диаметром 2дм расходуется 30г краски. Сколько краски требуется для окраски шара диаметром 6дм? (270г)
83. В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 8 см или на никелировку 10 шаров диаметром 2 см каждый? (на 10 шт)
84. Для бочки, имеющей форму шарового слоя с равными основаниями, необходимо сделать обруч для насадки в строго определенном положении. Как определить длину обруча?
85. Желток куриного яйца содержит 30% жира. Сколько жира содержится в желтке диаметром 2см? Удельный вес желтка – 1,0 ()
86. Медный куб, ребро которого равно 10 см, переплавлен в шар. Вычислить радиус шара. Потерями металла при переплавке пренебречь. ()
87. Можно ли в цилиндр, высота которого равна 2 дм, а диаметр основания 1дм, поместить шар, объем которого в два раза меньше объема цилиндра? (нет)
88. В цилиндрический сосуд, наполненный водой до половины, опущен шар диаметром 4см. Высота сосуда равна 8см, радиус-2см. Достигнет ли уровень воды краев сосуда? (нет)
89. Медный шар, радиус которого равен 3см, переплавлен в равносторонний цилиндр. Вычислить радиуса цилиндра. Потерями металла при переплавке пренебречь. ()
90. Бочка имеет форму сферического слоя с равными основаниями. Какие нужно произвести измерения, чтобы определить емкость бочки?
91. Цветочная клумба запроектирована в форме сферического сегмента, высота которого равна 3м, а радиус поверхности 10м. Сколько необходимо земли для клумбы? ()
92. Какой процент материала идет в отходы при изготовлении шара из заготовки имеющей форму: а) куба, б) равностороннего цилиндра?(а-48%,б-33%)
93. Сколько нужно взять шаров радиусом 2см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиусом 6см? (27)
94. На рынке продаются арбузы: один за 90коп и три других –по 30 коп., но размеры каждого из них в два раза меньше первого. Что выгоднее купить: один или три арбуза?
95. Первый советский и второй американский искусственные спутники. Земли были изготовлены в форме шаров с диаметрами, равными соответственно 58см и 16см. Во сколько раз объем советского спутника превосходил объем американского? (в 47раз)
96. Какие необходимо произвести измерения для определения количества горючего, которое содержится в горизонтально расположенной цилиндрической цистерне со сферическими днищами?
97. Необходимо изготовить изделие определенного веса в виде шара или равностороннего цилиндра. Поверхность изделия покрывается дорогостоящим материалом. Какая из форм изделия экономически выгоднее? (Форма шара)

Литература:

1. Барыбин К. Геометрия. уч.пособ., 9-11 кл. / изд.9 Москва: Просвещение 1975г. 304с.
2. Геометрия. 10–11 кл. Базовый и углубленный уровни : учеб. для общеобразоват. орг. / авт. : Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. – 9-е изд. – Москва : Просвещение, 2021, 2022. – 287 с. : ил. – (МГУ – школе)
3. Гончаренко Б.Г. Задачи и вопросы по стереометрии. (для устного решения)., Многранники и тела вращения. Москва, Просвещение, 1964г., 96 стр.
4. Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 кл. Базовый и профильный уровни : учеб. для общеобразоват. организаций  – 13-е изд. – Москва : Просвещение, 2014.
5. Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 2 : Стереометрия : для 9—10 классов средней школы. 27-е изд. — Москва: Учпедгиз, 1960. — 88 с.