Решение логических задач при подготовке к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по информатике и икт (11 класс) на тему

Слайд 1

Автор: Мигачева А.А., учитель информатики. МОУ «СОШ №61» , г. Саратов Решение логических задач при подготовке к ЕГЭ

Слайд 2

Для логических величин обычно используются три операции : Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, ∧ . Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v . Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬ . Что нужно знать для решения задач: 4. Импликация - логическое следование А В 5. Эквивалентность - логическое равенство А В Дополнительные логические операции:

Слайд 3

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики : Законы рефлексивности a ∨ a = a a ∧ a = a Законы коммутативности a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a Законы ассоциативности ( a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

Слайд 4

Законы дистрибутивности a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) Закон отрицания отрицания ¬ (¬ a) = a Законы де Моргана ¬ ( a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b Законы поглощения a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a

Слайд 5

Таблицы истинности Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности , в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B ).

Слайд 6

Дизъюнкция Конъюнкция Инверсия Импликация Эквивалентность

Слайд 7

Сергеенкова ИМ - 1191 Задание 1. Сколько различных решений имеет уравнение (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) = 1 , где K, L, M, N – логические переменные? Решение задачи № 1 Высказывание (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания ( K v L v M) и (¬L ^ ¬M ^ N). Второе из этих высказываний, (¬L ^ ¬M ^ N ), истинно только при L = 0, M = 0, N = 1 . При найденных значениях L и M первое высказывание, ( K v L v M), истинно, если K = 1 . Ответ : уравнение имеет только одно решение.

Слайд 8

Сергеенкова ИМ - 1191 Задание 2. Сколько различных решений имеет уравнение (K ^ L) v (M ^ N) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?

Слайд 9

Сергеенкова ИМ - 1191 Решение задачи № 2 Высказывание (K ^ L) v (M ^ N ) истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний (K ^ L), (M ^ N). Первое из этих высказываний, (K ^ L), истинно при K = 1, L = 1 , а поскольку второе высказывание при этом может принимать любое значение, то для M и N следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Второе из этих высказываний, (M ^ N), истинно при M = 1, N = 1, а поскольку первое высказывание при этом может принимать любое значение, то для K и L следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Последний из этих наборов следует исключить, т.к. он уже учитывался ранее, когда M и N могли принимать любые значения. Ответ : таким образом, уравнение имеет 7 решений.

Слайд 10

Сергеенкова ИМ - 1191 Задание 3 . Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение (K -> M) v (L ^ K) v ¬ N ложно . Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1.

Слайд 11

Сергеенкова ИМ - 1191 Решение задачи 3 . Высказывание (K -> M) v (L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания K -> M, L ^ K, ¬N. Первое из этих высказываний, K -> M , ложно, если K = 1, M = 0. Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно, если L = 0. Третье из этих высказываний, ¬N , ложно, если N = 1. Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001. Ответ : 1001.

Слайд 12

Задача 4 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям ? (x1->x2) / (x2->x3) / (x3->x4) / (x4->x5 ) = 1 (y1->y2) / (y2->y3) / (y3->y4) / (y4->y5 ) = 1 x1/y1 =1 В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов . Решение .

Слайд 13

Решение задачи 4 Первое уравнение означает, что если x[i]=1, то для всех k>=i выполнено x[k] = 1 . Поэтому первое уравнение имеет 6 решений (1-я цифра в наборе – значение x1, 2-я цифра в наборе – значение x2 и т.д.): 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111 Второе уравнение имеет 6 аналогичных решений (1-я цифра в наборе – значение y1, 2-я цифра в наборе – значение y2 и т.д.): 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111 Решение системы – пара таких наборов. Ввиду третьего уравнения, один наборов в паре должен быть набором 11111. Таких пар – 11: {11111, 11111}, 5 пар вида {11111, R} и 5 пар вида {R, 11111}, здесь R – один из наборов 00000, 00001, 00011, 00111, 01111 . Ответ : 11

Слайд 14

Замечание к задаче 4. На первый раз выпишем все решения явно : {11111, 00000}; {11111, 00001}; {11111, 00011}; {11111, 00111}; {11111, 01111}; {11111, 11111 } {00000, 11111}; {00001, 11111}; {00011, 11111}; {00111, 11111}; { 01111, 11111}; {11111, 11111} Написано 12 пар, но решений — 11. Выделенная жирным пара {11111, 11111} написана 2 раза !

Слайд 15

Пример 5 . Упростить выражения так , чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний. Решение:

Слайд 16

Задание 6 Для ка­ко­го из ука­зан­ных зна­че­ний X ис­тин­но вы­ска­зы­ва­ние ¬ ((X>2) → (X>3))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Решение : Вы­ска­зы­ва­ние ис­тин­но, если вы­ра­же­ние в скоб­ках ложно. Им­пли­ка­ция ложна тогда и толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­тин­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка ис­тин­на в ва­ри­ан­тах 3 и 4, од­на­ко ва­ри­ант 4 не под­хо­дит, так как в таком слу­чае след­ствие ис­тин­но. Сле­до­ва­тель­но ответ 3 .

Слайд 17

Задание 7 Для ка­ко­го из на­зва­ний жи­вот­ных ложно вы­ска­зы­ва­ние: (За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Чет­вер­тая буква со­глас­ная) ? 1) Стра­ус 2) Лео­пард 3) Вер­блюд 4) Кен­гу­ру Решение : В первую оче­редь вы­пол­ня­ет­ся ло­ги­че­ское " И ". Им­пли­ка­ция ложна толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­ти­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка {(За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв) } ис­ти­на для ва­ри­ан­та один, а след­ствие {(Чет­вер­тая буква со­глас­ная) } для него ложно . Сле­до­ва­тель­но , ответ 1 .

Слайд 18

Задание 8 Какое ло­ги­че­ское вы­ра­же­ние рав­но­силь­но вы­ра­же­нию ¬ (А \/ ¬B)? 1) A \/ B 2) A /\ B 3) ¬A \/ ¬B 4) ¬A /\ B Решение: ¬ (А \/ ¬B) = ¬ A /\ ¬ (¬B) = ¬ A /\ B. Пра­виль­ный ответ 4 .

Слайд 19

Задание 9 На чис­ло­вой пря­мой даны два от­рез­ка : P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Вы­бе­ри­те такой от­ре­зок A, что фор­му­ла ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q ) тож­де­ствен­но ис­тин­на , то есть при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом зна­че­нии пе­ре­мен­ной х. 1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17]

Слайд 20

Решение задачи 9 Вве­дем обо­зна­че­ния : (x ∈ А) ≡ A ; ( x ∈ P) ≡ P ; ( x ∈ Q) ≡ Q . При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем : ¬A∨P∨Q . Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние. Вы­ра­же­ние P ∨ Q ис­тин­но на от­рез­ке [2; 14]. По­сколь­ку все вы­ра­же­ние долж­но быть ис­тин­но для лю­бо­го x, вы­ра­же­ние ¬A долж­но быть ис­тин­но на мно­же­стве (−∞; 2) ∪ (14; ∞). Таким об­ра­зом, вы­ра­же­ние A долж­но быть ис­тин­но толь­ко внут­ри от­рез­ка [2;14 ]. Из всех от­рез­ков толь­ко от­ре­зок [3; 11] пол­но­стью лежит внут­ри от­рез­ка [2; 14 ]. Ответ: 2

Слайд 21

Источники информации: http:// 2krota.ru/uploads/posts/2011-12/ZnaeteliVifakt-0020.jpg http :// www.inf1.info/image/logic-computer/logic http://2012.ege-go.ru/zadania/grb/b15/b15-answ/# B15.1 http:// infolike.narod.ru/logic.html http:// www.ido.rudn.ru/nfpk/inf/inf7.html http:// inf.reshuege.ru/test?theme=233