Материалы для консультаций по базовой математики.
консультация (11 класс)

1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 24 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 460 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) Объём комнаты

Б) Объём воды в Каспийском море

В) Объём ящика для овощей

Г) Объём банки сметаны

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1) 78 200 км3

2) 75 м3

3) 50 л

4) 0,5 л

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

3. На рисунке изображён график значений атмосферного давления в некотором городе за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления во вторник (в мм рт. ст.).

4. Среднее квадратичное трёх чисел  и c вычисляется по формуле  Найдите среднее квадратичное чисел   и 

5. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

6. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВтч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 185 кВтч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВтч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВтч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВтч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.

7. Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [−1; 1].

ГРАФИКИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) Функция возрастает на отрезке [−1; 1].

2) Функция убывает на отрезке [−1; 1].

3) Функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка [−1; 1].

4) Функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка [−1; 1].

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

8. На столе стоят 20 кружек с чаем. В шести из них чай с сахаром, а в остальных — без сахара. В четыре из этих 20 кружек официант собирается положить по дольке лимона. Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, в какие кружки официант положит дольки лимона.

1) Найдётся 9 кружек с чаем без сахара и лимона.

2) Найдётся 3 кружки с чаем с лимоном, но без сахара.

3) Если в кружке чай без сахара, то он с лимоном.

4) Не найдётся 8 кружек с чаем без сахара, но с лимоном.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1м × 1м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

10. Детская горка укреплена вертикальным столбом, расположенным посередине спуска. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 2 метрам. Ответ дайте в метрах.

11. Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний обхват трубы равен 32 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

12. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна  длины окружности. Ответ дайте в градусах.

13.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

14. Найдите значение выражения 

15. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10 000 рублей?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А) 

Б) 

В) 

Г) 

РЕШЕНИЯ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

19. Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

20. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

21. Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 24 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 460 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

Решение. На покупку 25 журналов по 24 рубля каждый потребуется 25 · 24  =  600 руб. Следовательно, оформив подписку, можно сэкномить 600 − 460 = 140 руб.

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) Объём комнаты

Б) Объём воды в Каспийском море

В) Объём ящика для овощей

Г) Объём банки сметаны

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1) 78 200 км3

2) 75 м3

3) 50 л

4) 0,5 л

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Упорядочим величины по возрастанию: банка, ящик, комната, море; 0,5 л, 50 л, 75 куб. м, 78 200 куб. км. Отсюда находим соответствие между величинами: А—2, Б—1, В—3, Г—4.

3. На рисунке изображён график значений атмосферного давления в некотором городе за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления во вторник (в мм рт. ст.).

Решение. Наименьшее значение ртутного столба во вторник ровнялось 751 мм рт. ст.

Ответ: 751.

4. Среднее квадратичное трёх чисел  и c вычисляется по формуле  Найдите среднее квадратичное чисел   и 

Решение. Найдём среднее квадратичное число:

Ответ: 10.

5. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836.

6. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВтч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 185 кВтч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВтч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВтч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВтч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.

Решение. Рассмотрим оба типа счётчиков.

При использовании однотарифного счётчика, гражданин А. платил в месяц

(120 кВт  ч + 185 кВт  ч)  2,4 руб. за 1 кВт  ч = 732 руб.

При использовании двухтарифного счётчика, гражданин А. платит в месяц

120 кВт  ч  2,4 + 185 кВт  ч  0,6 = 399 руб.

Установка нового типа счётчика позволяет экономить 732 − 399 = 333 руб. в месяц или 333 · 12 = 3996 руб. в год.

7. Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [−1; 1].

ГРАФИКИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) Функция возрастает на отрезке [−1; 1].

2) Функция убывает на отрезке [−1; 1].

3) Функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка [−1; 1].

4) Функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка [−1; 1].

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Рассмотрим каждую из характеристик.

1)  Функция возрастает на отрезке [−1; 1]. Из представленных функций возрастает на указанном отрезке функция В.

2) Функция убывает на отрезке [−1; 1]. Из представленных функций убывает на указанном отрезке функция Г.

3) Функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка [−1; 1]. Из представленных функций принимает положительное значение в каждой точке указанного отрезка функция А.

4) Функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка [−1; 1]. Из представленных функций принимает отрицательное значение в каждой точке указанного отрезка функция Б.

Ответ: 3412.

8. На столе стоят 20 кружек с чаем. В шести из них чай с сахаром, а в остальных — без сахара. В четыре из этих 20 кружек официант собирается положить по дольке лимона. Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, в какие кружки официант положит дольки лимона.

1) Найдётся 9 кружек с чаем без сахара и лимона.

2) Найдётся 3 кружки с чаем с лимоном, но без сахара.

3) Если в кружке чай без сахара, то он с лимоном.

4) Не найдётся 8 кружек с чаем без сахара, но с лимоном.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение. 1) Найдётся 9 кружек с чаем без сахара и лимона — верно, поскольку можно положить в 6 кружек сахар, в 4 другие кружки лимон, тогда остальные 10 кружек будут без сахара и лимона.

2) Найдётся 3 кружки с чаем с лимоном, но без сахара — неверно, поскольку можно положить в 6 кружек сахар и в 4 из этих кружек лимон.

3) Если в кружке чай без сахара, то он с лимоном — неверно, поскольку можно положить в 6 кружек сахар, в 4 другие кружки лимон, тогда остальные 10 кружек будут без сахара и лимона.

4) Не найдётся 8 кружек с чаем без сахара, но с лимоном — верно, поскольку только в 4 кружки официант собирается положить лимон.

Ответ: 14.

9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1м × 1м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение. Фигура состоит из квадрата со стороной  м и прямоугольника со сторонами  и  м. Площадь всей фигуры равна:  

Ответ: 11.

10. Детская горка укреплена вертикальным столбом, расположенным посередине спуска. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 2 метрам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Столб закреплен посередине, поэтому он выше основания горки на некоторую величину  и ниже вершины горки на эту же величину 

Составляем систему:

Складывая оба уравнения, получим

 откуда 

Примечание

Можно заметить, что данная конструкция является прямоугольным треугольником и воспользоваться формулой средней линии, которую мы фактически здесь вывели.

Ответ: 1.

11. Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний обхват трубы равен 32 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Переведём длину участка трубы в сантиметры: 3 м = 300 см. Площадь поверхности цилиндра равняется  см2.

Ответ: 9600.

12. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна  длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение. Длина окружности равна 360, следовательно, длинна дуги равна: 360 : 36 = 10. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, следовательно, 10 : 2 = 5°.

Ответ: 5.

13.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение. Объем прямой призмы равен  где S − площадь основания, а h − боковое ребро. Тогда объем равен

Ответ: 120.

14. Найдите значение выражения 

Решение. Выполним преобразования:

Ответ: 10.

15. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10 000 рублей?

Решение. Розничная цена учебника составляет 120% от оптовой цены. Чтобы найти 100% цены разделим 180 на 1,2:

Поскольку

по оптовой цене на 10 000 рублей можно купить 66 учебников.

Ответ: 66.

Примечание:

Заметим, что за 100% следует принимать оптовую цену, а не розничную.

16. Найдите значение выражения 

Решение. Выполним преобразования:

Ответ: 4.

17. Найдите корень уравнения 

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 4.

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А) 

Б) 

В) 

Г) 

РЕШЕНИЯ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Решим каждое из неравенств (предварительно приравняв левую часть к нулю):

А) 

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 1)

Б) 

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 2)

В) 

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 4)

Г)

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 3)

Ответ: 1243

19. Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

Решение. По модулю 6 и 11 число имеет одинаковые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 66, причём этот остаток не равен нулю и меньше шести. Таким образом, искомое число может иметь вид:

При  получаем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не являются трёхзначными.

При  получаем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 135.

20. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Решение. Пусть x литров — объем воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает  литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров, отсюда имеем:

Значит, первая труба пропускает 10 литров, а вторая — 11 литров воды в минуту.

Ответ: 10.

21. Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

Решение. От каждого столба отходит по 4 провода, следовательно, всего будет  соединений. Заметим, что каждые два столба связаны одни проводом, поэтому между этими десятью столбами будет протянуто всего  проводов.

Ответ: 20.

1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. за литр. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) время обращения Земли вокруг Солнца

Б) длительность односерийного фильма

В) длительность звучания одной песни

Г) продолжительность вспышки фотоаппарата

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1) 3,5 минуты

2) 105 минут

3) 365 суток

4) 0,1 секунды

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.

3. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).

4. Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле  где c — удельная теплоёмкость  m — масса тела (в кг), t1 — начальная температура тела (в кельвинах), а t2 — конечная температура тела (в кельвинах). Пользуясь этой формулой, найдите Q (в джоулях), если t2 = 366 К, c = 500  m = 4 кг и t1 = 359 К.

5. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

6. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F, качества Q и дизайна  Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.

7. На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

А) 1–7 января

Б) 8–14 января

В) 15–21 января

Г) 22–28 января

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) в конце недели наблюдался рост среднесуточной температуры

2) во второй половине недели среднесуточная температура не изменялась

3) среднесуточная температура достигла месячного минимума

4) среднесуточная температура достигла месячного максимума

8. Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 года отдыхали в Крыму, а некоторые ― в Сочи. Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Если сотрудник этой фирмы летом 2014 года отдыхал в Крыму, то он отдыхал и в Сочи.

2) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2014 года в Крыму.

3) Среди сотрудников этой фирмы, которые не отдыхали в Сочи летом 2014 года, есть хотя бы один, который отдыхал в Крыму.

4) Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который летом 2014 года отдыхал и в Крыму, и в Сочи.

В бланк ответов запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 12 км. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 4 см?

11. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка ниже второй в четыре раза, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объем первой кружки меньше объема второй?

12. Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 25. Найдите периметр ромба.

13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

14. Найдите значение выражения 

15. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. На прямой отмечено число m.

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

ТОЧКИ

А) 

Б) 

В) 

Г) 

ЧИСЛА

1) [−3; −2]

2) [0; 1]

3) [1; 2]

4) [3; 4]

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

19. Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города  Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города  Ответ дайте в км/ч.

21. В доме всего пятнадцать квартир с номерами от 1 до 15. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 15-ю включительно живёт суммарно 13 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. за литр. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

Решение. Поскольку сдача составляет 1 руб. 60 коп., на бензин потрачено 998 руб. 40 коп. Разделим 998,4 на 31,2, получим 32. Итак, в бак было залито 32 литра бензина.

Ответ: 32.

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) время обращения Земли вокруг Солнца

Б) длительность односерийного фильма

В) длительность звучания одной песни

Г) продолжительность вспышки фотоаппарата

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1) 3,5 минуты

2) 105 минут

3) 365 суток

4) 0,1 секунды

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.

Решение. От быстрого к долгому: обращение Земли вокруг Солнца (А - 3), фильм (Б - 2), песня (В - 1) и вспышка (Г - 4). Окончательно получим 3214.

Ответ: 3214.

3. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).

Решение. Из графика видно, что наименьшая цена за баррель нефти составляла 39 долларов США (см. рис.).

Ответ: 39.

4. Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле  где c — удельная теплоёмкость  m — масса тела (в кг), t1 — начальная температура тела (в кельвинах), а t2 — конечная температура тела (в кельвинах). Пользуясь этой формулой, найдите Q (в джоулях), если t2 = 366 К, c = 500  m = 4 кг и t1 = 359 К.

Решение. Подставим в формулу значение переменных:

Ответ: 14 000.

5. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

6. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F, качества Q и дизайна  Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.

Решение. Рассмотрим все варианты.

Модель А: 

Модель Б: 

Модель В: 

Модель Г: 

Тем самым, наивысший рейтинг имеет модель В, он равен 32.

Ответ: 32.

7. На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

А) 1–7 января

Б) 8–14 января

В) 15–21 января

Г) 22–28 января

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) в конце недели наблюдался рост среднесуточной температуры

2) во второй половине недели среднесуточная температура не изменялась

3) среднесуточная температура достигла месячного минимума

4) среднесуточная температура достигла месячного максимума

Решение. А) 1-7 января: из графика видно, что во второй половине недели среднесуточная температура не изменялась — вариант 2)

Б) 8-14 января: из графика видно, что среднесуточная температура достигла месячного максимума (1 ° C) — вариант 4)

В) 15-21 января: из графика видно, что среднесуточная температура достигла месячного минимума (-15 ° C) — вариант 3)

Г) 22-28 января: из графика видно, что в конце недели наблюдался рост среднесуточной температуры — вариант 1)

Ответ: 2431.

8. Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 года отдыхали в Крыму, а некоторые ― в Сочи. Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Если сотрудник этой фирмы летом 2014 года отдыхал в Крыму, то он отдыхал и в Сочи.

2) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2014 года в Крыму.

3) Среди сотрудников этой фирмы, которые не отдыхали в Сочи летом 2014 года, есть хотя бы один, который отдыхал в Крыму.

4) Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который летом 2014 года отдыхал и в Крыму, и в Сочи.

В бланк ответов запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение. 1) Если сотрудник этой фирмы летом 2014 года отдыхал в Крыму, то он отдыхал и в Сочи: не обязательно.

2) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2014 года в Крыму: неверно.

3) Среди тех, кто не отдыхал в Сочи, есть хотя бы один, кто отдыхал в Крыму: верно.

4) Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который летом 2014 года отдыхал и в Крыму, и в Сочи: верно.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и площади трапеции. Поэтому

10. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 12 км. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 4 см?

Решение. Расстояние между городами равно 4 · 12 = 48 км.

Ответ: 48.

11. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка ниже второй в четыре раза, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объем первой кружки меньше объема второй?

Решение. От высоты объем зависит линейно, а от радиуса — квадратично. Поэтому из-за увеличения высоты объем вырастет в 4 раза, а из-за изменения диаметра — увеличится ещё в 1,52 раза. Итого: увеличится в 4 · 2,25 = 9 раз.

12. Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 25. Найдите периметр ромба.

Решение. Сумма двух соседних углов ромба равна 180°, следовательно, два угла, сумма которых равна 120°, являются противоположными углами ромба. Каждый из этих углов равен 120° : 2 = 60°. Меньшая диагональ ромба лежит напротив его меньшего угла, равного 60°. Стороны ромба равны, поэтому треугольник, сторонами которого являются две стороны ромба и его меньшая диагональ, — равносторонний. Следовательно, сторона ромба равна его меньшей диагонали, то есть равна 25. Стороны ромба равны, значит, периметр ромба равен 100.

Ответ: 100.

13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Решение. Найдем третье ребро из выражения для объема:

Площадь поверхности параллелепипеда

Ответ: 22.

14. Найдите значение выражения 

Решение. Найдём значение выражения:

Ответ: 2,75.

15. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Решение. Налог на зарплату Ивана Кузьмича составит 12 500 · 0,13 = 1625 рублей. Значит, после вычета налога на доходы он получит: 12 500 − 1625 = 10 875 рублей.

Ответ: 10 875.

16. Найдите значение выражения 

Решение. Выполним преобразования:

Ответ: 250.

17. Найдите корень уравнения 

Решение. Последовательно получаем:

Ответ: 21.

18. На прямой отмечено число m.

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

ТОЧКИ

А) 

Б) 

В) 

Г) 

ЧИСЛА

1) [−3; −2]

2) [0; 1]

3) [1; 2]

4) [3; 4]

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Примем за m число 0,75 (главное, что мы видим по оси, что число m лежит в интервале от 0,5 до 1).

Рассмотрим каждое из чисел:

А)  следовательно, вариант 4)

Б)  следовательно, вариант 2)

В)  следовательно, вариант 3)

Г)  следовательно, вариант 1)

Ответ: 4231

19. Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Пусть y — некое четырёхзначное число такое, что  Подберем натуральное x такое, чтобы получалось четырехзначное y. Для этого используем множитель 3 для делимости результата на 3, например, такое x = 3 · 5 = 15, тогда 

Возможны также ответы  или  или  или  или 

Ответ: 1125, или 1944, или 3087, или 4608, или 6561, или 9000.

20. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города  Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города  Ответ дайте в км/ч.

Решение. Автомобиль, выехавший из города A, преодолел расстояние (330 − 180) км = 150 км за 3 часа. Пусть  км/ч — скорость данного автомобиля. Таким образом,

 км/ч.

Ответ: 50.

21. В доме всего пятнадцать квартир с номерами от 1 до 15. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 15-ю включительно живёт суммарно 13 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Решение. В квартире могут жить один, два или три человека. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, следовательно, в 10 квартирах живёт по одному человеку, а в оставшихся двух квартирах живёт суммарно 4 человека. В квартирах с 11-й по 15-ю включительно живёт суммарно 13 человек, следовательно, в трёх квартирах живёт по три человека, а в оставшихся двух живёт суммарно 4 человека. Рассмотренные множества квартир пересекаются по квартирам 11 и 12, значит, именно в квартирах 11 и 12 в сумме живёт 4 человека. Таким образом, получаем, что всего в доме живёт 10 · 1 + 4 + 3 · 3 = 23 человек.

Ответ: 23.

1. Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) Объём комнаты

Б) Объём воды в Каспийском море

В) Объём ящика для овощей

Г) Объём банки сметаны

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1) 78 200 км3

2) 75 м3

3) 50 л

4) 0,5 л

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

3. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4-го класса, по математике в 2007 году (по 1000-балльной шкале). По данным диаграммы найдите число стран, в которых средний балл ниже, чем в Нидерландах.

4. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле  где d — диагональ, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите S , если d = 10 и 

5. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

6. Автомобильный журнал определяет рейтинги автомобилей на основе показателей безопасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна  Каждый отдельный показатель оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле

В таблице даны оценки каждого показателя для трёх моделей автомобилей. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей автомобилей.

7. На рисунке изображён график функции y = f( x) . Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

А) ( a; b)

Б) ( b; c)

В) ( c; d)

Г) ( d; e)

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) Значения функции положительны в каждой точке интервала.

2) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала.

3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала.

4) Значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

8. Диагностика 30 машин в автосервисе показала, что у 5 машин нужно заменить тормозные колодки, а у 10 машин — заменить воздушный фильтр (колодки и фильтр требуют замены независимо друг от друга). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, какие машины нуждаются в замене фильтра, а какие — в замене колодок.

1) Найдётся 6 машин, в которых нужно поменять и колодки, и фильтр.

2) Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни колодки, ни фильтр.

3) Не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр.

4) Если в машине нужно менять колодки, то фильтр тоже нужно менять.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 10 м × 10 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в м2.

10. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?

11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

12. В треугольнике ABC сторона AC = 12, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

13.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра CD, CB и диагональ CD1 боковой грани равны соответственно 2, 4 и  Найдите площадь поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

14. Найдите значение выражения 

15. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А) 

Б) 

В) 

Г) 

РЕШЕНИЯ

1) 

2) 

3) 

4) 

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.

19. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

21. Взяли несколько досок и распилили их (за один распил можно распилить только одну доску). Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?

1. Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

Решение. Чтобы сварить 27 кг вишни, нужно купить 27 · 1,5 = 40,5 кг сахара. Значит, нужно купить 41 упаковку сахара.

Ответ: 41.

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) Объём комнаты

Б) Объём воды в Каспийском море

В) Объём ящика для овощей

Г) Объём банки сметаны

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1) 78 200 км3

2) 75 м3

3) 50 л

4) 0,5 л

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Упорядочим величины по возрастанию: банка, ящик, комната, море; 0,5 л, 50 л, 75 куб. м, 78 200 куб. км. Отсюда находим соответствие между величинами: А—2, Б—1, В—3, Г—4.

3. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4-го класса, по математике в 2007 году (по 1000-балльной шкале). По данным диаграммы найдите число стран, в которых средний балл ниже, чем в Нидерландах.

Решение. Из диаграммы видно, что число стран, в которых средний балл по математике ниже чем в Нидерландах равно семи.

Ответ: 7.

4. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле  где d — диагональ, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите S , если d = 10 и 

Решение. Подставим в формулу известные значения величин: 

Ответ: 30.

5. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение. Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на три делятся три числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3:10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Примечание.

Фраза «число от M до N» подразумевает, что и M, и N включаются в диапазон. Количество чисел в указанном диапазоне можно найти по формуле N − M + 1. Фраза «число делится на k» подразумевает, что число делится на k без остатка. Такие соглашения используются в сборниках для подготовки к экзаменам во всех задачах подобного типа.

6. Автомобильный журнал определяет рейтинги автомобилей на основе показателей безопасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна  Каждый отдельный показатель оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле

В таблице даны оценки каждого показателя для трёх моделей автомобилей. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей автомобилей.

Решение. Рассмотрим все варианты.

Модель А: 

Модель Б: 

Модель В: 

Тем самым, наивысший рейтинг имеет модель В, рейтинг равен 0,82.

Ответ: 0,82.

7. На рисунке изображён график функции y = f( x) . Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

А) ( a; b)

Б) ( b; c)

В) ( c; d)

Г) ( d; e)

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) Значения функции положительны в каждой точке интервала.

2) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала.

3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала.

4) Значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Решение. Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот.

На интервале (a; b) значения функции положительны в каждой точке интервала.

На интервале (b; c) значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала.

На интервале (c; d) значения функции отрицательны в каждой точке интервала.

На интервале (d; e) значения производной функции положительны в каждой точке интервала.

Таким образом, получаем соответствие А — 1, Б — 4, В — 3 и Г — 2.

Ответ: 1432.

8. Диагностика 30 машин в автосервисе показала, что у 5 машин нужно заменить тормозные колодки, а у 10 машин — заменить воздушный фильтр (колодки и фильтр требуют замены независимо друг от друга). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, какие машины нуждаются в замене фильтра, а какие — в замене колодок.

1) Найдётся 6 машин, в которых нужно поменять и колодки, и фильтр.

2) Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни колодки, ни фильтр.

3) Не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр.

4) Если в машине нужно менять колодки, то фильтр тоже нужно менять.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение. Проанализируем представленные утверждения, исходя из условий задачи.

1) Найдётся 6 машин, в которых нужно поменять и колодки, и фильтр. — неверно, поскольку только у 5 машин требуется заменить колодки.

2) Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни колодки, ни фильтр. — верно, поскольку говориться, что машин, которым требуется замена деталей, может быть не более 15, а всего проходило диагностику 30 машин.

3) Не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр. — верно, поскольку только у 5 машин требуется заменить колодки.

4) Если в машине нужно менять колодки, то фильтр тоже нужно менять. — неверно, поскольку у 5 машин требуется заменить колодки, а машин, которым требуется заменить фильтр — 10.

Ответ: 23.

9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 10 м × 10 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в м2.

Решение. Участок имеет форму трапеции, её площадь равна

Ответ: 900.

10. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим прямоугольные треугольники AEB и CDE, они имеют общий угол E и, следовательно, подобны по двум углам. Значит,  откуда  Получаем, что 

Ответ: 17.

11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Площадь поверхности заданного многогранника складывается из четырех площадей квадратов со стороной 1, двух прямоугольников со сторонами 1 и 2 и двух граней (передней и задней), площади которых в свою очередь складываются из трех единичных квадратов каждая. Всего 4 + 4 + 6 = 14.

Ответ: 14.

12. В треугольнике ABC сторона AC = 12, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. BM — медиана, по определению она делит сторону пополам, следовательно, AM = MC.

По условию BM = BC, значит, треугольник MBC равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой и медианой. BH является медианой и делит MC пополам, следовательно, MH = HC. Найдем MH: MC = 6, MH = 6 : 2 = 3.

Ответ: 9.

13.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра CD, CB и диагональ CD1 боковой грани равны соответственно 2, 4 и  Найдите площадь поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Решение. Найдём сторону DD1 по теореме Пифагора:

Площадь поверхности параллелепипеда — сумма площадей всех его граней:

Ответ: 88.

14. Найдите значение выражения 

Решение. Выполним преобразования:

Ответ: 10.

15. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?

Решение. Скидка на пачку сливочного масла составляет 60  0,05 = 3 рубля. Значит, пенсионер за пачку масла заплатит 60 − 3 = 57 рублей.

Ответ: 57.

16. Найдите значение выражения 

Решение. Найдём значение выражения:

Ответ: 512.

17. Найдите корень уравнения 

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 8,75

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А) 

Б) 

В) 

Г) 

РЕШЕНИЯ

1) 

2) 

3) 

4) 

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.

Решение. Решим неравенства:

А)

Б) 

В) 

Г) 

Ответ: 1324

19. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Произведение 24 дают следующие наборы из четырех цифр: 8, 3, 1, 1, или 6, 2, 2, 1, или 6, 4, 1, 1, или 4, 3, 2, 1, или 3, 2, 2, 2. Чтобы число делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Следовательно, это четное число — оно заканчивается четной цифрой. Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Для первого, второго и пятого наборов суммы цифр нечетные, следовательно, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, не могут быть равны; они не могут также отличаться на 11 ни при какой перестановке цифр. Рассматривая третий и четвертый наборы, находим числа, удовлетворяющие всем условиям: 4312, 3124, 2134, 1342.

20. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Решение. Пусть в первый день грузовик перевез  тонны щебня, во второй —  …, в последний —  тонн; всего было перевезено  тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на d тонн. Таким образом,

Имеем:

Следовательно, за девятый день было перевезено 18 тонн щебня.

Ответ: 18.

21. Взяли несколько досок и распилили их (за один распил можно распилить только одну доску). Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?