Контрольно-диагностические работы по геометрии 10 класс
учебно-методическое пособие по математике (10 класс) на тему

СОДЕРЖАНИЕ

1. Пояснительная записка………………………………………2

2. Урок-зачет……………………………………………….........6

3. Материалы контроля ………………………………………..10

4. Литература……………………………………………………21 

1. Пояснительная записка

        1.1 Пакет контрольно-диагностических материалов для выявления знаний и умений, уровня подготовки обучающихся 10 классов по разделу «Прямые и плоскости в пространстве» разработан на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования и федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования,   примерной программы основного общего образования по математике, примерной программе среднего (полного) общего образования по математике (базовый уровень).

        Пакет контрольно-диагностических материалов содержит тесты и контрольные работы по разделу «Прямые и плоскости в пространстве»    для 10-х  классов школы. С их помощью можно осуществлять тематический контроль знаний обучающихся и подготовку к ЕГЭ.

Геометрия– один из важнейших компонентов математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
• воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

Тема 1 . «Параллельность прямых и плоскостей»

Раздел математики. Сквозная линия

• Геометрические тела и их свойства.
• Измерение геометрических величин.

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

• Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
• Угол между двумя прямыми.
• Параллельность прямых и плоскостей.
• Признаки параллельности прямых и плоскостей.

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

• Знать определения параллельных прямых и плоскостей, их взаимное расположение в пространстве.
• Знать признаки параллельности прямых и плоскостей.

• Уметь решать простые задачи по этой теме.

Уровень возможной подготовки обучающегося

• Знать определения параллельных прямых и плоскостей, их взаимное расположение в пространстве, признаки параллельности прямых и плоскостей.
• Уметь решать задачи по этой теме, правильно выполнять чертеж по условию стереометрической задачи, понимать стереометрические чертежи.
• Уметь решать задачи на доказательство, строить сечения геометрических тел.

Уровень обязательной подготовки выпускника

• Параллельные плоскости α и β пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите АА2 и АВ2, если А1А2 = 2А1А, А1А2=12 см, АВ1=5 см.

Уровень возможной подготовки выпускника

• Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD пересекают плоскость α . Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.
• Проведите сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , проходящее через вершину А, В и середину ребра СС1.

Тема 2. «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Раздел математики. Сквозная линия

• Геометрические тела и их свойства.
• Измерение геометрических величин.

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

• Перпендикулярность прямых в пространстве.
• Углы между прямыми и плоскостями, между плоскостями.
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

• Знать определения перпендикулярных прямых и плоскостей.
• Знать о перпендикуляре и наклонных в пространстве.
• Понимать сущность углов между прямыми, между прямыми и плоскостями, между плоскостями в пространстве.
• Знать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
• Уметь решать простые задачи по этой теме.

Уровень возможной подготовки обучающегося

• Уметь анализировать взаимное расположение объектов в пространстве.
• Решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

Уровень обязательной подготовки выпускника

• Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости МВС.

Уровень возможной подготовки выпускника

• Правильные треугольники АВС и МВС расположены так, что вершина М проецируется в центр треугольника АВС. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.
• Проведите сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , проходящее через вершину А, В и середину ребра СС1.

Тестирование №2

«Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей».

1 вариант

При  выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом.

А 1.

а) Любые четыре точки лежат в одной плоскости;

б) Любые три точки не лежат в одной плоскости;

в) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости;

г) Любые три различные точки не лежат в одной плоскости;

А 2.

Назовите общую прямую плоскостей РВМ и МАВ.

 а) РМ; б) А В; в) РВ; г) ВМ.

А 3.

Через вершины параллелограмма, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках ,,,.Тогда    представляет собой:

а) трапецию; б) ромб; в) параллелограмм;  г) прямоугольник.

При выполнении задания В достаточно указать ответ.

В.

Плоскость  пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках  Д и Е соответственно, причем АС параллельна плоскости.

Найдите АС, если ВД: АД=3:4,ДЕ=10.

При выполнении задания  С  необходимо представить полное решение.

С.  Сторона ромба MCDN равна 4 см, MNKP -параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника CDKP , если NK=8см, CMP=.

2 вариант

При  выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом.

А 1. 

а) Через любые три точки  проходит плоскость и притом только одна;

б) Если две точки  прямой лежат в одной плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости;

в) Через прямую и точку, лежащую на не, проходит единственная плоскость;

г) Нельзя провести  плоскость через две параллельные прямые. 

А 2.

 Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.

а) AF; б) FD; в) AE; г) ED.

 А 3.

Через концы отрезка AB,не пересекающего плоскость и точку C – его середину, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость ,, соответственно. Найдите , если=12, =6.

 а) 6; б) 9; в) 6 ;  г) другой ответ.

При выполнении задания В. В достаточно указать ответ.

В. Плоскость  пересекает стороны MP и KP треугольника MPK соответственно в точках N и E, причем  сторона M K параллельна плоскости , M K=12, M N: NP=3:5.Найдите N E.

 При выполнении задания   С  необходимо представить полное решение.

С. Сторона ромба CDEK равна 8 см, CKMN -параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника DEMN  , если KM =6см, DCN=.

Ответы.

1 вариант

2 вариант

Нормы оценок:

«2»     0-2

«3»     3-4

«4»     5-6

«5»     7-8

«Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1 вариант

При  выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом.

А 1. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними:

а) ; б) ; в) ; г) нельзя определить.

 А 2.Прямая перпендикулярна к двум различным плоскостям, тогда плоскости:

 а) пересекаются; б) скрещиваются; в) параллельны; г) нельзя определить; 

А 3.Прямая   m перпендикулярна к прямым a и b,лежащим в плоскости  ,но m не перпендикулярна плоскости.Тогда прямые a и b:

 а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются ; г) нельзя определить; 

При выполнении задания В  достаточно указать ответ.

В.Из точки к плоскости проведены две наклонные ,равные 23сми 33см .Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных как 2:3.

 При выполнении задания  С  необходимо представить полное решение задачи.

С. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АД к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки  Д до стороны ВС, если АД=13см, ВС=6см.

2 вариант

При  выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом. 

А 1. Две  прямые a и b параллельны, а прямые b и c перпендикулярны. Чему равен угол между a и c:

а) ;  б) ; в) ;   г) нельзя определить.

А 2.Две различные  плоскости перпендикулярны к  некоторой прямой. Тогда эти плоскости:

 а) перпендикулярны; б) параллельны; в) скрещиваются; г) нельзя определить;

 А 3.Какое утверждение неверно:

 а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки имеют разные длины;

 б) равные наклонные,  проведенные из одной точки, имеют равные проекции;

в) Из двух наклонных проведенных из одной точки больше та проекция, которой больше;

 г) Любая наклонная не больше своей проекции;

 При выполнении задания В  достаточно указать ответ.

В.Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найти произведение их длин, если наклонные относятся как 1:2,а их проекции равны 1см и 7 см.

 При выполнении задания  С  необходимо представить полное решение задачи.

Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно1,1м,а до каждой из  вершин треугольника-6,1м. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответы.

1 вариант

2 вариант

Контрольная  работа  

Параллельность  в  пространстве.

Цель:  проверка  знаний  и  практических  умений  обучающихся.

1 вариант

Уровень А.

1.Написать обозначение  прямых.

2.Написать обозначение отрезков.

3.Написать обозначение углов.

4.Написать обозначение плоскостей.

5.Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?

6.Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?

7.Сколько плоскостей можно провести через две пересекающиеся прямые?

8. Сколько плоскостей можно провести через две скрещивающиеся прямые?

9. Прямые  а и в параллельны  прямой с. Как расположены между собой прямые а и в?

10.Две плоскости параллельны одной прямой. Параллельны ли они между собой?

11.Плоскость α ∥ β,  α  γ =  а, β  γ =  в.  Что можно сказать о прямых а и в?

12.У треугольника основание равно 18 см. Чему равна средняя линия   треугольника?

13.Стороны основания трапеции равны 12см  и 7см. Чему равна средняя линия трапеции?

14.У данного четырехугольника противоположные стороны равны и параллельны.

     Диагонали равны 15см и 13 см.  Является ли четырехугольник прямоугольником?

Уровень В.

15. Точки К, М, Р, Т не  лежат  в  одной  плоскости. Могут  ли  прямые  КМ  и  РТ  пересекаться?

       Ответ  обосновать.

16. Схематично изобразить плоскость  в виде параллелограмма. Вне   ее построить отрезок AB,  

      не  параллельный ей. Через концы отрезка AB и его середину М провести параллельные прямые,

      пересекающие плоскость   в точках А1, В1 и М1. Найти длину отрезка , если   АА1= 13 м,

      ВВ1= 7 м.

Уровень С.

17. Даны  две  параллельные  плоскости  и не  лежащая  между  ними  точка Р. Две  прямые,

      проходящие  через  точку  Р пересекают  ближнюю  к  точке  Р  плоскость  в  точках  А1 и А2,

      а  дальнюю в  точках В1 и В2  соответственно. Найдите  длину  отрезка  В1В2  , если А1А2 = 6 см

      и  РА1 : А1В1 = 3 : 2.

2 вариант

Уровень А.

1.Написать обозначение  плоскостей.

2.Написать обозначение   прямых.

3.Написать обозначение углов.

4.Назовите  основные  фигуры  в  пространстве.

5.Сколько плоскостей можно провести через три  точки?

6.Могут  ли  прямая  и  плоскость  иметь  две  общие  точки?

7.Сколько плоскостей можно  провести  через  прямую  и  не  лежащую  на  ней  точку?

8. Сколько может  быть  общих  точек  у  прямой и  плоскости?

9. Всегда  ли  через  две  параллельные  прямые  можно  провести  плоскость?

10.Верно  ли, что  плоскости  параллельны, если  прямая, лежащая  в одной  плоскости, параллельна

     другой  плоскости??

11.Плоскость α ∥ β,  прямая  m лежит  в  плоскости α. Верно  ли, что  прямая  m параллельна

       плоскости  β?

12.У треугольника основание равно 10 см. Чему равна средняя линия   треугольника?

13.Стороны основания трапеции равны 13см  и 4см. Чему равна средняя линия трапеции?

14.Верно ли, что если  две  стороны  треугольника  параллельны  плоскости α, то и  третья  сторона

     треугольника параллельна  плоскости α?

Уровень В.

15. Прямые  EN  и  KM  не  лежат  в  одной плоскости. Могут ли  прямые EM   и  NK  пересекаться?

       Ответ  обосновать.

16. Схематично изобразить плоскость  в виде параллелограмма. Вне   ее построить отрезок AB,  

      не  параллельный ей. Через концы отрезка AB и его середину М провести параллельные прямые,

      пересекающие плоскость   в точках А1, В1 и М1. Найти длину отрезка , если   АА1= 3 м,

      ВВ1= 17 м.

Уровень С.

17. Даны  две  параллельные  плоскости  и  не  лежащая  между  ними  точка Р. Две  прямые,

      проходящие  через  точку  Р пересекают  ближнюю  к  точке  Р  плоскость  в  точках  А1 и А2,

      а  дальнюю в  точках В1 и В2  соответственно. Найдите  длину  отрезка  В1В2  , если А1А2 = 10 см

      и  РА1 : А1В1 = 2 : 3.

  Критерии оценки контрольной  работы

Максимальный балл за работу – 21  балл

Шкала перевода баллов в отметки

Ответы к контрольной работе

Контрольная  работа  

Перпендикуляр и  наклонная. Свойства  перпендикулярности  прямой и плоскости.

Цель:  проверка  знаний  и  практических  умений  обучающихся.

1 вариант

Уровень А.

Ответь на предложенные вопросы. В каждом ответе обоснуй свою точку зрения.

1. Могут ли скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными?

2. Какие между собой две прямые перпендикулярные к одной плоскости?

3. Могут ли быть  ┴ к одной плоскости две стороны одного треугольника?

4. Прямая   ┴ к одной из двух пересекающихся плоскостей, может ли она быть ┴ к другой

     плоскости?

5. Если две плоскости   ┴ к одной прямой, каковы они между собой?

6. Сколько наклонных  можно провести из одной точки к плоскости?

7. Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен 70°?

Уровень В.

Решите  задачи.

8. Перекладина  длиной  5 м лежит  своими  концами  на  двух  вертикальных  столбах  высотой  3 м

    и 6 м. Каково  расстояние  между  основаниями  столбов?

9. Из  точки к  плоскости  проведены  две  наклонные, равные  5см  и  8 см.

    Проекция одной  из  них  на   3 см   больше  другой. Найдите  проекции  наклонных.

Уровень С.

10. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см.

                                                                                                      а) 4см;        

              В                  М                С                                             б)  8см;      

                                 О                                                                  в) 6см;      

                        А                                                                           г) 2см.

 2 вариант

Уровень А.

Ответь на предложенные вопросы. В каждом ответе обоснуй свою точку зрения.

1. Как расположены друг к другу рёбра, выходящие из одной вершины куба?

2. Если одна из двух параллельных прямых  перпендикулярна к плоскости, будет ли вторая прямая,

    тоже перпендикулярна к этой плоскости?

3. Могут ли быть  ┴ к одной плоскости две стороны трапеции?

4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?

5.  Сколько перпендикуляров можно провести из одной точки к плоскости?

6. Может ли перпендикуляр быть длиннее наклонной , проведённой из этой же точки?

7.  Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен 120°?

Уровень В.

Решите  задачи.

8. Какой  длины  нужно  взять  перекладину, чтобы  её  можно  было  положить    концами  на  две  

    вертикальные  опоры  высотой  4  м и 8 м, поставленные  на  расстоянии  3 м одна  от  другой?

9. Из  точки к  плоскости  проведены  две  наклонные, одна  из  которых  на  6 см длиннее  другой  

    Проекции наклонных  равны  17 см и 7 см. Найдите  длины   наклонных.

Уровень С.

10. Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 5см. Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC, если    AB =3см.

             А                           В                             а) 4 см;  

                                                                               б) 4см;        

        Д                            С                                в) 2см;        

                                                                              г) см.

Критерии оценки контрольной  работы

Максимальный балл за работу – 14  баллов

Шкала перевода баллов в отметки

Ответы к контрольной работе

Литература.

Нормативные документы

1. Федеральный компонент государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике

2. Примерная программа среднего общего образования по математике 2005г. (сборник нормативных документов. Математика / сост. Э.Д. Днепров, А.Г Аркадьев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008

Сборники программ

1. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 10-11 классы./сост. Бурмистрова Т. А. – М: «Просвещение», 2010

Методические пособия

1. Геометрия. 10 класс. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс/ Сост. В.Я.Яровенко. – М.: ВАКО,2010

2. Изучение геометрии в 10-11 классах: методические рекомендации: кн. для учителя/ С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. - М.: Просвещение, 2010

Учебник

1. Геометрия: 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2011

Рабочие тетради

1. Геометрия: рабочая тетрадь для 10 кл. / Ю.А. Глазков, И.И. Юдина, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2011-2015

Дидактические материалы

1. Глазков Ю.А. Тесты по геометрии: 10 класс: к учебнику Л.С.Атанасяна и др. «Геометрия. 10-11 классы». – М.: Изд-во «Экзамен», 2012

2. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – М.: Просвещение, 2011

3. Контрольно-измерительные материалы. Геометрия. 10 класс/ Сост. А.Н. Рурукин. – М.: ВАКО, 2013

4. Контрольно-измерительные материалы. Геометрия. 11 класс/ Сост. А.Н. Рурукин. – М.: ВАКО, 2012

5. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. Контрольные работы по геометрии. 10 класс. – М.Просвещение, 2009

Сборники заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации

1. ЕГЭ 2014. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С)/ И.Р.Высоцкий, П.И. Захаров, В.С. Панферов, С.Е. Посицельский, А.В. Семенов, И.В.Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В.Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», 2014

2. Смирнов В.А. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ/ Под ред. И.В.Ященко и А.В.Семёнова. – М.: МЦНМО, 2009

3. Смирнов В.А. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ/ Под ред. И.В.Ященко и А.В.Семёнова. – М.: МЦНМО, 2009

Адреса Интернет-ресурсов с ЦОР

1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Адрес сайта: http://school-collection.edu.ru

2. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов (ФЦИОР)

Адрес сайта: http://fcior.edu.ru

3. Открытый колледж: Математика

Адрес сайта: http://college.ru/matematika/

4. КВАНТ Физико-математический научно-популярный журнал для школьников и студентов.

Адрес сайта: http://www.kvant.info

5. Образовательный математический сайт Exponenta.ru

Адрес сайта: http://www.exponenta.ru

6. ФИПИ. Открытый банк заданий. Математика

Адрес сайта: http://www.fipi.ru/

7. Задачи. Проект МЦНМО

Адрес сайта: http://www.problems.ru/