Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие17. Проценты
план-конспект занятия по математике (7 класс) по теме

Проценты.

Процент – это другое название сотой части числа, т.е. когда говорят 1% от х, понимают 0,01 часть числа х, равную 0,01х. В решениях задач часто не удобно пользоваться процентами, поэтому их заменяют на части числа.

Например, было k конфет, съели 20% конфет, т.е. съели 0,2 часть конфет, или 0,2k, осталось 80% или 0,8k.

Краткая история появления процентов

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах  приняли участие 69 % избирателей, уровень инфляции составляет 7 % в год, молоко содержит 3,2 % жира и т. д.  Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально  означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях.

Процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого. Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно сto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100 процентов».

Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %. Например, 1 % от зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты – это сто сотых частей зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от зарплаты. 3,2 % жира в молоке  означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в  каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Понятие процента  определяют так: 1% от числа это сотая часть числа,     т. е. 1% = 0,01.

 Тогда смысл предложения а% от числа b можно пояснить так. Некий объект (величина, которого равна b единиц) разделили на 100 равных частей и взяли из них a частей.

Пример 1. У Маши было 400 рублей. 24% этой суммы она израсходовала. Какой смысл заключен в этом высказывании?

Так как 24% = 0,24, а 0,24 означает, что некий объект разделили на 100 равных частей и взяли из них 24 части. В данном случае объектом является сумма денег равная 400 руб., следовательно,
400 : 100 =4,      424 = 96.            Маша израсходовала 96 рублей.

Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение процентов от числа.

Пример 2. Нужно найти р% от числа b.

Пусть x – число, которое нам нужно найти.

p% = 0,01p,

x = b0,01p

Чтобы найти проценты от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную дробь.

Другой подход к этой задаче. Можно использовать понятие и свойства пропорции. Если вспомнить, что пропорция - это равенство двух отношений, а отношение двух чисел - это обыкновенная дробь, то этот способ также связан с понятием обыкновенной дроби.

b  -   100%,

x   -    р%,

Имеем пропорцию:

b : 100 = x : р,    (b относится к 100 как x относится к p) откуда,

  Пример 3. Пусть имеются числа a и b, причем, a > b Тогда число a больше числа  b   на  %.

 Подойдем к этой задаче чуть-чуть иначе. Будем рассматривать простой частный случай, например такой: "На сколько процентов число 10 больше числа 2?".

 1. Из большего числа вычитаем меньшее. 10 - 2 = 8. Тогда 10 больше 2 на 8.

 2. Находим отношение, найденного числа к меньшему числу. 8 : 2 = 4 - это отношение двух чисел!

 3 Выражаем отношение в процентах 4100 = 400%.

 Число 10 больше числа 2 на на 400%.

 Если мы 8 разделим на 10 мы найдем отношение, показывающее на какую часть от 10 2 меньше 10 (здесь сравнение идет с числом 10.

 Число 2 меньше числа 10 на 80%.

 Пример 4. Дано число b, которое составляет p% от числа a. Найти число а.

 p% = 0,01p

b = 0,01pa

a = b : (0,01p)

 Дано число b, которое составляет p% от числа a.

 Найти число а.

  a   -   100%

 b  -    p%

 a : 100 = b : p

   Пример 5. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?

 Решение.

 Если незаполненная часть цистерны составляет 6,5% вместимости, то заполненная часть составляет: 100% — 6,5% = 93,5%. Тогда, если х — масса бензина, который осталось долить в цистерну, то имеем пропорцию

 х        -      6,5%

 37,4   -       93,5%,

 откуда.

 Ответ: 2,6 т.

 Пример 6. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.

 Решение.

 25%=0,25,

 45%=0,45.

 Пусть х — искомое число. Имеем

 0,25x = 0,45640.

 x = 1152.

 Ответ: 1152.

 Пример 7. Число а составляет 92% от числа b. Если число b увеличить на 700, то новое число будет на 9% больше числа a. Найти числа a и b.

 Решение.

 92%=0б92,

 9%=0,09.

 Из условия задачи имеем систему уравнений:

 Решая полученную систему, находим, а = 230000, b = 250000.

 Ответ: 230000; 250000.

 Пример 8. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?

 Решение.

 Обозначим второе число через х, тогда первое число равняется 0,5х. Чтобы узнать, сколько процентов составляет число х от числа 0,5x; составим пропорцию:

 0,5х    -    100%,

 х         -     р%,

 из которой находим  

 Ответ: 200%.

 Пример 9. В лицее 260 учащихся, из которых 10% неуспевающих. После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до 6,4%. Сколько учащихся отчислено?

 Решение.

 До отчисления количество неуспевающих до отчисления составляло  0,1260 = 26.

 Пусть отчислили х человек. Тогда всего в лицее осталось 260 — х учащихся, из них неуспевающих стало 26 - х. Имеем пропорцию

 260 – x       -    100%,

 26 - x              6,4%.

 (260 – x)0,064=(26 - x)100,

 Решая полученное уравнение, находим х = 10.

 Ответ: 10.

 Пример 10. На сколько процентов число 250 превышает число 200?

 Решение.

 Выполним два действия.

 1) Выясняем, сколько процентов составляет число 250 т от числа 200:

 200   -    100%

 250   -     х%

 2) Так как число 200 в данном примере составляет 100%, то число 250 больше числа 200 на 125% -100% = 25%.

 Ответ: 25%.

 Пример 11. На сколько процентов число 200 меньше, чем число 250?

 Решение.

 1) Выясняем, сколько процентов составляет число 200 от числа 250 (в отличие от предыдущего примера, здесь за 100% нужно принимать число 250!):

 250   -   100%

 200   -     х% .

 2) Число 200 меньше числа 250 на 100% - 80% = 20%.

 Ответ: 20%.

 Пример 12. Длину кирпича увеличили на 30%, ширину на 20%, а высоту уменьшили на 40%. Увеличился или уменьшился от этого объем кирпича и на сколько процентов?

 Решение.

 Пусть исходная длина кирпича — х, ширина — у, высота — z. Тогда исходный объем кирпича: V1 = xyz. Новые размеры кирпича: 1,3х; 1,2у; 0,6z и новый объем: V2 = 1,3х1,2у0,6z = 0,936xyz. Так как V2 < V1, объем кирпича уменьшился. Уменьшение V2 — V1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V1.

 Ответ: уменьшился на 6,4%.

 Пример 13. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

 Решение.

 Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной

 х — 0, 4х = 0,6x.

 Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения будем иметь цену

 0,6х - 0,250,6x = 0,45x;.

 После двух понижений суммарное изменение цены составляет:

 х - 0,45x = 0,55х.

 Так как величина 0,55x; составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

 Ответ: 55%.

 Пример 14. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции.

 Решение.

 Пусть х% - это проценты повышения (и понижения) стоимости единицы продукции. По определению х% от 75 это — 750,01x. Тогда после первого повышения цена станет равняться 75 + 0,75x.

 В течение второго года цена снизится на величину

 0,01x(75+0,75х) = 0,75х + 0,0075х2.

 Теперь можно записать уравнение для окончательной цены

 (75 + 0,75х) - (0,75х + 0,0075х2) = 72;

 х2 = 400; отсюда x1 =  - 20, x2 = 20.

 Подходит только один корень этого уравнения: х2 = 20.

 Ответ: 20%.

Формула сложных процентов.

Если на вклад положена сумма a денежных единиц, и банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит  денежных единиц, или

a(1+0,01p)n денежных единиц.

 Пример 15. В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад?

 Решение.

 Предположим, что два года назад количество жителей город было x человек, тогда количество жителей в настоящее время выражается через х по формуле сложных процентов:

 x(1+0,1)2 = 1,21x.

 Из условия задачи:

 1,21х = 48400;

 х = 40000.

 Ответ: 40000 человек.