Методика изучения темы «Проценты» в школьном курсе математики
презентация к уроку по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) на тему

Содержание

проектного задания по теме:

«Методика изучения темы «Проценты» в школьном курсе математики»

1. Мотивация систематического изучения процентов и ее актуальность
2. Методика изучения темы: «Проценты»
3. Литература
4. Приложения

1. Мотивация систематического изучения процентов и ее актуальность

     Исследование психологов показали, что обучение должно идти впереди развития.

     Занков Л.В. своей работой подтвердил эту мысль и выдвинул соответствующие идеи развивающего обучения, следующие дидактические принципы:

1. Повышение теоретического уровня содержания обучения;
2. Принцип обучения на высоком уровне трудности, доступном детям;
3. Быстрый темп продвижения в обучении;
4. Принцип осознания учащимися процесса учения.

     Принцип развивающего обучения даёт возможность развития, продвижения в обучении. Руководствуясь на практике идеями развивающего обучения, я совершенствую и свои методы обучения, которые я хочу представить на примере изучения темы «Проценты».

     Выбор темы обусловлен непродолжительным изучением темы «Проценты» на первом этапе основной школы, когда учащиеся еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме нет. Поэтому учителю необходимо возвращаться к этой теме в своей работе, так как текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в ЕГЭ.

     Понимание процентов и умение производить процентные расчеты, в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социальную и другие стороны нашей жизни.

      Изучение темы проходило как на уроках, так и на факультативных занятиях.

     Знакомя учащихся с понятием процента, я показывала план изучения этой важной темы во всем курсе математики, и связи темы с вопросами рыночной экономики, ориентировала учащихся на обучение по естественнонаучному и социально-экономическому профилю. Работая по теме, я ставила перед собой цели:

- сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни;

- способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

     Все уроки были направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об обучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

      В результате изучения темы «Проценты» учащиеся должны:

- понимать содержательный смысл термина «процент», как социального способа выражения доли величины;

- уметь соотносить процент с соответствующей дробью

- знать широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;

• производить прикидку и оценку результатов вычислений.

II. Методика изучения темы: «Проценты»

      По УМК авторов Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др. изучать проценты ученики начинают в 6 классе. На первом уроке я сообщаю историю появления процентов, привожу примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящее время.

     Предлагаются упражнения по переводу дроби в проценты, а проценты в десятичные дроби.

1. Представьте данные дроби в процентах:

2. Представьте проценты десятичными дробями:

      Далее я прошу учеников запомнить основные сокращенные процентные отношения и записать их в тетрадь.

     На этом этапе необходимо использовать устный счет. Устный счет приучает к рациональным вычислениям, помогает сопоставлять, сравнивать показатели, прикидывать в уме результаты действий.    

     Далее по программе 6 класса рассматриваются три основных действия с процентами:

1). Нахождение процента от числа:

Найдите:  48% от 250

Решение: 250:100⋅48=120

2). Нахождение числа по его проценту:

Найдите: число, 8% которого равны 12.

Решение: 12:8⋅100=150.

3) Сколько процентов одно число составляет от другого?

Сколько процентов составляет 150 от 600?

Решение: 150:600⋅100%=25%.

      Так же даётся другой способ решения этих задач.

Найдите 48% от 250

Решение: 250⋅0,48%=120.

1. Найдите: число, 8% которого равны 12.

Решение: 12:0,08=150.    

     Отработка типовых задач продолжается до конца 6 класса. На уроках я использую фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность работать в скором тепе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

     Также я рекомендую использовать комментированные упражнения, когда один из учеников объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает мне «опережать» возможные ошибки. При этом нет механического списывания с доски, а имеет место процесс повторения. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему – придает уверенность, а слабому – помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

       В качестве второго учебника в своей работе я использую учебник «Математика 6 класс», автор Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.  

     В учебнике этих авторов в 6 классе рассматривается решение задач на «простой» и «сложный» процентный рост.

     Поэтому в 6 классе я отрабатываю с учениками эти задачи и вывожу формулы «простого» и «сложного» процентного роста.

1. Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него Sо рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы Sо. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет Sо⋅р/100 рублей и величина вклада станет S= Sо⋅(1+) рублей; р% называют годовой процентной ставкой.

Через п лет на вкладе по формуле простого процентного роста будет

Sп= Sо⋅(1+).

2. Если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединится к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р%  уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад Sо, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами.

Sп= Sо⋅(1+)п , где п=1,2,3…

    Далее я еще раз в 6 классе возвращаюсь к решению задач на проценты и рассматриваю основные задачи на проценты.

Основные типы задач на проценты

1. Одна величина больше или меньше другой на р%

а)  Если а больше b на р%, то

а= b+0,01рb= b(1+0,01р).

б) Если а меньше b на р%, то

а= b-0,01рb= b(1-0,01р).

Пример.

На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

Решение:

120=90+90⋅0,01р,

120=90(1+0,01р)

1+0,01р==

0,01р=;  р==33.

Ответ: 33.

Аналогично:

а) Если а возросло на р%, то новое значение равно

а(1+0,04р).

Пример.

Увеличить число 60 на 20%.

Решение:

60+60⋅0,2=72 или 60⋅(1+0,2)=72.

б) Если а уеньшили на р%, то новое значение равно

а(1-0,01р)

Пример.

Число 72 уменьшили на 20%.

Решение:

72-72⋅0,2=57,6 или 72(1-0,2)=57,6.

     Далее объединяя а) и б) записываю задачу в общем виде:

увеличили число а на р%, а затем полученное уменьшили на р%.

а(1+0,01р);  а(1+0,01р)(1-0,01р)=а(1-(0,01р)2).

     В 7 и 8 классе я знакомлю учащихся с понятиями «скидки», «распродажа», «бюджет», «тарифы», «пеня», стараюсь сформировать умение применять знания процентов в жизненных ситуациях и тем самым закрепляю умение решать основные задачи на проценты.

     Решение таких задач представлены в приложении 5.

    Задачи на смеси, сплавы, растворы я рассматриваю после того, как  учащиеся уже на уроках физики и химии ознакомлены с понятиями концентрации вещества, законом сохранения массы, процентный раствор.

     Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций – смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот различной концентрации, сплавление металлов.

     При решении задач данного типа используются следующие допущения:

1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава) соединяют в новый раствор (сплав), то выполняются равенства:

V=V1+V2 – сохраняется объем

m=m1+m2 – закон сохранения массы.

2. Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора).
3. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

Задачи на смеси, растворы и сплавы называют еще задачами на процентное содержание или концентрацию. Говоря о смесях, растворах и сплавах, я употребляю термины «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т.д.)

     Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси».

     Долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества m в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены в одной и той же единицей массы или объема:

а=.

     Понятие доли чистого вещества я ввожу следующей условной записью:

Доля чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси. Складывать и вычитать доли процентного содержания нельзя.

     Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называю его долю, выраженную процентным содержанием: с=а⋅100%, а=с/100%.

    Считаю полезным предложить школьникам формулу, по которой рассчитывают концентрацию смесей (сплавов):

n=,

где  n –концентрация,

mв – масса вещества в растворе (сплаве),

mр – масса всего раствора (сплава).

Методика решения задач на сплавы и смеси рассмотрена в приложении 6.

    В ходе повторения и подготовки школьников к экзаменам обобщается материал, наработанный учащимися с 6 класса.

     Знания, приведенные в стройную систему, являются одним из наиболее эффективных средств их упрочнения и закрепления.

     Систематизация пройденных знаний и обобщение их является основой фонда действенных знаний, т.к. обобщение и систематизация – неотъемлемое свойство умственной деятельности, лежащей в основе установления существенных взаимосвязей между изучаемыми явлениями и научного познания вообще.

     Результативностью своей работы считаю:

1. получение учащимися знаний по теме «Проценты» не только в объеме школьной программы, но и расширенные и углубленные
2. желание учащихся идти ко мне на урок за знаниями
3. качество обучения моих учащихся колеблется от 60% до 80%.

III. Литература

1. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др. Математика 6 класс.-М:Просвещение,2013.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. математика 5 и 6 класс.-«Ювента»,2005 г.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе (4-6 кл): пособие для учителей-М:Просвещение, 1981.
4. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления.10-11 классы.-М:Дрофа,2003.
5. Штыхлина Н. И опять о задачах (Математика №12,2004)
6. Кац М. Проценты (Математика №20,2004)
7. Абросимова Т. Задачи на проценты 5 кл. (Математика №23,2005)
8. Симонов А.С. Сложные проценты (Математика в школе №5,1998)
9. Соломатин О.Д. Старинный способ решения задач на смеси и сплавы (Математика в школе №1,1997)
10. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений.-М:Наука,1990.
11. Шарыгин И.Ф. Решение задач: факультативный курс по математике.10 класс-М:Просвещение,1989.
12. Башарин Г.П. Элементы финансовой математики (Математика №27,1995)

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Заключительный урок в 6 классе по теме «Проценты»

Цели урока: Отработка навыка решения задач на проценты всех трех видов; проверка знаний учащихся по теме.

Ход урока.

I. Математический диктант ( в виде теста с выбором ответа).

Вариант 1.

1) Заштрихуйте часть фигуры:

а) 50%                                                                    б) 20%

2) Данную часть выразите в виде обыкновенной дроби:

а)    б)

3) Найдите:

а) 50% от 6м [3 м]

б) 20% от 35 дм [7 дм]

в) 25% от 32 кг [8 кг]

г) 10% от 48 ц [4,8 ц]

4) Определите, какой процент всей фигуры заштрихован:

а)                                                                               б)

                    [50%]                                                                                 [30%]

5) Известна часть заштрихованной части (см. задание 4). Определите площадь всей фигуры.

а) Sзч= 5м2                       [10 м2]                                                                                

б) Sзч= 90га                     [300 га]                                                                                

Вариант 2.

1. Заштрихуйте часть фигуры:

а) 25%                                                                       б) 10%

1. Данную часть выразите в виде обыкновенной дроби:

а) []     б) ) []    

3) Найдите:

а) 25% от 12 руб. [3 руб.]

б) 10% от 23 м [2,3 м]

в) 50% от 4 т [2 т]

г) 20% от 45 га [9 га]

4) Определите какой процент всей фигуры заштрихован:

а)                                                                               б)

                    [50%]                                                                    [40%]

5) Известна площадь заштрихованной части (см. задание 4) фигуры. Определите площадь всей фигуры.

а) Sзч=10 га [20 га]

б) Sзч=80 2 [200 м2]

2. Закрепление изученного материала.

Решение задач.

     Большую площадь земного шара занимают леса. Мы можем отдыхать в тени деревьев, дышать свежим воздухом. Лес дает человеку продукты питания. Это дом, в котором живут звери и птицы. Охраняйте и берегите лес.

Вопросы:

1. Сколько лет растет дерево?

Мамонтово дерево (Америка) –2500 лет –100%

Дуб (1000 лет) - ? лет – 40%

Сосна (400 лет) - ? лет – 16%

Груша (300 лет) - ? лет – 12?

      Ранним летним утром в лесу еще не жарко. На траве блестит холодная роса. Солнце быстро высушит траву и нагреет воздух. Вот на поляне стоит развесистый дуб. Его тень так и манит к себе. Мы садимся на мягкую траву под дубом, закрываем глаза, предвкушая наслаждение от прохлады, и вдруг назойливый писк. Вот и первая муха прилетела. Комары и мухи переносчики инфекции. Как вы думаете, кто в лесу уничтожает комаров и мух?

[птицы, лягушки, пауки]

     Чтобы догнать муху, птица должна развивать скорость большую чем муха.

2. Как в процентном отношении измеряется скорость мухи и скорость ворона от скорости стрижа?

Муха – 25 км/ч - ?% [25%]

Ворон – 50 км/ч - ?% [50%]

Стриж – 100 км/ч –100%

3. Как долго живет паук, если его средняя продолжительность жизни составляет 1,2% от продолжительности жизни мамонтова дерева? [30 лет]

     Паутина пука очень тонкая. Чтобы опоясать паутиной экватор, необходимо 340, но она такая прочная, прочнее стальной нити такой же толщины. Пауки – основные истребители ух.

4. Кто самый сильный на земле?

Масса слона – 5 т – 100%

Масса переносимого им за один раз груза - ? т – 30%

     Муравей может переносить груз в 10 раз превышающий собственный вес.

5. Сколько лет живет муравей, если его продолжительность жизни составляет 1 % от продолжительности жизни мамонтова дерева? [25 лет]

     Муравьи очищают лес от мусора. Они живут большой семьей в муравейнике, который «растет» вместе с семьей и строится всегда с запасом. Но сам муравейник – это только небольшая видимая часть муравьиного дома, большая часть которого находится под землей, на глубине до 20 м. Здесь есть вентиляция, и хранилища, и детские комнаты и даже кухни. Каждый муравей выполняет в муравейнике строго определенные функции. Есть муравьи-строители, солдаты, няньки. Любимое лакомство муравьев – семена различных деревьев и трав, которые они собирают примерно до середины лета.

6. Пятьдесят тысяч семян обыкновенной осины весят всего 4 г (по сравнению с весом самого муравья они конечно очень тяжелые). Как это можно выразить в процентном отношении?

     Рядом с дубом кустарник черники и брусники. Ягоды брусники созревают только к концу лета, и их захочется сорвать и съесть, а вот черника уже поспела.

7. Какое растение живет дольше и на сколько лет: брусника или черника, если 5 % возраста брусники составляет 15 лет, а 7% возраста черники – 21год?

Брусника

Средняя продолжительность - ? лет – 100%

15 лет – 5%

⋅100=300 (лет)

Черника

Средняя продолжительность - ? лет – 100%

21 год –7%

⋅100=300 (лет)

     Берегите лес и все, что в нем растет и живет. Не убивайте паука, не наступите на муравьев, не срывайте растения.

III. Самостоятельная работа.

1. Девочке 7 лет, что составляет 10% от средней продолжительности жизни человека. Какова средняя продолжительность жизни человека?
2. Организм человека состоит из воды на 60% (в массовом отношении), из белка – 10 14%, жиров – на 10%, углеводов – на 1%, золы – на 5% и других веществ. Определите массу каждого элемента в организме человека массой 50 кг.
3. Масса крови в организме человека составляет около 8% его ассы. Определите массу крови в организме человека массой 70 кг.

IV. Подведение итогов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Занимательные задачи по теме «Проценты» 6 класс

Задача 1:

     Витя Верхоглядкин записал два числа. Нашел 1% каждого числа. Полученные числа оказались равны. Может ли быть такое?

Ответ: Да, если Витя записал равные числа.

      Учитель может продолжить задание: а если в условии будет сказано, что числа не равны?

      Тогда 1% от первого числа и 1% от второго числа не равны. Так как если числа не равны, то и сотые их части не равны.

Задача 2 (игровой момент):

     Задумайте десятичную дробь. Умножьте ее на 100. Найдите 1% полученного числа. В итоге получится задуманное число. Почему?

Ответ: Пусть а – задуманное число, тогда а·100:100=а

Предложить учащимся самим обосновать ответ.

Задача 3:

     У горного барана массой 150 кг масса рогов равна 30 кг. Сколько процентов составляет масса рогов от массы тела: 20% или 25%?

Ответ: 20%.

Учитель указывает, что задачу можно решить несколькими способами.

Можно предложить учащимся описать их устно.

Задача 4:

     Рост человека археологи могут определить даже по его отдельным костям. Например, длина малой берцовой кости составляет 22% роста человека, а локтевой кости составляет 16% роста человека.

     а) При раскопках нашли малую берцовую кость длиной 39,3 см. вычислите, каков был рост человека.

     б) Как можно доказать, что локтевая кость длиной 20,3 см не могла принадлежать тому же человеку?

Ответ: а) 39,3:22·100178,6 (см)

             б) 20,3:16·100126,9 (см)

     Так как эти длины отличаются друг от друга приблизительно на 50 см, то очевидно, что кости принадлежали разным людям.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Задачи централизованного тестирования для 9 класса.

Задача 1:

     В первой смене летнего лагеря отдыхали 550 школьников. Во второй смене число мальчиков сократилось на 4%, а число девочек увеличилось на 4%. Всего же во второй смене отдыхало 552 школьника. Сколько мальчиков отдыхало в первой смене?

Решение:

     Пусть было х мальчиков, тогда стало (х-0,04х) чел. Девочек было (550-х) чел., а стало (550-х)+0,04(550-х)=(572-1,04) чел.

х-0,04х+572-1,04х=552

Ответ: 250 мальчиков.

Задача 2:

     Колхоз обычно засевал пшеницей и ячменем 125 га угодий. После увеличения площади посевов пшеницы на 10% и уменьшения площади посева ячменя на 8% занимаемая ими площадь стала равной 124 га. Какова была первоначальная площадь пшеничного поля?

Решение:

     Пусть было засеяно х га пшеницы, тогда 1,1 га стало. Ячменя было (125-х) га, а стало (125-х)-0,08(125-х)=(115-0,92х) га.

1,1х+115-0,92х=124

х=50.

Ответ: Первоначальная площадь пшеничного поля 50 га.

Задача 3:

     На складе хранилось 500 м3 досок и бруса. После продажи 10% досок и 15% бруса осталось 445 м3 пиломатериалов. Сколько кубических метров досок продали?

Ответ 40 м3.

Задача 4:

     Две фракции областной думы объединяли 60 депутатов. При раздельном голосовании по законопроекту проголосовали «против» 15% членов первой фракции и 10% - второй, а поддержали законопроект 52 депутата этих фракций. Сколько депутатов входит в первую фракцию?

Решение:

      Пусть х депутатов в I фракции, тогда во II фракции (60-х) депутатов. Проголосовали «против» 0,15х депутатов из первой фракции и 0,1(60-х) депутатов из второй фракции. Поддержали законопроект 0,85х депутатов из первой фракции и (54-0,9х) депутатов из второй фракции.

0,85х+54-0,9х=52

х=40.

Ответ: 40 депутатов.

Задача 5:

     В двух школах поселка училось 640 мальчиков. Через год число мальчиков в первой школе увеличилось на 5%, а во второй уменьшилось на 10%, а общее количество мальчиков стало равным 612. сколько мальчиков училось в первой школе первоначально?

Задача 6:

     В контейнере хранилось в общей сложности 500 кг гвоздей и шурупов. После продажи 10% гвоздей и 5% шурупов их масса уменьшилась до 460 кг. Сколько килограммов гвоздей продали?

Решение:

     Пусть было х кг гвоздей, тогда стало 0,9х кг. Было (500-х) кг шурупов, а стало (475-0,95х) кг.

0,9х+475-0,95х=460

х=300.

300 кг гвоздей было.

0,1·300=30 кг гвоздей продали.

Ответ: Продали 30 кг гвоздей.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Задачи ЕГЭ

1.

     При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителя пришлось заплатить на 35% больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20%, а ботинки – на 70%. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Решение:

1,2х+1,7у=1,35 (х+у)

х р. – стоили лыжи два года назад;

у р. – стоили ботинки два года назад.

у=х;

==

х=70.

Ответ: 70%.

2.

     Агрофирма предполагает продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов агрофирма должна повысить цену на свою морковь, чтобы получить за нее 3,5% больше денег, чем в прошлом году.

Решение:

q – объем продаж прошлого года;

р – цена прошлого года;

рq – выручили за прошлый год;

q1 – продали в текущем году;

р1 – выручили за текущий год.

р1q1 =1,035рq

Причем q1=0,9q

               р1=(1+х)р, годе х - доля повышения цены на морковь.

(1+х)⋅р⋅0,9q=1,035рq

0,9(1+х)=1,035

0,9х=1,035-0,9

х=0,15

Ответ: Агрофирма должна повысить цену на морковь на 15%.

3.

     Если положить на вклад «Накопительный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на одно и то же число процентов от имеющегося на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад 30 000 рублей и три года подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него деньги. За три года вложенная им сумма денег увеличилась на 9930 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на вклад «Накопительный»?

Решение:

Воспользуемся формулой сложного процентного роста.

30000(1+р)3=399930

(1+р)3=39930:30000

(1+р)3=1,13

р=0,1

0,1=10%

Ответ: на 10%          

4.

     Во время сезонных распродаж цена товара ежедневно снижалась на 10% по сравнению с ценой в предыдущий день. В первый день распродажи цена куртки была 3000 рублей. Определите, сколько раз снижалась цена куртки, если она была продана по цене на 813 рублей меньше первоначальной?

Решение:

3000(1-0,1)х =2187

0,9х = =

()х=()3

х=3

Ответ: цена снижалась три раза.

5.

     В бидон налили 3 литра молока однопроцентной жирности и 7 литров молока шести процентной жирности. Какова жирность полученного молока?

Решение:

пконц=

п===0,045=4,5%

Ответ: жирность молока 4,5%.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Процентные вычисления в жизненных ситуациях

Задача 1.

     Зонт стоит 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение:

360⋅0,85=306 (руб.) – стоимость зонта в ноябре

360⋅0,9=275,40 (руб.) –стоимость зонта в декабре

Ответ 275 руб. 40 коп.

Задача 2.

      При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200 руб. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

(4200-400)⋅0,13=494 (руб.) – налог

4200-494=3706 (руб.)

Пояснение: 400 руб. – стандартный вычет

Задача 3.

      В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составляет 3 руб. 15 коп. вместо 2 руб.27 коп. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Решение:

Разность тарифов составляет 0,4 руб., а ее ношение к старому тарифу равно 0,14545… выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%.

Ответ: да, соответствует.

Задача 4.

     Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 руб. Оплата должна производится до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от службы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю?

Решение:

Так как 4% от 250 руб. составляет 10 руб., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 руб. Если родители просрочат оплату на день, то им придется заплатить

250+10=260 руб.

на неделю 250+10⋅7=320 руб.

Ответ: 320 рублей.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Задачи на смеси и сплавы

Задача 1.

     От полного стакана черного кофе отлили половину и долили столько же молока. Затем отлили третью часть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока; затем отлили шестую часть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока. Только после этого вылили все до конца.

Чего в итоге вылили больше: молока или черного кофе?

Решение:

Удобнее вести расчет молока: его было долито ++=1 стакан, кофе с самого начала – 1 стакан, значит, кофе и молока было поровну.

Задача 2.

     В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70% кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение:

Пусть х г – масса 50%-й кислоты,

           у г – масса 70-%-й кислоты,

           0,5х – масса чистой кислоты в первом растворе,

           0,7у – асса чистой кислоты во втором растворе,

           (х+у) г – масса смеси;

          0,6(х+у) г – масса чистой кислоты в смеси.

Имеем уравнение: 0,5х+0,7у=0,65(х+у), /:у0

0,5⋅+0,7=0,65⋅+0,65

0,15⋅=0,05,     =,    =

х:у=1:3

Ответ: 1:3

Арифметический (старинный) способ

Нарисуем схему:

                            50                                           5

       65                                                                :                 

1. 15

5:15=1:3

Обоснование старинного способа решения задач на смеси

      Пусть требуется смешать растворы а%-й м в%-й кислот, чтобы получить с%-й раствор.

Пусть х г – масса а%-го раствора;

          у г – масса в%-го раствора;

 г – масса чистой кислоты в первом растворе,

 г – масса чистой кислоты во втором растворе,

 г – масса чистой кислоты в смеси.

+=

ах+ву=сх+су,

(в-с)у=(с-а)х,

х:у=(в-с)(с-а).

Такой же вывод дает схема:

                               а                                       в-с

с                                                                      :    

                                в                                     с-а  

                      х:у=(в-с)(с-а)

Задача 3.

     В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?

                                     375                                                 250

500                                                                                             :    

750.    125          

х:у=250:125

х:у=2:1

Нужно взять две части 375-й пробы и одну часть 750-й пробы.

Задача 4.

     Имеется сталь двух сортов, один из которых содержит 5%, а другой 10% никеля. Сколько тонн каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить сплав, содержащий 8% никеля, если в куске никеля второго сорта на 4 т больше, чем в куске первого сорта?

Решение:

                               5                                       2

8                                                                      :    

10. 3  

2 части стали I сорта, 3 части стали II сорта.

Пусть 2km – масса I сорта стали,

           3km – масса II сорта стали,

           0,05⋅2k=0,1k – масса никеля в куске I сорта,

           0,1⋅3k=0,3k – масса никеля в куске II сорта.    

По условию задачи 0,3k-0.1k=4, k=20    

2⋅20=40 (т) – масса стали I сорта,

3⋅20=60 (т) – масса стали II сорта.

Задача 5.

     Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Решение:

Введем данные в таблицу, буде вести расчет с того вещества, масса которого не меняется.

0,05⋅30=1,5(кг) – масса соли;

1,5:1,5⋅100=100 (кг) – масса нового раствора;

100-30=70 (кг) воды надо добавить.

Задача 6.

     Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если к нему добавить чистое серебро, равное по массе  массы чистого серебра, первоначально содержащего в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в не серебра?

Известно, что процентное содержание серебра в новом сплаве равно 83,5%, поэтому составим уравнение:

=83,      =,

800х=1169х-1845⋅3⋅167

369х=1845⋅3⋅167

х=,  х=167⋅15,  х=2505

2⋅2505-1845=3165 (г) масса первоначального сплава;

79,1% - первоначальное процентное содержание серебра.