Филиал государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования Московской области

«Университет «Дубна» -

Дмитровский институт непрерывного образования

УТВЕРЖДАЮ

И.о. директора филиала ДИНО

государственного университета «Дубна»

____________Баринов В.К.

«_____»___________20___ г.

Фонды оценочных средств

по учебной дисциплине  

ЕН.01 Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Специальность 21.02.05 «Земельно – имущественные отношения»

Дубна, 2019 г.

Составители (разработчики) фондов оценочных средств:

Демкина Н, П, преподаватель

Фонды оценочных средств рассмотрены на заседании кафедры «Гуманитарных и естественных наук»

Протокол заседания № _____ от «____» _________ 20___ г.

Заведующий кафедрой                         Родина Т. Е. 

Представитель работодателя^[1]                         ___________________

                                                                    Фамилия И.О., должность, организация, подпись

                                                                                                              «____» _________ 20___ г.

1. ПАСПОРТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

Фонд оценочных средств предназначен для проверки результатов освоения дисциплины « ЕН.01Математика »  основной профессиональной образовательной программы по специальности среднего профессионального образования  «08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений».

II. КОМПЛЕКТ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ

Вопросы к устному опросу

1. Контрольные вопросы:

1. 1.Чем характеризуется вектор?
2. Какие операции можно производить над векторами?  
3. Какие векторы называются равными?
4. Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное произведение   отрицательно?
5. Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное произведение положительно?
6. Что можно сказать об угле между векторами, если их скалярное произведение равно    нулю?
7. Какие векторы называются коллинеарными?  
8. Условие коллинеарности векторов
9. Какие векторы называются ортогональными?  
10. Условие ортогональности векторов  
11. Скалярное произведение векторов  
12. Проекция вектора на направление  
13. Координаты вектора  
14. Длина вектора

Критерии оценки:

Ответ соответствует всем 14 показателям – 5 (отлично)

Дан ответ на 11 –13 вопросов – 4 (хорошо)

Дан ответ на 6 –8 вопросов – 3 (удовлетворительно).

2. Контрольные вопросы:  

1. Общее уравнение прямой  
2. Общее уравнение прямой  
3. Каноническое уравнение  прямой  
4. Уравнение  прямой, проходящей через  две  точки
5. Уравнение  прямой  с  угловым  коэффициентом    
6. Координаты  середины отрезка  
7. Каноническое уравнение эллипса  
8. Что такое эксцентриситет?
9. Каноническое уравнение окружности
10. Каноническое уравнение гиперболы  
11. Асимптоты гиперболы  
12. Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно  оси  абсцисс
13. Каноническое  уравнение  параболы, симметричной относительно оси ординат
14. Что такое директриса?

Критерии оценки:

Ответ соответствует всем 14 показателям – 5 (отлично)

Дан ответ на 11 –13 вопросов – 4 (хорошо)

Дан ответ на 6 –8 вопросов – 3 (удовлетворительно).

3. Контрольные вопросы:  

1. Что принимают в качестве площади боковой поверхности цилиндра?
2. Выпишите формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра.
3. Как вычисляется площадь боковой поверхности усеченного конуса?
4. Что называется объёмом тела?
5. Перечислите основные свойства объема тела.
6. Выпишите формулы для определения объема прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы и поясните смысл входящих в них параметров.
7. Можно ли применить формулу объема прямой призмы для вычисления объема прямого параллелепипеда?
8. Объясните, как используется формула для вычисления объема тела для вычисления объема тела по площади его поперечного сечения.
9. Как вычисляется объем наклонной призмы?
10. Выведите формулу объема пирамиды.
11. Выведите формулу объема усеченной пирамиды.
12. Как вычисляется объем тела вращения?
13. Выведите формулу объема полного и усеченного конусов.
14. Выведите формулу объема шара.
15. Выведите формулы объема шарового сегмента и шарового слоя.
16. Нахождение объема котлована с откосами.
17. Определение объёмов котлованов

Критерии оценки:

Ответ соответствует всем 17 показателям – 5 (отлично)

Дан ответ на 13 – 16 вопросов – 4 (хорошо)

Дан ответ на 9 – 12 вопросов – 3 (удовлетворительно)

3. Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определения предела функции в точке, предела функции в бесконечности, предела последовательности.
2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?
3. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
4. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?
5. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.
6. Как раскрываются неопределенности видов .
7. Сформулируйте первый замечательный предел и его следствия.
8. Сформулируйте второй замечательный предел.
9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?
10. Охарактеризуйте точки разрыва I рода, II рода.
11. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительности другой бесконечно малой.
12. Чему эквивалентны при  функции:  ?
13. Сформулируйте определение производной.
14. Каков ее механический и геометрический смысл?
15. Сформулируйте основные правила дифференцирования функций.
16. В чем заключается суть логарифмического дифференцирования и в каких случаях его целесообразно применять?
17. Каково правило дифференцирования функции, заданной неявно?
18. Как находится первая производная функция, заданной параметрически?

Критерии оценки:

Ответ соответствует всем 18 показателям – 5 (отлично)

Дан ответ на 14 – 17 вопросов – 4 (хорошо)

Дан ответ на 10-13 вопросов – 3 (удовлетворительно)

3. Контрольные вопросы:

1. Дать определение производной функции y =f(x).
2. Каковы геометрический и механический смыслы производной?
3. Как найти производную сложной функции?
4. Дать определение дифференциала функции y =f(x).
5. Какой геометрический смысл имеет дифференциал?
6. Что называется производной второго порядка от функции y =f(x)?
7. В чём состоит достаточный признак экстремума?
8. Какие точки называются точками перегиба функции y =f(x)?
9. Сформулировать правило Лопиталя и привести примеры его применения.
10. Что называется асимптотой функции y =f(x)?
11. Что называется функцией двух независимых переменных?
12. Что называется графиком функции двух независимых переменных?
13. Дать определение частных производных функции двух независимых аргументов.
14. В чем заключается признак возрастания и убывания функции?

            Критерии оценки:

            Ответ соответствует всем 14 показателям – 5 (отлично)

            Дан ответ на 11-13 вопросов – 4 (хорошо)

            Дан ответ на 8-10 вопросов – 3 (удовлетворительно).

4. Контрольные вопросы:

1. Что является основной задачей интегрального исчисления?
2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?
3.  Почему при интегрировании функций появляется произвольная постоянная?
4.  Неопределённый интеграл и его свойства. Формулы интегрирования
5. Как проверить результат интегрирования?
6. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
7. Методы интегрирования (непосредственное интегрирование; метод замены переменной).
8. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
9. Формулы для вычисления площадей плоских фигур.
10. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
11. Формулы для вычисления объемов тел вращения.
12. Методы вычисления определенного интеграла (непосредственное интегрирование, метод замены переменной).
13. Методы приближенного вычисления определенного интеграла (метод прямоугольников).
14. Методы приближенного вычисления определенного интеграла (метод трапеций).
15. Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?
16. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.

Критерии оценки:

Ответ соответствует всем 16 показателям – 5 (отлично)

Дан ответ на 12-15 вопроса – 4 (хорошо)

Дан ответ на 9-11 вопросов – 3 (удовлетворительно)

5. Контрольные вопросы:

1. Какие случайные события называются достоверными и какие невозможными?
2. Какие события называются несовместными?
3. Какие события называются совместными?
4. Какие события называются противоположными?
5. Дайте классическое определение вероятности.
6. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.
7. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?
8. Что называется условной вероятностью события?
9. Какие события в совокупности называются независимыми?
10. Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий.
11. Сформулируйте теорему умножения вероятностей зависимых событий.
12. В чем заключается задача математической статистики?
13. Что называют выборкой?
14. Дайте определения генеральной совокупности и объема совокупности.
15. Как различаются выборка с возращением и выборка без возвращения?
16. Охарактеризуйте возможные способы выбора.
17. Дайте определение эмпирической функции распределения.
18. Что называется полигоном частот и гистограммой частот?

Критерии оценки:

Ответ соответствует всем 18 показателям – 5 (отлично)

Дан ответ на 14–17вопросов – 4 (хорошо)

Дан ответ на 10–13 вопросов – 3 (удовлетворительно)

Критерии оценки устного ответа

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся полностью освоил учебный материал, умеет изложить его своими словами, самостоятельно подтверждает ответ конкретными примерами, правильно и обстоятельно отвечает на дополнительные вопросы преподавателя, участвует в дискуссии.

Оценка «4» ставится, если обучающийся в основном усвоил учебный материал, допускает незначительные ошибки при его изложении своими словами, подтверждает ответ конкретными примерами, правильно отвечает на дополнительные вопросы преподавателя.

Оценка «3» ставится, если обучающийся не усвоил существенную часть учебного материала, допускает значительные ошибки при его изложении своими словами, затрудняется подтвердить ответ конкретными примерами, слабо отвечает на дополнительные вопросы.

Оценка «2» ставится, если обучающийся почти не усвоил учебный материал, не может изложить его своими словами, не может подтвердить ответ конкретными примерами, не отвечает на большую часть дополнительных вопросов преподавателя.

Практические задания. Решение задач

Практическое задание 1-2

Векторы на плоскости и в пространстве

1.  Найти линейную комбинацию векторов

2.  Найти длины векторов

3.  Найти косинусы углов между векторами

4.  Найти

5.  Найти

6.  Выяснить, коллинеарны ли векторы  и

7.  Выяснить, ортогональны ли векторы  и

Задания к практической работе.

1  A (2; 3; -1); B (0; 1; 2); C (4; -1; -1); D (2; -3; 1)

2  A (3; -1; 1); B (1; 3; 2); C (1; -1; -1); D (4; 0; 3)

3  A (4; 1; 2); B (1; 0; 1); C (-1; 2; -1); D (3; 1; 0)

4  A (3; -2; 1); B (2; -1; 1); C (4; 0; 2); D (1; 1; -1)

5  A (-2; 2; 1); B (3; 0; 4); C (7; 1; 0); D (3; 0; 5)

6  A (1; -1; -1); B (2; 5; 7); C (-3; 1; -1); D (2; 2; 3)

7  A (-3; 1; 4); B (1; -2; -3); C (2; 2; 3); D (5; 3; 1)

8  A (2; -5; 1); B (4; 3; 5); C (-1; 0; 1); D (2; 1; 0)

9  A (-2; 2; 1); B (3; -1; 0); C (4; 4; 0); D (1; -1; 1)

10  A (4; 2; 5); B (0; 1; 3); C (-1; -1; 1); D (2; -2; 1)

Практическое задание 3,4

Решение задач по теме «Уравнение прямой на плоскости и в пространстве»

Вариант 1

1. Треугольник задан вершинами А(-3; -3), B(-4; 5), C(3; 1). Выполнить чертеж.

1) Составить уравнения сторон треугольника;

2) Составить уравнение медианы BD;

3) Найти угол наклона прямой АС к оси Ох.

2. Привести уравнение прямой к каноническому виду l: 2x + 3y – 18 = 0

3. Точка, двигаясь прямолинейно, прошла через положения А(-1; 6), В(3; -2). В каких точках она пересечет оси координат?

4. Вычислить длину отрезка прямой l: 3x – 4y + 12 = 0, заключенного между осями координат.

5. На прямой l: 2x – 3y + 6 = 0 найдите точку М, равноудаленную от точек А(3; 0), В(5; 2).

Вариант 2

1. Треугольник задан вершинами А(4; -2), B(-4; 2), C(2; 5). Выполнить чертеж.

1) Составить уравнения сторон треугольника;

2) Составить уравнение медианы СD;

3) Найти угол наклона прямой BС к оси Ох.

2. Привести уравнение прямой к каноническому виду l: 3x + 7y – 42 = 0

3. Прямая, проходящая через точку (-2; -1), отсекает на оси Ох отрезок а = 4. Составьте уравнение этой прямой (в общем виде).

4.Вычислить длину отрезка прямой l: 3x + 4y + 24 = 0, заключенного между осями координат.

5. На прямой l: 2x + y – 2 = 0 найдите точку М, равноудаленную от точек А(0; 6), В(1; 5).

Вариант 3

1. Треугольник задан вершинами А(0; -3), B(-4; 1), C(2; 3). Выполнить чертеж.

1) Составить уравнения сторон треугольника;

2) Составить уравнение медианы СD;

3) Найти угол наклона прямой АС к оси Ох.

2. Привести уравнение прямой к каноническому виду l: 5x – y + 20 = 0

3. Точка, двигаясь прямолинейно, прошла через положения А(5; 2), В(-10; -1). В каких точках она пересечет оси координат?

4. Вычислить длину отрезка прямой l: 4x + 3y + 12 = 0, заключенного между осями координат.

5. На прямой l: 2x – 3y – 3 = 0 найдите точку М, равноудаленную от точек А(1; 2), В(4; 3).

Вариант 4

1. Треугольник задан вершинами А(3; 2), B(1; -1), C(-4; 1). Выполнить чертеж.

1) Составить уравнения сторон треугольника;

2) Составить уравнение медианы BD;

3) Найти угол наклона прямой АВ к оси Ох.

2. Привести уравнение прямой к каноническому виду l: -4x + 3y – 24 = 0

3. Прямая, проходящая через точку (-3; 2), отсекает на оси Оу отрезок b = 3. Составьте уравнение этой прямой (в общем виде).

4. Вычислить длину отрезка прямой l: 4x – 3y – 24 = 0, заключенного между осями координат.

5. На прямой l: x – 2y – 2 = 0 найдите точку М, равноудаленную от точек А(3; 1), В(5; -1).

Вариант 5

1.Треугольник задан вершинами А(-2; -1), B(-1; 4), C(3; -4). Выполнить чертеж.

1) Составить уравнения сторон треугольника;

2) Составить уравнение медианы АD;

3) Найти угол наклона прямой АВ к оси Ох.

2. Привести уравнение прямой к каноническому виду l: 7x – 2y + 28 = 0

3.Прямая, параллельная оси Ох, проходит через точку (1; 3). Составьте уравнение этой прямой.

4.Вычислить длину отрезка прямой l: 3x – 4y – 12 = 0, заключенного между осями координат.

5. На прямой l: 3x – y – 2 = 0 найдите точку М, равноудаленную от точекА(-1; 2), В(4; 1).

Критерии оценки практического задания, задач

Оценка «5»: задание (задача) выполнено полностью и правильно; в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Найден правильный ход решения, все его шаги выполнены верно и получен правильный ответ.

Оценка «4»: задание (задача) выполнено полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Приведено верное решение, но допущена вычислительная ошибка или описка, при этом может быть получен неверный ответ.

Оценка «3»: в задании (задаче) допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме; обучающийся может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Решение начато логически верно, но допущена ошибка, либо решение не доведено до конца, при этом ответ неверный или отсутствует.

Оценка «2»: допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере; обучающийся не может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Неверное решение, неверный ответ или отсутствие решения.

Практическое занятие №5.

Решение задач по теме «Кривые второго порядка. Преобразование уравнений 2 порядка к каноническому виду».

1) Эллипс и его каноническое уравнение

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где   – положительные действительные числа, причём .

Как построить эллипс?

Пример 1

Построить эллипс, заданный уравнением 

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Одно из преимуществ канонического уравнения  заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

В данном случае :

Отрезок  называют большой осью эллипса;
отрезок  – малой осью;
число  называют большой полуосью эллипса; 
число  – малой полуосью.
в нашем примере: .

Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: . 
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .

Как найти фокусы эллипса?

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты , где  – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.

2) Гипербола и её каноническое уравнение

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек  – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .

Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: . 
И, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для исследуемой гиперболы :

Разбираемся в определении. Обозначим через  расстояния от фокусов до произвольной точки  гиперболы:

Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:

Если точку  «перекинуть» на левую ветвь, и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.

Знак модуля нужен по той причине, что разность длин  может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви  (поскольку отрезок  короче отрезка ). Для любой точки  левой ветви ситуация ровно противоположная и .

Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.

Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение .

Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .

Для данного примера: .

По аналогии с эллипсом, зафиксировав значение , желающие могут провести самостоятельный анализ и проверку следующих фактов:

При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси . 
В предельном случае  они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки  параллельно оси ординат.

Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси .

Равносторонняя гипербола

На практике часто встречается гипербола с равными полуосями. Если , то каноническое уравнение  заметно упрощается:

А вместе с ним упрощаются и уравнения асимптот:

Прямые  пересекаются под прямым углом и «справедливо» делят координатную плоскость на 4 одинаковые части, в двух из которых находятся ветви кривой. Образно говоря, равносторонняя гипербола «идеально сложена», то есть и не растянута и не сплющена.

Так как , то , следовательно, эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен: .

Предлагаю закрепить теорию и практические навыки миниатюрной задачей:

Пример 5

Построить гиперболу  и найти её фокусы.

3) Парабола и её каноническое уравнение

Каноническое уравнение параболы имеет вид , где  – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция  задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция  – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:

Пример 6

Построить параболу 

Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение  определяет верхнюю дугу параболы, уравнение  – нижнюю дугу.

В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :

Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.

Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое

определение параболы:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки   и данной прямой , не проходящей через точку .

Точка  называется фокусом параболы, прямая  – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения  называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением . 
В нашем примере :

Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки  параболы длина отрезка  (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра  (расстоянию от точки до директрисы):

Практическое занятие №6

Вычисление площадей плоских фигур и поверхности тел.

Задание 1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые-).

Решение.

Площадь поверхности многогранника можно вычислить как сумму площадей всех его граней. Причем площади передней и задней граней, равны Si = S2 = 3 2-Т 2 = 6—2 = 4

и вся площадь поверхности равна S =        2 ^        +        3J.        + Т1+2Т        +

ПередЕняГйзаднм Ьш1м1|ЕШ Верши* Бок. прим

+ 1Л + Т1 + 2Л

Верк, нижняя Бок. правая Нижняя

S = 8+ 3 + l + 2 + l+ l + 2=18

Ответ: 18.

Задание 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Найдем площадь поверхности как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 3, 5 и вычтем площади двух граней 1х1 прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 3 (см. рисунок).

7

Площадь поверхности большого параллелепипеда, равна

S = 2(3-3 + 3-5+5-3) = 2(9 + 15 + 15)=78

Площади двух граней 1x1 малого параллелепипеда, равны: S2 = 2 11 = 2

и площадь поверхности фигуры

Я-Яз =78-2 = 76

Ответ: 76.

Задание 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на

Решение.

Из рисунка видно, что площадь поверхности фигуры будет меньше площади прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 5 на площади двух квадратов, размером 1x1, имеем:

£' = 2(34 + 3-5 +4 ■ 5) - 2 = 92

Ответ: 92.

Задание 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на

Решение.

Можно заметить, что площадь поверхности данной фигуры будет в точности совпадать с площадью поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 5, 3 и 5 и равна

£' = 2 (5 3 + 3- 5 + 5 5) = 110

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности! Ответ: 110.

Задание _5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данной фигуры равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 5 и 4, и равна

£ = 2-(3-5 + 3-4+5-4) = 94

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности! Ответ: 94.

Задание 6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на

Решение.

Площадь поверхности данной фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 4 и 6 плюс две грани 1х4 площадью 4 (см. рисунок) и минус две грани площадью 2х1 (они вычитаются из оснований). Таким образом, площадь фигуры равна

£ = 2-(4 4 + 4 6 + 4-6)+ 2 4-2 2 = 132

Ответ: 132.

адь поверхности многогранника, Изображенного на рисунке(все двугранные углы прямые)

Ответ: 114.

Задание 8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 3 и 2, минус четыре площади боковых квадратов, размером 1x1. Имеем:

£ = 2(4- 3 + 42 + 23)- 4= 48

Ответ: 48.

Задание 9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед с вырезом. Площадь поверхности такой фигуры будет равна площади поверхности всего параллелепипеда со сторонами 5, 7 и 1 минус две площади

фронтального выреза площадью 2х1=2 и плюс четыре площади внутренних сторон выреза размерами 1х1 и 2х1. Таким образом, вся площадь поверхности многогранника равна

£ = 2-(5-7+5-1 + 1-7)-2- 2 + 2- (11 + 2-1)

£ = 94-4 + 6= 96

Ответ: 96.

Задание 10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности многогранника можно найти как сумму площадей двух прямоугольных параллелепипедов со сторонами 5, 4, 3 и 3, 2, 3 минус две площади основания нижнего параллелепипеда площадью 2х3 (две площади, т.к. она будет дважды учтена в большом и малом параллелепипедах). Таким образом, получаем:

£ = 2 (5 4+53 + 4-2) +

+ 2 (3 2 + 3 3 + 2■ 3)-2 2-3 £ = 94 + 42 -12 = 124

Ответ: 124.

Задание 11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на

Решение.

Найдем площадь поверхности фигуры как площадь прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2, 2, 1 и вычтем две площади граней 1х1 во фронтальных плоскостях (передней и задней), получим:

£'= 2-(2- 2 + 2 -1 + 1- 2) — 2-1-1

£ = 16-2 = 14

Ответ: 14.

Задание 12. Найдите площадь поверхности пространственного креста,

Решение.

Площадь поверхности данной фигуры можно найти как сумму площадей поверхности 6 кубов минус площадь поверхности одного куба (тот что внутри и эти грани не входят в площадь поверхности), получаем:

£ = 6-2- (11 + 1- 1 + М)- 2. (11 + 11 +11)

£ = 36-6 = 30

Ответ: 30.

Задание 13. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Найдем площадь поверхности этого многогранника как сумму площадей поверхности большого (6х6х2) и малого (3x3x4) прямоугольных параллелепипедов и вычтем дважды площадь поверхности соприкосновения граней этих параллелепипедов, которая имеет размер 3x4, получим:

S = 2 (6-6+6-2+2 6) +

+ 2-(3-3 + 3-4 + 4-3)-2-3-4 S = 120 +66-24 = 162

Ответ: 162.

Задание 14. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на

Решение.

Площадь поверхности этого многогранника можно найти как сумму площадей поверхности каждого из трех параллелепипедов размерами 2х5х6, 2х5х3 и 2х3х2 минус удвоенные площади соприкосновения этих параллелепипедов, то есть минус удвоенные площади двух граней размерами 3х5 и 2х3 соответственно. В результате получаем площадь поверхности фигуры:

£' = 2(2-5+2б+5-6)+2-(2 5 + 2-3 + 53) +

+ 2-(2-3 + 2-2 + 3- 2) — 2■ (3 5+2 3)

£ = 104 + 62 + 32 -42 = 156

Ответ: 156.

Задание 15. Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена

плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь

боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной

Практическое занятие 7,8  Вычисление объёмов тел,  определение объема земляных работ.

Определить объём котлована.

I вариант

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 48 см3. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания в 1,5 раза больше, а высота в 2 раза меньше.

2. Цилиндр и конус имеют равные площади боковой поверхности. Найдите, чему равна образующая конуса, если высота цилиндра 12 см, радиус основания цилиндра 9 см, а конуса 6 см.

3. Вычислите объем и площадь поверхности шара, если площадь сечения, проходящего через центр шара, равна 64π см2. Ответ укажите с точностью до целых.

II вариант

1. Объем куба равен 63 см3. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания в 3 раза меньше, а высота в 4 раза больше ребра куба.

2. Цилиндр и конус имеют равные площади боковой поверхности. Найдите радиус основания цилиндра, если его высота 12 см, образующая конуса 26 см, а радиус основания конуса 10 см.

3. Объем шара равен 36π см3. Вычислите поверхность шара и площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр.

II1 вариант

1. Конус и полушар имеют общее основание, радиус которого равен R. Найдите боковую поверхность конуса, если его объем равен объему полушара.

2. Найдите полную поверхность правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а двугранный угол при основании равен 60°.

3. Из медной болванки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда размерами 80 × 20 × 5 (см), прокатывается лист толщиной 1 мм. Определите площадь этого листа.

Практическое задание 9 , 10, 11

. Вычисление производной функции. Геометрический и физический смысл производной.

Вариант 1

1.Найти производную функции:

1. f(x) = x3  - 3x2 + 4x -5

2. f(x) = (x+1)

3. f(x) = sin2x          

4. f(x) = - 2x +5+

5. f(x) = (x-1)

6. f(x) = lntg22x

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением

S =

Вычислить её скорость в момент времени t=4с.

3. Исследовать функцию   y=

Вариант 2

1.Найти производную функции:

1. f(x) = х2 + е2х

2. f(x) = sinx – cos2x

3. f(x) = ln tgx

4. f(x) = ln

5. f(x) = sin4x – cos4x

6.  f(x) = e -sinx – e-cosx

2.Вычислить дифференциал функции

3.Исследовать функциюy=

Вариант 3

1. Найти производную функции:

1. f(x) = 2x3  - 4x2 -5x +3

2. f(x) = ln

3. f(x) = esinx

4. f(x) = - 2x +2    

5. f(x) = 4cos 2x  

6.  f(x) = ln

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением

S =

         Вычислить её ускорение в момент времени  t=4с.

3. Исследовать функцию y=

Вариант 4

1. Найти производную функции:

1. f(x) =

2. f(x) = cosx +sin2x

3. f(x) = ln sinx

4. f(x) =

5. f(x) = ln сos24x

6. f(x) = 4sin5 2x

2.  Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением  

S =

Вычислить её скорость в момент времениt=3с.

3. Исследовать функцию      y=

Вариант 5

1. Найти производную функции:

1. f(x) = 3x2  - e3x+1

2. f(x) = ln

3. f(x) = ecos2x

4. f(x) =

5. f(x) = ln

6. f(x) = e sinx +ecosx

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением:

S =

Вычислить её скорость в момент времени t=4с.

3. Исследовать функцию     y=

Вариант 6

1. Найти производную функции:

1. f(x) = (x+1)

2. f(x) = cos2x2

3. f(x) = lnsin24x

4. f(x) =

5. f(x) = ln

6. f(x) = cos43x

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением  

S =

Вычислить её скорость в момент времени t=4с.

3. Исследовать функцию            y=

Вариант 7

1.Найти производную функции:

1. f(x) =  

2. f(x) = 3

3. f(x) = 2sin2xcosx

4. f(x) = ln

5. f(x) = ln

6. f(x) = arcsin4x +e3x

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением

S =

Вычислить её скорость в момент времени t=4с.

3. Исследовать функцию y=

Вариант 8

1.Найти производную функции:

1. f(x) = - 4x +11+

2. f(x) = tg23x

3.  f(x) = lncos2 2x

4. f(x) =

5. f(x) =

6. f(x) = ln

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением  

S =

Вычислить её скорость в момент времени t=4с.

3. Исследовать функцию y=

Вариант 9

1.Найти производную функции:

1. f(x) =

2. f(x) = cos4 x +sin4x

3. f(x) = ln

4. f(x) =

5. f(x) =

6. f(x) = sin46x

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением  

S =

Вычислить её ускорение в момент времени t=4с.

3. Исследовать функцию y=

Вариант 10

1.Найти производную функции:

1. f(x) =  

2. f(x) = ln

3. f(x) = ecos2x - 2esin2x

4. f(x) = ln2

5. f(x) =

6. f(x) = arctg

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движение точки задана уравнением  

S =

Вычислить её ускорение в момент времени t=4с.

3. Исследовать функцию y=

Практическое задание 12, 13.

Вычисление интегралов. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

Вариант 1

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = x2 + 4, у = 6 - х

Вариант 2

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

       у =x3, у = 0, x = - 3, x = 3

Вариант 3

Найти интегралы

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

            у =  х2 +3х + 4, y = x+ 1, x = - 1, x =2

Вариант 4

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

xy = 4, x +4y –10 = 0

Вариант 5

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

       у =  -х2 + 7х - 6, x – y + 2 = 0

Вариант 6

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

       у =  -х2 +9х -, y = - x2 + 6x - 5

Вариант 7

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

       у =  х2 – 6x + 9, у = 3x - 9

Вариант 8

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

       у2  = 2 х, х2 = 2у

Вариант 9

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4. .

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

       у =  х2 - 4х + 5, х – у + 5 = 0

Вариант 10

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  х2, у = 2х + 3

Критерии оценки практического задания, задач

Оценка «5»: задание (задача) выполнено полностью и правильно; в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Найден правильный ход решения, все его шаги выполнены верно и получен правильный ответ.

Оценка «4»: задание (задача) выполнено полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Приведено верное решение, но допущена вычислительная ошибка или описка, при этом может быть получен неверный ответ.

Оценка «3»: в задании (задаче) допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме; обучающийся может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Решение начато логически верно, но допущена ошибка, либо решение не доведено до конца, при этом ответ неверный или отсутствует.

Оценка «2»: допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере; обучающийся не может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Неверное решение, неверный ответ или отсутствие решения.

Практическое занятие № 14, 15.

Построение криволинейной трапеции. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и вычислению объёмов.

Вариант 1

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

Вариант 2

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 5 частей. Оценить погрешность.

Вариант 3

Вычислить интеграл   по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 8частей. Оценить погрешность.

Вариант 4

       Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

Вариант 5

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 8 частей. Оценить погрешность.

Вариант 6

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 8 частей. Оценить погрешность.

Вариант 7

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 5 частей. Оценить погрешность.

Вариант 8

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 5 частей. Оценить погрешность.

Вариант 9

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников

2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 5 частей. Оценить погрешность.

Вариант 10

Вычислить интеграл     по

1. формуле прямоугольников
2. формуле трапеции
3. формуле Симпсона

 разбив интервал интегрирования на 5 частей. Оценить погрешность.

Практическое занятие. №17,18

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем обозначение . Итак:

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Это значит, что в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правую часть перенести все  «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» действий: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы  и  – это полноправные множители и активные участники действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу  достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,  – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи  обычно пишут .

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение: . 

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение  и дифференцируем его:

После чего подставляем  и производную  в исходное уравнение :

 – получено верное равенство, значит, общее решение  удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.

Придавая константе  различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , ,  и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение   – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1. В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем в первом примере – простейший тип дифференциальных уравнений.
2. Пример 2
3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию 
4. Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
5. Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.
6. Переписываем производную в нужном виде:
   
7. Очевидно, что переменные можно разделить:
   
8. Интегрируем уравнение:
   
   
9. Общий интеграл получен. Здесь константа с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.
10. Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:
    
11. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
    
12. Если  – это константа, то  – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :
    
    Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.
13. Итак, общее решение: .
14. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .
15. В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .
16. Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
    
    
    
    То есть, 
17. Стандартная версия оформления:
    
18. Теперь в общее решение  подставляем найденное значение константы :
     – это и есть нужное нам частное решение.
19. Ответ: частное решение: 
20. Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:
21. Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
     – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.
22. Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение  и находим производную:
    
23. Подставляем  и  в исходное уравнение :
24. 
     – получено верное равенство.
25. Вывод: частное решение найдено правильно.
26. Пример 3
27. Решить дифференциальное уравнение 
28. Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .
29. Как решить линейное уравнение?
30. В данном примере будет рассматриваться метод подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер.
31. Сделаем замену:
32. , где  и  – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».
33. Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:
34. Подставляем  и  в наше уравнение :
    
35. В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «u» и «v», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.
36. После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:
    
    У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:
    
37. Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:
38. Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: .
39. Если , тогда из нашего уравнения  получаем:  или просто .
40. Уравнения записываем в систему:
    .
41. Именно в таком порядке.
42. Система опять же решается стандартно.
43. Сначала из первого уравнения находим функцию . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными.
45. Функция  найдена. Обратите внимание, что константу  на данном этапе мы не приписываем. 
46. Далее подставляем найденную функцию  во второе уравнение системы :
    
47. Из второго уравнения находим функцию .
    
    
    Функция  найдена. А вот здесь уже добавляем константу .
48. Обе функции найдены: 
     
    
49. Записываем общее решение:
    
50. В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:
51. Ответ: общее решение 
52. Проверка :
53. Берём полученный ответ  и находим производную:
    
54. Подставим  и  в исходное уравнение :
    
    Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.
55. Пример 2
56. Найти общее решение дифференциального уравнения 
57. Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид  линейного уравнения. Проведем замену:  и подставим  и  в исходное уравнение :
    
58. После подстановки проведем вынесение множителя за скобки.
59.  
60. Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках: , автоматически получая и второе уравнение системы:
    
61. В результате:
    .
62. Из первого уравнения найдем функцию :
    
     – найденную функцию   подставим во второе уравнение системы :
    
    Теперь находим функцию . Уравнение опять получилось простенькое:
    
    
63. Обе функции найдены: 
    
    
    Таким образом:
    Общее решение: 
64. Ответ: общее решение: 

2.Самостоятельное выполнение заданий.

Практическое занятие №18.

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где  и  – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где  и  – константы, а  – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция  может быть числом, отличным от нуля.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

, 
Получены два различных действительных корня .
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой 

Ответ: общее решение: 

2.Самостоятельное выполнение заданий.

Практическое занятие №19. 

Решение задач по теме: «Операции над множествами».

Пример 1

Даны множества А = {a, b, c, d, e} и В = {c, d, e}.

Пишут: В ⊂ А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».

Пример 2

Выпишем все подмножества множества А = {2, 3, 4}.

Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}, а также само множество А = {2, 3, 4} и ∅. Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.

Пример 3

Рассмотрим множества А = {a, b, c, d, e} и В = {c, a, b, e, d}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А ⊂ В, и, наоборот, т.е. В ⊂ А.

В этом случае говорят, что множества А и В равны.

Определение. Множества А и В называются равными, если А ⊂ В и В ⊂ А.

пишут: А = В.

Круги Эйлера-Венна

Графические  схемы, в которых множества представляются в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур, называются кругами Эйлера.

П р и м е р   . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?

Р е ш е н и е.  Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников,         изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму.  Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы  ответить  на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.

Обязательные задания

1. Назовите три элемента множества: а) учебных предметов, изучаемых на 1 курсе; б) четных натуральных чисел; в) четырехугольников.
2. В – множество четных чисел. Зная это, запишите с помощью символов следующие предложения: 1) число 20 четное; 2) число 17 не является четным.
3. Запишите, используя символы: а) Число 14 – натуральное; б) Число – 7 не является натуральным; в) Число 0 – рациональное; г)  - число действительное.
4. Даны числа: 325, 0, - 17, -3,8, 7. Установите, какие из них принадлежат множеству: 1) натуральных чисел; 2) целых чисел; 3) рациональных чисел; 4) действительных чисел.
5. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные:  1) 100 ∈ Ν; 2) –8 ∈ Ζ; 3) –8 ∉ Ν; 4) 5,36 ∈ Q; 5) 102 ∉ R;  6) ∈Q; 7) –7 ∈ R; 8)∈Ν; 9) 0 ∈ Ζ.
6. Р – множество натуральных чисел, больших 7 и меньше 14. Выясните, какие из чисел 13, 10, 5, 7, 14 ему принадлежат, а какие не принадлежат. Ответ запишите, используя знаки ∈ и ∉.
7. А – множество решений уравнения х2 + 1 = 0. Верно ли, что А – пустое множество? Приведите примеры уравнения, множество решений которого состоит из: а) одного элемента; б) двух элементов; в) трех элементов.
8. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения: 1) Х – множество чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5; 2) У - множество букв в слове «математика».
9. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?
10. Перечислите элементы следующих множеств: А – множество нечетных однозначных чисел; В - множество натуральных чисел, не меньших 5; С – множество двузначных чисел, делящихся на 10.
11. Укажите характеристическое свойство элементов множества: а) {а, е, е, и, о, у, э, ю, я, ы};  б) {23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15 };  в) {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.
12. Изобразите на координатной прямой  множество решений неравенства ( х- действительное число): 1) х > 5,3; 2) х  ≤ -3,8; 3) – 4,5≤ х < 4; 4) 2,7 ≤ х ≤ 9.
13. Найдите множество действительных корней уравнения: 1)3х=х+8;                         2) 3х+5=3(х+1); 3) 3(5х+10)=30+15х; 4)  х (х+16)=0.
14. А - множество двузначных чисел, запись которых оканчивается цифрой 1. Принадлежит ли этому множеству числа 28, 31, 321, 61?
15. Дано множество А = {5, 10, 15, 25}. Укажите два подмножества, равные множеству А.
16. Известно, что элемент а содержится в множестве А  и в множестве В. Следует ли отсюда, что: 1) А ⊂ В; 2) В ⊂ А; 3) А = В?
17. Известно, что каждый элемент множества А  содержится в  множестве В. Верно ли, что тогда: 1) А ⊂ В; 2) А = В?
18. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4; 4) не делятся на 5. Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К?
19. Установите, в каком отношении находятся множества решений неравенств и сами неравенства: 1) х < 12 и х < 10; 2) х < 12 и х > 15;  3) х < 12 и х>10; 4) х < 12 и –3х > -36.
20. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если: 1) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 3; 2) А - множество квадратов, B- множество прямоугольников; 3) А – множество квадратов, В – множество прямоугольных треугольников; 4) А – множество квадратов, B – множество прямоугольников с равными сторонами.
21. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если известно, что: 1) А ⊂ В и В ⊂ А; 2) А ⊂ В, С пересекается с В, но не пересекается с А; 3) А, В и С пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого.

Практическое занятие №20.

Решение задач по теме: «Графы. Виды графов и операции над ними».

Практическое занятие №1.

Строить граф, находить его характеристики.
Применять аппарат теории графов для решения задач  - 2  ч

Задание  1.Дан граф:

Определите вид графа, степень вершин графа, постройте матрицу смежности, кратчайший путь из вершины x1 до x6

Алгоритм действий

Непустое множество V = {v1, v2,…,vn} и набор Х упорядоченных пар объектов (vi, vi+1) , где vi∈V, vi+1∈V, называется ориентированным  графом и обозначается D(V, X).

Пары х = (v, w) называются дугами и изображаются на диаграмме следующим образом:

v– начало дуги х, w – конец дуги х.

Говорят: дуга исходит из v и заходит в w .

Пусть х – дуга. Если v конец или начало дуги, то v и х инцидентны.

Вершины v и w смежны, если (v, w) ∈ X.

Для ориентированного графа аналогично определяются понятия: петли, кратные дуги, псевдограф, мультиграф, граф.

Рассмотрим понятия: полустепень исхода и полустепень захода:

Полустепенью исхода вершины v называется число δ+(v) дуг орграфа D, исходящих из вершины v.

Полустепенью захода вершины v называется число δ-(v) дуг орграфа D, заходящих в вершину v.

Замечание: вклад каждой петли, инцидентной некоторой вершине v, равен 1, как в δ+(v), так и в δ-(v).

Для орграфа, представленного на рисунке найти полустепени захода и исхода:

d+(u1) = 2

d-(u1) = 0

d+(u2) = 2

d-(u2) = 3

d+(u3) = 0

d-(u3) = 1

d`+(u4) = 0

Найдем суммы степеней исходов и сумму степеней заходов:

еd+(u) = 2 + 2 + 0 + 0 = 4;

еd-(u) = 0 + 3 + 1 = 4 .

В данном графе 4 ребра. Замечаем, что еd+(u) = еd+(u) = m .Действительно, для орграфа справедливо утверждение:

Для любого ориентированного графа выполняется равенство

еd+(u) = еd+(u) = m,

 где m – количество дуг.

Критерий оценки

Практическое занятие№21.

 Решение задач на тему: «Классическое определение вероятности»

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение: важнейшей предпосылкой  для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов.

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов), при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров).

Таким образом, общее число исходов: 

Рассмотрим событие:  – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют  элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
 – вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара ». В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь  следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

 – из урны будет извлечён красный шар;
 – из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию  благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию  – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ: 

В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения:

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
 – вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
 – вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
 – вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ: 

Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.

Разминаемся:

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.

В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание: ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение: сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов. То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И подсчитываем их – всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
  – вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ: 0,1

Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество):

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.

Решение: найдём общее количество исходов:

 способами может выпасть грань 1-го кубика и  способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций, всего:  возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где  – цифра, выпавшая на 1-м кубике,  – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:

 – на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
 – на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
 – на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие:  – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
 – искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие:  – выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
 – вероятность того, что выпадет не более 4 очков.

в) Рассмотрим событие:  – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие:  – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
 – вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.

Далее пользуемся тем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
 – вероятность того, что выпадет от 3 до 9 очков включительно.

Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.

Ответ: 

В следующей задаче повторим таблицу умножения:

Задача 6

Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:

а) будет равно семи;
б) окажется не менее 20;
в) будет чётным.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Рассмотренная задача встречается и в других вариациях, несколько дополнительных примеров по сабжу можно найти в соответствующем сборнике на странице Готовые решения по высшей математике.

Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы. И снова эпичная задача про лифт:

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.

Следует отметить, что случайность здесь имеет место быть лишь с точки зрения стороннего наблюдателя (т.к. человек обычно едет на вполне определённый этаж).

Решение: вычислим общее количество исходов:  способами может выйти из лифта 1-й пассажир и  способами – 2-й пассажир и  способами – третий пассажир. По правилу умножения комбинаций:  возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.

Второй способ основан на размещениях с повторениями:
 – кому как понятнее.

а) Рассмотрим событие:  – пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
 способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле  проведите самостоятельно.

По классическому определению:

Теперь подумаем вот над какой вещью: пункт «бэ» достаточно сложен (см. Задачу 11 урока по комбинаторике), и значительная часть студентов, которые не в теме, просто не справится с этим пунктом. Но только не те, которые прочитают пару следующих абзацев!

в) Рассмотрим событие:  – пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют  исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: .

Заходим с чёрного хода:

б) Рассмотрим событие:  – два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий – на другом).

События  образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет =)), а значит, .

В результате, искомая вероятность:

Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу, может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!

Ответ: 

Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4 знаков после запятой.

Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:

, что и требовалось проверить

Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.

Самостоятельно:

Задача 8

Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:

а) на всех монетах выпадет орёл;
б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка;
в) орёл выпадет на половине монет.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Ничего страшного, если не получаются какие-то задачи или отдельные пункты – главное, стремитесь РАССУЖДАТЬ, ДУМАЙТЕ (пусть и не всегда успешно). В теории вероятностей плохо работает принцип «если дано то-то, то решать нужно так-то». И следующий пример – хорошее тому подтверждение:

Задача 9

На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?

Решение: с общим количеством исходов проблем не возникает:
 способами могут рассесться 7 человек на скамейке.

Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь – это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:

Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё – для каждого из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах  способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах  способами и для каждой такой перестановки других людей можно переставить  способами.

Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит  благоприятствующих исходов.

Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой пары соседних мест:

Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место), то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов: 

По классическому определению:
 – вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.

Ответ: 

Советую всегда снабжать подобные задачи схематическим рисунком, поскольку «голые» словесные комментарии чреваты ошибками – даже если и не запутаетесь, то можете запросто обсчитаться.

Пожалуй, самая трудная задача урока:

Задача 10

На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи, белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?

Справка: шахматная доска имеет размер  клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали

Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое – когда расставляешь фигуры собственными руками. И ещё тут почему-то часто начинают рассуждать о порядке выставления ладей – здесь это не имеет значения, ладьи могут выставляться в каком угодно порядке, хоть одновременно – имеет значение их взаимное расположение.

Моя версия решения в конце урока. Говорю так, потому что, возможно, существуют другие способы. И они действительно существуют! – прошло совсем немного времени со дня публикации статьи, и один из посетителей сайта прислал более короткое и рациональное решение, которое тоже приведено ниже.

В заключительной части урока рассмотрим очень распространённый тип задач на классическое определение вероятности, который встречается чуть ли не в половине случаев:

Задача 11

Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?

Решение: коль скоро неизвестный автор умолчал о колоде, будем считать, что в ней 36 карт. Ну а зачем нам больше? =)

Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний:
 способами можно выбрать 4 карты из колоды.

Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4 карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, – две другие карты:

 способами можно извлечь одного туза;
 способами можно выбрать одного короля.

Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 – 4 – 4 = 28

 способами можно извлечь две другие карты.

По правилу умножения комбинаций:
 способами можно извлечь искомую комбинацию карт (одного туза и одного короля и две другие карты).

Прокомментирую комбинационный смысл записи  другим способом:
каждый туз комбинируется с каждым королем и с каждой возможной парой других карт.

По классическому определению:
 – вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.

Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.

Ответ: 

Более простая задача для самостоятельного решения:

Задача 12

В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали. Найти вероятность того, что:

а) обе детали будут качественными;
б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной;
в) обе детали бракованны.

События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!

Следующая задача очень распространена и актуальна для многих читателей. Когда она встречается, то я всегда думаю: «чего же он так много выучил-то?!». Поэтому сделаю пример более реалистичным =):

Задача 13

Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трёх вопросов?

Решение: итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:

 способами можно выбрать 3 вопроса из 60 (общее количество исходов).

Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:

 способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;

 способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.

По правилу сложения комбинаций:
 способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3 вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами).

По классическому определению:
 – вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Ответ: 

Да, конечно, «не фонтан», но и не всё так безнадёжно, к тому же всегда есть шансы что-нибудь родить и при ответе на «плохие» вопросы.

Популярная игра для самостоятельного исследования:

Задача 14

Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что он получит:

а) пару десяток и пару валетов;
б) флеш (5 карт одной масти);
в) каре (4 карты одного номинала).

Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?

Практическое занятие№22. Решение задач по теме «Элементы комбинаторики».

Размещения.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент В принадлежит А.Запись: В( множество В является подмножеством множества А). Считают также , что пустое множество является подмножеством любого множества () и любое множество является подмножеством самого себя (АА). Каждое упорядоченное подмножество множества А называют размещением. Пусть множество А содержит n элементов. Часто возникает вопрос: сколько размещений по m элементов можно составить из n(mn) элементов множества А? Чтобы ответить на этот вопрос, докажем теорему: число размещений, состоящих из n элементов, взятых из m элементов, равно  т.е. =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).

Пример1. Число перемещений из 5 элементов по 3 равно

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

Так как каждый выбор 4 человек из 9 имеющихся должен иметь определенный порядок распределения их на должности, то мы имеем задачу составления размещений из 9 по 4.

 Ответ:3024 способами.

Перестановки.

Часто приходится рассматривать упорядоченные множества , т.е. множества в которых , каждый элемент занимает своё , вполне определенное место. Упорядочить множество-это значить поставить какой –либо элемент множества на первое место, какой либо другой элемент- на второе место и.т.д. Упорядоченные множества принято иногда записывать в круглых скобках .

Упорядочить множество можно различными способами. Например, множество состоящие из трёх элементов a,b и c, можно упорядочить шестью способами(a,b,c,);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a).

Каждое упорядоченное множество каких-либо элементов называется перестановкой. Сколько можно составить перестановок из n элементов?

Пример1. Если множество состоит из одного элемента а1, то его можно, очевидно, упорядочить единственным способом , а именно (а1). Итак, из одного элемента можно составить одну перестановку.

Пример2. Пусть имеются два элемента :а1и а2. Ясно, что из этих элементов можно составить только две перестановки: поставить а2 перед а1 или поставить а2 после а1:(а2,а1); (а1,а2). Итак, число перестановок из двух элементов равно 1.

Пример3. Пусть имеются три элемента: а1,а2 и а3.Запишем сначала перестановки из двух элементов а1и а2 и в каждую из этих перестановок впишем элемент а3 вначале на первое место, потом на второе место и , наконец, на третье -последние место. Получи шесть перестановок: (,а3,а2,а1); (а2,а3,а1); (а2,а1,а3);(а3,а3,а2);(а1,а3,а2);(а1,а2,а3). Итак, число перестановок из трех элементов равно 

Пример4.Пусть имеются четыре элемента: а1,а2,а3,а4.Запищем все перестановки из трёх элементов а1,а2 и а3(их число равно)

и в каждую из этих перестановок впишем элемент а4 в начале на первое место, потом на второе, затем на третье и, наконец, на четвёртое- последние место). Получаем 24 перестановки:

(а4,а3,а2,а1);(а2,а4,а3,а1);(а2,а3,а4,а1);(а3,а2,а1,а4);( а4,а2,а3,а1);(а2,а4,а3,а1); (а2,а3,а4,а1);(а2,а3,а1,а4);…;(а4,а1,а2,а3);(а1,а4,а2,а3);(а1,а2,а4,а3);(а1,а2,а3,а4).

Итак, число перестановок из четырёх элементов равно

Теперь можно сформулировать теорему : число перестановок из n элементов равно произведению n первых натуральных чисел, т.е. Pn=(где Pn-число перестановок из n элементов). Произведение n первых натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал»), например:

1!=1;2!=12;3!=123;4!=1234.

Сочетания.

Пусть имеется множество А=, состоящие из n элементов. Из этого множества можно составить подмножество, состоящие из m элементов (mn). Каждое подмножество состоящие из m элементов, содержащихся в множестве А из n элементов, называется сочетанием из n элементов по m . Число всех таких сочетаний обозначается через  Сколько всех сочетаний по m элементов можно образовать из данных n элементов? Для ответа на этот вопрос докажем теорему: число  сочетаний из n элементов по m равно . 

Пример 1. Вычислить . Применяя формулу сочетаний, имеем =.

Пример 2. На плоскости расположено 5 точек. Сколько отрезков, концами которых являются эти точки, определяются этими точками?

Решение. Каждые две точки определяют один отрезок, у которого они являются концами .При этом не играет роли , в каком порядке взяты данные точки. Поэтому число отрезков равно числу всевозможных пар точек, которые можно создать из 5 данных точек. Таким образом, решения задачи сводится к нахождению числа сочетаний из 5 элементов по 2:

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

Что такое n факториал? Его обозначение.

Дайте определение размещения и запишите формулу размещения из n элементов по m элементов.

Дайте определение перестановки и запишите формулу перестановки из n различных элементов.

Дайте определение сочетания и запишите формулы сочетания из n элементов по m элементов.

.Практическое занятие №23. Расчет числовых характеристик  случайной величины. 

Вариант 1

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       0,2            0,4               0,6               0,8        1

Р       0,1             0.2                 р3             0,4        0,1

 Найти вероятность р3, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Вариант 2

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       1            3               6               8

Р       0,2         0.1             р3             0,3

 Найти вероятность р3, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное

отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Вариант 3

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       3              4                       5        6        7

Р       р1             0,15                 р3             0,25        0,35

 Найти вероятность р3 ,если известно, что р3 в 4 раза больше р1, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное

отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В ящике 40 деталей: 20-первого сорта, 15 – второго сорта,5 – третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется не третьего сорта.

Вариант 4

1Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       1            3               6               8        10

Р       0,2         0.1             р3             0,3        0,2

 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное

отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения

3. Вероятность того, что день будет ясным, р = 0,85. Найти вероятность р1 того, что день будет облачным.

Вариант 5

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       3              4                       5        6        7

Р       0,1             0,2                 р3             0,2        0,1

 Найти вероятность р3 , математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. Производя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 86 раз. Найти частость попадания в цель данного стрелка.

Вариант 6

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       2              4                       5        6        

Р       0,3             0,1                 р3             0,4        

 Найти вероятность р3 , математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В урне 5 белых и 3 черных шаров. Из урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар белый?

Вариант 7

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       10              15                       20        

Р       0,1             0,7                 р3

          Найти вероятность р3, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара черные?

Вариант 8

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       4,3             5,1           10,6        

Р       0,2               р2             0,5

 Найти вероятность р2, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара черные?

Вариант 9

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       131             140           160        180

Р       0,05               р2             0,25        0,60

 Найти вероятность р2, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар черный?

Вариант 10

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х       1,5             3,5           5,5                7,5

Р       0,1               р2             0,4        0,3

 Найти вероятность р2, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построить многоугольник распределения.

2. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Из урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар черный?

Критерии оценки практического задания, задач

Оценка «5»: задание (задача) выполнено полностью и правильно; в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Найден правильный ход решения, все его шаги выполнены верно и получен правильный ответ.

Оценка «4»: задание (задача) выполнено полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Приведено верное решение, но допущена вычислительная ошибка или описка, при этом может быть получен неверный ответ.

Оценка «3»: в задании (задаче) допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме; обучающийся может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Решение начато логически верно, но допущена ошибка, либо решение не доведено до конца, при этом ответ неверный или отсутствует.

Оценка «2»: допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере; обучающийся не может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Неверное решение, неверный ответ или отсутствие решения.

III. КОМПЛЕКТ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ

Перечень теоретических вопросов, выносимых на зачёт

1. Векторы на плоскости и в пространстве.
2. Линейные операции над векторами.
3. Скалярное произведение векторов.
4. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве.
5. Уравнение с угловым коэффициентом, общее уравнение, каноническое и параметрическое, уравнение «в отрезках».
6. Кривые второго порядка
7. Построение кривых второго порядка и вычисление их основных элементов.
8. Плоские фигуры и пространственные тела,  их основные элементы.  Площади плоских фигур и площади поверхности тел.
9. Площади плоских фигур и площади поверхности тел.
10. Расчет площадей конструкций
11. Формулы вычисление объемов тел.
12. Формулы вычисление объемов земляных работ.
13. Определение числовой  последовательности. Понятие предела последовательности и функции.
14. Исследование функции на непрерывность, определение точек разрыва.
15. Определение производной функции. Основные правила дифференцирования.
16. Геометрический и физический смысл производной.
17. Производная сложной функции производные высших порядков.
18. Применение производной в технике и исследовании функции.
19. Неопределенный интеграл, его свойства и методы решения.
20. Определенный интеграл, его свойства и методы решения.
21. Геометрический смысл определенного интеграла
22. Формула Ньютона-Лейбница.
23. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур
24. Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения.
25. Применение определённого интеграла для решения геометрических и физических задач.
26. Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью формул прямоугольника,трапеции, Симпсона.
27. Случайные события, их виды.  
28. Понятие события и вероятности.
29.  Вероятность случайного события, свойства вероятности.
30. Классическое определение вероятности.
31. Вычисление вероятностей сложных событий.  
32. Теоремы умножения и сложения вероятностей.
33.  Формула полной вероятности и формула Бернулли.
34. Составление статистического распределения выборки, построение полигона и гистограммы
35. Числовые характеристики случайной величины.

Практические задания

1. Треугольник задан вершинами А(-3; -3), B(-4; 5), C(3; 1). Выполнить чертеж.

Составить уравнения сторон треугольника;

                        Составить уравнение медианы BD;

2. Найдите производную функции y=e2x – ln(3x – 5)
3. Найти производную функции:
4. Найти производную функции:
5. Найдите производную функции y=e2x – ln(3x – 5)
6. Найдите производную функции f(x) = lncos2 2x
7. Найдите производную функции f(x) = - 4x +11+
8. Найти
9. Найти
10. . Найти
11. Найти
12. Найти
13.  Найти
14. . Найти
15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:у = х2 - 4х + 5, х – у + 5 = 0
16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:у = х2 - 4х + 5, х – у + 5
17.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у =, у = 0, х = 1, х = 5
18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у2 = 2 х, х2 = 2у
19. Вычислить интеграл     по формуле прямоугольников
20.  Вычислить интеграл по формуле прямоугольников.
21. Вычислить интеграл     по формуле трапеции
22. Вероятность того, что день будет ясным, р = 0,85. Найти вероятность р1 того, что день будет облачным.
23. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

                  Х       1            3               6               8

                   Р       0,2         0.1             р3             0,3

             Найти вероятность р3, математическое ожидание. Построить многоугольник                распределения

24.  На складе 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой бригадой, 15 – второй и 10 – третьей. Найти вероятность того, что на сбоку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.

Критерии оценки практического задания, задач

«зачетно»: задание (задача) выполнено правильно; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

«не зачтено»: неверное решение задачи, неверный ответ или отсутствие решения; обучающийся не может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Критерии оценки устного ответа

Оценка «5»: задание (задача) выполнено полностью и правильно; в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Найден правильный ход решения, все его шаги выполнены верно и получен правильный ответ.

Оценка «4»: задание (задача) выполнено полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Приведено верное решение, но допущена вычислительная ошибка или описка, при этом может быть получен неверный ответ.

Оценка «3»: в задании (задаче) допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме; обучающийся может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Решение начато логически верно, но допущена ошибка, либо решение не доведено до конца, при этом ответ неверный или отсутствует.

Оценка «2»: допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере; обучающийся не может исправить допущенные ошибки по требованию преподавателя.

Неверное решение, неверный ответ или отсутствие решения.