Методическая разработка открытого урока "Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений"
план-конспект урока по математике (10, 11 класс)

Департамент образования и науки  Брянской области

Государственное  автономное  профессиональное образовательное учреждение

«Брянский техникум энергомашиностроения и радиоэлектроники

имени Героя Советского Союза М.А. Афанасьева»

 Методическая разработка открытого урока по теме «Показательные уравнения. Методы решения  показательных уравнений»

по предмету общеобразовательной  учебной дисциплины

ОДП. 12 Математика

15.02.14 Оснащение средствами автоматизации технологических процессов и

производств ( по отраслям)

Преподователь : Степакова Н.В

Брянск 2019

Содержание

Введение

Методическая разработка посвящена теме , имеющей большое прикладное значение, при изучении различных вопросов математики и физики. В ней вводятся понятия показательного уравнения , методы решения различных типов показательных уравнений.

Работа содержит план , конспект урока , список использованной литературы и преследует следующие цели:

- показать,  как  применяется показательная функция  при изучении различных разделов физики

- разобрать понятия показательного уравнения

- разобрать различные методы решения показательных уравнений

- показать роль развивающего обучения для повышения мотивации освоения предмета.
       Основной целью среднего профессионального образования является подготовка квалифицированного специалиста, способного к эффективной профессиональной работе по специальности и конкурентоспособного на рынке труда. Поэтому основной образования в СПО должна стать не только информация по образовательным и профессиональным дисциплинам, а также формирование и развитие способов мышления обучающихся. А для этого необходимо адаптировать обучающихся уже на стадии получения знаний к условиям конкретной производственной среды и решению профессиональных задач.
Для достижения поставленной цели нужно правильно организовать учебный процесс. А это можно реализовать при помощи педагогических технологий.
Цель применения технологий развивающего обучения : научить обучающихся идти путём самостоятельных находок и открытий
Для достижения этой цели надо решать следующие задачи :

-Создать условия для приобретения обучающимися средств познания и исследования;

-повысить познавательную активность в процессе овладения знаниями;

-применять дифференцированный и интегрированный подход  в учебном и воспитательном процессе

Учебная дисциплина ОДП. 12 Математика
Учебная группа ОС АТП1

Специальность 15.02.14 Оснащение средствами автоматизации технологических процессов и

производств ( по отраслям)

Тема урока: Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений.

Дидактическая цель урока:

Ввести понятие показательного уравнения , разобрать методы решения показательных уравнений.

 Цели урока:

Образовательная: ввести понятие показательного уравнения, изучить основные методы решения показательных  уравнений; формировать навыки решения показательных  уравнений.

Развивающая: развивать умение анализировать и делать выводы; способствовать развитию логического мышления, внимания, памяти и речи.

Воспитательная: воспитывать познавательную активность, интерес к математике.

Задачи урока:
1) организация взаимодействия;
2)усвоение знаний , умений , навыков.

3)развитие способностей , опыта творческой деятельности , общения.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид и форма организации урока: комбинированный с фронтальной, индивидуальной формой организации урока.

Методы обучения: словесные, наглядные, практические, проблемно-поисковые.

Межпредметные связи: показательная функция является основопологающей при изучении тем физики « Колебания», «Ядерная физика», «Термодинамика», «ЕН.01 Математика», «ОУДП.02 Физика».

Стандарт образования: 15.02.14 Оснащение средствами автоматизации технологических процессов и производств ( по отраслям ).

Студент должен уметь: применять свойства показательной функции при решении различных примеров; использовать при решении показательных уравнений основные  методы: функционально – графический, метод уравнивания показателей, метод введения новой переменной, метод деления, метод вынесения общего множителя за скобки.

Связи с профессией: ОК.01 Выбирать способы решения задач на профессиональной деятельности , применительно к различным контекстам. ОК.04 Работать в коллективе и команде , эффективно взаимодействовать с коллегами , руководством , клиентами . Развитие логического мышления, алгоритмической культуры ,критичности мышления, умения анализировать и делать выводы на уровне необходимом для освоения профессии.

Материально-техническое обеспечение урока: классная доска, мелки; компьютер, мультимедийная установка, раздаточный материал , презентация.

Структура урока:

1. Организационный момент (3мин).
2. Актуализация знаний (8 мин)
3. Изучение нового материала (22 мин).
4. Закрепление материала (7 мин).
5. Домашнее задание (2 мин).
6. Подведение итогов урока (3 мин).

ХОД УРОКА

      I. Организационный момент

Проверка присутствия студента.

Сегодня на уроке мы продолжаем изучать показательную функцию, вводим понятие показательного уравнения и разбираем методы их решения.

Показать презентацию (слайд 1,2)

На экране записана тема урока. Запишите в тетради тему урока.

«Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений»

Далее проговариваю цель: Мы вводим понятие показательного уравнения, разбираем методы их решения , учимся решать показательные уравнения различными методами.

Зачем же надо изучать показательную функцию и учиться решать показательные уравнения расскажет Хвостенко Артем

Показательная функция является основополагающей при изучение тем физики «Колебания», «Ядерная физика» «Термодинамика» и при изучение темы электротехники, «Электромагнетизм» , при решение задач судовождения, и меж планетных путешествий. Решая показательные уравнения мы можем рассчитать какая масса топлива нужна, чтобы придать ракете нужную скорость. Рассчитать через сколько лет распадётся радиоактивный плутоний или другой элемент. Определить возраст археологических находок и решить многие другие вопросы.

         II. Актуализация опорных знаний.

Повторяем материал необходимый для изучения нового материала

К доске идут двое студентов 1) Построить y= ) x и y=4x+6 2) К доске идёт , выполняет задание, построить y=3x и y=-x+4

Пока студенты выполняют задание у доски, провожу фронтальный опрос

1) Что называется показательной функцией ?

2) Что является областью определения показательной функции?

3) Каково множество значений показательной функции?

4) При каких условиях показательная функция возрастает, убывает?

5) Привести числа к наименьшему натуральному основанию: 49,216,125. 1/9, 1/1000, 1/8, , , 1/64

Далее проверяем выполнение заданий студентами у доски.

Проверяют сами студенты.

III. Изучение и закрепление нового материала .

Теперь переходим к изучению показательных уравнений.

В тетрадях запишите:

Показательными уравнениями называется уравнение содержащее переменную показатели степени.

Записать на доске 1) функционально графический.

1.Первый метод функционально графический, это не стандартный метод , он применятся когда в левой части уравнения стоит показательная функция, а в правой какая-то другая, например линейная, то есть мы уравнение не можем привести к виду чтобы в левой и правой частях уравнения стояли степени с одинаковыми основаниями.

Обратите внимание на доску, у нас построены  y=(1/2)x и y=4x+6. Пусть надо решить уравнение (1/2)x=4x+6

Вопрос группе: Что значит решить уравнение графически?

Кто решит это уравнение? То есть найдет абсциссу.

2.Переходим к методу уравнивания показателей(записать на доске 2-й метод уравнивания показателей). Этот метод основан на теореме.

Разберем этот метод на примере. Он основан на теореме, что от показательного уравнения можно перейти к линейному или любому другому.

1-й и 2-й пример объясняет преподавател , 3 –й и 4-й примеры решают 2-е студентов у доски самостоятельно их работу проверяет преподователь и студенты работающие за партой. Решить уравнения:          1) 5 x  = 125. Решение                   5 x   =  53  

Ответ х =3

2 ) 62x-8=216                 3)  ( )4x-7=6x-3                      4)     4x-5=16

                                            Решение:                    Решение:

Решение:                      (6-1)4x-7=6x-3                  4x-5=42

62x-8=63                                      67-4x=6x-3                                    x-5=2

2x-8=63                                   7-4x=x-3                                    x=7

2x-8=3                     -5x=-10                       Ответ: 7

2x=11                             x=2            

x=5,5                          Ответ: 2      

Ответ:5,5

3. Метод введения новой  переменной. Особенность этого метода что студенты должны увидеть в примере одинаковые выражения или похожие и заменить их новой переменной. Объясняю этот метод, первый пример решаю сама у доски. Второй пример студент решает у доски самостоятельно , проверяют решение студенты.

Решить уравнение: 22x-6*2x+8=0

Решение: Пусть t=2x0, тогда 22x=(2x)2=t2

t 2-6t+8=0

Д=b2-4ac=36-32=4

t1, 2= - ;

t1= =4

t2=x=2

2x=4     x=2

2x=2     x=1

Ответ: 2,1

Студент решает пример:

Решить уравнение:

()2x-5)x-6=0

()x=t0 ( )x>0

t2-5t-6=0

Д=25+24

t1=  ==6

t2= =-1 Не удовлетворяет условию t>0

(x=6

X=-1

Ответ: -1

4. Метод вынесения общего множителя за скобки, объясняю на примере.

Этот метод используется, если соблюдается условие:

• основания степеней одинаковые и показатели одинаковые          
• Решение первого примера объясняет преподаватель
• Решить уравнение

1) 7x+2+4*7x+1=539         Двое студентов решают 2-й и 3-й примеры у доски самостоятельно с последующей проверкой преподавателем  и остальными студентами

Решение:        2 )4x+1+4x=320        3 )2*3x+1-3x=15

1) 7x*72+47x*7=539        Решение:        Решение:

7x(72+4*7)=539        4x(4+1)=320        2*3x*3-3x=15

7x(49+28)=539                                                     4x*5=320        3x(2*3-1)=15

7x*77=539        4x=64        3x(6-1)=15

7x=7                                                                    4x=43                3x*5=15

X=1                                                                    x=3        3x=3

Ответ: x=1        Ответ: x=1        x=1

        Ответ: x=1

5. Метод деления:
Первый пример объясняет преподаватель , 2-й и 3-й примеры решают студенты самостоятельно у доски , с последующей проверки преподавателем и студентами.

Решить уравнение:

 1 ) =

Решение:

Что можно сказать о области определения показательной функции?

Какие значения принимает показательная функция?

Так как область у определения показательной функции является множество всех положительных действительных чисел  E(ax)=R+ то разделим обе части уравнения на левую или правую часть уравнения

Решить уравнения:

2 ) 5x=3x                                                      Двое студентов решают примеры у доски

Решение:           3 )25x=72x

Т. к. E(ax)=R+   5x>0; 3x>0        Решение:

Разделим обе части                               (52)x=72x

                                          52x=72x

x=1                                        2x=0

     x=0         2x=0

       x= 0                                                        x=0

       Ответ: x=0                                        Ответ: x=0

Мы изучили пять способов решения показательных уравнений.  На доске записано:            1) функционально графический
2) метод уравнивания показателей
3)метод введения новой переменной
4)метод вынесения общего множителя за скобки
5) метод деления

Задание на дом: 1)повторить способы решения показательных уравнений;

                             2)решить уравнение: 1)5x+1+5x+5x-1=31; 2)43x+1=x;  3)7x+2-14*7x=5.

V. Проверка усвоения материала.

Студенты выполняют самостоятельную работу по вариантам с самооценкой.( указать номер примера , соответствующего указанному в таблице способу решения )

1 Вариант

Указать способы решения показательных уравнений

1) 52x+1-3*52x-1=10                    

2) ()x=27                                                            

3) 32x=72x

4) 62x+5*6x-6=0

5) 3x=2x+1

6) 7x+2-14*7x=5  

7) 67x-10=36

8) ()x=2x+9

9) 22x-3*2x-4=0

10) ()x=)x

1) Написать фамилию.

2) На оценку «3» можно рассмотреть первые 5 примеров ,если сделана 1 ошибка оценка «3».

3) На оценку «4»,»5» рассматриваем все 10 примеров ,если сделаны 2 ошибки оценка «4»,если 3 оценка «3».

2 вариант

Указать способы решения показательных уравнений

1) 3x+2-3x=24

2) 5x=-x+6

3) ()2x-)x-32=0

4) 4x=3x

5) ()x=36

6) )x=2x+9

7) 3x-3x+3=78

8) (x=36

 9) ()x=)x

10) 32x-6*3x-27=0

1) Написать фамилию.

2) На оценку «3» можно рассмотреть первые 5 примеров ,если сделана 1 ошибка оценка «3».

3) На оценку «4»,»5» рассматриваем все 10 примеров ,если сделаны 2 ошибки оценка «4»,если 3 оценка «3».

Практические советы:

1. Смотрим на основания степеней. Определите, нельзя ли их сделать одинаковыми, активно используя действия со степенями. Помните, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То, что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

VI. Подведение итогов урока.

Выставление оценок

Методика проведения урока

1)Организационный момент
а)Проверка присутствия студентов.

б)постановка целей урока: использую способы постановки целей и задач урока, организации учебной деятельности студентов ,соответствующие принципам системно-деятельного подхода в обучении; ориентирую студентов на достижение личностных, метапредметных  и предметных результатов.

2)Актуализация знаний

а)индивидуальная работа студентов у доски

б)фронтальная работа преподавателя с группой. Раскрываю связь новой темы  с предыдущими и последующими темами, связь с физикой.

3)Изучение нового материала
провожу методом беседы с использованием словесного, практического , проблемно – поискового методов согласно плану.

- определение показательного уравнения

-основные способы решения показательных уравнений

- рассмотрение примеров на каждый способ. Организую индивидуальную и совместную деятельность студентов направленную на решение поставленных целей, используя методы побуждающие  студентов рассуждать.
4)Проверка усвоения материала. Провожу самостоятельную работу по вариантам с самооценкой

5)Домашние задание

6)Подведение итогов урока

 6) Приложение

Использовались
1)Раздаточный материал , дидактический материал

2)Материалы презентаций

1 Вариант

Указать способы решения показательных уравнений

1) 52x+1-3*52x-1=10                    

2) ()x=27                                                            

3) 32x=72x

4) 62x+5*6x-6=0

5) 3x=2x+1

6) 7x+2-14*7x=5  

7) 67x-10=36

8) ()x=2x+9

9) 22x-3*2x-4=0

10) ()x=)x

1) Написать фамилию.

2) На оценку «3» можно рассмотреть первые 5 примеров ,если сделана 1 ошибка оценка «3».

3) На оценку «4»,»5» рассматриваем все 10 примеров ,если сделаны 2 ошибки оценка «4»,если 3 оценка «3».

2 вариант

Указать способы решения показательных уравнений

1) 3x+2-3x=24

2) 5x=-x+6

3) ()2x-)x-32=0

4) 4x=3x

5) ()x=36

6) )x=2x+9

7) 3x-3x+3=78

8) (x=36

 9) ()x=)x

10) 32x-6*3x-27=0

1) Написать фамилию.

2) На оценку «3» можно рассмотреть первые 5 примеров ,если сделана 1 ошибка оценка «3».

3) На оценку «4»,»5» рассматриваем все 10 примеров ,если сделаны 2 ошибки оценка «4»,если 3 оценка «3».

Заключение

Чтобы развивающие обучение было эффективным , преподаватель должен реализовать следующие ключевые условия:
-интерес обучающихся к решения поставленной задачи

-посильность решения задачи для обучающихся данного возраста и уровня подготовки

-значимость для обучающихся информации , получаемой при решении задачи

-диалогические доброжелательное общение педагога с обучающихся , тактичность , поощрение педагогом мыслей , гипотез , высказанных учащимися

Таким образом развивающие обучение может способствовать реализации двух целей:

Первая цель – сформировать у учащихся необходимую систему знаний , умений и навыков

Вторая цель – достигнуть высокого уровня развития учащихся , развития способности к самообучению , самообразованию

7)Список использованных источников

Башмаков М.И.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия : учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2017.

Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций,   осваивающих  профессии и специальности  СПО,-  М., 2017

Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. Пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. –М., 2017