Метод проектов на уроке математики Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений

Абейдулин Ильхам Рустамович        учитель математики

Проектная работа.

Тема проекта: «Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений».

Участники проекта: ученики 8 класса. Сроки реализации проекта: 2 урока.

Продукт проекта: Доклад, памятка.

Задания для групп (в каждой группе 4 -5 человека):

Задание для группы 1.

1. Сбор информации по теме «Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки» (использование справочников, Интернета).
2. Подбор 3-4 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3. Оформление продукта проекта: памятки («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5. Защита проекта (презентация).

Задание для группы 2.

1. Сбор информации по теме «Решение квадратных уравнений с помощью «метода переброски» (использование справочников, Интернета).
2. Подбор 3-4 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3. Оформление продукта проекта: памятки («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5. Защита проекта (презентация).

Задание для группы 3.

1. Сбор информации по теме «Решение квадратных уравнений с помощью номограммы» (использование справочников, Интернета).
2. Подбор 3-4 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3. Оформление продукта проекта: памятки («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5. Защита проекта (презентация).

Задание для группы 4.

1. Сбор информации по теме «Решение квадратных уравнений, если a+b+c=0 или a-b+c=0» (использование справочников, Интернета).
2. Подбор10 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3. Оформление продукта проекта: памятки («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5. Защита проекта (презентация).

Продукты проекта:

Памятка 1

1. Построим точки        S( - в ; а с ) (центр окружности) и А(0; 1)

 а        а

2. Проведем окружность с радиусом  SA,
3. Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1. Радиус окружности больше ординаты центра (AS    SK или R     а с ),

 а

окружность пересекает ось Ох в двух точках В(   ; 0) и Д(    ; 0), где      и - корни квадратного уравнения.

2. Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = а с ),

 а

окружность касается оси Ох в точке В(   ; 0), где      – корень квадратного уравнения.

3. Радиус окружности меньше ординаты центра (AS   SB, или        R < а с ),

 а

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Памятка 2

Метод «Переброски коэффициентов» 1.«Перебросить» коэффициент а в свободный член.

2.Найти корни нового уравнения. 3.Разделить их на а.

Пример. Решить уравнение 12х2 + 13х +3 =0.

Решение.

Запишем вспомогательное уравнение

у2 +13у+ 36 = 0

и найдем корни подбором у1= -4,        у2 = -9.

Вернемся к исходной переменной х: х1= -4/12 = -1/3;        х2 = -9/12= -3/4.

• Ответ. х1=-1/3;        х2=-3/4.

Памятка 3

Если дано полное квадратное уравнение, то его надо

1. Привести к приведенному квадратному уравнению z2 + pz + q = 0
2. Второй коэффициент и свободный член из уравнения отметить на соответствующих осях p и q,
3. Полученные точки соединить прямой.
4. Прямая пересекает кривую шкалу в двух точках – корнях данного уравнения, если корни положительные.

• Если уравнение имеет корни разного знака, то прямая пересечет кривую шкалу в одной точке – это положительный корень. Отрицательный корень находят, вычитая положительный корень из –p.
• Если же корни отрицательные, то по номограмме находят два положительных корня t1 и t2для уравнения z2 – pz + q = 0, а для уравнения z2 + pz + q = 0 корнями будут z1 = -t1, z2 = -t2

Памятка 4

Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов 1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1= 1, х2 = с/а

2. Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – с/а

Презентации

1 группа

2 группа

• Пусть требуется решить квадратное

уравнение ax2+ bx + c =0.        Для него

• ,        .
• Умножив обе  части данного уравнения

на а, перепишем его в виде:

• (ах)2 + b(ах) + ас =0.

• (ах)2 + b(ах) + ас =0.

• Произведем замену ах = у.
• В полученном приведенном уравнении

• у2+ bу + ас = 0

• у1 +у2 = -b,        у1·у2 = ас.
• Корни уравнения найдем подбором, основанным на теореме, обратной теореме Виета.

3 группа        4 группа

⦿ Свойство 1

Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то

х1= 1, х2 = с/а

⦿ Свойство 2

Если а – b + с = 0, или b = а + с, то

х1 = – 1, х2 = – с/а

2