Применение производной при решении задач курса физики, химии, геометрии.
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция №6 Применение производной при решении задач курса физики, химии, геометрии.

Слайд 2

содержание

Слайд 3

Физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону Тогда средняя скорость точки в промежутке в времени вычисляется по формуле Как известно, мгновенной скоростью v ( to ) в момент времени to называется предел (если он существует), к которому стремится средняя скорость за промежуток времени от т. е. Таким образом, мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент-времени t есть производная от пути s по времени i: В этом заключается физический смысл производной. Пример: Найти скорость движения точки в момент времени t = 5; если закон движения задан формулой Решение. Находим: Механический смысл второй производной Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону Тогда, как было показано , скорость движения в момент времени t определяется по формуле Если движение неравномерное, то скорость v ( t ) также есть функция от времени t . Поэтому производная определяет скорость изменения скорости материальной точки, движущейся по закону

Слайд 4

Но , как известно из механики, скорость изменения скорости называется ускорением, и обозначается a ( t ). Таким образом, ускорение a { t ) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по' времени или второй производной от пути по времени, т. е. Пример. Тело движется прямолинейно по закону Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3. Решение. Находим Задачи прикладного характера Пример 1. Из квадратного листа жести со стороной а требуется сделать открытый сверху ящик наибольшего объема и имеющего квадратное основание. Решение. Для изготовления ящика нужно вырезать по углам данной жести четыре равных квадратика (рис1 ) (рис2) так , чтобы после сгибания получить ящик наибольшего объема Обозначим длину стороны каждого из вырезаемых квадратиков через х. Тогда сторона квадрата, образующего дно ящика, будет а — 2х, а объем

Слайд 5

Найдем наибольшее значение функции V( x ) на отрезке . Находим критические точки первого рода функции V( x ): откуда Находим значения функции V ( х ) в точках Таким образом, ящик будет иметь наибольший объем, если сторона вырезаемого квадрата равна Пример 2. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Решение. Обозначим длину высоты цилиндра через х. Тогда, как видно из рис. 2, радиус основания цилиндра равен а объем цилиндра где Таким образом, требуется найти наибольшее значение функции V( x ) на отрезке [0;2R]. Находим критические точки первого рода функции V( x ): Находим значения функции V ( х ) в точках Итак , искомый цилиндр имеет высоту, равную Задачи для закрепления материала: 1. Найти скорость тела, движущегося по закону 2. Тело движется прямолинейно по закону Найти скорость тела в моменты t 1 =0; t 2 =2 и t 3 =5 3. Найти скорость движения тела в момент времени если закон движения задан формулой:

Слайд 6

4 . Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону равна нулю? 5. Найти ускорение точки в указанные моменты времени t , если скорость точки, движущейся прямолинейно, определяется законом: 6 . Найти скорость и ускорение точки в указанные моменты времени t , движущейся прямолинейно по закону: 7 . Найти момент времени t в который ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону равно нулю. Какова при этом скорость точки? 8. Тело массы т движется по закону Доказать , что сила, действующая на точку, постоянна. 9. Разбить число 5 на два слагаемых, сумма кубов которых будет наименьшей. 10. В равнобедренный треугольник вписать пряхмоугольник наибольшей площади. 11. Из листа картона 80 см X 50 см требуется изготовить открытый сверху ящик наибольшей вместимости, вырезая по углам равные квадратики и загибая затем получившиеся выступы. 12. Сумма основания и высоты треугольника равна 12 см. Каковы должны быть размеры основания, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Слайд 7

13 . Из всех цилиндров данного объема V найти тот, у которого полная поверхность наименьшая. 14. Точка движется прямолинейно по закону Найти максимальную скорость движения точки. 15. Тело, брошенное вертикально вверх, движется прямолинейно по закону . Найти наибольшую высоту подъема тела.