Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные формулы дифференцирования
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция № 4. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные формулы дифференцирования.

Слайд 2

Содержание

Слайд 3

2.1 Производная функции по ее аргументу. Задача 3. Для произвольной функции y = f ( x ), непрерывной в рассматриваемой области существования, найти аналитическое выражение предела отношения ее приращения к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю для любой точки М( х,у )у. Решение : Пусть имеем функцию y = f ( x ) с графиком, изображенном на рисунке 24. Возьмем на графике заданной функции любую точку М, т.к. она любая, т.е. текущая, то ей будет соответствовать абсцисса, равная аргументу х и ордината у, равная f ( x ). Дадим аргументу х какое-нибудь приращение х , т.е. получим новый аргумент х + х. Ему будет соответствовать новое значение у( х + х ) = f ( x + x ). Разность между полученным в результате приращения аргумента значением функции f ( x + x ) и значением функции от аргумента без этого приращения f ( x ) называется приращением функции — у, т.е .(28) Теперь решим задачу 3 до конца. С учетом рассуждений в задачах 1 и 2 и равенства (28) получим:

Слайд 4

(29) В математике равенство (29) называют аналитическим выражением 1-й производной функции у по ее аргументу х или проще — производной от у по х. Коротко производную обозначают: читают: игрек штрих по икс или проще — игрек штрих. По предложению немецкого математика Г.Лейбница (1646-1716) (30) читают: дэ игрек по дэ икс, где d — первая буква слова дифференциал — differencial — разделитель. Итак, аналитическое выражение производной (29) читается: первой производной функции по своему аргументу называют отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Слайд 5

2.2 Дифференцирование функции. Найдем производную функции у = 3х + 5. По (29) с учетом (28) будем иметь: т.е для функции у = 3х + 5 ее производная y ' = 3. Сам процесс нахождения производной, т.е. определение приращения функции, деление его на приращение аргумента и нахождение предела полученного отношения называется математической операцией — дифференцированием. По формуле (30) будем иметь: т.к . Т.е.

Слайд 6

2.3 Основные правила дифференцирования 1. ( const )' = c ' = 0. Производная любого постоянного числа равна нулю. Примеры: (5)' = 0; (–8)' = 0; (232)' = 0. 2. ( х )' = 1. Производная аргумента равна 1. 3. ( c u )' = c u '. Постоянное число можно выносить за знак производной. Пример: (5 х )' = 5 x ' = 5 1 = 5. 4. ( u + v )' = u ' + v ' Производная алгебраической суммы любого числа слагаемых равна этой же алгебраической сумме производных слагаемых. Примеры: (3x – 8)' = (3x)' – (8)' = 3 1 -– 0 = 3; ( kx + b )' = k . 5 . Если а , то — сложная функция и [ u ( v ( x ))]’ = u’v 6 . ( u n )' = n u n –1 , где u — любая функция. Если u = x , то ( xn )' = n x n –1. Примеры: (х 8 )' = 8 x 7 ; ( x –3 )' = –3 x –4; (( 2x 2 – 3x + 4) 3 )' = 3 (2x 2 – 3x + 4) 2 (4x – 3).

Слайд 7

7. при u >0. Примеры: 8. (sin u)' = u' cos u . Если u = x , то ( sin x )' = cos x . Примеры: (3 sin x – 4x2)' = 3 cos x – 8x; [sin(5x2 – 4)]' = (5x2 – 4)' cos (5x2 – 4) = 10 x cos (5x2 – 4). 9. ( cos u)' = – u' sin u. Если u = x, то ( cos x)' = – sin x. Примеры : (2 sin x – 4 cos x)' = (2 sin x)' – (4 cos x)' = 2 cos x + 4 sin x; [ cos (– x3 + 8)]' = – (– x3 + 8)' sin (– x3 + 8) = 3 x2 sin (– x3 + 8). 10. (u v)' = u' v + v' u . Примеры : (3x2 sin x)' = (3x2)' sin x + 3x2 (sin x)' = 6x sin x + 3x2 cos x; (sin 5x cos2x)' = (sin 5x)' cos2x + sin 5x (cos2 х )' = = 5 sin 5x cos2x – 2 cos x sin x sin 5x.

Слайд 8

11. Примеры : т.е 12 . ( ex )' = ex 13 .

Слайд 9

2.4 Механический смысл производной. Задача 1 . Определить в момент времени t 1 скорость прямолинейно движущейся точки М, если в каждый момент времени известно расстояние S от точки О, лежащей на линии движения, т.е известен закон изменения расстояния со временем в виде: S = S( t ). (20) Решение : В момент времени t 1 точка находится на расстоянии S 1 = S(t 1 ), а в любой момент t 2 > t 1 на расстоянии S 2 = S(t 2 ) > S 1 , ( рис. 23) Общеизвестно , что средняя скорость Vср точки на отрезке М 1 М 2 = S 2 – S 1 будет ( 21) Обозначив S 2 – S 1 = ∆S — приращение пути и t 1 – t 2 = ∆ t — приращение времени ( ∆— греческая буква дельта выражает слово "приращение"), получим ( 22)

Слайд 10

т.е. средняя скорость прямолинейно движущейся точки всегда равна отношению приращения пути к своему приращению времени. Аналогично рассуждая, мы к этому же заключению придем и для случая t 2 < t 1 , т.е. S 2 < S 1 . Для того, чтобы определить скорость в момент времени t 1 , т.е. V = V(t 1 ) — мгновенную скорость, будем неограниченно уменьшать t за счет стремления t 2 к t 1 , т.е. t 1 t 2 , что тоже самое, сделаем t бесконечно малой величиной. Очевидно, что тогда S 2 будет стремиться к S 1 и Vср будет стремиться к V, т.е. при t 0 , S 2 S 1 и Vcp V. Все это на языке пределов можно выразить следующим образом: или ( 23) т.к. моменты времени t 1 и t 2 выбраны произвольно, то формулу (23) словами можно выразить так: мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки в любой момент времени есть предел отношения приращения пути к своему приращению времени, стремящемуся к нулю.

Слайд 11

Задача 2. Определить момент времени t 1 ускорение прямолинейно движущейся точки М, если в каждый момент известна скорость V этой точки, т.е. известна функция V = V( t ). (24) Решение : Пусть в момент времени t 1 точка движется со скоростью V 1 = V(t1) и в любой момент времени t 2 — со скоростью V 2 = V(t 2 ). Общеизвестно, что среднее ускорение прямолинейно движущейся точки будет (2 5 ) Обозначив V 2 – V 1 = V — приращение скорости и t 2 – t 1 = t — приращение времени, получим: ( 26) т.е. среднее ускорение прямолинейно движущейся точки всегда равно отношению приращения скорости к приращению времени, за которое это приращение скорости получено. Для того, чтобы определить ускорение в любой момент времени t 1 , т.е. а = а (t1) — мгновенное ускорение, будем неограниченно уменьшать t за счет стремления t 2 к t 1 , т.е. t 2 t 1 , что тоже самое, сделаем t бесконечно малой величиной. Очевидно, что тогда V2 будет стремиться к V1 и будет стремиться к а, т.е. t0, V 2 V 1 и асра . Все это на языке пределов можно выразить следующим образом: или (27)

Слайд 12

т.к. момент времени t 1 и t 2 выбраны произвольно, то формулу (27) словами можно выразить так: мгновенное ускорение прямолинейно движущейся точки в любой момент времени есть предел отношения скорости к своему приращению времени, стремящемуся к нулю. Сравнивая аналогичные выражения (23) и (27) и их словесный смысл, можно видеть их схожесть. Т.к . S = S( t ) и V = V( t ) есть функции своего аргумента t , то в общих случаях мы приходим к пределам отношений приращений функций к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю . Установив это, рассмотрим задачи 1 и 2 с общих позиций для любой функции, могущей быть и скоростью , и ускорением, и чем угодно еще. В задаче 1 мы получили Теперь мы можем сказать, что это производная от пути по времени, т.е. V = S ' ( t ) ( 31) Аналогично из задачи 2 имеем: a = V '( t ) С учетом (31) ускорение можно записать в виде: С позиции механики мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть первая производная от пути по времени, а мгновенное ее ускорение есть первая производная от скорости по времени или вторая производная от пути по времени. Пример 1. Найти скорость спринтера через 2 с после старта, если его путь изменяется по формуле: Решение: ( м/с), т.е. на 2-й секунде бега спринтер имеет скорость 2,5 м/с. Пример 2. По условию примера 1 найти ускорение спринтера в начале бега, т.е. при t0 = 0. Решение: ( м/с2), т.е. в начале бега спринтер имел ускорение 2,25 м/с2

Слайд 13

2.5 Геометрический смысл производной. Пусть в точке М ( x ; f ( x )) кривой y = f ( x ) существует касательная КТ к данной кривой (рис.25). Дадим аргументу х приращение х и отметим на кривой точку М 1 ( x + x ; f ( x + x )). Проведем секущую ММ 1 и обозначим через 1 величину угла, образованного секущей с положительным направлением оси ОХ. Из треугольника ММ 1 А (прямоугольного) следует, что отношение Если точка М 1 будет перемещаться вдоль кривой, приближаясь к точке М, то x 0 . При этом секущая ММ1 и величина 1 меняются с изменением х. Предельным положением секущей при х 0 будет прямая КТ — касательная к кривой в точке М, образующая с положительным направлением оси ОХ некоторый угол, его величину обозначим через. Так как то т.е. y ' (M) = tg . (31) Итак , с позиции геометрии производная функции у в заданной ее точке М есть тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке М, с положительным направлением оси ОХ.

Слайд 14

Задача 4. Найти уравнение касательной к параболе y = 3x2 – 4x +5 в точке М 1 с абсциссой х 1 = 2. Решение : Будем искать уравнение касательной в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом, т.е. y = kx + b . Из уравнения (8) известно, что k есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ, т.е. k = y '(M 1 ). Так как М 1 принадлежит и касательной и параболе, то ее координаты удовлетворяют их уравнениям. Подставив х 1 = 2 в уравнение параболы, найдем ординату у 1 точки М 1 : Значит М(2,9). Найдем y ' = (3x2 – 4x + 5)' = 6x – 4. В точке М 1 y '(x1) = 6x 1 – 4 = 6 2 – 4 = 8. Значит k = 8. Подставив значение k = 8; х 1 = 2; у 1 = 9 в уравнение прямой, найдем b: 9 = 8 2 + b ; b = – 7. Значит касательная к параболе y = 3x 2 – 4x + 5 в точке М1(2,9) будет иметь уравнение y = 8x – 7.

Слайд 15

2.6 Примеры непосредственного дифференцирования функций. Пример 4. Найдите производную функции Вычислите y '(2). Решение: 1. Упражнения для самостоятельного решения. 2. Пользуясь определением производной, найдите производные следующих функций: а ) f ( x ) = 3x + 1 в точке х = 5; д ) y ( x ) = ax2 + bx + c в точке х = 3; б ) ( х ) = 4х2 – 1, найдите (2 ); е ) f ( x ) = в точке t = 1; в ) h ( x ) = 5x2 +3x +8 в точке х = – 4; ж ) h ( x ) = в точке х = 3; г ) g ( t ) = в точке t = 9; з ) f ( x ) = в точке х = 2. 3 . Найдите производную функции f ( x ) = 4x2 + 1 и докажите, что 4f'( x ) – f (2) = 15. 4 . Найдите производную функции f ( x ) = 5x2 + 6x и докажите, что f (2) + 2f'(–2) = 4.

Слайд 16

2.7 Примеры дифференцирования по формулам. Пример 1 . Найдите производную функции f ( x ) = x 2 + x – 7 . Вычислите f '(–1), f '(0), f '(3). Решение : f '( x ) = (x 2 + x – 7)' = (x 2 )' + x ' – 7' = 2x + 1 – 0 = –2x + 1 f '(-1) = 2 (-1) +1 = -1 f '(0) = 2 0 +1 = 1 f '(3) = 2 3 + 1 = 7 Пример 2. Найдите производную функции f ( x ) = x 3 ( x - 1). Решение : f '( x ) = (x 3 ( x – 1))' = (x 3 )'( x – 1) + x 3 ( x – 1)' = = 3x 2 ( x – 1) + x 3 (1 – 0) = 3x 3 - 3x 2 + x 3 = 4x 3 – 3x 2 . Пример 3. Найдите производную функции а ) Решение : '( y ) = б) Решение :

Слайд 17

2.8 Производная сложной функции. Производная сложной функции y = f (( x )) находится по формуле y ' = f '(( x )) '( x ) или y'x = y'u u'x , где u = ( x ). Пример 1. Найдите производную функции y = (3x 2 - 1) 5 . Решение: Обозначим 3x 2 - 1 = u , тогда y = u 5 . Воспользуемся формулой y'x = y'u u'x . Найдем: y'u = (u 5 )' = 5u 4 u'x = (3x 2 - 1)' = 6x, тогда y'x = 5 (3x 2 - 1)4 6x = 30x (3x 2 - 1)4. Пример 2. Найдите производную: y = (x 2 +3x + 1) 5 . Решение: y'x = ((x 2 + 3x + 1) 5 )' = 5(x 2 + 3x + 1) 4 (2x + 3). Пример 3. Найдите производную: Решение: Пример 4. Найдите производную функции Решение:

Слайд 18

2.9 Дифференциал функции и дифференциал аргумента. По определению производной и по определению предела получим: ( 32) где — бесконечно малая величина (БМВ) при х 0. Умножая обе части (32) на х , получим: (33) где х при х 0 тоже БМВ. Лейбниц предложил обозначить (34) и назвать это дифференциалом функции. Тогда, если у = х , то т.е . ( 35) Откуда дифференциал аргумента — dx — равен приращению аргумента — х. Учитывая (35) и (33) можно (34) представить в виде : (36)или ( 36’) Пример . Найти дифференциал функции у=2х + sin x . Решение : По формуле (36) получим: Отсюда формулами для нахождения дифференциала будут формулы для нахождения производной, где вместо знака производной перед функцией будет стоять символ d . Например: ( 37) ( 38) и т.д. (39)

Слайд 19

2.10 Геометрический смысл дифференциала функции. Подставляя (36) в (33), получим : ( 37) Так как = БМВ, предел которой равен нулю при х 0, то ( 38) На рис. 27 рассмотрим геометрический смысл выражения (37 ). Из прямоугольного ММ1А с учетом (36) и (37) получим : ( 39) С учетом (37) и (39) можно сказать, что дифференциал функции в конкретной точке отличается от приращения функции в этой точке на бесконечно малую величину, соответствующую отрезку между точками пересечения вертикальной проекцией приращенного аргумента с графиком функции и с продолжением касательной, проведенной к графику в рассматриваемой точке. Пример 1. Определить приближенное значение Решение: Рассмотрим функцию По формуле (38): пусть х=2,25 х= – 0,25 , тогда Значит

Слайд 20

Пример 2. Найти абсолютную погрешность средней скорости спринтера в створе двух фотолучевых установок (ФЛУ), отстоящих друг от друга на расстоянии 5 м, если спринтер пробегает это расстояние за 0,422 с и ошибка в расстоянии за счет вертикальных колебаний тела составляет 20 см, а время определено с ошибкой 0,002с. Решение : По условию примера мы имеем: ( м); ( c ). Скорость ( м/с.). Дифференциал скорости согласно (41) будет: м/с , т.е. и скорость имеют значение м/с .

Слайд 21

Для самостоятельного решения. Найти дифференциалы и вторые производные следующих функций: