Методика преподавания задач на переливание
презентация к уроку на тему

Практически в любом классе, начиная разбор задач подобного рода, учитель подводит учеников к некоторой проблеме. И мы тоже начнем с постановки проблемы, т.е. сформулируем стандартную задачу на переливания:

Используя два ведра вместительностью 5  и  3  литра, наберите из бочки 4 литра воды

Простейший прием решения подобных задач состоит в переборе возможных вариантов.

Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Привести решение подобных задач в некую систему помогает метод решения «от  конца -  к началу». Т.е. исходим из того, что надо получить.

Применительно к данной ситуации решение будет выглядеть так:

Нужно получить 4 литра в пятилитровом ведре

4 = 5-1, 2+2, 3+1. Нам нужно знать, как получить 1 литр и 2 литра.

Рассмотрим первый вариант, т.е. 4=5-1: ведро на 5 литров у нас есть, как получить 1 литр?

1=3-2. Ведро на 3 литра у нас есть.

Как получить 2?

2=5-3

Решение (переливания схема)

5

________________________________________________________________________________

Решив данную задачу, так же можно подробно разобрать вместе со школьниками следующие, подобные данной, задачи:

(см. слайд)

6

________________________________________________________________________________

Так же необходимо отметить, что задачи на переливание решают множеством способов. Необходимо разбирать тот, который более быстро позволяет получить искомый результат.

К таким методам можно отнести выше упомянутый обыкновенный перебор всевозможных комбинаций. Это простейший метод. Его удобно оформлять в виде таблицы:

Рассмотрим предложенную выше задачу №3, решенную методом перебора.

Смотрим тадлицу на слайде

7

______________________________________________________________________________

Есть и другой метод. Он называется БИЛЬЯРДНЫМ. Хотелось бы его рассмотреть.

Суть нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию (параллелограмм с сеткой из равносторонних треугольников), необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом «угол падения равен углу отражения» и попадание им в требуемые точки по условию задачи

Преимущества:

• Наглядность
• Привлекательность идеи игры
• Возможность обобщить метод на широкий класс задач

Актуальность: возникает потребность в составлении алгоритма последовательного получения всех возможных решений, а так же в выборе оптимального решения.

Цель: найти универсальный способ решения задач на переливание

8

_______________________________________________________________________

Рассмотрим метод на конкретном примере (пример тот же, что и вначале):

Предположим у нас есть два сосуда — на 3 и на 5 литров. Нужно получить 4 литра.

Изначально оба сосуда пусты. Это точка (0;0) в нашей таблице.

Первым шагом мы можем либо наполнить большой сосуд, либо наполнить малый сосуд.

Допустим мы сперва наполним малый сосуд, т.е.  три литра.

Переходя к модели бильярдного шара, это будет значить, что мы направим наш шар в точку (0;3). Далее считаем, что наш шар движется без сопротивления, ударяется о стенки и отлетает согласно закону «угол падения равен углу отражения». Мы принудительно остановим его, как только получи по горизонтали число четыре. Это будет значить, что в большем ведре появилось 4 литра жидкости. Параллельно с этим все ходы будем записывать в таблицу.

(мультик)

Мы получили искомый результат за 8 переливаний. Этот пример мы уже разбирали, и знаем, что можно получить результат за меньшее количество шагов, а именно за 6.

Делаем вывод, что вероятно, за 6 шагов результат мы получим, если первым заполним больший, т.е. трехлитровый сосуд. Предоставим этот вариант проверить школьникам.

ЗЫ:

Возникает вопрос, можно ли решить бильярдным методом задачу с тремя сосудами. Для того чтобы понять, как это делать, рассмотрим снова задачу №3.

Количество воды в двух меньших сосудах будет отображаться на сторонах параллелограмма, а вот количество воды в наибольшем сосуде располагается на главной диагонали параллелограмма и равно длине отрезка, отсекаемого стрелкой, обозначающей переливания. Эту задачу можно предложить решить данным методом, как задачу наивысшей сложности. Например можно рассмотреть задачу №3.

9

_______________________________________________________________________

Чтобы самому придумать задачу, надо знать всего два правила:

1. Пусть имеются два пустых сосуда объемом A литров и B литров и требуется набрать ровно C литров воды. Если число C не делится на наибольший общий делитель чисел A и B, то это сделать невозможно.

2. Если C делится на наибольший общий делитель чисел A и B, то в таком случае задача всегда имеет решение. В частности, это всегда возможно, если числа A и B взаимно просты