Задачи (с решением) из телекоммуникационного марафона "Благородна и восхитительна" для учащихся 6 класса, http://matemproekt56.blogspot.ru/
тест (6 класс) по теме

Анализ задач 2 этапа

«Ориентируемся в свойствах арифметических действий»

для 6 класса

1. Смекалка нашла такое самое маленькое число, которое при уменьшении его на единицу разделится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 одновременно. А можете ли вы его найти?

Правильный ответ: 61.

Решение:

1)надо найти наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5;

2)НОК(2, 3, 4, 5) = 60,  прибавив к этому числу 1, найдем искомое число.

2. В Кляксонтиду привезли мячи для маленьких жителей страны. Синих мячей было в 2 раза меньше, чем красных. У Робоклякса в это время произошёл сбой памяти. Он помнит только, что всего мячей было 232 или 223, или 222. Помогите Робокляксу определить, сколько было красных мячей?

Правильный ответ: 148.

Решение:

1. пусть синих мячей привезли х, тогда красных мячей - 2х,
2. значит всего мячей:    х +2х = 3х;
3. остается выбрать из чисел 232 , 223, или 222 число кратное 3;
4. используя признак делимости на 3, находим число, сумма цифр которого делится без остатка на 3. Это число 222.
5. Решим уравнение: 3х = 222, значит синих мячей 74, а красных мячей в 2 раза больше:    74 ∙ 2 = 148.

3. Во время новогодних каникул Смекалка изучала пятизначные числа и нашла такое, у которого все двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами, являются простыми и различными. Клякса никак не может найти это число, помогите ей!

Правильный ответ:  23179, 53179, 61379 и др.

Решение: используя таблицу простых чисел очень легко подобрать такие простые числа и составить искомое пятизначное число.

4. Ну, очень захотелось Смекалке найти массу кусочка мыла «Снежинка». А в наборе гирь для чашечных весов осталась только одна, 50 граммовая. Тогда находчивая Смекалка на одну чашку весов положила один кусок мыла, а на другую – три четверти такого же второго куска и еще эту гирьку массой 50 грамм. Весы, на удивление, оказались в равновесии. Какова же масса куска мыла?

Правильный ответ: 200 г.

Решение: три четверти куска мыла и еще 50 грамм - это 1 целый кусок мыла, тогда одна четверть – 5о грамм. Значит масса целого куска  4 раза по 50 г.

4 ∙ 50 = 200 (г).

5. В журнале «Математика в школе» Смекалка прочитала следующую задачу «В кувшине в пять раз больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 8 стаканов меньше, чем в кувшине. Сколько стаканов воды в кувшине и чайнике вместе?» Помогите Смекалке найти ответ.

Правильный ответ: 12.

Решение:

1. Пусть в чайнике х стаканов воды, тогда в кувшине 5х;
2. Т.к. в чайнике на 8 стаканов меньше, чем в кувшине, то составим уравнение: 5х – х = 8;
3. Решая уравнение, получим, что в чайнике 2 стакана, а в кувшине в 5 раз больше, т.е. 10 стаканов;
4. Тогда в кувшине и чайнике вместе будет:    2 +10 = 12 (стаканов).

6. В этом же журнале нашу компанию озадачил вопрос: «Что получится, если к сумме двух чисел прибавить их разность»? Смекалка предположила, что получится половина их суммы. Клякса думает, что результатом будет их удвоенная разность. Ластик выдвинул гипотезу, что получится одно из этих чисел, деленное на 2. Робоклякс посвистел процессором и произнёс: «Получится одно из этих чисел, умноженное на 2». Кто прав? В ответ запишите имя.

Правильный ответ: Робоклякс.

Решение: получится одно из этих чисел, умноженное на 2. Легко проверить, взяв какие-нибудь два числа.

7. Однажды, на перемене, Смекалка составила из чисел: 5, 8, 11 числовое выражение, а Клякса быстро нашла его значение. Получилось 47. Ластик рассердился, что его не позвали, взял и стёр арифметические действия между числами. Какое числовое выражение составила Смекалка? Знаете? Запишите это выражение.

Правильный ответ: 5 ∙ 11 – 8 = 47  или  58 – 11 = 47.

8. Ластик, не меньше Смекалки, любил экспериментировать с натуральными числами. Например, он нашёл два интересных числа.  У первого цифра единиц на 9 меньше цифры десятков, а у второго цифра десятков больше цифры единиц в 5 раз. Найдите разность этих чисел.

Правильный ответ: 39.

Решение: 1) если цифра единиц первого числа равна 1, 2, 3, …, 9 , то получим, что цифра десятков будет 10 и больше, что противоречит условию задачи;

2) делаем вывод, что цифра единиц первого числа может быть только 0 , тогда цифра десятков этого числа будет равна 9;

3) первое искомое число 90;

4) если цифра единиц второго числа 0, то цифра десятков тоже 0 ,(5 ∙ 0 = 0), получим число 00. Значит, цифра единиц нулем быть не может;

5)если цифра единиц второго числа равна 1, то цифра десятков равна 5. Число 51 удовлетворяет условию задачи;

6) если цифра единиц второго числа будет равна  2, 3, …, 9 , то получим, что цифра десятков будет 10 или  больше, что противоречит условию задачи. Значит, цифра единиц не может быть больше 1;

7) найдем теперь разность этих чисел: 90 – 51 = 39. 

9. Дальше Ластик решил писать трёхзначные числа, состоящие только из цифр 7, 8 и 6. Писал он каждую цифру только по одному разу.

Вначале написал самое большое из возможных чисел, а потом самое маленькое. Чему равна сумма этих чисел?

Правильный ответ: 1554.

Решение: наибольшее число – 876, наименьшее число - 678.

Найдем их сумму:  876 + 678 = 1554.

10. На последнем уроке математики в 2013 году Клякса записала на доске двузначное число. Потом, переставив в нем цифры местами, получила еще одно число. Затем она нашла разность этих чисел. В ответе получился нуль. Ластику стало интересно, а какое наименьшее число, обладает  таким же свойством. Найдите это число.

Правильный ответ: 11.

Решение: так как разность равна нулю, то уменьшаемое равно вычитаемому, значит, двузначное число состоит из одинаковых цифр. Число 11 будет наименьшим двузначным числом, удовлетворяющим  условию задачи.

11. Потом Ластик написал на доске четырехзначное число 7*4*  и предложил друзьям вместо звездочек вставить такие цифры, чтобы это число было кратно 2, 3, 5, 6, 9, 10 одновременно. Смекалка довольно быстро нашла такое число, попробуйте, и вы его найти.

Правильный ответ: 7740.

Решение:

Используя признаки делимости чисел на 2, на 5, на 10, легко найти последнюю цифру, она будет равна 0. Тогда вторая цифра будет равна 7, т.к. сумма цифр числа должна быть кратна  и 3, и 9.

12. На этом же уроке Василиса Премудрая задала самым крутым математикам из класса, в том числе и Ластику, следующую задачу. Две кружки воды – это половина кувшина, а 3 чашки – это половина кружки. Тогда полкувшина – это сколько чашек?  Ластик решил дома эту задачу. Но не очень уверен, что правильно. Помогите ему.

Правильный ответ: 12.

Решение:

Если 3 чашки воды  – это половина кружки,  

то 6 чашек – это 1 кружка.

Тогда 12 чашек – это 2 кружки.

А 2 кружки – это половина кувшина,

значит 12 чашек половина кувшина.

13. Во время школьного Новогоднего бала Ластик, прощаясь со старым годом, подумал, а на какую цифру оканчивается произведение 2013 множителей, каждый из которых равен 2013? А вы можете ответить на этот вопрос?

Правильный ответ: 3.

Решение:  Если один множитель, то последняя цифра 3.

Два множителя - 9.

Три множителя - 7.

Четыре множителя - 1.

Пять множителей - опять цифра 3.

Повторяются цифры: 3, 9, 7 и 1.

Разделим 2013 на 4, получим в частном 503(503 раза по 3,9,7,1) и остаток 1.

Значит, если  множителей 2013, то последняя цифра - 3.

14. На Рождество Клякса купила большую коробку конфет. Робоклякс сразу же её взвесил. Полная коробка с конфетами весила 15 кг. За праздничным  обедом была съедена половина конфет. Робоклякс установил, что коробка, наполненная наполовину, весит 8 кг. Какова масса пустой коробки?

Правильный ответ: 1 кг.

Решение:

15 – 8 = 7 (кг) – это половина конфет, значит вторая половина тоже 7 кг,

15 – 2 ∙ 7 = 1 (кг)  - масса пустой коробки.

15. По вечерам Клякса любит читать сказки. В последней книге, которую она взяла в библиотеке, 60 страниц. Клякса прочитала в первый новогодний вечер половину, а во второй – треть оставшихся страниц. Сколько страниц ей осталось прочитать?

Правильный ответ: 20.

Решение:

Половину от 60 страниц, а  это 30 страниц, Клякса прочитала в первый вечер. Осталось ей прочитать еще 30 страниц. Во второй вечер она прочитала треть оставшихся страниц, т.е. 30 : 3 = 10 (страниц).  Тогда за два вечера Клякса прочитала 30 + 10 = 40(страниц). Значит, ей осталось прочитать:   60 – 40 = 20(страниц).

16. Подсчитывая оставшиеся после новогодних праздников  деньги, друзья заметили, что у Робоклякса и Смекалки вместе 24 рубля, у Смекалки и Ластика – 32 рубля, у Ластика и Кляксы – 20 рублей. Сколько рублей у Робоклякса и Кляксы вместе?

Правильный ответ: 12.

Решение:

Обозначим количество денег  Робоклякса  буквой  «Р»,  количество денег Смекалки  буквой  «С», количество денег Ластика буквой  «Л», количество денег Кляксы буквой  «К».

Р + С = 24,   С + Л = 32,  Л + К = 20,  если сложить первое и третье равенство, то получим:  Р + С + Л + К = 24 + 20, а т.к. сумма, С + Л = 32, то получим: Р + К + 32 = 24 + 20, тогда Р + К = 44 – 32,    Р + К = 12.

17. Для покупки восьми батареек у Робоклякса не хватает 20 рублей. Если он купит пять батареек, то у него останется 100 рублей. Сколько денег было у Робоклякса?

Правильный ответ: 300.

Решение:

Пусть цена одной батарейки  х рублей, тогда,  купив 8 батареек (8х), Робоклякс потратит все свои деньги и ему еще не хватит 20 рублей, значит, денег у него было: 8х – 20.  Если Робоклякс купит 5 батареек, то потратит своих денег 5х рублей и еще у него останется 100 рублей, значит, денег у него было 5х +100. Составим уравнение:  8х – 20 = 5х +100, решив уравнение, получим, что одна батарейка стоит 40 рублей. Значит,  у Робоклякса было 5 ∙ 40 + 100 = 300 (рублей).

18. Помогите Робокляксу придумать число, которое больше своего обратного в 25 раз. Об этом его попросила Клякса, желая похвастать знаниями перед Смекалкой.

Правильный ответ: 5.

Решение:

Частное числа и числа ему обратного равно 25.

  а : (1/a) = а ∙ а = 25,  получили произведение двух одинаковых чисел, которое  равно 25, значит искомое число а равно  5.

19. Как вы знаете, Робоклякс в свободное время любит размышлять о числах. На четвёртый день Нового года у него возникла новая задача. А сколько среди первой тысячи натуральных чисел существует таких, сумма цифр которых равна четырём? Помогите решить эту задачу Робокляксу.

Правильный ответ: 15.

Решение:

Однозначное число: 4

Двухзначные числа: 13, 31, 22, 40.

Трёхзначные числа: 103, 130, 301, 310, 202, 220, 400, 112, 121, 211.

1 + 4 + 10 = 15 чисел

20. Во время поездки в резиденцию Деда Мороза Клякса заметила, что поезд проходит мост длиной 450 метров за 45 секунд, а мимо светофора за 15 секунд. Найдите длину поезда  в метрах.

Правильный ответ: 225 .

За 15 секунд поезд проходит мимо светофора  всю свою длину.

Мост длиной в 450 метров и свою длину поезд проходит за 45 секунд.

Тогда 450 метров -  за 30 секунд, а это значит, что за 15 секунд - 225 метров.

Длина поезда - 225 метров.

Анализ задач 3 этапа

«В гостях у Комбинаторика»

для 6 класса

Задача 1:

Смекалка, собираясь в гости к Комбинаторику, никак не могла решить, что ей надеть. Пока она собиралась, мы придумали комбинаторную задачу.

 «У Смекалки есть любимый костюм, в котором она ходит на совет марафона. К нему она одевает белую, сиреневую, розовую  или красную блузку, а в качестве «сменки» берет туфли или балетки. Кроме того, Клякса подарила ей три разных бантика, подходящих ко всем блузкам. Подсчитайте, сколькими возможными вариантами может одеться Смекалка?

Решение:

Блузок - четыре, обуви - две пары и три разных бантика, тогда согласно правилу произведения, можно составить:

  4 ∙ 2 ∙ 3 = 24  - возможных вариантов.

Задача 2:

В магазине «Электротехника» есть 5 разных батареек и 3 разных фонарика. Сколькими способами можно купить батарейку с фонариком?

Решение:

Выберем фонарик. В комплект к нему можно выбрать любою из пяти батареек. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную батарейку. Поскольку батареек всего 5, то число различных комплектов равно 15.

5 • 3 = 15.

Задача 3:

В магазине «Электротехника» есть еще 6 разных лампочек к фонарикам. Сколькими способами можно купить комплект из батарейки, фонарика и лампочки?

Решение:

Выберем любой из 15 комплектов предыдущей задачи. Его можно дополнить лампочками шестью различными способами. Поэтому общее число возможных комплектов равно 90

 90 = 15 • 6 = 5 • 3 • 6.

Задача 4:

В магазине «Электротехника» по-прежнему продается 5 батареек, 3 фонарика и 6 лампочек. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Решение:

Возможны три разных случая: первый – покупаются батарейка с фонариком, второй – батарейка с лампочкой, третий – фонарик и лампочка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом – 15, во втором – 30, в третьем – 18). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 63.

Задача 5:

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 5 дорог, а из города Б в город В – 12 дорог. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Решение: 5 • 12 = 60.

Задача 6:

Робоклякс, после встречи с Комбинаториком, некоторые натуральные числа стал называть «очаровательными», если в их записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «очаровательных» чисел?

Решение:

Однозначных «очаровательных» чисел ровно 5. К каждому однозначному «очаровательному» числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «очаровательных» чисел всего 5 • 5 = 25. Аналогично, трехзначных «очаровательных» чисел 5 • 5 • 5 = 125, и четырехзначных – 5 • 5 • 5 • 5 = 625.

Задача 7:

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Решение: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.

Задача 8:

Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Решение:

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16.

Задача 9:

В нашей команде четверо: Смекалка, Клякса, Ластик и Робоклякс. Мы решили выбрать командира и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Командиром  может стать любой из 4. После выбора командира на роль его заместителя могут претендовать 3 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 4 • 3 = 12 разных вариантов выборов.

Задача 10:

Сколькими способами можно раскрасить Ластика как трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеются краски шести различных цветов?

Решение:

Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно раскрасить 6 • 5 • 4 = 120 способами.

Задача 11:

Ластик случайно стёр в своей записной книжке телефонный номер Кляксы. А позвонить надо срочно. Сколько раз может ошибиться Ластик, если телефонный номер Кляксы - это трехзначное число, в записи которого цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

Решение:

На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе – любую из двух оставшихся, а на третье – последнюю оставшуюся цифру. Таким образом, всего получается 3 • 2 • 1 = 6 чисел.

Значит, Ластик может ошибиться 5 раз, а на шестой раз он обязательно дозвонится Кляксе.

Задача 12:

Объем памяти Робоклякса более 100 Мегабайт и записывается трехзначным числом, в записи которого цифры 0,6,9 могут повторяться. Сколько существует различных вариантов записи объема памяти Робоклякса?

Решение:

Т.к. объем памяти Робоклякса больше 100 Мегабайт, то запись числа с цифры 0 начинаться не может. Тогда по правилу произведения: 2 • 3 • 3 = 18.

Задача 13:

Сколько существует трехзначных чисел, кратных пяти, в записи которых все цифры различны?

Решение:

С цифрой 0 на конце может быть:  

9 • 8 = 72 (числа)

С цифрой 5 на конце может быть

8 • 8 = 64 (числа)

Тогда всего трехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, будет 136.

Задача 14:

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, голубой, белый, синий и зеленый шарики?

Решение:

На первое место можно положить любой из пяти шариков, на второе – любой из четырех оставшихся, на третье – любой из трех оставшихся, на четвертое – любой из двух оставшихся, а на пятое - последний оставшийся шарик.

Итак, ответ: 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.

Задача 15: Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слова:

 «МАТЕМАТИКА»

Решение:

В слове «МАТЕМАТИКА»  10 букв, значит,  может получится 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 =  3628800 различных слов, но три раза повторяется буква «А», два раза буква «М», и два раза буква  «Т», тогда  3628800:((3 • 2 • 1) • (2 • 1)  • ( 2 • 1)) = 151200 слов.

Задача 16:

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Решение:

Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

Задача 17:

Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение:

Вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых 6-значных чисел, определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужным свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только нечетные цифры, то их количество, учитывая решение задачи № 6, равно 56 = 15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000 – 15625 = 884375.

Задача 18:

В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Решение:

Ответ: 5 • 4 = 20.

Задача 19:

На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Ответ: 7 • 5 • 2 = 70.

Задача 20:

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Решение:

Ответ: 5 + 5 • 4 + 5 • 4 • 3 + 5 • 4 • 3 • 2 + 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 325

Анализ задач 4 этапа

 «Бежим с Олимпийским огнем»

для 6 класса

Задача №1

5, 11, 23, 47, …

Найдите высоту факела Олимпиады Сочи-2014, узнав какое число будет следующим в этом ряду чисел.

Правильный ответ: 95

Решение:

Найдем закономерность в данном числовом ряду: для этого найдем разность  между вторым и первым числом, затем разность между третьим и вторым и т. д.

Получим: первая разность равна  6;

Вторая разность равна  12;

Третья разность равна  24, тогда следующая разность вновь будет в два раза больше предыдущей, т. е. равна 48. Значит,  следующее число после  47 будет на 48 его больше.

47 + 48 = 95.

Задача №2

За 10 лет своего существования сборная России по хоккею на чемпионатах мира, на европейских хоккейных турнирах и олимпийских играх завоевала 24 медали разного достоинства. Из них серебряных медалей на одну меньше, чем золотых и на одну больше, чем бронзовых. Сколько медалей у нашей сборной каждого достоинства? В ответе запишите через запятую сначала, сколько золотых медалей, затем, сколько серебряных, а в конце, сколько бронзовых медалей.

Правильный ответ: 9,8,7

Решение:

Можно решить с помощью уравнения:

Пусть серебряных медалей – х,  тогда золотых – (х + 1),  а бронзовых – (х – 1). Всего медалей 24.

Составим и решим уравнение:  х + 1 + х + х – 1  = 24,  х = 8.

Получили, что серебряных медалей  - 8, золотых – 9, бронзовых  -  7.

Задача №3

Российский биатлонист из своей винтовки сделал  40 выстрелов, при этом  4 пули не попали в мишень. Определите процент попаданий.

Правильный ответ: 90

Решение:

Найдем, сколько пуль попало в мишень:  40 – 4 = 36. Далее составим отношение и определим процент попаданий:

36 : 40 ∙ 100% = 90%

 Задача №4

В период Олимпийских игр на стадионе PSX олимпийского объекта Экстрим парк «Роза Хутор» в Сочи  пройдут соревнования по сноуборду. Протяженность трассы для  параллельного  гигантского слалома – 689 м. Определите, с каким преимуществом выиграет первый сноубордист, если скорость первого сноубордиста 90 км/ч, а скорость второго составляет 0,8 скорости первого. Ответ запишите десятичной дробью.

Правильный ответ: 6,89.

Решение:

Найдем скорость второго сноубордиста, которая составляет 0,8 скорости первого: 90 ∙ 0,8 = 72 (км/ч). Переведем скорость каждого:  90 км/ч = 25 м/с, 72 км/ч = 20 м/с

Вычислим время прохождения трассы каждым сноубордистом:

689 : 25 = 27,56

689 : 20 = 34,45

34,45 – 27,56 = 6,89 (с).

Задача №5

В состязаниях по бобслею каждая команда совершает по 4 спуска, победительницей становится та, чьё суммарное время по всем четырем спускам минимально. Российский экипаж первый заезд осуществил за 1 мин, второй заезд – за 1 мин,  третий – за 1 мин, четвертый заезд – за 1,25 мин. Определите результат нашего экипажа. Ответ запишите десятичной дробью.

Правильный ответ: 5,375 .

Решение:

1 + 1 + 1 + 1 = 5 = 5,375.

Задача №6

На  соревнованиях по скелетону скелетон (сани) должны быть индивидуально подогнаны под физические данные каждого спортсмена. У мужчин максимальный вес скелетона и спортсмена, включая экипировку  – 115 кг. Вес скелетона составляет  37% общего веса. Какой максимальный вес может быть у спортсмена? Округлите ответ до целых.

Правильный ответ: 72.

Решение:

Можно решить с помощью пропорции:

115 кг – это 100%,

х  кг  -  это  63%

Получим массу спортсмена  - 72,45 кг, округлив её до целых – 72 кг.

Задача №7

Максимальный вес спортсмена и скелетона вместе, установлен и для женщин – 92 кг. Максимальный вес скелетона - 35 кг для женщин. На сколько процентов максимальный вес скелетониста-мужчины  больше максимального веса скелетониста-женщины? Округлите ответ до целых.

Правильный ответ: 21.

Решение:

Сначала найдем максимальный вес скелетониста-женщины: 92 – 35 = 57 (кг).

Далее найдем разницу: 72 – 57 = 15 (кг), и выясним, на сколько процентов максимальный вес скелетониста-мужчины  больше максимального веса скелетониста-женщины: 15 : 72 ∙ 100% = 20,83 % ≈ 21 %

Задача №8

Площадка для кёрлинга представляет  собой прямоугольное поле длиной  146 футов и шириной, составляющей  длины. Какую площадь (в метрах квадратных) занимает площадка для кёрлинга?

Округлите ответ до целых.

Правильный ответ:

Решение:

Переведем футы в метры: 1 фут = 0,3048 м, тогда  длина 146 футов ≈ 44, 5 м, ширина 14 футов ≈ 4,27 м.  Вычислим площадь поля по формуле площади прямоугольника:

S = a∙ b,  44,5 ∙ 4,27 = 190,015 ≈ 190 (кв..м.)

Задача №9

Российский спортсмен дистанцию 5000 м пробежал за 7,5 минут. Какой результат покажет этот спортсмен на дистанции 1500 м, если будет бежать с той же скоростью.

Ответ запишите десятичной дробью.

Правильный ответ: 2,25.

Решение:

Можно решить с помощью пропорции:

5000 м  – за 7,5 минут

1500 м  -  за  х минут

Задача №10

Из 68 спортсменов-участников соревнований по шорт-треку 32 приняли участие в забеге на 500 метров, 20 спортсменов – в забеге на 1000 метров,12 спортсменов – в забеге и на 500, и на 1000 метров. Половина из оставшихся спортсменов приняла участие в забеге на 1500 метров. Сколько спортсменов участвовало в забеге на 1500 метров.

Правильный ответ: 14.

Решение:

Т.к, 32 спортсмена приняли участие в забеге на 500 метров, 20 спортсменов – в забеге на 1000 метров,12 спортсменов – в забеге и на 500, и на 1000 метров, то из 32 спортсменов в забеге только на 500 метров  - 20, еще 12 -  в забеге и на 500, и на 1000 метров, тогда в забеге только на 1000 метров 20 -12 = 8 спортсменов, значит, всего участвовало в забегах на 500 и 1000 метров 20 +12 +8 = 40, а т.к. половина оставшихся участвовала  в забеге на 1500 метров, то  получаем:  (68 – 40) : 2 = 14.

Задача №11

Во сколько раз площадь мишени для стрельбы из положения лежа меньше мишени для ведения огня стоя, если в настоящее время размер (диаметр) мишеней биатлона  составляет 45 мм для стрельбы из положения лежа и 117 мм для ведения огня стоя. Ответ запишите десятичной дробью.

Правильный ответ: 6,76

Решение:

Вычислим площадь каждой мишени и разделим площадь большей на площадь меньшей мишени, получим 6,76.

Задача №12

Длина санно-бобслейной трассы в Сочи составляет 1814 метров. Российская саночница за первую треть своего времени проезжает 45%, за вторую треть – 30% трассы. Сколько километров проезжает спортсменка за последнюю треть времени? Ответ запишите десятичной дробью.

Правильный ответ: 0,4535 км.

Решение:

100% - 45% - 30% = 25%,

1814 ∙ 0,25 = 453,5 м = 0,4535 км.

Задача №13

Трасса для скоростного спуска проходит по естественному рельефу склона и содержит в себе серии поворотов через направляющие ворота. Количество ворот для мужчин — 62, что составляет  8 % от перепада высот в метрах. Найдите перепад высот на данной трассе.

Правильный ответ: 775.

Решение:

Можно решить с помощью пропорции:

62   – это  8%

х м  -  это 100%

 Задача №14

Российский лыжник стал догонять французского лыжника, когда между ними было 6 км и, догнал его через 40 минут. Найдите скорость российского лыжника, если она в 1,9 раза больше скорости француза.

Правильный ответ: 19.

Решение:

Можно решить с помощью уравнения, обозначив скорость французского лыжника х км/ч,  а российского 1,9х км/ч. Составим уравнение и решим его:

 1,9х ∙ 2/3 = 6 + x ∙ 2/3.

х = 10, а т. к. скорость российского лыжника больше в 1,9 раза, то получим 19 км/ч скорость российского лыжника.

Задача №15

Найдите длину прыжка Российского прыгуна с трамплина, если  скорость спортсмена в безветренную погоду составляет 90 км/ч, скорость попутного ветра 3,5 м/с. Время полета спортсмена -  40 с.

Правильный ответ: 1140.

Решение:

90 км/ч = 25 м/с,  25 + 3,5 = 28,5 км/ч,

28,5 ∙40 = 1140 (м).

Задача №16

Максимальная длина лыж  для лыжного двоеборья может достигать 120% от роста спортсмена. Крепления должны быть установлены параллельно направлению движения и размещены таким образом, чтобы 57% от длины лыжи были ее передней частью. На каком расстоянии находятся крепления лыж, если лыжник имеет рост 1, 9 м. Ответ запишите десятичной дробью.

Правильный ответ: 1,2996

Решение:

1,9 ∙ 1,2 = 2,28 м,

2,28 ∙ 0,57 = 1,2996 м = 129,96 см

Задача №17                                              

Нападающие Стас и Никита во время тренировочного хоккейного матча забили: Стас  -  одну треть и Никита  -  одну четверть всех шайб забитых их командой. Сколько шайб в ворота противника забросила их команда за матч, если Стас забросил на 1 шайбу больше, чем Никита.

Правильный ответ: 12

Решение:

1/3   - ¼ = 1 /12,  

1/12  -это 1шайба, значит, шайб в ворота противника  их команда за матч забросила в 12 раз больше, т.е. 12 шайб.

Задача №18

В Олимпийской сборной  России женщины составляют 45% всех спортсменов. Известно, что из них 30% женщин и 40% мужчин уже участвовали в Олимпийских играх. Сколько процентов всех спортсменов уже были участниками Олимпийских игр?

Правильный ответ: 35,5

Решение:

Женщины составляют 45% всех спортсменов, тогда мужчины составляют 55% всех спортсменов. Тогда  0,3 ⋅ 0,45 + 0,4 ⋅ 0,55 = 0,355 = 35,5%.

Задача №19

Разгадайте скоростной ребус:

СКОР : ОСТ = Ь.

Одинаковые буквы - это одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры.

Какой цифре соответствует буква "С"?

Правильный ответ:

Решение:

Буква «С» может быть одной из цифр 1, 2, 3, или 6,

например,

СКОР : ОСТ = Ь,     6083 : 869 = 7.

С = 6

Задача №20

В неравенствах  О>Л>И<М<П>И<А<Д>А  каждая буква - одна из цифр от 1 до 7.

Разные буквы - разные цифры, одинаковые буквы - одинаковые цифры.

Какая цифра соответствует букве "И"?

Правильный ответ: 1

Решение:

Значение буквы «И»  меньше, чем О, Л, М, П, А, Д.

Из 7 значений, наименьшее - 1.  

«И»  = 1.