Работы учеников
Пример ученической презентации по теме "Треугольники"
Теорема Пифагора (презентация ученика)
Подобные треугольники (презентация)
Приемы быстрого счёта (презентация)
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Проект старинные меры длины | 764.43 КБ |
| Приемы быстрого счета | 1.18 МБ |
| Окружность | 2.29 МБ |
| Справочник по геометрии | 292.84 КБ |
| Правильные многоугольники | 874.18 КБ |
| Вписанные и описанные многоугольники | 638.12 КБ |
| Формула разности квадратов | 188.33 КБ |
| Арифметическая прогрессия | 501.78 КБ |
| Арифметическая прогрессия №2 | 983.42 КБ |
| Арифметическая и геометрическая прогрессии | 605.01 КБ |
| Синус, косинус, тангенс угла | 466 КБ |
| Параллелепипед | 1.27 МБ |
| Теория вероятностей | 862.4 КБ |
| Треугольники | 346.17 КБ |
| Линейное уравнение с одной переменной | 149.88 КБ |
| Параллелограмм и его свойства | 302.09 КБ |
| Вписанные и описанные окружности | 540.95 КБ |
| Дробные числа | 1.11 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель проекта : 1.повысить математическую культуру 2.расширить знания по математике 3.познакомить со старинными мерами длины ;
Задачи : изучить старинные меры длинны; сравнить старинные русские меры длины с современными
Мера – способ определения количества по принятой единице
Метр – основная единица метрической системы. Единая единица длины принятая для всех стран
Мы все привыкли, что если надо что-то измерить, то можно достать линейку из пенала. Метры, сантиметры, миллиметры всем нам хорошо знакомы, а как было раньше ?
Тело человека всегда при нем и его различные части можно использовать для измерения
Вершок-это длинна двух верхних фаланг указательного пальца
Пядь- э то расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами. Размер пяди от 19 до 23 см
Ладонь- мера длины равная ширине ладони(около 10,16см)
Локоть –это от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца(от 38 до 47 см
Аршин- равен длине руки от основания плеча до кончика вытянутого среднего пальца (около 72см)
Маховая сажень- старорусская единица измерения равная расстоянию в размах обеих рук (около 1,76м )
Шаг – это длина одного шага человека (71см)
Вершок-4,4 см пядь -21см ладонь- 1016см локоть- 43см аршин 72см маховая сажень-176см косая сажень-215см верста-1066,8км
А еще есть другие измерения длины. Дюйм, фут, ярд и другие, но об этом в другой раз.
Старинные меры длины в пословицах 1. Семь пядей во лбу. 2.От слова до дела целая верста. 3.Косая сажень в плечах. 4.От горшка два вершка,а уже указчик. 5.Один как перст. 6.Каждый купец на свой аршин меряет.
7 .Полено к полену – сажень. 8.Семимильные шаги. 9.На аршин борода, да ума на пядь. 10.Ни уступить ни пяди. 11.Сто верст молодцу не крюк. 12.Любовь не вёрстами мерится. 13.Пять вёрст до небес и все лесом.
разминка 1) А.С. Пушкин говорит,что у царя Салтана родился сын в «аршин». Найдите рост князя Гвидона в сантиметрах ? 2) Существовал ли когда нибудь человек «семи пядей во лбу» ? 3) Дворец стоял на участке длинной 20 саженей и шириной 10 саженей (маховых). Какова площадь царской земли ?
4) Братья сеяли пшеницу, да возили в град-столицу. Знать, столица та была вёрст 15 от села. На каком расстоянии была столица от села ? 5) Лягушка путешественница пролетела 3 тысячи вёрст. Какое расстояние пролетела лягушка ? 6 )Какой рост в миллиметрах у Дюймовочки ?
1) Н.Я.Виленкин учебник 5 класс 2)Г.И. Глейзер история математики в школе 5-6 класс 3)интернет- ресурсы Список литературы
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Научиться считать! Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать. « Счет и вычисления – основы порядка в голове» Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827)
Актуальность проекта Актуальность нашего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и многие из них просто не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету, снижает интерес к изучению математики. Допустить этого нельзя! Ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное. Поэтому мы хотим помочь учащимся нашей школы научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием .
Цель проекта: изучить методы и приемы быстрого счета и показать необходимость их эффективного использования .
Задачи проекта: изучить историю возникновения вычислений рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас, освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими учащихся нашей школы. создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта . оформить альбом «Приемы быстрого счета»
Гипотеза исследования. Если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи . Объект исследования: различные алгоритмы счета Предмет исследования: процесс вычислений. Субъект исследования : учащиеся 7 класса.
План работы над проектом Мероприятия Время проведения Составление плана работы над проектом 1.09. – 5.09. 2020 года Изучить историю возникновения вычислений 10.09. – 30.09. 2020 года Познакомить с правилами вычислений в разные времена, в разных странах 1.10. – 16.10.2020 года Изучить приемы быстрого счета 19.10. – 30.10.2020 года Провести первичную диагностику вычислительных навыков учащихся . 29.10.2020 года
План работы над проектом Мероприятия Время проведения Создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта. 2.11. – 13.11. 2020 года Знакомство учащихся с приемами быстрого сложения и вычитания 16.11 – 5.12.2020 года Знакомство учащихся с приемами быстрого умножения и деления 7.12. – 26.12.2020 года Провести фестиваль «Приемы быстрого счета» для учащихся 5-8 классов 23.12.2020 года Провести повторную проверку вычислительных навыков учащихся. 27.12.2020 года
План работы над проектом Подведение итогов работы над проектом 12.01.2020 ГОДА Работа над презентацией 15.01. – 30.01.2020 года Оформление альбома «Приемы быстрого счета» 1.02. – 15.02.2020 года
История возникновения чисел У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись. Сначала считали на пальцах . Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги .
Древние шумеры. Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять. Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки .
Древний народ майя. Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы , как у пришельцев, и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно .
История возникновения чисел Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке
Древние индийцы. Было очень неудобно хранить глиняные таблички, веревки с узелками и рулоны папируса. И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели
История возникновения чисел От пальцевого счета пошли пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног). В древние времена не существовало единой для всех стран системы счета. Некоторые системы исчисления брали за основу 12, другие – 60, третьи – 20, 2, 5, 8.
История возникновения чисел Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета . Предки русского народа – славяне - для обозначения чисел употребляли буквы . Этот способ обозначения цифр называется цифирью .
Русский крестьянский способ умножения Пример: умножим 47 на 35, запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту; левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем); деление заканчивается, когда слева появится единица; вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; далее оставшиеся справа числа складываем – это результат; Старинные способы быстрого счета 35 + 70 + 140 + + 280 + 1120 = 1645 .
Метод «решетки» ( Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми) Метод решетки: Найдем произведение чисел 25 и 63. Горизонтально запишем числа 25, вертикально 63. Чертим решетку, проводим диагонали. На пересечениях находим произведения чисел. Складываем числа по диагоналям. Получили результат: 1575
Как умножают в Японии? Так умножают в младших классах Японии. Найдем произведение чисел 32 и 21 Чертим 3 полоски, через промежуток 2. Под углом чертим 2 и 1 полоски. Считаем количество точек пересечения: Крайние правые - единицы - 2 По диагонали – десятки - 7 Крайние левые – сотни - 6 Получили результат 672.
Система Трахтенберга Яков Трахтенберг еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок . Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие.
Умножение на двенадцать (по Трахтенбергу ). Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа». Пример: 63247 · 12 Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась . 63247 · 12 1 дважды 7 будет = 14 , переносим 4 63247 · 12 дважды 4+7+1=16 , переносим 1 64 63247 · 12 дважды 2+4+1 = 9 964 Следующие шаги аналогичны. Окончательный ответ: 63247 · 12 = 758964
Египетский способ умножения Заменить умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой. Пример: 34 ∙ 5 = 34∙ (1 + 4) = = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4. Т. к. 5 = 4 + 1 , то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.
Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком» Пример: 24 ∙ 32 = 768 Последовательно производим следующие действия: 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата. 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16. 6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем. 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе. Ответ: 768.
Счёт на пальцах Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.
Сложение с использованием свойств действий с числами Сложение с использованием свойств действий с числами Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа: 12+63+28=(12+28)+63=40+63=103. Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом: 549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643. Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением: 504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001 .
Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится . Пример: 529 – 435 = (529 - 5) - ( 435+5 ) = 524 – 440 = 84 Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Пример: 785 + 963 = 785 + (963+7) – 7 = 785 + 970 – 7= = 1748
Применение свойств вычитания Если из числа вычесть сумму чисел , можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое: 934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177 Если из суммы чисел вычесть число , можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое: (567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348
Способ быстрого вычитания Поразрядное вычитание: Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем. Пример1: 574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331. Если меньше, то занимаем у высшего разряда: Пример 2: 647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.
Чтобы найти произведение чисел от 10 до 20 необходимо: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Пример 1. 16∙18 = ( 16+8 ) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288 , Пример 2. 17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 9 = =323. Умножение чисел от 10 до 20
Умножение на 11 Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11 , надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Примеры: 72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792; 35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385. Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10 , надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Пример : 94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
Умножение на 22, 33, ..., 99 Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо: этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 · 11 ; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. Пример 1: 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528 Пример 2 . 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759
Умножение на 5, на 50, на 25, на 125 При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями: a ∙ 5 = a ∙ 10 : 2 a ∙ 50 = a ∙ 100 : 2 a ∙ 25 = a ∙ 100 : 4 а ∙ 125 = а ∙ 1000:8 1. 17 ∙ 5 = 17 ∙ 10:2 = 170:2 = 85 2 . 43 ∙ 50 = 43 ∙ 100:2 = 4300:2 = 2150 3 . 27 ∙ 25 = 27 ∙ 100:4 = 2700:4 = 675 4 . 96 ∙ 125 = 96:8 ∙ 1000 = 12 ∙ 1000 = 12000
Умножение на 5; 50; 0,5;0,25 Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2: 138 · 5 = (138 · 10) : 2 = 1380 : 2 = 690. Чтобы умножить число на 50 , нужно умножить его на 100 разделить на 2: 87 · 50 = (87 · 100) : 2 = 4350. Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить его на 2: 360 · 0,5 = 360:2=180. Чтобы умножить число на 0,25 , нужно разделить его на 4: 280 · 0,25 = 280 : 4 = 70
Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125 Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8: 32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000. Чтобы умножить число на 12,5 , нужно умножить его на 100 и разделить на 8: 24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300. Чтобы умножить число на 1,25 , нужно умножить его на 10 и разделить на 8: 64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80. Чтобы умножить число на 0,125 , нужно разделить его на 8. 16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1.
Умножение на 1,5; 2,5; 3,5 … Чтобы умножить число на 1,5 , надо к данному числу прибавить его половину: 16·1,5 = 16+8= 10+14=24 Чтобы умножить число на 2,5 , надо умножить его на два и прибавить половину числа: 16·2,5 = 16·2 + 8 = 32+8= 40 Чтобы умножить число на 3,5 , надо умножить его на 3 и прибавить половину числа: 16·3,5 = 16·3+8=48+8 = 40+16=56 и т.д.
Умножение на число, оканчивающиеся на 5 Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится. Примеры: 44 ∙ 5 = (44 : 2) ∙ 5 ∙ 2 = 22 ∙ 10 = 220; 28 ∙ 15 = (28 : 2) ∙ 15 ∙ 2 = 14 ∙ 30 = 420; 32 ∙ 25 = (32 : 2) ∙ 25 ∙ 2 = 16 ∙ 50 = 800.
Умножение на число, оканчивающиеся на 5 При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа: Примеры : 48 ∙ 65 = (48 : 2) ∙ 65 ∙ 2 = 24 ∙ 130 = (24 ∙ 10 + 24 ∙ 3) ∙ 10 = (240 + 72) ∙ 10 = 312 ∙ 10 = 3120; 36 ∙ 85 = (36 : 2) ∙ 85 ∙ 2 = 18 ∙ 170 = (18 ∙ 10 + 18 ∙ 7) ∙ 10 = (180 + 126) ∙ 10 = 306 ∙ 10 = 3060.
Способы быстрого деления Последовательное деление Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление : 720:45=(720:9):5=80:5=16, 9324:36=(9324:9):4=1036:4=259 945:35 = (945:5):7 = 179:7 = 27
Деление на 5, на 50, на 25 При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями: a : 5 = a ∙ 2 : 10 a : 50 = a ∙ 2 : 100 a : 25 = a ∙ 4 : 100 135 : 5 = 135 ∙ 2 : 10 = 270 : 10 = 27 3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 =75 6400:25 = 6400 ∙ 4 : 100 = 25600 : 100 = 256
Деление на 0,5; 0,25; 0,125 Чтобы разделить число на 0,5 , нужно это число умножить на 2: 32 : 0,5 = 32 · 2 = 60 + 4 = 64 Чтобы разделить число на 0,25 , нужно это число умножить на 4: 32 : 0,25 = 32 · 4 = 120 + 8 = 128 Чтобы разделить число на 0,125 , нужно это число умножить на 8: 32 : 0,125 = 32 · 8 = 240 + 16 = 256
Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Пример. 62∙58 = 3596 а) 8 ∙ 2 = 16 , пишем 6 помним 1. б) 8 ∙ 6 + 5 ∙ 2 + 1= 59 , пишем 9, помним 5. в) 5 ∙ 6 + 5 = 35 .
Умножение чисел, у которых число десят-ков одинаковое, а сумма единиц равна 10 Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Пример. 204 ∙ 206 = 42024 20 ∙ (20+1) = 420 , пишем 420 6 ∙ 4 = 24 , пишем 24
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5 Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25 Примеры: 35² = 3·(3+1), приписать 25, получим 35²= 1225 75² = 7·8 , приписать 25 , 75² = 5625 85² = 8 · 925 = 7225 45² = 2025
Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5 Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0. Примеры: 5 6 ² = (25+ 6 ), приписать 6² =36 , 56² = 3136 5 8 ² = (25+ 8 ), приписать 8² = 64, 58² = 3364 5 3 ²= (25+ 3 ), приписать 3² = 09, 53² = 2809
Без карандаша и бумаги Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математики . Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивлял своего отца. Однажды в школе, Гауссу в то время было 10 лет, учитель предложил классу перечислить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ : 1+2+3+…..+97+98+99+100=101·50=5050. Как он складывал числа от 1 до 100? Группируем: (1+100)+(2+99)+….=50 пар по 101, а сумма S =101·50
Угадывание задуманного числа Предложите своим друзьям задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5. Полученную сумму пусть умножит на 3. От произведения пусть отнимет 7. Из полученного результата пусть вычтет ещё 8. Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал. ( x+5 ) · 3 - 7- 8 = 3x +15 – 15 = 3x Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на
Легко запомнить! 11·11 = 1 2 1 111·111= 12 3 21 1111·1111= 123 4 321 11111·11111= 1234 5 4321 ------------------------ 111111111·111111111= = 12345678 9 87654321
Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» была написана в 1895 г., то есть более 110 лет назад. Посмотрите, как сосредоточенно думает мальчик, изображенный на переднем плане. Видно, нелегкую задачу дал учитель. Но этот ученик, наверно, скоро закончит работу, ошибки не должно быть: уж очень серьезно относится он к устному счету. А тот, который что–то шепчет на ухо учителю, кажется, уже решил задачу, только его ответ не совсем правильный. Смотрите: учитель слушает ученика внимательно, но на лице нет одобрения, значит, ученик сделал что–то не так. А может, учитель терпеливо ожидает, когда и другие сосчитают, и потому не спешит одобрить ответ? А какую же задачу дал им учитель? Не сможем решить ее и мы?
Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель – Сергей Александрович Рачинский , известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 г. С. А. Рачинский решает « уйти в народ » . Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач. Эта картина - гимн учителю и ученику!
Диагностика вычислительных навыков Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки. Объект исследования: 7 класс. Время проведения: октябрь - декабрь. Этапы исследования: Изучить известные способы быстрого устного счета; Подобрать материал для тренинга; Провести диагностику; Подвести результаты исследования
Диагностика навыков счета Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, состоящих из 24 примеров на сложение, вычитание, деление и умножение, которые нужно было выполнить за 5 минут устно. Этапы диагностики: Проверка имеющихся навыков устного счета; Изучение способов быстрого сложения и вычитания; Знакомство с новыми приемами умножения; Изучение способов быстрого деления. Повторная проверка умения считать устно. Фестиваль «Приемы быстрого счета» Итоговая проверка вычислительных навыков.
Результаты трех работ Средний балл первой работы – 10,1 Средний балл второй работы – 15,3 Средний балл итоговой работы – 20 ,6 Таким образом, мы видим, что наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтверждается
Результаты работы: изучили историю возникновения вычислений рассмотрели правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас освоили правила быстрого счета и научили пользоваться ими учащихся нашей школы. провели фестиваль «Приемы быстрого счета» для учащихся 5 – 8 классов. создали памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта. оформили альбом «Приемы быстрого счета»
Гимнастика ума Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень … Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления Устный счет – гимнастика ума! Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета . Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений!
Использованные ресурсы: Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981. «Первое сентября» Математика №3(15), 2007. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68 Устный счет/Сост. П.М.Камаев . – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып . 3(15). http://portfolio.1september.ru/subject.php
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R . Центр окружности обозначают буквой O. Линия соединяющая две точки расположенные на окружности называется диаметром. Диаметр обозначают буквой d .
Хорда - это отрезок, соединяющий две точки окружности. Дуга — это часть окружности. Сектор -это часть круга, заключённая между двумя радиусами и дугой. Полукруг - это половина круга, образуемая соответствующей частью окружности и диаметром. хорда сектор полукруг
Если точка удалена от центра круга на расстояние, меньшее радиуса круга или равное ему, то эта точка принадлежит кругу. Круг имеет центр, радиус, диаметр, хорду- это соответственно центр, радиус, диаметр, хорда окружности , ограничивающей круг
Вроде круг, но дело в том, Что иначе мы зовем Нарисованный кружок. В чем секрет? Скажи, дружок! Эта странная наружность Называется… Он точку окружности соединяет С центром ее — это каждый ведь знает. Он буквою « r » обозначается. А вы мне скажите, как он называется? Циркуль, наш надежный друг, Вновь в тетради чертит...
Как найти длину окружности? Установлено , что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π ( читается - "пи" ), то есть формула такова: Число π приблизительно равно 3.14 Более точное его значение π = 3,1415926535897932 Исходя из формулы выше, выведем, чему равна окружность, если известен диаметр ( d ) Если известен радиус ( r ) , то формула длины окружности будет выглядеть так: Площадь круга вычисляется по формуле где: S — площадь круга r — радиус
Задачи по теме: Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см . Решение: Так, как мы знаем формулу = 3,14*5 =15,7 Ответ: 15,7 2. Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см; 4,7 дм; 18,6 м. Число п округлите до сотых . Ответ: 1)150, 72 см 2) 4,9 дм 3) 116,18 м
Задача по теме: 1.Радиус окружности 2 см. найти площадь. Решение: Используем формулу площади круга через радиус . Подставим значения и вычислим результат . Ответ:
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны (рис.1, а). Квадрат является ромбом, поэтому обладает свойствами прямоугольника и ромба. Основные свойства квадрата следующие. Свойство 1. Все углы квадрата прямые (см. рис.1, а). Свойство 2 . Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят его углы пополам (рис.1, б).
Ромб. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны (рис.1 ). рис.2 Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. Рассмотрим особое свойство ромба. Доказательство. Рассмотрим ромб ABCD (рис.2 ). рис.2 Требуется доказать, что АС ⊥ BD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что ∠ ВАС = ∠ DAC. По определению ромба АВ = AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб — параллелограмм, то его диагонали точкой О делятся пополам. Следовательно, АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому АС ⊥ BD и ∠ ВАС = ∠ DAC, что и требовалось доказать.
Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны (Рис.1). рис.1 Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон, называется средней линией трапеции. На рисунке 2 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной (рис.3, а). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис.3, б). С использованием теоремы 1 устанавливается свойство средней линии трапеции. Теорема 2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме .
Определение четырехугольника Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника. Вершины четырехугольника (рис.1) называются соседними, если они являются концами одной и той же его стороны. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие Рис.1 вершины четырехугольника, называются диагоналями. На рисунке 1 диагоналями являются отрезки АС и BD. рис.1 Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются смежными сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противоположными сторонами. Четырехугольник называется выпуклым (см. рис.1), если он лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую его сторону.
Диагонали и признаки параллелограмма Теорема 1. Свойство диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Рис.1 рис.2 Следующая теорема выражает признаки параллелограмма. Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике: противоположные стороны равны между собой, или две противоположные стороны равны и параллельны, или диагонали точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм. Доказательство проведем для одного из этих признаков, например для признака 1. Пусть ABCD — четырехугольник, у которого АВ = CD, ВС = AD (рис.1). Докажем, что ABCD — параллелограмм, т. е. что АВ || CD, ВС || AD. Проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC. Так как АС — общая сторона, АВ = CD, ВС = AD (по условию), то Δ ABC = Δ ADC. Поэтому ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 4 = ∠ 3, а из равенства накрест лежащих углов следует параллельность прямых: ВС || AD, АВ || CD.
Теорема Пифагора. Теорема 1. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. AB2 = AC2 + BC2
Определение параллельных прямых Две различные прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Параллельность прямых а и b обозначается так: a||b Пусть две прямые а и b пересечены третьей прямой с (рис.1). Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух различных точках. При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 1 отмечены цифрами. Определенные пары углов имеют специальные названия: соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7; накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6 (внутренние), 1 и 7, 2 и 8 (внешние); односторонние углы: 4 и 5, 3 и б (внутренние), 1 и 8, 2 и 7 (внешние).
Расстояние от точки до прямой Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С — любая точка на прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис.1). Точка С называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной. Из прямоугольного треугольника ВАС с прямым углом А видим, что наклонная больше перпендикуляра. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр — катетом. Расстоянием от точки В до прямой а, не проходящей через точку В, называется длина перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую а. Так как перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки, то расстояние от точки В до прямой а является наименьшим из расстояний от точки В до любой из точек прямой а.
Решение прямоугольных треугольников Решить прямоугольный треугольник — значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник. Рассмотрим основные случаи решения прямоугольного треугольника.
Список литературы: https://wiki.eduvdom.com/subjects/geometry/start http://xn--80aneebgncbebxz7l.xn--p1ai/matematika-vse-klassy/spravochnik-po-geometrii-7-9-klassy/
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Правильный многоугольник- выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.
Вписанная окружность. О кружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Описанная окружность . Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Сумма углов правильного n -угольника
Формулы для вычисления
Дополнительная информация
Выражение стороны а через R и r для правильного n-угольника. Соединим центр правильного многоугольника с двумя соседними вершинами. Получим равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 360°/n. Половина его равна 180°/n, где n — число сторон. Из прямоугольного треугольника находим:
Выражение R и r через сторону а для правильного 3-угольника.
Задача. Дано: S=16 , n =4 Найти: a, r, R, P
Доп.источники https://uchitel.pro/ опорный-конспект-4-правильные-многоуг/ https://www.bestreferat.ru/referat-316967.html
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности Окружность при этом называется описанной около многоугольника Около всякого треугольника можно описать окружность Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника 2
Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 о 3
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник В любой треугольник можно вписать окружность Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника 4
Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны 5
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь. 6
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности Ответ: 5 7 Упражнение 1
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника Ответ: 20 8 Упражнение 2
Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне Ответ: 30 о 9 Упражнение 3
Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6 Ответ: 12 10 Упражнение 4
Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной Ответ: 1 11 Упражнение 5
Сторона ромба равна 4, острый угол – 30 о . Найдите радиус вписанной окружности Ответ: 1 12 Упражнение 6
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
a – b a+b ( a + b )( a – b ) a 2 – b 2 ( a – b ) 2 Прочитайте выражения разность чисел а и b сумма чисел а и b произведение суммы и разности чисел а и b разность квадратов чисел а и b квадрат разности чисел а и b
Найдите квадрат чисел 3 4a mn 0,6b 9 16а 2 m 2 n 2 0,36b 2
Представьте в виде квадрата одночлена: 9b 2 16m 4 0,09x 10 0,81m 2 n 2 x 4 y 6 (3b) 2 (4m 2 ) 2 (0,3x 5 ) 2 (0,9mn) 2 (x 2 y 3 ) 2
Разложите на множители 2а – 4 ab – b 2 a 2 – b 2 2(а – 2) b(b – b) ?
Тема урока «Разность квадратов»
Пример 1 группа (a+b)(a – b) 2 группа (3x – 2y)(3x+2y) 3 группа
Пример (a+b)(a-b) = a 2 – ab + ab -b 2 (3x-2y)(3x+2y) = 9x 2 – 6xy + 6xy – 4y 2
a 2 – b 2 = (а – b)(а + b) Если мы будем на нее смотреть справа налево, то получим сокращенное (короткое) умножение многочленов, а если слева на право - представление разности квадратов в виде произведения (в дальнейшем это будем называть разложение на множители).
Задание а) (5+2)(5-2) б) (a – b)-(a+b) в) (x – y)(x+y) г) (0,5 – m)(0,5+m) д) Выберите выражение, которые могут быть преобразованы по формуле a 2 – b 2 = (а – b)(а + b) а, в, г, д
(4a – 7)(4a + 7) = 16a 2 – ... (x – 3 m) (x + 3m) = x 2 – ... (0,4 – 0,3a)(0,4 + 0,3a) = ... – 0,9a 2 (mn – b) (mn + b) = ... – b 2 49 9m 2 0,16 m 2 n 2
В I Ответ А,С,В В II Ответ В,А,С В III Ответ В,А,С В IV Ответ С,А,В
Конец
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель : Научиться решать и понять арифметическую прогрессию
Прогрессия — последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Арифметическая прогрессия . Арифметическая прогрессия - это ряд чисел , в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d , которое называется разностью арифметической прогрессии . Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность , которая имеет вид: ,
т.е. последовательность чисел ( членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаю тся из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа d ( шаг либо разность прогрессии ): Всякий ( n -й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:
Всякий ( n -й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена: Арифметическая прогрессия - это монотонная последовательность . При она возрастает, а при — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии. 1. Общий член арифметической прогрессии . Член арифметической прогрессии с номером n можно найти с помощью формулы: , где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии. 2 . Характеристическое свойство арифметической прогрессии . Последовательност ь - это арифметическая прогрессия для элементов этой прогрессии выполняется условие :
3. Сумма 1-х n членов арифметической прогрессии. Сумму 1-х n членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формул: где — 1-й член прогрессии, — член с номером , — число суммируемых членов . Где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии, — число суммируемых членов.
4. Сходимость арифметической прогрессии . Арифметическая прогрессия является расходящейся при и сходящейся при . При этом : 5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями. Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность , которая имеет вид является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .
Примеры арифметических прогрессий. 1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность . 1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой и . 2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу ,тогда это является арифметической прогрессией , в которой и . В частности, является арифметической прогрессией с разностью . 3. Сумма 1-х натуральных чисел выражают формулой: .
Литература : https://www.calc.ru/Progressii-Arifmeticheskaya-Geometricheskaya-Formuly.html https://www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/progressii-9139/arifmeticheskaia-progressiia-9141/re-9be60eb3-2e3a-4782-b724-d5bca94395dc https://yandex.ru/images/search?text=%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F&stype=image&lr=47&source=wiz https://mirurokov.ru/%D0%BE%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D1%8B%D0%B9-%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8/%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F.html
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Происхождение слова « прогрессия» Слово "прогрессия" имеет латинское происхождение и означает "движение вперед"; этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность числе, построенному по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. Числа, составляющие эту последовательность, называются ее членами .
Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами 1,2,3,4,5,6… n , …образуют последовательность ПРИМЕРЫ 1,2,3,4,5…..последовательность натуральных чисел; 2,4,6,8,10….последовательность чётных чисел; 0,3; 033; 0,333;…последовательность десятичных приближений дроби1/3
Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. - разность арифметической прогрессии (число) Определение арифметической прогрессии
- арифметическая прогрессия, если для всех натуральных n выполняется равенство Определение арифметической прогрессии
Разность арифметической прогрессии - прогрессия возрастающая - прогрессия убывающая
Свойство n –го члена арифметической прогрессии Любой член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.
Задание арифметической прогрессии формулой n – го члена первый член арифметической прогрессии разность арифметической прогрессии
Сумма n -первых членов арифметической прогрессии
Сумма n -первых членов арифметической прогрессии Формулой удобно пользоваться тогда, когда заданы первый член и разность прогрессии
Задания ОГЭ Задание 12 Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: −8,6; −8,4; ... Задание 12 Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии. Задание 12 В арифметической прогрессии известно, что. Найдите четвёртый член этой прогрессии. Задание 12 Первый член арифметической прогрессии равен −11,9, а разность прогрессии равна 7,8. Найдите двенадцатый член этой прогрессии.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Прогрессии в жизни и быту В природе все продумано и совершенно .
Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм., а каждый следующий – на 2 дм. длиннее. Найдите длину семи таких стержней. Ответ: 77 дм .
В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? Ответ: 121
Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней. 18 тонн
Тело падает с башни, высотой 26 м. В первую секунду проходит 2м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет тело до удара о землю ? Ответ: 4 секунды
За первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам. Ответ: 30 дней
Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй автомобиль, который в первый час прошел 20 км, а каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км? Ответ: 2 часа
Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр ? Ответ:1900
128 -3 7 -3+7=4 4 16 -4 -2 -1 0 1 2 3 5 6 64 6-(-1)=7 32 1 2 4 8
а б д е в г ж кросснамбер
кросснамбер 5 1 1 2 1 1 2 6 5 0 0 5 0 0 8 1 3 а б в г д е ж
Решение задач
1. Дана геометрическая прогрессия 3; b 2 ; b 3 ;…, знаменатель которой - целое число. Найдите эту прогрессию, если Решение: b 2 =3 q, b 3 =3 q 2 , q =-5; -4; -3; -2; -1 3; -15; 75 3; -12; 48;… 3; -9; 27;… 3; -6; 12;… 3; -3; 3;… Ответ:
2 . Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найдите эти числа. Арифмет . прогрессия Геометр . прогрессия Решение : Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2
3. Уравнение имеет корни , а уравнение – корни . Определите k и m , если числа – последовательные члены возрастающей геометрической прогрессии . подсказка Решение: - геометрическая прогрессия Ответ: k=2, m=32
Теорема Виета : сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели презентации :1) Дать знания по теме синус , косинус и тангенс. 2)Научить пользоваться определениями и формулами по этой теме . Содержание С.3.Синус,косинус и тангенс С.4.Формулы синуса , косинуса и тангенса С.5.Значения синуса , косинуса и тангенса С.6. Основное тригонометрическое тождество С.7.Формулы приведения С.8. Формулы для вычисления координат точки С.9-10.Задачи С.11.Литература
Синус, косинус, тангенс угла Синус угла (sin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Косинус угла (cosα) - отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла (tg α) - отношение противолежащего катета к прилежащему. 3
А В С Формулы 4
Значения 5
Основное тригонометрическое тождество х2 + у2 = 1 - уравнение окружности sin α = y, cos α = x sin2α + cos2α = 1 для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° 6
Формулы приведения sin (90° - α) = cos α cos (90° - α) = sin α при 0° ≤ α ≤ 90° sin (180° - α)= sin α cos (180° - α) = - cos α при 0° ≤ α ≤ 180° 7
Формулы для вычисления координат точки А (x; y) – произвольная точка М (сos α; sin α) x = ОА ∙ cos α y = OA ∙ sin α M (cos α; sin α) 8
9
M (cos α; sin α) А В С α sin α = ? cos α = ? tg α = ? 4 3 5 10
11 Литература 1.Учебник 2.Интернет
Спасибо за внимание !
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Параллелепипед - четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Все шесть граней параллелепипеда- параллелограммы.
Ребра (12) Боковые грани (4) Вершины (8) Основания (2)
А В С А 1 D D 1 B 1 C 1 Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны
Свойства параллелепипеда (1) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам Доказательство: если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Свойства параллелепипеда (2) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Свойства параллелепипеда ( 3 ) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. V=abc V - объем a - ширина b - длина c - высота
Свойства параллелепипеда (4) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V=Sh V – объем S – площадь основания h – высота
Прямой параллелепипед Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания, то такой параллелепипед называется прямым А В С А 1 D D 1 B 1 C 1 боковые грани – прямоугольники
Прямоугольный параллелепипед Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольниками называется прямоугольным все грани – прямоугольники А В С А 1 D D 1 B 1 C 1
Прямоугольный параллелепипед Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда длина, ширина и высота А В С А 1 D D 1 B 1 C 1
Куб Прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты называется кубом все грани – равные квадраты d 2 = 3 a 2 d a a a
Пример параллелепипеда в архитектуре
Примеры использования формы параллелепипеда в быту
Литература 1)Учебник по геометрии ( 7-9 класс Атанасян 2) https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BF%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4 3) https://yandex.ru/images/search?text=%D0%BF%D0%B0%D1%80%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BF%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4&stype=image&lr=47&source=wiz
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание: Введение Основные понятия Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья Исследования Галилео Галилея Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей Работа Х. Гюйгенса Первые исследования по демографии Формирование понятия геометрической вероятности Основные теоремы теории вероятностей Список использованной литературы
Введение Сейчас уже трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Мало-мальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал длительного времени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей В течение долгого периода исследователи ограничивались рассмотрением разного рода игр, особенно игр в кости, поскольку их изучение позволяет ограничиваться простыми и прозрачными математическими моделями. Однако следует заметить, что многие отлично понимали то, что позднее было прекрасно сформулировано Христианом Гюйгенсом: «…я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории».
Основная часть Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Основные понятия теории Вероятност ь — степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным. Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.
Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья Существенное продвижение в решении первичных задач теории вероятностей связано с именами итальянских ученых Кардано (1501–1575) и Тарталья (1499–1557). Кардано указал число возможных случаев появления хотя бы на одной из двух костей определенного числа очков. Кардано предложил рассматривать отношение 1/6 (вероятность выбрасывания заданного числа очков при бросании одной кости), 11/36 (вероятность получить хотя бы на одной из двух костей грань с заданным числом очков) которое мы теперь называем классическим определением вероятности. Кардано не заметил, что стоял на пороге введения важного понятия для всего дальнейшего развития большой главы математики, да и всего количественного естествознания. Рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее чисто арифметически, как доля случаев, чем как характеристика возможности появления случайного события при испытании. Кардано и Тарталья предложили новое решение задачи Пачоли о разделе ставки, однако и их решения были ошибочными.
Исследования Галилео Галилея Таким образом, уже в 16 веке возникли задачи вероятностного характера и разыскивались подходы к их решению. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой теории и позволяли решать отдельные задачи. Значимый вклад в этот прогресс внес Галилео Галилей (1564–1642). Его работа «О выходе очков при игре в кости» была посвящена подсчету возможных случаев при бросании трех костей. Число всех возможных случаев Галилей подсчитал простым и естественным путем, возвел 6 (число различных возможностей при бросании одной кости) в 3 степень и получил 216. Далее он подсчитал число различных способов, которыми может быть получено то или другое значение суммы выпавших на костях очков. Для теории вероятностей и математической статистики большое значение имеют соображения Галилея по поводу теории ошибок наблюдений. До него никто этим не занимался. Таким образом, все, что он написал ан эту тему ново для его времени и важно даже в наши дни. Свои мысли и выводы он достаточно подробно изложил в одном из основных своих произведений: «Диалог о двух главнейших системах мира птолемеевой и коперниковой ».
Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей Обычно считают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых Б. Паскаля (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665). От этой переписки сохранились лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма. В этой переписке еще отсутствует понятие вероятности, и оба ученых ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов. У этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока . Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей. Толчком к появлению интересов Паскаля к задачам, приведшим к теории вероятностей, послужили встречи и беседы с придворным французского королевского двора шевалье де Мере, который интересовался литературой, философией и одновременно был страстным игроком. В этой страсти были истоки тех задач, которые он предложил Паскалю
Работа Х. Гюйгенса Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказала работа Х. Гюйгенса (1629–1695). Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в 1655 г., где он познакомился с рядом видных ученых и услышал от них сведения относительно задач о разделе ставки в азартных играх, которые разрабатывались Паскалем и Ферма. Результатом явилась его работа, опубликованная в 1656 г. в виде дополнения к книге его учителя Ф. ван Схоутена «Математические этюды». Понятие вероятности у Гюйгенса еще не выделено, и он все время оперирует числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию.
Первые исследования по демографии Одним из толчков для развития основных понятий теории вероятностей сыграли исследования Джона Граунта (1620–1675) и Вильяма Петти (1623–1687) по демографии. Их работы наглядно продемонстрировали, каким мощным орудием могут служить для изучения массовых явлений статистические наблюдения, если их соответствующим образом обработать. Первой работой, с которой начинается история статистики как области научного знания, следует назвать книгу Граунта , опубликованную в 1662 г. под названием «Естественные и политические наблюдения, перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанные над бюллетенями смертности. По отношению к управлению, религии, торговле, росту, воздуху, болезням и разным изменениям означенного города». Основная задача, которая интересовала Граунта , состояла в указании метода, который позволял бы установить с достаточной точностью возрастной состав населения города в результате наблюдений за возрастом умерших.
Формирование понятия геометрической вероятности До конца 17 в. наука так и не подошла к введению классического определения вероятности. Однако в 30-х годах 18-го столетия классическое определение вероятности стало общеупотребительным, и никто из ученых этих лет не мог бы ограничиться только подсчетом числа благоприятствующих событию шансов. Введение классического определения вероятности произошло не в результате однократного действия, а заняло длительный промежуток времени, на протяжении которого происходило непрерывное совершенствование формулировки, переход от частных задач к общему случаю. Еще в книге Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» (1657) нет понятия вероятности как числа, заключенного между 0 и 1 и равного отношению числа благоприятствующих событию шансов к числу всех возможных. А в трактате Я. Бернулли «Искусство предположений» (1713) понятие это введено, хотя и в несовершенной форме.
Формирование понятия геометрической вероятности Уже в первой половине 18 века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применений и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо какое-то естественное его расширение. Обычно считают, что таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (1707–1788), в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение. Однако, задолго до рождения Бюффона появилась работа, в которой фактически уже был поставлен вопрос о нахождении геометрической вероятности. В 1692 г. в Лондоне был опубликован английский перевод книги Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх», выполненный Д. Арбутнотом (1667–1735). В конце первой части переводчик добавил несколько задач, среди которых была сформулирована задача совсем иной природы, по сравнению с теми, которые были рассмотрены великим автором. Он назвал эту задачу трудной и поместил ее в дополнении «для того, чтобы она была решена теми, кто считает такого рода проблемы достойными внимания».
Основные теоремы теории вероятностей Я. Бернулли и Н. Бернулли дается отчетливая формулировка правило числения вероятности противоположного события, если известна вероятность прямого.Первая четкая и окончательная формулировка теорема сложения вероятностей находится в работе Т. Байеса (1702–1761), носящей название «Опыт решения задач по теории вероятностей покойного достопочтенного мистера Байеса, члена Королевского общества. Сообщено мистером Прайсом в письме Джону Кентону , магистру искусств, члену Королевского общества». В этой работе содержится определение несовместимых событий. Байес употребляет другой термин «неплотные события». По Байесу «несколько событий являются неплотными, если наступление одного из них исключает наступление других». Байес сформулировал теорему сложения в следующем виде: «Если несколько событий являются неплотными, то вероятность того, что наступит какое-то из них, равно сумме вероятностей каждого из них».
Список использованной литературы https://mirznanii.com/a/313804-4/teoriya-veroyatnostey-ot-paskalya-do-kolmogorova-4/
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Треугольники Треугольники Треугольники
Треугольники B А С Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки
Равносторонний - это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60°. Радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности Периметр Высота Площадь A B C A 1 B 1 C 1 O a a a r R r r R R
Равнобедренный Треугольник, в котором две стороны равны между собой называется равнобедренным . Равные стороны называются боковыми , а последняя - основанием Площадь треугольника Теорема косинусов Теорема синусов Периметр P = 2a + b (по определению); P = 2R(2sinα + sinβ ) (следствие теоремы синусов) М К О a b
Прямоугольный Свойства: Сумма двух острых углов п / у треугольника равна 90°. Катет п / у треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет п / у треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Признаки равенства п/у треугольников: Если катеты одного п / у треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного п / у треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. Если гипотенуза и острый угол одного п / у треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Если гипотенуза и катет одного п / у треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. К R Р a 2 + b 2 = c 2 – теорема Пифагора для п/у треугольника
Тупоугольный – это треугольник у которого один из углов тупой Остроугольный – треугольник у которого все углы острые. Прямоугольный – треугольник у которого один из углов равен 90° a 2 + b 2 < c 2 a 2 + b 2 > c 2 a 2 + b 2 = c 2
Медиана Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вер ш ину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника. Свойства медиан треугольника: Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. Свойства биссектрис треугольника: Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. Свойства биссектрис треугольника: Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник. b a x y
Высота Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника. Свойства высот треугольника: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Серединный перпендикуляр Прямую, проходящую через середину отрезка Перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку . Свойства серединных перпендикуляров треугольника: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Средняя линия Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойство средней линии треугольника Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Сумма углов треугольника Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство: Рассмотрим треугольник АВС и докажем, что А + В + С = 180°. Проведем через вершину B прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому 4 = 1, 5 = 3. Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. 4 + 2 + 5 = 180°, или А + В + С = 180°. Теорема доказана. В С А 1 2 3 4 5 а
Внешний угол Доказательство: угол 4 – внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Т.к. 4 + 3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника ( 1 + 2) + 3 = 180°, то 4 = 1 + 2, что и требовалось доказать. 3 2 1 4 Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Соотношение между сторонами и углами треугольника В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Для любых точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ АС < АВ + ВС ВС < ВА + АС Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника B А С
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Выберите строку в которой записано уравнение: 1) 35 – 4(6 – 3) = 23 2) 35 – 4(6 – х ) 3) 35 – 4( х – 3) = 23 4) 35 – 4(6 – 3) Ответ: 35 – 4( х – 3) = 23
Какое из чисел является корнем уравнения -3х = 48? 1) 16 2) -16 3) 1/16 4) -1/16 Ответ: -16
Для какого из уравнений число -2 является корнем? 1) 3х – 4 = 12 2) Х + 5 = 7 3) 5х + 2 = 8 4) 6 – х = 8 Ответ: 6 – х = 8
Приведите подобные слагаемые: 2а + 7а + 4а – 11а 1) 2а + 2 2) 2 3) 2а 4) 4а Ответ: 2а
Равносильны ли уравнения: -3( х – 5) = 11 и 3( х – 5) = -11 Ответ: да
Равносильны ли уравнения: 2х – 1 = 17 и 2х = 17 – 1 Ответ: нет
Раскройте скобки: 5a +(4b – c) 1) 5a – 4b + c 2) 5a +4b – c 3) 5a – 4b – c 4) 5a + 4b + c Ответ: 5a +4b – c
Равносильны ли уравнения: 6х – 1 = 11 и 6х = 11 + 1 Ответ: да
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание 1.Что такое параллелограмм? 2. Происхождения слова параллелограмм 3.Свойства параллелограмма 4.Формула площади 5. Периметр параллелограмма 6. Признаки параллелограмма 7.Интересные факты о параллелограмма 8.Стороны параллелограмма 9. C писок литературы
Параллелограмм – это геометрическая фигура, которая является разновидностью четырехугольника. У него противоположные стороны лежат на параллельных линиях, а соответственно, являются параллельными по отношению друг к другу. Что такое параллелограмм ?
Виды параллелограммов
Происхождение термина «параллелограмм» Как и многие термины в математике, слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ пришло к нам из Древней Греции. И легко предположить, что оно как-то связано с самым известным в истории математиком – Евклидом. Действительно, так и есть. Слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ впервые можно найти именно в трудах Эвклида, которые называются «Начала». Оно состоит из двух греческих слов – « Parallelos », что, естественно, означает «параллельный», и « Gramme » — «линия».
Свойства параллелограмма Две противоположные стороны попарно параллельны. Две противоположные стороны попарно равны между собой. Две противоположные стороны и равны, и параллельны. Противоположные углы попарно равны между собой. Диагонали пересекаются в центре фигуры и делятся точкой пересечения на две равные части. Если сложить два соседних угла, то получится 180 градусов.
Формула площади параллелограмма
Формула периметр параллелограмма P = a + b + a + b P = 2a +2b P = (a + b) * 2
1.Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон 2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон: 3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны: 4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны: 5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам: 6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°: 7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: Признаки параллелограмма
Интересный факт о параллелограмме Интересно, что более известные всем нам фигуры – квадрат, прямоугольник и ромб – также являются параллелограммами. Еще любопытный факт, что именно Евклид поделил все четырехугольники на две большие категории. Первая – это параллелограммы, у которых противоположные стороны параллельны. И трапеции (что это?), у которых параллельна только одна пара сторон. Причем, для того чтобы удостовериться в подлинности фигуры, достаточно доказать только одно из них. Для подсчетов длины периметра четырехугольников обычно просто складывают длины его сторон. Но в случае с параллелограммом все несколько проще, так как стороны у него попарно равны.
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними: a = √d12 + d22 - 2d1d2·cos γ 2 = √ d12 + d22 + 2d1d2·cos δ 2 b = √d12 + d22 + 2d1d2·cos γ 2 = √ d12 + d22 - 2d1d2·cos δ 2 2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону: a = √2d12 + 2d22 - 4b2 b = √2d12 + 2d22 - 4a2 3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла: a = hb sin α b = ha sin α 4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту: Стороны параллелограмма
Список литературы https://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/parallelogramm-chto-ehto-takoe-opredelenie-svojstva-priznaki-perimetr.html
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1. Окружность, описанная около треугольника. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Теорема . Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказательство . Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин (доказано нами в 7 классе). Поэтому она является центром описанной окружности, расстояние от этой точки до любой из вершин равно радиусу. Если существует еще одна описанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.
2. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника. Теорема . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы. Доказательство . Мы знаем, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (доказано нами в 7 классе). Поэтому середина гипотенузы является центром описанной окружности, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. R = c/2.
3. Окружность, вписанная в треугольник. Окружность называется вписанной в треугольник, ест она касается всех сторон треугольника. Теорема . В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника. Доказательство . Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника (доказано нами в 7 классе). Если из этой точки опустить перпендикуляры на стороны и провести окружность радиусом, равным перпендикуляру, то стороны треугольника будут касаться окружности по признаку касательной. Если существует еще одна вписанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех сторон и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают .
4. Формула площади S = рr . Теорема . Площадь треугольника S = рr , где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности. где p — полупериметр треугольника. Данная формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, т. е. для любого описанного многоугольника.
5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник. Теорема . Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (а + b – c)/2 . Доказательство . Проведем радиусы в точки касания. Получим квадрат со стороной r (четырехугольник, у которого все углы прямые и две соседние стороны равны по r ) и отрезки катетов, равные r и а – r для катета а, r и b – r для катета b . Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки, к окружности равны, то гипотенуза равна сумме отрезков ( a – r ) и ( b – r ). Так как с = (а – r) + (b – r) , то r = (а + b – c)/2.
6. Свойство вписанного четырехугольника. Теорема (свойство вписанного четырехугольника) . Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180°. Доказательство . Противоположные углы α и β являются вписанными. Они опираются на дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Окружность содержит 360°. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то сумма углов α и β равна 180°.
7. Признак вписанного четырехугольника. Теорема (признак вписанного четырехугольника) . Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. Доказательство . Через три вершины четырехугольника всегда можно провести окружность (это вершины некоторого треугольника). Если четвертая вершина будет лежать внутри окружности или вне ее, то угол при этой вершине будет больше или меньше угла β, по свойству внешнего угла треугольника, т. е. 1 < β < 2. Тогда сумма противоположных углов этого четырехугольника не будет равна 180°. Поэтому четвертая вершина такого четырехугольника обязана лежать на окружности.
8. Свойство вписанной трапеции. Теорема . Вписанная трапеция является равнобедренной. Доказательство . 1-й способ . ∠1 + ∠2 = 180° как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей, ∠3 + ∠2 = 180° по свойству вписанного четырехугольника. Тогда ∠1 = ∠3 и трапеция равнобедренная по признаку равнобедренной трапеции. 2-й способ . Параллельные прямые отсекают равные дуги. Равные дуги стягиваются равными хордами. Поэтому боковые стороны трапеции равны.
9. Свойство описанного четырехугольника. Теорема (свойство описанного четырехугольника) . Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Доказательство . Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Образовательная цель: Формировать понятие и умение записывать десятичные дроби. Совершенствовать умение при замене обыкновенной дроби десятичной. Способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления. - Уметь читать, записывать десятичные дроби; развивать активность, находчивость при решении заданий; уметь общаться в коллективе и в паре, способствовать эмоциональному восприятию математических задач.
Это интересно Обыкновенные дроби вошли в математику очень давно: они были известны ещё в Древнем Египте примерно 3000 лет тому назад. Десятичные дроби появились значительно позднее: их впервые ввели в математику независимо друг от друга математик и астроном Аль-Каши (работал в XV веке в Улугбекской обсерватории близ Самарканда) и нидерландский математик и инженер Симон Стевин в XVI веке. В России впервые о десятичных дробях было сказано в русском учебнике математики – «Арифметике» Магницкого. В калькуляторах целая часть и дробная отделяются точкой. Форма записи принята в США и некоторых других странах. У нас принято отделять целую часть от дробной запятой .
Дробные числа Обыкновенные дроби Правильные дроби Неправильные дроби Смешанные числа
Обыкновенные дроби Доли Дроби. Чтение и запись Правильные и неправильные дроби Сравнение дробей Основное свойство дробей
Обыкновенная дробь. Записи вида называют обыкновенными дробями … Числитель дроби Черта дроби (дробная черта) Знаменатель дроби
Обыкновенные дроби. Каждый может за версту Видеть дробную черту. Над чертой – числитель , знайте, Под чертою – знаменатель. Дробь такую, непременно, Надо звать обыкновенной .
При чтении дробей надо помнить: числитель дроби – количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель – порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.) Например: - одна пятая; - две шестых; - восемьдесят три сто пятьдесят вторых
Что показывают числитель и знаменатель дроби? Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель – сколько таких долей взято.
Правильные и неправильные дроби 2 _ 2 2 _ 5 3 _ 4 4 _ 3 5 _ 7 7 _ 9 6 _ 6 8 _ 5 1 _ 3 1 _ 1 Правильные дроби Неправильные дроби
Правильные и неправильные дроби 6 _ 25 Дробь, в которой числитель меньше знаменателя , называют правильной дробью . 25 _ 25 25 _ 6 Дробь, в которой числитель больше знаменателя , называют неправильной дробью .
Запись числа ,содержащую целую и дробную части, называют СМЕШАННОЙ.
Смешанн ое числ о одна целая две третьих целая часть дробная часть Числа состоящие из целой и дробной частей называются смешанными числами
Ресурсы: Основные Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений / Н.Я.Виленкин и др. - 34-е изд., стер.– М.: Мнемозина, 2015 Дополнительные Компьтер, Интернет