ПРОВЕРКА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме
Данная тема актуальна при сдаче ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 proverka_korney_trigonometricheskogo_uravneniya.pptx | 1.16 МБ |
 proverka_korney_trigonometricheskogo_uravneniya.doc | 109 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
В основу метода проверки корней тригонометрического уравнения следует положить понятие периода уравнения. Пусть дано, например, уравнение: Легко заметить, что периодом этого уравнения может служить угол 180°. Действительно, cos 4( х+180° ) = cos (4 х + 2 *360°) = cos 4 х , sin 2( х+180° ) = sin ( 2 х + 360° ) = sin 2 х и т.д.
Чтобы найти период тригонометрического уравнения, достаточно найти периоды каждой функции, входящей в это уравнение , а затем отыскать их наименьшее общее кратное. Чтобы найти, пользуясь этим правилом , период вышеприведенного тригонометрического уравнения, надо рассуждать следующим образом: так как период каждой из функций sin 4 х и cos 4 х равен =90°, а период каждой из функций sin 2 х и cos 2 х есть 360°̷ 2=180° , то периодом уравнения будет наименьшее общее кратное углов 90° и 180°, то есть 180°
Пример. Решить уравнение: cos 2 х + 3sin х = 2 (1) и проверить найденные корни. Имеем: (1-2 sin² х )+3 sin х=2, 2 sin² х - 3 sin х+1=0. Отсюда, sin х1 =1 , sin х2 = 1/2 х1= 360° n +90°, х2= 180° n+ (-1) ⁿ 30°
Полученное множество корней бесконечно. Чтобы проверить все корни, достаточно произвести проверку только тех из них, которые лежат в пределах одного периода уравнения. Так как периодом уравнения (1) служит угол в 360°, то проверить нужно лишь корни, которые удовлетворяют неравенству: -180°< х ≤180°. Если придавать n различные целые значения (положительные, отрицательные или нуль), то мы обнаружим лишь три корня, удовлетворяющие этому неравенству, а именно: 90°, 30°, 150°.
После подстановки их в исходное уравнение (1) найдем, что каждый из них обращает это уравнение в верное числовое равенство. Действительно, с os 180° + 3 sin 90°=-1+3 = 2, cos60° + 3sin30°= + = 2 , cos 300° + 3sin150°= + =2 .
Есть одно затруднение, с которым сталкиваются: иногда общий вид углов, правильно найденный при решении тригонометрического уравнения, не совпадает с общим видом углов, указанным в ответе к задаче. Порой возникает сомнение в правильности своего решения. Рассеять это сомнение можно только посредством доказательства, что множество всех найденных корней и множество всех корней, определяемое общей формулой в ответе задачи, между собой совпадают.
Допустим, что при решении уравнения sin ² - cos² = cos получены корни: х1= 720° n ± 120° , х2= 360°(2 n+1 ), а ответ задачи дан в другой форме: х= 120°(2 n+1 ).
Для того, чтобы убедиться в равносильности того и другого ответа, найдем сначала период уравнения (он равен 720°), а затем отыщем в обоих случаях корни , лежащие в пределах этого периода, то есть удовлетворяющие неравенству: -360°< х ≤ 360° . Легко убедиться, что такими корнями в обоих случаях будут лишь ± 120° и 360°. Совпадение корней, лежащих в пределах одного периода уравнения, указывает на равносильность обоих ответов.
Предварительный просмотр:
ПРОВЕРКА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Из опыта подготовки учащихся к ЕГЭ, хотелось бы обратить внимание на проверку корней тригонометрического уравнения.
В 10 классе в связи с изучением периодичности тригонометрических функций важно привить учащимся навыки в нахождении периодов таких, например, несложных тригонометрических выражений, как sin2х, cos(
В основу метода проверки корней тригонометрического уравнения следует положить понятие периода уравнения.
Пусть дано, например, уравнение:
Легко заметить, что периодом этого уравнения может служить угол 180°.
Действительно,
cos 4(х+180°)=cos (4х + 2 *360°) = cos 4х,
sin 2(х+180°)= sin ( 2х + 360°)= sin 2х и т.д.
Чтобы найти период тригонометрического уравнения, достаточно найти периоды каждой функции, входящей в это уравнение, а затем отыскать их наименьшее общее кратное.
Чтобы найти, пользуясь этим правилом, период вышеприведенного тригонометрического уравнения, надо рассуждать следующим образом: так как период каждой из функций sin 4х и cos 4х равен 
Методику проверки корней тригонометрического уравнения хорошо уяснить на следующем примере.
Пример. Решить уравнение:
cos 2х + 3sin х = 2 (1)
и проверить найденные корни.
Имеем:
(1-2sin²х)+3sin х=2,
2sin²х - 3sin х+1=0.
Отсюда,
sin х1=1, sin х2 =1/2
х1= 360°n +90°,
х2= 180°n+ (-1)ⁿ 30°.
Полученное множество корней бесконечно. Чтобы проверить все корни, достаточно произвести проверку только тех из них, которые лежат в пределах одного периода уравнения. Так как периодом уравнения (1) служит угол в 360°, то проверить нужно лишь корни, которые удовлетворяют неравенству: -180°< х ≤180°.
Если придавать n различные целые значения (положительные, отрицательные или нуль), то мы обнаружим лишь три корня, удовлетворяющие этому неравенству, а именно: 90°, 30°, 150°.
После подстановки их в исходное уравнение (1) найдем, что каждый из них обращает это уравнение в верное числовое равенство.
Действительно,
сos180° + 3sin90°=-1+3 = 2,
cos60° + 3sin30°= 
cos 300° + 3sin150°= 
Есть одно затруднение, с которым сталкиваются учащиеся при решении тригонометрических уравнений. Иногда общий вид углов, правильно найденный учеником при решении тригонометрического уравнения, не совпадает с общим видом углов, указанным в ответе к задаче. Если учитель не обращает на это внимание, то у ученика порой возникает необоснованное сомнение в правильности своего решения. Рассеять это сомнение можно только посредством доказательства, что множество всех найденных корней и множество всех корней, определяемое общей формулой в ответе задачи, между собой совпадают.
Допустим, что при решении уравнения
sin² 
учеником получены корни:
х1= 720°n ± 120°,
х2= 360°(2n+1),
а ответ задачи дан в другой форме:
х= 120°(2n+1).
Для того, чтобы убедиться в равносильности того и другого ответа, найдем сначала период уравнения (он равен 720°), а затем отыщем в обоих случаях корни, лежащие в пределах этого периода, то есть удовлетворяющие неравенству:
-360°<х≤ 360°.
Легко убедиться, что такими корнями в обоих случаях будут лишь ± 120° и 360°. Совпадение корней, лежащих в пределах одного периода уравнения, указывает на равносильность обоих ответов.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Готовимся к ЕГЭ. С1: Отбор корней тригонометрических уравнений.
Актуальна проблема отбора корней тригонометрических уравнений в старших классах. Представлены способы отбора, объединение корней, материала для промежуточного контроля знаний....
План-конспект урока "Отбор корней тригонометрического уравнения"
Для использования в 10-11 классах на уроках и при подготовке к ЕГЭ. Урок формирует два приемами отбора корней при решении тригонометрических уравнений: перебор по параметру и с помощь...
Урок алгебры в 10 классе на тему:"Отбор корней тригонометрических уравнений"
Расматривается три спопосба отбора корней тригонометрических уравнений...
Галимова Р.А. План-конспект урока по математике в 10 классе "Решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней тригонометрического уравнения"
Конспект урока на закрепление умения решать тригонометрические уравнения, рассмотрение случая алгебраического отбора корней при помощи двойного неравенства для целочисленного параметра....
Урок алгебры в 10 классе по теме Выбор корней тригонометрических уравнений
Конспект урока алгебры в 10 классе по теме "Выбор корней тригонометрических уравнений"...
Интерактивный тест "Нахождение корней тригонометрического уравнения"
Интерактивный тест "Нахождение корней тригонометрического уравнения" -2 варианта, тест с самооценкой...
Методическая разработка. Технологическая карта урока по теме: " Отбор корней тригонометрического уравнения на промежутке". 10 класс.
Технологическая карта урока позволяет увидеть целостную картину современного урока. Урок носит проблемный и развивающий характер, способствующий формированию личностных и предметных компетенций....