ТЕМА 1. Рациональные уравнения. Теория. Ключевые методы решения задач.Упражнения.
учебно-методический материал по алгебре (9 класс) по теме

Тема 1.  Рациональные уравнения.

Под рациональным уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде  где - заданные числа, - неизвестное.

Основные методы решения рациональных уравнений.

I. Простейшие. Решаются путем обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и т.д.

Квадратные уравнения  решаются по готовым формулам  Если - четное число, то дискриминант и корни уравнения можно вычислять по формулам   Используются формулы Виета:

Пример. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:  (1).

Приводим уравнение к виду  Переносим, раскрыв скобки, слагаемые из правой части уравнения в левую, приводим подобные, получаем    или   т.е.   Найденные значения  удовлетворяют условиям (1).

Ответ: ,  

Решить уравнения.

1. .                                                                           Ответ:
2.                                                                 Ответ:  
3.                                            Ответ:  
4.                                               Ответ:
5.                                                                  Ответ:

II. Группировка.

Путем группировки слагаемых, применения формул сокращенного умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких множителей, а справа - ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из множителей.

Примеры. Решить уравнение.

1.

Решение.    или

Ответ:

2. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение, записав   теперь группируем  

    или    

Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1.                                                                   Ответ:  

2.                                                                         Ответ:  

3.                                                 Ответ:  

4.                                                       Ответ:  

5.                                       Ответ:  

III. Подстановка.

Ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначаем новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно, что удобно обозначить.

Например, уравнение   легко решается с помощью подстановки   получаем  В уравнении  можно сделать подстановку  получим  и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после преобразований. Например, дано уравнение  Переписав его иначе, а именно  сразу  увидим подстановку  Имеем    Осталось решить  и

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать «заранее».

Например:

1. Уравнение вида  сводится к биквадратному, если сделать подстановку

Пример. Решить уравнение.

Решение. Сделаем подстановку  т.е.  Тогда получаем  Воспользуемся формулой

    Положим  тогда   с учетом   отбрасываем . Итак, , т.е. , отсюда  Следовательно,

Ответ:

2. Уравнение вида  сводится к квадратному если  и т.д.

Пример. Решить уравнение . Перепишем уравнение в виде   Обозначим  тогда   

Поэтому  или

Ответ: 12; -1.

3. Симметрическое уравнение

 (коэффициенты членов, равноотстоящие от концов, равны) решается с помощью подстановки  если  четное; если  нечетное, то уравнение имеет корень  

Пример.  симметрическое уравнение.

Решение. Разделим обе части уравнения на  получим  Замена  тогда   Получаем     Следовательно,         или    

Ответ:

4. Решить уравнение  

               Решение. Это так называемое «однородное уравнение», т.е. уравнение вида  где  заданные числа, отличные от нуля;  некоторые функции от  Делим обе части уравнения на  Получаем  Обозначив  получаем квадратное уравнение относительно .

Разделим обе части данного уравнения на   Пусть  тогда  

Следовательно,      или  

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1. .                                                   Ответ:  

2.                                             Ответ:  

3.                                                  Ответ:  

4.                                             Ответ:  

5.                                                        Ответ:  

6.                                                                        Ответ:  

7.            Ответ:

IV. Подбор.

При решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения  ищем в виде   где  целый делитель   натуральный делитель   и  - взаимно простые числа.

Пример.

1. Решить уравнение

Решение. Здесь   Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел  (целые делители -1 если 1, натуральные делители 4 если 1, 2, 4).

Если   то  т.е.  не является корнем уравнения.

Если   то  т.е.  не является корнем уравнения.

Если   то  т.е.  не является корнем уравнения.

Если   то  т.е.  корень уравнения.

Делим  на

                                        0

Данное уравнение можно представить в виде  Отсюда  (решение, найденное подбором) и  т.е.  Аналогично находим корень этого уравнения:  Снова делим

                       0

Т.е. имеем

             или        

(Решение, найденное подбором.)

Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1.                                                                             Ответ:  

2.                                                Ответ:    

3.                                                                          Ответ:  

4.                                                  Ответ:  

5.                                                  Ответ:  

V. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Основные методы решения.

1. Уравнения вида

а) если  то решений нет;

б) если  то ;

в) если  то

2. Уравнение вида  равносильно системе

3. Уравнение вида  равносильно уравнению

4. Уравнения, представляющие алгебраическую сумму двух и более модулей  решаются методом интервалов. Это делается так:

1. находят критические точки, т.е. значения , при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2. разбивают область допустимых значений  на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняют знак;
3. раскрывают все модули на каждом из найденных промежутков, пользуясь определением модуля  и решают полученные уравнения.

Примеры:

 Решить уравнения

1.                                                          Ответ:

2.                                  Ответ: -1.

3.                             Ответ: 2; -4.

4.

Решение. Это уравнение эквивалентно системе

Ответ:

5. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное уравнение      

Ответ:

6. Решить уравнение

(рис.1)

Решение. Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуля. Отметим на числовой оси полученные значения. Исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов

            а)                    б)                       в)                            г)      

                                                                                  Рис. 1.

а) если   то    и уравнение переписывается так    корень;

б) если  то    поэтому  . Получим неверное равенство, следовательно в промежутке  корней нет;

в) если  то получаем    следовательно  не является корнем;

г) если  то    следовательно  корень.

Ответ:

7. Решить уравнение

Решение.                                                                            а)                     б)                        в)

                                                                                                         0                         1        

а)   тогда    следовательно  не корень;

б)  тогда   верное неравенство, следовательно  любое из

в)  тогда    следовательно  корень.

Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1.                                                        Ответ:    

2.                                     Ответ:      

3.                                             Ответ:    

4.                                                    Ответ:    

5.                                           Ответ:      

6.                                       Ответ:    

7.                                      Ответ:    

8.                                                 Ответ:    

VI. «Искусство».

Т.е. решать задание нестандартно, придумать «свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Примеры.

1. Решить уравнение

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на  получим  Обозначим  Получим      

Следовательно,     или    

Ответ:

2. Решить уравнение

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения    Пусть  тогда  

Возвращаясь к старой переменной, получаем                                 Решением уравнения (1) является  решением уравнения (2):

Ответ:

3. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся формулой . Получаем   Пусть  Тогда   Получаем два уравнения

                 или            

Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1.                             Ответ:    

2.                                                        Ответ: