Тема 16. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Теория.Ключевые методы решения задач. Упражнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Тема 16. Преобразования и вычисления тригонометрических выражений

Напомним основные тригонометрические формулы.

На плоскости  возьмем окружность единичного радиуса, центр которой находится в начале координат. Возьмем на этой окружности точку  и обозначим через  угол между лучом  и положительным направлением оси . Синусом угла  называется ордината точки , косинусом угла  называется абсцисса точки . Определим также тангенс, котангенс, секанс и косеканс формулами:

,  ,

, .

Приведем основные тригонометрические формулы:,

.

Полезно запомнить следующую таблицу значений тригонометрических функций.

Функции синус, тангенс, котангенс являются нечетными, а функция косинус – четная, т.е. при всех допустимых значениях аргумента выполнено     Эти функции периодические. Наименьший период синуса и косинуса равен , а период тангенса и котангенса равен .

Формулами приведения называют формулы, позволяющие упрощать выражения вида ,  , , , - целое. Приведем рецепт, позволяющий, на наш взгляд, легко воспроизвести любую из формул приведения.

Правило 1. Если - нечетное, т.е. дробь  несократима, то формулы приведения меняют тригонометрические функции:

, , , .

Правило 2. Если - четное, т.е. , то

, , , .

Правило 3. Возьмем угол  в первой четверти ( угол   острый) и узнаем знак интересующего нас значения одного из выражений вида

,  , , .

Этот знак следует поставить перед формулой, получаемой по правилам 1, 2.

Например, преобразуем выражение . Согласно правилу 1 . Если угол   острый, то угол  находится в третьей четверти. Поэтому   отрицателен. Следовательно

Для определения знака тригонометрических функций удобно пользоваться следующим рисунком.

Формулы сложения:

Формулы двойного аргумента:

Формулы тройного аргумента:

Формулы понижения степени (половинного аргумента)

Формулы преобразования суммы в произведение

Формулы преобразования произведения в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

;                    ;                                     .

Тригонометрические преобразования

 и вычисления

Примеры.

1) Вычислить , если .

Решение. Так как . Воспользовавшись формулой  , получаем . При   будет  Поэтому .

Ответ: .

2) Найти значение выражения .

Решение. По формулам приведения. Итак,  .

3) Если и , то  равно: 1); 2) ; 3) ; 4); 5) .

Решение.==

Ответ: 2.

Задания.

1) Если  то  равен 1) 2)  3)  4)  5)

2) Значение выражения  после упрощения равно 1)  2) 3)  4) 1; 5) -1.

3) Если , то значение  равно 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5).