План-конспект урока в 10-м классе "Способы решения иррациональных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

План-конспект урока в 10-м классе по теме:

« Способы решения иррациональных уравнений»

Цель:

• обобщение знаний учеников по данной теме;
•  демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;
• показ возможности решения  иррациональных уравнений на основе исследования;
• формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
• воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;
• повышение интереса к предмету.

Форма проведения: семинарское занятие.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.  

1)

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются  уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

  I. Учитель:

На предыдущих уроках  мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень  мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных  уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них  мы сегодня  познакомимся.  

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

II.Выступление учеников

1 ученик.

 Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения  в степень корня.

    х +  = 3х – 7

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

 = 2х – 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

 =

Получаем:

х + 4  = 4 – 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4 – 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5   и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то  = 10 - 7

3 = 3 – верно

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то  = 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение:   

2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.

   Пусть дано уравнение:   -    =  –

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств      <=>   <=> х=2

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

 -  =  –

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.

 Попробуйте решить уравнение:         = х - 2

    3 ученик.   Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых   основывается на  свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

     Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид:   f(x) = с, где f(x) –монотонно  возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид  f(x)= g(x),  где функции f(x) и g(x)    «встречно монотонны», т.е. f(x)  возрастает, а g(x)  убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

  Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

    Пример для изучения

Пусть  дано  уравнение:       + = 6

  ОДЗ уравнения:  х+60;  х

Функции   =     и  =  являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у =  + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

 х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.

Ответ: х = 2.

 Я предлагаю решить на уроке уравнение:

 + = 9 –

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой перменной.  

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение:        +  =

ОДЗ уравнения: х   х

Пусть ,     тогда     

Получаем уравнение t +  =  

 =        = 2

Тогда  

               или      

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

;  х =                      ;    х = 2

Ответ: х =  ;    х = 2

 В классе я предлагаю решить уравнение:  

5 ученик Метод оценки частей уравнения.

Рассмотрим уравнение: + = 14х -  

Запишем уравнение в виде    +  = -( +49)

 +  = -

Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.

Для решения в классе предлагаю уравнение:  

 +  = 0

III. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах  по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание  № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника