Решение задач на процентное содержание.
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

            Решение задач  на процентное содержание. Подготовка к ЕГЭ (В.11)

Цель:  сформулировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показать широту  применения процентных расчетов в реальной жизни, применение математического аппарата к решению повседневных  бытовых проблем каждого человека;

способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств необходимых человеку для жизни в современном обществе,

ориентировать учащихся на обучение по естественно – научному и социально – экономическому профилю. 

 Проценты – одно из математических понятий, которые  часто встречаются в  повседневной жизни. Так, например,  в выборах приняли участие 65% избирателей, рейтинг победителя хит – парада 70%, уровень инфляции составляет 11,3%, банк начисляет 8% годовых.

      Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из Нидерландов. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках.  Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей сотая часть целого.

   Знак «%» происходит, как полагают от итальянского слова  cento  (сто), которое в процентных расчетах часто сокращалось  сto.  Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ.

          Основные типы задач на проценты

1. Одна величина больше (меньше) другой на р%.

    а) Если а больше b на p%, то

             а = b + 0,01pb = b(1+ 0,01p).                   (1)

    б) Если а меньше в на р %, то

             а = b – 0,01 pb =b(1 – 0,01р)                   (2)

    в) Если а возросло на р%, то новое значение равно

            а(1 + 0,01р).                                               (3)

    г) Если а уменьшили на р%, то новое значение равно

            а(1- 0,01р)                                                  (4)

    д) Если число а увеличили на р%, а затем полученное число      

           уменьшили на р%, то

            а(1 + 0,01р)(1 – 0,01р) = а(1 – (0,01р)²)   (5)

 2.  Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге    

исходит от величины, полученной на предыдущем шаге, то применяют формулу сложных процентов:

             в = а(1 + 0,01р)ⁿ,                                      (6)

      где а – первоначальное значение величины,

             в – новое значение величины,

             р – количество процентов,

             п – количество промежутков времени.

3.   Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

             в = а(1 + 0,01р1)(1 + 0,01р2)…(1 + 0,01рп)       (7)

Задача1.

 Цену товара снизили на 30%, а затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

                       Решение.

Пусть первоначальная цена товара х,

тогда х – 0,3х = 0,7х – цена товара после снижения,

0,7х + 0,7х*0,3 = 0,91х – новая цена

1 – 0,91 = 0,09 или 9%.

Используя формулу  (5) имеем:

х (1 – (0,01*30%)²) =х(1 – 0,3²) = 0,91х

Ответ на 9%.

 УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ.

1. Найдите :

    а) 20% от 750,

    б) 450% от 50,

    в) 17,2 от 10,

    г)  15000% от 10.

2. Вычислите на сколько  процентов:

    а) 500 больше 400,

    б) 400 меньше 500,

    в)  3000 меньше 6000,

    г)  6000 больше 3000.

3.  На сколько процентов изменилась величина, если она:

     а) увеличилась в 2,4раза,

     б) увеличилась в 10 раз,

     в)  уменьшилась в 8 раз.

4.  Сколько было, если:

     а) после увеличения на 10% стало 100р,

     б) после уменьшения на 10% стало 500р.

5.   Найти в коком случае первоначальна цена больше:

     а) при скидке 5% заплачено 100р;

     б) при скидке 10% заплачено 90р;

     в) при скидке 20% заплачено 80р;

6.   Сколько процентов составляют:

     а) 0,5 кг от 6 кг;

     б)  375 р. от 100р;

     в)  250р. от 200р;

     г) 15г от 1кг;

7.   На сколько процентов  изменилась цена, если она:

    а) была 100 р, стала 250р;

    б)  была 120 р. стала 100 р.

8.   В магазине цены сначала были повышены на 10%, а затем снижены на 10%.  

                  Решение.

     Пусть х – цена товара, тогда,

     х(1 – ( 0,01*10)² = х( 1 – 0,01) =0,99х

     х – 0,99х = 0,01х  или на 1%

     Ответ на 1%.

9.    Цену товара снижали дважды: первый раз на 20%, а второй на 10%. Сколько будет стоить товар, если его первоначальная стоимость 5000 рублей?    

 Ответ:  3600р

10.  Цену товара  снижали дважды: первый раз на 20%, а второй  раз на 5%.  Сколько стоил товар, если его конечная стоимость 1520 рублей?              

 Ответ: 2000р

11.  Предприниматель покупает кондитерские изделия по оптовой цене 96 рублей и продает их в розницу с надбавкой в 30%. Какова розничная цена?

                      Решение.

     1,3* 96 = 124,8(р.)

Ответ: 124,8 р.

12.  Зарплата служащему составила 6000р.  Зарплату повысили на 15%, а затем понизили на 5%. Н а сколько выросла зарплата?

 Ответ:  185р.

13.  Зарплата служащему составила 8000 рублей. Зарплату повысили на 20%, а затем понизили на 10%. На сколько процентов выросла зарплата?

 Ответ: на 8%

14.   На сколько процентов 4 меньше 5?

 Ответ; на 20%.

15.   На сколько процентов 5 больше 4?

 Ответ: на 25%.

16.   Себестоимость продукции понизилась  на 10% и составила 765    руб. Найти первоначальную себестоимость продукции?

 Ответ:850р.

17.   В драмкружке мальчики составляют 80% от числа девочек. Сколько процентов девочки составляют от числа мальчиков?

 Ответ: 125%.

18.   Сторону квадрата увеличили  на 10%. На сколько процентов увеличится площадь?

 Ответ:  на 21%

19.  Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить  ширину, чтобы площадь не изменилась?

 Ответ: на 25%.

20.   Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?

                  Решение.

Пусть х – искомое количество процентов, тогда по формуле (6) имеем,

 в = а(1+ 0,01р)п,

16 = (1+  0,01х)4, так как х › 0, то

 2 = 1 + 0,02х,

 х = 100

 Ответ 100%.

21. После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 30%. Спустя некоторое время выпуск продукции увеличился на 10%, а после замены оборудования еще на 15%. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции?

Ответ: на 61,45%.

22.  В городе за последние 3 месяца цены на продукты питания выросли с среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Ответ: на 33,1%.

23.  Саша за весну похудел на 20%, за лето поправился на 30%, за осень похудел на 20%, а за зиму поправился на 10% Как изменился его вес?

Ответ: похудел на 8,48%

24. Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5% по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько снизилась?

Ответ: снизилась на 16,4%, составляет 83,6%.

25.  Цена входного билета  на стадион была 180р. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стал стоить билет после снижения?

Ответ: 150 руб.

26.   Первоначальная стоимость товара 1230 руб. , а после разового снижения -  861 рубль. На сколько процентов произошло снижение?

Ответ: 30%.

27.  Первоначальная стоимость товара 2000 руб., а после ее снижения несколько раз на 10% она составила1458 рублей. Сколько раз происходило снижение?

Ответ: 3 раза.

28.  Товар А до уценки стоил в 1,4 раза дороже, чем товар В.  Товар А

был уценен на 15%, а товар В на 10%. Во сколько раз товар А дороже товара В после уценки?

Ответ: в 1,15 раза.

29.  Сумма двух чисел 24.  Найти меньшее из них, если 35% одного из них равно 85 другого.

Ответ: 7.

30.  Сумма двух чисел равна 54, причем одно из них на 20% меньше другого. Найти большее число.

Ответ: 30.

31.  Цену товара понизили на 20%, затем новую цену понизили еще на 30%, и, наконец, после пересчета произошло снижение на 50%. На сколько процентов всего снизили первоначальную стоимость товара?

 Ответ: 72%.

32. Цену на сахар снизили на 20%. На сколько процентов больше сахара, чем раньше можно купить на 100 рублей. Ответ: на 25%.

33.  На некотором участке пути машинист уменьшил скорость на 25%.  На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

Ответ: 33⅓.

34.  Производительность труда повысили на 20%. На сколько процентов уменьшится время работы?

Ответ: 16⅔.

35.  Во время распродажи  масляные краски для рисования стоимостью 231 руб. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок.

Ответ: около 6000р.

36.  На сезонной распродаже в марте месяце зимние сапоги можно купить за 1875 р., скидка на них составила от первоначальной стоимости. Через месяц сапоги подешевели еще на 20%. Сколько денег сэкономит человек от первоначальной стоимости сапог, если купит их в апреле?

Ответ: 1000 руб.

37.  Пеня за несвоевременную квартирную плату  начисляется в размере 0,1% от неуплаченной суммы за каждый день просрочки.

На сколько дней была задержана квартирная плата, если на сумму 2000 была начислена пеня 60руб.

Ответ: 30 дней.

 Если вкладчик открыл счет и положил на него S0 рублей, и банк обязуется ему выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы, то через п лет на вкладе будет

                            Sn = S0(1 + рп/100)                              (8)

Если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу и в конце года банк будет насчитывать проценты уже на новую сумму.  Такой способ начисления называют «сложными процентами»

                            Sn = S0(1 + р/100)п, где п = 1,2,3…   (9)

38.  Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33000 руб.

Ответ: 25000 руб.

39.  Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 руб. на вклад, годовой доход по которому составляет 12% и решил в течении 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на егосчете через 6 лет?

Ответ: 3947руб.65к.

40.   Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за 5 лет, если они воспользуются вкладом «накопление» с годовой процентной ставкой 16%.  Проверьте, выполнит банк свое обещание?

Ответ : да.

41.   Банк «Вини – Пух и Пятачок» начисляет своим вкладчикам по 10% ежемесячно. Иа сделал вклад в этот банк в размере 1 долл. Сколько денег он может снять со своего счета через два месяца?

Ответ :1,21 долл.

42.  Клиент имел в банке счет, по которому  начислялось 6% годовых. После того как банк новые виды вкладов, он  снял с этого счета все деньги и 2000 руб. положил на вклад, по которому начислялось 8%годовых, а остальные - на вклад с 9% годовых. В результате его годовой доход оказался на 130 р. больше, чем по прежнему вкладу. Сколько всего денег он внес на новые вклады?

Ответ :5000 руб.

43.  В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40000 руб. с обязательство и возвратить кредит (с учетом 20%годовых)через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшему примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

Ответ : на 1700 руб.  

44.  Инвестиционный фонд вложил деньги в два предприятия, приносящих годовой доход в 12% и 5%, в первое он внес на 300000 р. больше, чем во второе, и получил в нем за год на 6000 р. больше. Сколько рублей внес инвестиционный фонд в каждое из этих предприятий?

Ответ : 1300 тыс. руб. и 1000 тыс. руб.

45.  Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома.  Крупная премия пролежала дома до лета. За это время цены на товары выросли в среднем на 50%.  На сколько процентов  уменьшилась покупательная  способность отложенных денег?

Ответ : 33⅓ %.

46.  Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся  на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 руб. и в течении2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

Ответ : 10%.