Конспект урока "Задачи с параметрами на исследование свойств функций".
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Тема:Задачи с параметрами на исследование свойств функций.

Учитель: Сидельникова Антонина Владимировна, 1Пересыпкинский филиал МБОУ 2 Гавриловской сош.

Тип урока: вводный урок, частично – поискового типа.

Цели:

-  формирование у учащихся стремления к самостоятельному поиску

    решения;

-   рассмотрение новых методов решения задач;

-   решение задач с использованием нового материала;

-   воспитание у учащихся способности творчески мыслить, предлагать свои

    решения, защищать свою точку зрения;

-   воспитание корректного отношения друг к другу при ведении дискуссии,

     аккуратности при работе в тетради, у доски.

Раздаточный материал:

- карточки с рефлексией.

Правильному применению методов  можно научиться только  применяя их на разнообразных  примерах.

Г. Цейтен

Доказательство – это  рассуждение, которое   убеждает.

Ю.А. Шиханович

Ход занятия

1. Мотивация учащихся, повторение ранее изученного материала

Сегодня мы попробуем научиться применению новых методов и постараемся каждый раз убедить себя в правильности их применения. Начнем же, настроившись на обязательный успех.   В экзаменационном и тестовом материале довольно часто встречаются уравнения и неравенства, требующие так сказать «нестандартного» подхода.  С некоторыми из них мы уже научились успешно справляться. Давайте  вспомним. Перед вами шесть уравнений. Два из них требуют чертежа. По виду уравнения определите с помощью какого метода оно решается, приведите решение, если нужен чертеж - воспользуйтесь предложенными.

1)  2х=11-х;

2)  При каких а уравнение имеет единственное решение?  

     х10-а│х│+а2=а;

3)  5х+12х=13х;

4)  При каких а уравнение имеет бесконечное множество решений?

    │х+1│=х-а;

5)  3│х│=соsх/3;

6)  Определить несколько значений параметра а, при которых данная система

      уравнений имеет только два решения.

        х2+у2=4,

        х+у=а.

               Чертеж №1                              Чертеж №2

Учащиеся определяют методы решении уравнений:

1-  метод, основанный на монотонности функций; 2 – основанный на четности функций; 3 -  на монотонности функций; 4 – графический; 5 –  на ограниченности функций; 6 – графический.

Решения:

 1. {В подобных уравнениях, где слева и справа от знака равенства стоят функции совершенно разных «классов» (в данном случае линейная и показательная), обычно одним из методов решения является функциональный метод}

Ответ: Значение х=1 является корнем уравнения, так как слева стоит возрастающая функция, а справа убывающая (k<0), то 1 – это единственный корень уравнения.

2.{Так как х10 и │х│ - четные функции. То если существует некоторое х0 – решение исходного уравнения, то –х0    - так же является его решением. Значит, условие х0=-х0, откуда х0=0, является необходимым условием существования у уравнения единственного корня. Подставляя его в уравнение, находим а. Остается убедиться, что при этом значении а исходное уравнение действительно имеет лишь один корень.}

Ответ: Вместо х в исходное уравнение поставляем 0.  Получаем: а2=а, отсюда а=0 и а=1. При подстановке а=0 в уравнение, получаем х10=0, отсюда х=0. При подстановке а=1 в уравнение, получаем три корня: 0, 1 и -1. Итак, при а=0 уравнение имеет единственное решение.

3.{Преобразуем данное уравнение к равносильному, в котором в левой части будет находиться убывающая функция, а в правой возраста–ющая}

Ответ: Легко убедиться, что х=3 – корень исходного уравнения. Делим обе части уравнения на 12х, получаем: + 1 = . В левой части убывающая функция, в правой – возрастающая, следовательно х=3 единственный корень.

4.{В одной системе координат строим графики двух функций.Исходное уравнение имеет столько корней, сколько есть точек пересечения графиков при фиксированном а}

Ответ: Воспользуемся чертежом №1. 1-ый график – есть график функции у=│х+1│, 2–ой график – график функции у=х-а. При а=1 данное уравнение имеет бесконечное множество решений.

5{(Основная идея метода мажорант состоит в использовании следующего утверждения: Если для всех хХ справедливы неравенстваf(x)A и g(x)A, где Ф – некоторое число, то на множестве Х уравнение f(x)=g(x) и неравенство f(x)g(x) равносильны системе уравнений

   f(x)=A,

   g(x)=A,

а неравенство f(x)g(x)  выполняется для всех х Х.

Для нахождения мажорант функции могут использоваться различные базовые неравенства.}

Ответ: Оценим левую часть уравнения: 3│х│1; Оценим правую часть:

-1cos1, равенство возможно при 3│х│=1 и cos=1. Корень исходного уравнения х=0.

6. {Графический метод решения системы уравнений}

Ответ:Первое уравнение задает окружность на плоскости, второе – прямую (биссектрису 2-й и 3-ей четверти), которая сдвигается вдоль оси у на │а│единиц,  в положительном, либо отрицательном направлении  в зависимости от знака. Что бы система имела ровно два решения а может быть равно 0, 1.

2. Постановка проблемы, определение темы и цели исследования

Как говорится «повторение мать учения..», но мы не будем останавливаться на достигнутом. И мне хотелось бы, что бы вы попробовали применить свои знания еще на нескольких примерах. Допустим, такой пример:

 Для каждого значения параметра а найти число корней уравнения

 х3-3х2=а.

Предлагайте свои способы решения.

{Чаще всего в случае подобных уравнений,  ребята пытаются решить его графическим путем, перенеся 3х2 в правую часть уравнения.  Строятся графики, их взаимное расположение не дает четкого ответа на поставленный вопрос.  Учащиеся  убеждаются в том, что метод выбранный ими не подходит для решения поставленной задачи}

Ну, что же, ребята, наверное вы считаете, что для решения этого уравнения нужно знакомиться с новым методом? Да, это так, но и не совсем . Метод новый. Но опирается на уж известные нам знания. Метод называется: Метод применения производной при решении уравнений и неравенств. Опирается он на исследование функций. Давайте исследуем функцию f(x)=х3+3х2, построим её график, и пересечем её прямой у=а, отмечая сколько точек пересечения будут иметь графики этих функций при фиксированном а.

Решение.

f(x)=x3-3x;   y=a;   f´'(x)=3x2-6x=3x(x-2)

1. 2             х

f′′(x)<0,  при  хϵ(0;2);  f′′(x)=0, при хϵ{0;2};  f′′(x)>0, при хϵ(-∞;0)U(2;∞).

Таким образом, непрерывная функция f(x) в точке х=2 имеет минимум, а в точке х=0 максимум, причем  f(0)=0; f(2)=-4. Кроме того, f(x) убывает при

хϵ(0;2)    и возрастает при хϵ(-∞;0)  и прихϵ (2;∞).

                    у

                                        у=f(х)

у=а

                       0     2

                                                  х

                  у=а

                 -4

При аϵ(-∞;-4)U(0;∞) – один корень.

При аϵ(-4;0) –три корня.

При а=-4 и а=0 – два корня.

3. Минутка релаксации:(Используются элементы здоровьесберегающей технологии).

Учащиеся выполняют упражнение «вертолёт»: перемещают карандаш между пальцами кисти.

 4.Решение задач по новой теме

Следующее задание звучит так:

Сколько корней имеет уравнение  х3+6х2+9х+1=0

(Некоторые учащиеся предлагают воспользоваться теоремой Безу, но вскоре замечают, что не могут подобрать корень уравнения)

Я немного по другому сформулирую вопрос. Думаю так вы быстрее найдете способ решения. Иными словами, в скольких точках график функции f(x)=х3+6х2+9х+1 пересекает ось х. Теперь понятно, что вновь нужно исследовать функцию с помощью производной и построить график. Важным в этом примере является нахождение значений функции в критических точках.

Решение.

Рассмотрим функцию f(х)=х3+6х2+9х+1, определенную на множестве R.

f′′(x)=3х2+12х+9=3(х2+4х+3)=3(х+1)(х+3).

               +             -                                   +

                      -3                        -1                           х

Критическими точками этой функции являются х=-3  и х=-1, причем f(-3)=1 и f(-1)=-3.  На интервалах  (-∞;-3)  и  (-1;∞) функция возрастает, а на интервале (-3;-1) убывает.

                              у

                              1       у= f(х)  

         -3           -1                           х

                              -3

Таким образом  уравнение х3+6х2+9х+1=0  имеет три корня.

В следующем примере lnx – x = -1+(x-1)2 исходное уравнение записывается в виде f(x)=g(x). В одной координатной плоскости строим график функции g(x) и f(x), предварительно исследовав функцию f(x).

Решение.

Запишем исходное уравнение в видеf(х)=g(x), где f(х)= lnx-х и  g(x)=-1+(х-1)2.  Построим  график  функции  у=g(x). Точка х0=1 в области  допустимых  значений переменной  (х>0)  для функции  

g(x)=у является точкой минимума  (g(1)=-1).

Исследуем  функцию  f(х)= lnx-х.

f '(x)=1/х -1

               +            -

         0             1                             х

Точка х0=1 для функции  у=f(х)  является точкой максимума (f(1)=-1).

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень х=1.

Однако, с помощью производных можно решать не только уравнения, но и неравенства. Рассмотрим пример.

Решить неравенство х3+4х-16>0

(Иными словами, при каких х график функции лежит выше оси х)

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(х)=х3+4х-16. Производная f '(x)=3х2+4, для каждого действительного х имеем f ' (x)>0. Таким образом, функция f является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой, поэтому её график может пересекать ось Ох только в одной точке. Учитывая, что f(2)=0, заключаем, что решениями данного неравенства являются все числа х из промежутка х(2;+).

5. Домашнее задание

В качестве домашнего задания я предлагаю вам решить следующие примеры:

Решить неравенства:

1. 2х9-х5+х>2;
2. х27+х18+448<0;

Решить уравнения:

3. sin(х)=х2+х+1;
4. log2 (4-х)=х-3;
5. х2-х+2=2;

6*. х-7 + 2 + 13,3 =  + х;

6. Подведение итогов

До конца занятия остается совсем немного времени. Давайте очень кратко сформулируем основные знания, полученные вами сегодня.

- метод решения уравнений и неравенств, который мы сегодня использовали называется….. (метод с использованием производной);

- с помощью производной мы….(исследуем функцию);

- находим промежутки её….. (возрастания и убывания);

- а так же….(критические точки);

- с помощью этого метода  решаются  задачи на….(нахождение количества корней уравнения; нахождение количества корней уравнения в зависимости от значения параметра а; нахождения корня уравнения (если при данном значении х одна из функций достигает своего максимума, а другая – минимума); а так же решаются неравенства).

7. Рефлексия

И самое последнее задание: перед вами лежат карточки с вопросами,прочитайте вопросы, подумайте и ответьте. При выходе из  класса карточки положите мне на стол. Подписывать их не надо, отвечайте абсолютно честно, мне интересно как вы восприняли это занятие, остались ли у вас сомнения. Думаем, отвечаем. Спасибо. Занятие закончено.

Карточка: