Место задач с параметрами в изучении свойств квадратичной функции
методическая разработка (алгебра, 8 класс) на тему

Место задач с параметрами в изучении свойств квадратичной функции ,

Содержание

1. Квадратичная функция, её место в курсе алгебры 8 класса
2. Что ученик 8 класса знает о квадратичной функции
3. Что такое параметр, задача с параметром, допустимое значение параметра и решение задачи с параметром
4. УМК А.Г. Мордковича, базисный уровень, задачи
5. Звавич Л.И., Рязановский А.Р., Алгебра 8, задачник для учащихся общеобразовательных учреждений

1. Квадратичная функция, её место в программе

2. Что ученик 8 класса знает о квадратичной функции:

1. Определение: Функцию , где  - произвольные числа, причём , называют квадратичной функцией.
2. Теорема: Графиком квадратичной функции  является парабола, которая получается из параболы  параллельным переносом, при котором вершина параболы оказывается в точке с координатами .

Замечание: В этой теореме присутствуют формулы для вычисления координат вершин параболы : (*), (**). На практике вместо (**) используют выражение .

3. Область определения функции есть множество действительных чисел или интервал .
4. - непрерывная функция.
5. Осью симметрии параболы служит прямая .

3. Что такое параметр, задача с параметром, допустимое значение параметра и решение задачи с параметром

Для того чтобы понять, что такое параметр, задача с параметром, допустимое значение параметра и решение задачи с параметром я предлагаю отправиться на страницы книги Мирошина В.В. «Задачи с параметрами. Теория и практика». Там можно найти необходимые определения, следствия из них и сопровождающие комментарии. Если «вырезать» из изложения большинство примеров, приводимых автором, то получается что-то наподобие витаминного коктейля с высокой концентрацией питательных веществ, что, безусловно, полезно, но может вызвать некоторый временный шок. Если Вам следующий текстовый блок будет даваться с трудом, открывайте книгу Мирошина.

Определение: Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе её решения, «управляющая решением» задачи.

Определение: Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия параметр, называется задачей с параметрами.

Следствие 1: Все величины, входящие в аналитическое выражение, задающее условие задачи, подразделяются на две категории: постоянные и переменные.

Определение: Постоянными называются величины, значения которых остаются неизменными в условиях любой задачи, использующей их.

Следствие 2: Объявление тех или иных независимых переменных искомыми или параметрами определяется либо условиями задачи, либо методами, используемыми в ходе её решения.

Следствие 3: Любая переменная, входящая в аналитическое выражение, задающее условие задачи, может быть объявлена неизвестной (аргументом).

Следствие 4: Все оставшиеся переменные объявляются параметрами, которым «присваиваются по умолчанию» некоторые числовые значения, входящие в область определения аналитического выражения, задающего условие задачи.

Определение: Допустимым значением параметра будем называть такое его значение, при котором область определения данной задачи есть непустое множество.

Другими словами: значение параметра считается допустимым , если найдется хотя бы один набор значение других переменных, входящих в условие данной задачи, при подстановке которого совместно с данным значением параметра в аналитическое выражение, задающее условие оно (выражение) имеет смысл.

Пример: В уравнении  допустимым является любое значение параметра, хотя для каждого из них существует единственное значение переменной, при котором данное уравнение имеет смысл.

Все задачи с параметрами делятся на два класса «по условию». В одном из них ставится условие отыскать решение задачи, а во втором -  отыскать некоторое подмножество допустимых значений параметра или параметров, при каждом из которых соответствующие решения задачи обладают указанными свойствами.

Определение: (первый класс задач) Решить задачу с параметрами –  это значит, установив множество допустимых значений параметра, решить каждую частную задачу, получающуюся при каждом из таких значений.

Определение: (второй класс задач) Решить задачу с параметрами – это значит найти подмножество допустимых значений параметра, при каждом из которых решение частной задачи отвечает условиям задачи.

4. УМК А.Г. Мордковича, базисный уровень, задачи

22.28. Найдите значение коэффициента , если известно, что график функции  пересекает ось ординат в точке .

Решение

Задачу можно отнести ко второму классу задач с параметрами. Далее будем коротко обозначать принадлежность данному классу задач следующим образом:

ЗсП_2

Множество допустимых значений коэффициента , который в нашей задаче является параметром (в силу данного выше определения), совпадает с множеством действительных чисел.

При любом значении  графиком данной функции будет некоторая парабола, пересекающая ось ординат в единственной точке (в силу определения функции). Аналитическое задание функции, график которой проходит через точку  обращается в верное числовое равенство при подстановке координат данной точки вместо независимой переменной  и зависимой переменной . А выражение  - в уравнение относительно :

, откуда следует, что = 2.

Рисунок 1

Ответ: при = 2 график функции  пересекает ось ординат в точке , Рисунок 1.22.30. Найдите значение коэффициента , если известно, что осью симметрии графика функции является прямая .

Решение

ЗсП_2

Множество допустимых значений коэффициента , который в нашей задаче является параметром (в силу данного выше определения), совпадает с множеством действительных чисел.

Для решения задачи вспомним, что уравнение оси симметрии параболы выглядит так: . Так как старший коэффициент квадратного трехчлена нам известен (), то необходимо решить уравнение  относительно . Получаем, что .

Рисунок 2

Ответ: при  осью симметрии графика функции является прямая , Рисунок 2.22.49. При каком значении коэффициента  вершина параболы  находится на расстоянии 5 от начала координат?

Решение

ЗсП_2

Множество допустимых значений коэффициента , который в нашей задаче является параметром (в силу данного выше определения), совпадает с множеством действительных чисел.

В силу справедливости формул для координат вершины параболы

, , координаты вершины нашей параболы , задаются алгебраическими выражениями, зависящими от параметра : , .

Расстояние от начала координат до вершины параболы можно рассмотреть как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны  и , по теореме Пифагора. Тогда справедливо уравнение относительно параметра  : . Воспользовавшись свойством модуля, можно упростить правую часть данного уравнения и свести его к квадратному уравнению вида , которое имеет два решения: , .

Ответ: при  и при  параболы  находится на расстоянии 5 от начала координат.

22.54. График какой квадратичной функции проходит через точки , , ?

Решение

Эта задача может быть переформулирована следующим образом: найдите значения коэффициентов   квадратичной функции , график которой проходит через точки , , .

ЗсП_2

Множества допустимых значений коэффициентов и, которые в нашей задаче является параметрами (в силу данного выше определения), совпадают с множеством действительных чисел. А множество допустимых значений коэффициента , который в нашей задаче также является параметром (в силу данного выше определения) есть объединение двух открытых лучей: .

Так как график функции  проходит через точку, то , откуда  = 1.

С учетом найденного значения параметра и координат еще двух точек графика ( и ) получим систему двух уравнений от двух переменных:   и .

, решением которой является пара чисел

Ответ: график функции проходит через точки , , .

5. Звавич Л.И., Рязановский А.Р., Алгебра 8, задачник для учащихся общеобразовательных учреждений

20.40. При каких значениях параметра  функция  убывает на промежутке ?

Решение

ЗсП_2

Множество допустимых значений параметра  совпадает с множеством действительных чисел.

Так как старший коэффициент положителен, то функция убывает  при .

Воспользуемся формулой координаты вершины параболы:  и значениями коэффициентов нашей квадратичной функции, второй из которых зависит от параметра , тогда . Следовательно функция убывает при  и при промежуток  принадлежит промежутку убывания функции.

Ответ: при  убывает на промежутке .

20.44. Найдите все значения параметра , при которых функция  принимает равные значения в точках -5 и 3.

Решение

ЗсП_2

Множество допустимых значений параметра  совпадает с множеством действительных чисел.

Рисунок 3

Квадратичная функция принимает равные значения в точках симметричных относительно оси параболы. Точки -5 и 3 симметричны на числовой прямой относительно -1, следовательно  - уравнение оси параболы и . Воспользуемся формулой координаты вершины параболы:  и значениями коэффициентов нашей квадратичной функции, второй из которых зависит от параметра , тогда , то есть  и . Ответ: при  функция  принимает равные значения в точках -5 и 3.

20.92. Рассмотрите график функции  (Рисунок 3). Найдите все такие значения , при которых .

Ответ: при .