Интегрированный урок (математика + физика) по теме "Производная. Применения производной", 10-й класс

                                                  Федотова Марфа Ивановна – учитель математики

                                               Иванова Аксиния Алексеевна – учитель физики

Цель интегрированного урока – дать учащимся всесторонние (углубленные и расширенные) знания о предмете изучения, его целостную картину. Основные его свойства – синтетичность и универсальность. Он позволяет посвятить учащегося в конечные цели изучения не только данной темы, раздела, но и всего материала, быстрее включить его в познавательный процесс.

По своей структуре он является повторительно-обобщающим.

Оборудование урока:

1. проектор;
2. персональный компьютер.

ФМИ- Здравствуйте! Рапорт дежурного. Рады видеть всех, присутствующих на этом интегрированном уроке, который позволит объединить знания по математике и физике.

Эпиграфом к уроку выбраны слова ученого-химика Евгения Вагнера: “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются”.

Цель наших совместных действий определим следующим образом: в ходе урока мы должны убедиться в значимости знаний, получаемых на уроках математики, и их прикладном характере и эффективности использования при решении физических задач. Только осознанное применение знаний, овладение математическим аппаратом, умение логически мыслить позволит достичь успехов в покорении вершин других наук.

Ход урока

1. Кроссворд

Какой математической операции посвящен урок мы узнаем, если правильно ответим на вопросы кроссворда. (Слайды №4-12)

Вопросы кроссворда: 

1. Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
   “Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
   заданной точки ”.
2. Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени.
3. Приращение какой переменной обычно обозначают х?
4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют... (Подсказка: график такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги.)
5. Что является мерой изменения механической энергии?
6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.
7. Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию называют.. .

Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово “Лагранж”.

ИАА

2. Историческая справка

С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как нахождение производной. Обратимся к истории появления в математике термина “ производная”. Небольшая историческая справка-сообщение об ученых Лагранже, Ньютона, Декарте, Ферма, Лейбнице. (Слайды №13-16)

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же - флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.

Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в “Геометрии” Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.

Итак, теперь мы можем сформулировать тему урока: “Производная. Геометрический и физический смысл производной”.

ФМИ

3. Устный опрос.

Ответим на следующие вопросы:

1. Что такое производная функции?
2. В чем ее геометрический смысл?
3. В чем ее физический смысл? (Слайды №17-18)

4. Математический диктант

 Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете в совершенстве.

Ответы к диктанту. (Слайд №19-21)

Математический диктант написан, бланк ответов, лист с диктантом сдан. Пожалуйста, поднимите руки, кто из вас написал диктант без единой ошибки? Сделал не более трех ошибок?

ИАА

5. Связь с другими науками.  (Слайд № 22 - 30)

Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, физике, так и по экономике, биологии и другим наукам.

Показ слайдов (биологии, химии, географии)

Сила тока I – это производная от заряда q(t)  

Если q (t) = t+ 4 t

I (t) = q'(t) = (t + 4 t)' = 1 – 4t2 

I (t) = 0 при 1 – 4t2 = 0

(t2 - 4)   t2= 0

Условию задачи не удовлетворяет t = – 2 (c)

Значит, сила тока I = 0, при t = 2(c).

Производная – это скорость роста функции.

1. Мощность – это производная работы по времени P = A'(t).
2. Сила тока – производная от заряда по времени I = q'(t).
3. Сила – есть производная работы по перемещению F = A'(x).
4. Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).
5. Давление – производная силы по площади P = F'(S)
6. Длина окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).
7. Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
8. Успехи в учебе? Производная роста знаний.

ФМИ 6.  Работа по графику.  (Слайды № 31 - 37)

Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете этим эффективным и универсальным инструментом - производной.

 Вам предлагаются четыре графика функций. Пожалуйста, ответьте на следующие вопросы:

По первому графику определите знак углового коэффициента
касательной, проведенной к графику функции в точках с абсциссами “а”, “в”, “с”.

На следующих графиках укажите точки, в которых производная
равна нулю, и точки, в которых производная не существует.

Ответы к заданиям:

1) Знак углового коэффициента в точке с абсциссой “а” - плюс,
с абсциссой “в” - минус, с абсциссой “с” - плюс.

2) На втором графике производная равна нулю в точках 0 и 3,5 , не существует в точке -1.

3) На третьем графике производная равна нулю в точке -4 и не существует в точках -2, 6, 2.

4) На четвертом графике производная равна нулю в точках -4 и -1,5 и не существует в точке 4.

ИАА 7. Решение задач по “Кинематике” (Слайды № 38 - 41)

Эффективность использования производной подтверждается также обращением к задачам по физике из раздела “Кинематика”.

1. Координата тела меняется по закону X = 5 - 3t + 2t2 (м).
2. Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 сек
3. Пусть X = 2 + 4t2 - sin2πt. Найти: а)мгновенную скорость, б)ускорение, если t = 0,5c

Первую задачу решим, используя формулы, связывающие между собой кинематические характеристики равнопеременного движения.

Vox= - 3 м/с; хо=5 м; ах = 4м/с2 —> Vx = Vox+ axt =-3 + 8 = 5 (м/с)

Эта задача решается довольно просто. Но как быть, если координата движущегося тела с течением времени изменяется по закону: Х=2+ 4t2- sin2πt а необходимо ответить на вопрос: “Какова скорость и ускорение этого тела в момент времени 2 секунды?” Формулы кинематики нам здесь не помогут. К чему, по вашему мнению, мы должны обратиться? - Конечно, к производной, к ее физическому смыслу. Это позволит нам практически без особых усилий ответить на поставленные вопросы.

V(t) = X'(t) =8t - 2πcos 2πt = 16 -2π cos 4π =16 - 6,28•1≈10 (м/с)

ax(t) = V'(t) = 8 + 4π2 sin 2πt = 8 (м/с2)

ФМИ 8. Защита презентаций (слайд № 42)

Каждая группа защищает свою презентацию по решению задач по теме: «Производная и ее применение»

ИАА 9. Самостоятельная работа (слайд № 43 – 44)

Вам предлагается самостоятельная работа, при верном решении которой мы получим ключ к дальнейшим действиям. В бланк ответов (один на три варианта) вы заносите буквы, соответствующие полученным решениям; первая команда - с цифры “1” по “4”, а вторая - с “5” по “8” , а третья - с “9” по “12”. Не забудьте на бланке указать номер команды  и соответствующий вариант.

Тест. Вариант 1

1. Точка движется по закону S(t)=2t3+3t.

Чему равна скорость точки в момент времени t= 1c ?

А) 5                Е) 12         И) 9          К) 13

2. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции g(x)=4x2 - х в точке х0=1

Д) 8            С) 7                  В) 3

3. Найти силу, действующую на материальную точку массой З кг, движущуюся прямолинейно по закону S(t)=3t3 - 4,5t2 при t=2c?

И) 27            Б) 30                  С) 81                   Т) 54

4. Найти производную функции g(x)=tg(2x+π3)

О) 2(2x+п3) cos2x         Д )   2    cos2x              Л)   2cos2 (2х+п3)

Тест. Вариант 2

5. Заряд, протекающий через электролит, меняется по линейному закону q=2t + 0,02t3 (Кл)

Какова сила тока в цепи в момент времени t=5c?

Р) 2,0                           О) 1,5                                   Е) 3,5                    П) 4,0

6. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2 - Зх + 5 в точке х0=-1

Д)  у=-5х + 4                             Э) у=5х-4                                   Х) у=-5х

7. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= - t36+3t2-5.Найти момент времени t, когда ускорение точки равно 0.

А) 2             М) 4                 К) 8                   0) 6

8. В какой точке графика функции y = кx касательная наклонена к оси абсцисс под углом 30°?

     В) нет ответа 

Тест. Вариант 3

9. Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, меняется с течением времени по закону q(t)=0,4t + 3t2 + 1

Найти мгновенное значение силы тока в момент времени t=2c

Ф)19                   А)12,4                   В)13                             И)21,04

10. Найти производную функции

11. Две материальные точки движутся по законам: Xl(t)=2,5t2-6t+l;      X2(t) =0,5t2 + 2t - 3

В какой момент времени их скорости равны?

Р)10                   Б) 4                 И) 2                          Ю) 7

12. Составьте уравнение касательной к графику функции у=2 - х2 в точке х0=3

А) у =2х +5           Е) у =-6х +11                  В) у = -Зх - 6                           Г) нет ответа  

10. Исследование функции

ФМИ Итак, если вы абсолютно правильно решили все задания, то мы читаем слово “исследование”, а оно, как никакое другое соответствует теме нашего сегодняшнего урока. Как применить производную к исследованию функции, мы увидим на следующем примере (слайд №45 – 46):

Исследовать на монотонность функцию у =2х3 +3х2 -1 и построить график этой функции.

f(x) = 6x2 + 6x = 6x(x + 1)

Умение исследовать поведение функции очень важно и при решении физических задач, особенно тех, которые традиционными способами решаются сложно и громоздко.

ИАА 11. Итог урока (слайд №47 – 48)

Завершая урок, мы надеемся, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая может выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук. Прав был Вагнер, когда говорил, что “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются”.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер. Имеют ли они отношение к теме нашего урока? Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? Если - да, то как? Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока (Слайд 40).

Урок завершен. Всего вам доброго. До свидания