Заключний урок проекту: Фрактали – це наука чи краса?
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

 Тип проекту: інформаційний.

 Мета проекту:

• Довести,  що фрактали – наукові елементи , є красивими та наглядними для використання в багатьох галузях нашого життя.

•  Розширити вміння та навики пошуку додаткової  інформації, роботи з комп`ютером .                  

Задачі  проекту:

•  Закріпити знання отримані в процесі навчання на уроках математики, фізики, географії, хімії та в позаурочний час.

• Розширити відомості   учнів про історичне походження фракталів,  про видатних математиків, минулого сторіччя, що внесли свої знання в тему  фракталів.
•  Виховувати вміння працювати у групі, знаходячи компроміси та спільні рішення  однієї    проблеми.
•   Розвивати соціальні компетентності  учнів, їх  вміння презентувати   свій «продукт» роботи.  

 Етапи проведення проекту  (5 «П»):

• «Проблема».

 Інтерактивна вправа «Мозковий штурм». Формулювання проблеми, яка стала темою проекту.Формування груп 

  Обговорення джерел інформації, захисту авторських прав.

               «Планування»

  Обговорення та складання плану роботи кожною групою проекту. «Історики» отримали завдання зібрати відомості про дослідження та виникнення поняття «фрактал», а також про вчених, які зробили внесок у розвиток цієї теми. «Математики» повинні донести всю теоретичну основу знань відому сучасній науці з цієї теми. «Науковці» отримали завдання знайти  різноманітні науки, сфери  життя людини та  воточуючому середовищі де  фрактали несуть наукову ідею . «Мистецтвознавці»  отримали завдання знайти інші науки чи сфери людської діяльності, мистецтва де б використовували красу   фракталів .

• «Пошук інформації».

Самостійна робота з виконання завдань. Підготовка членами груп звітів про проведену роботу.

• «Продукт».

Формування результатів та висновків. Складання продуктів проектної діяльності (відеороликів, презентацій, газет, буклетів, стінгазет, уроку-кейсу для сайта Xvatit.com, тощо. )

• «Презентації "

Аналіз виконаної  роботи, написання звітів, самооцінка, захист продуктів проекту перед учнями паралельного класу та на засіданні районного методоб`єднання мат-ків.

Мета уроку:

• Навчальна: розширити знання з математики, показуючи красу математичних формул; розкрити області застосування фракталів ; показати, що фрактали – засіб дослідження процесів дійсності й  сучасного виробництва; формувати єдину наукову картину світу.
• Виховна: виховувати волю та наполегливість у досягненні кінцевого результату; толерантність під час групової  діяльності; любов до людини, краси, гармонії, всесвіту, рідної мови; розвинути любов до математики.
• Розвиваюча: розвивати соціальні компетентності, здібності учнів  і їх  інтерес до математики, пошуково-пізнавальну активність та самостійність при розв`язанні проблеми, продовжити розвиток вміння аналізувати, порівнювати, бачити аналогію задач; розвивати вміння досліджувати, систематизувати вивчені факти.

Обладнання:проектор, комп`ютер,учнівські продукти проекту(презентації, газета, буклети), музичні записи, індивідуальні бейджики відповідно групам.

Хід уроку:          

 Вступне слово вчителя:   Ви, звичайно, чули про  фрактали. Ви бачили ці захоплюючі картинки більш реальними, ніж у комппрограмі Bryce3d. Вони  самі по собі є реальністю. Гори, хмари, дерева, кора це все, що виходить за рамки знайомої  евклідової  геометрії. Ми не можемо описати камінь або берегову лінію островів через прямі, кола і трикутники. І тут нам приходять на допомогу  фрактали. Чи любите ви дивитися на нічні феєрверки,  або розглядати блискавку,  синє полум'я від  розгалуження  електричної  зброї нанороботів у фантастичних екранізаціях, розглядати  морозні візерунки на вікнах, або може  ви любите ловити так  відмінні одна від одної сніжинки та вважаєте їх форму унікальною?  Якщо так, то вам обов'язково сподобаються фрактальні структури ! Що ж  це за  незнайомці? Де їх використовують? Та чи є вони науковими , чи може ці фрактали є елементами мистецтва? Тож на ці та багато інших питань ми, сподіваємось, дамо пояснення на цьому заході.

Трохи про проект. (Вчитель називає мету та етапи проекту).  І першим надається слово групі  «Істориків»      

«Історики»: (їх виступ супроводжується показом ілюстрацій на екрані монітора з розданого всім учасникам буклета та демонстрацією стінної газети .)

  Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт. Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в  роботах Рона Еглаша «Африканські Фрактали», задокументовано фрактальні геометричні фігури в мистецтві  тубільців. В 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю Керівництво Художника, один із розділів якої має назву «Черепичні шаблони, утворені пентагонами». Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.  Ідею «рекурсивної  самоподібності» було висунено філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. В 1872 Карл Веєрштрас побудував приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційовної — графік цієї функції тепер би називався фракталом. В 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштраса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих було далі розвинено Полєм П'єром Леві, який у своїй роботі Криві та поверхні на площині та у просторі, які складаються із частин, схожих на ціле, виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві.  Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали. Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці 19 та на початку 20 століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проте за браком сучасної комп'ютерної графіки у них забракло засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.   В 1960-их роках, Бенуа Мандельброт почав дослідження самоподібності в своїх роботах, наприклад: Яка довжина узбережжя Британії? Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів, яких є більшою за топологічну розмірність. Він проілюстрував своє математичне означення захоплюючими зображеннями, зробленими за допомогою комп'ютера. Ці зображення привернули велику увагу; багато з них базувалися на рекурсії, що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.

 Слово надається групі «Математикам» (їх продукт - презентація):   

Фрактали можна класифікувати відповідно до їхньої самоподібності. Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:

 Точна самоподібність — Це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при любих збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність.

Майже самоподібність — Слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.

Статистична самоподібність — Це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення «фракталів» просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними.                                                                           

Слід зазначити, що не всі самоподібні об'єкти є фракталами; наприклад, числова вісь (евклідова пряма) є точно самоподібною, але, оскільки її розмірність Гаусдорфа та топологічна розмірність дорівнюють одиниці, вона не є фракталом.

   Слово надається групі «Науковцям» (їх продукти – презентація, виставка природних фракталів: капусти 3-х видів, цибулі білої, синьої та звичайної, зонтика укропу, кімнатних рослин у формі дерев,ракушок різних форм та розмірів, коралів  ).

 В математиці концепція фракталів має геометричну сутність, яка представляє систему самоподібних фігур, розташованих  природним чином. Як математичною формулою можна описати форму і розмір окремих елементів та їх розташування відносно один одного.                                                                                                                                                                                          

Рис. 1 а     Багато природних об'єктів також самоподібні  і складаються з повторюваних елементів  різних розмірів. Очевидні приклади – дерева, кущ, колонії коралів. Навіть більш яскравим прикладом є суцвіття укропу, "парасолька", яка в свою чергу складається з маленьких парасольок. На рисунку 1. а  суцвіття рослин, родини umbelliferae і на рисунку 1.b це схема, побудована з використанням фрактальної графіки. 

Можна припустити, що форма і структура будь-яких  природних об'єктів, включаючи біологічні, підвласні математичних законам.Зокрема, існує гіпотеза, що такі моделі є основою морфогенезу рослин.                    Рис. 1 б.    Знайшли безліч природних об'єктів, структура, яких схожа на фрактали:  гілки дерев,  які повторюють  великі гілки  стовбура, сніжинки, судини  крові і нерви, карта півкуль головного мозку і будь-які карти, і так далі.

Фрактали в медицині: система розгалуження нервової та кров`яної систем, будова ДНК, будова мозку, інше.

Географічні фрактали: гори, молнії,  берегові лінії островів і багато іншого.

    Літературні фрактали.  

 Серед літературних творів є ті, які мають текстову, структурну або семантичну фрактальну природу. У потенційно нескінченнх фракталах, повторив текстових елементів тексту: вінок с                         сонетів (15 віршів), вінок вінків сонетів(211 вірші), вінок вінків вінків сонетів (2455 вірші) "оповідання в оповіданнях" ("книга тисяча і однієї ночі", j. Потоцького "Рукопис у Saragosse")

БЕЗКОНЕЧНА ПІСЕНЬКА

Був собі журавель

та журавочка,

наносили сінця

повні ясельця.

Наша пісня гарна й нова,—

починаймо її знову:

був собі журавель

та журавочка...

(і так далі без кінця).

Олена Пчілка

Використання фрактальної геометрії в дизайні антенних пристрої в була вперше використана американським  інженером  Nathan Cohen, який  тоді жив у Бостоні, де установки заборонили на будівлях як  зовнішні антени . Натан вирізав із алюмінієвої фольги форму кривої Коха і потім наклеїв на папір та приєднав до приймача. З'ясувалося, що ця антени працює не гірше, ніж звичайна.  І хоча фізичні принципи антени  до цих пір не відомі, це не завадило Коену ,  створити свою власну компанію і встановити їх серійний випуск.

Висновок: фрактали – научний сивол,  яким користуються більшість наук сучасності для більш глибшого та точнішого вивчення своїх розділів.

  Слово надається групі «Мистецтвознавці»(продукт – презентація та виставка робіт з використанням само подібності: мандали, вив`язані учнями школи; саморобні із пластиліну трикутники Серпінського, матрьошки, шкатулки, розписані хохломою та підбірка фрактальної танцювальної музики ). 

Жодна сучасна креативна особистість не може уявити собі творчість без прикрас. І однією із форм стали фрактали. Постер-фрактали замінюють картини в інтер`єрі офісів, в будинках.

  У наш час все більше і більше набирає обертів у  тюнінгу авто  аерографія.  Останнім часом деякі  студії стали, використовувати тривимірне моделювання для більшого контролю якості покриття.

Сучасна поліграфія має надзвичайно широкий спектр послуг і методів.  Це включає в себе велику кількість і різноманітність друку на майже будь-якій поверхні і охоплює дуже широкий спектр продукції, особливо модними стали фрактальні малюнки

  Як ви вже знаєте, зараз досить часто фрактали, і зокрема фрактальна графіка  використовується в художній діяльності.  Чого тільки коштують зображення фрактальності  створені художниками , які підтримуються за допомогою комп'ютерних програм. А  інші аспекти  творчо ї діяльності чи підпорядковуються фракталам?  Наприклад музика?  Фрактали, математичні об'єкти. Здавалося б, які  відносини можуть бути між фракталами і музикою? А виявляється безпосередньо! Навіть Піфагор помітив, що частоти відношення двох сусідніх нот  завжди різні, і співвідношення частоти двох нот,  розділених чотирима позиціїями, навпаки, завжди постійна  -3/2.

 Через сторіччя, проблема була вирішена Веркмейстером.  В 20 столітті було винайдено новий музичний інструмент, комп'ютер а в другій половині двадцятого століття комп'ютерну  музику на основі теорії алгоритмів, яку назвали «фрактальною».

 Висновок: фрактали   - це наукова  краса або красива наука  , якою насолоджуються у всьому світі у різних сферах життя.  

ЗАКЛЮЧНЕ СЛОВО ВЧИТЕЛЯ.