10 класс Конспект урока обобщения и систематизации знаний (модульный зачёт )
план-конспект урока по геометрии (10 класс)
Разработан для 10 класса (профильный уровень)
Продолжительность: 2 урока
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Разработан для 10 класса (профильный уровень) Продолжительность: 2 урока | 151 КБ |
Предварительный просмотр:
МБОУ «Гатчинская СОШ №9
с углубленным изучением отдельных предметов »
Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме: «Решение тригонометрических уравнений» |
учитель математики
Ровенская Алла Николаевна
2021 год
г. Гатчина
Конспект урока-игры по предмету
алгебра и начала математического анализа
по теме:
«Решение тригонометрических уравнений»
разработан для 10 класса (профильный уровень)
Тип : урок обобщения и систематизации знаний (модульный зачёт )
Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.
Продолжительность: 2 урока
Обучение ведётся по учебнику для 10-11 классов средней школы «Алгебра и начала математического анализа» авторов А.Г. Мордковича, Л.О. Денищева и др. по программе углубленного изучения математики.
Цели урока
1. Учебные:
- обеспечить деятельность учащихся по формированию знаний об основных методах решения тригонометрических уравнений;
- создать условия для развития логического мышления при подборе
метода решения; - способствовать развитию познавательных и исследовательских умений учащихся, повышению культуры общения;
- способствовать развитию у учащихся навыков и самоконтроля знаний.
2. Развивающие:
- Способствовать развитию самостоятельности, внимания, памяти, логического мышления, креативности учащихся;
3. Воспитательные:
- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
- Воспитывать чувство ответственности за свое здоровье и здоровье окружающих;
- Воспитывать интерес к изучаемому предмету, теме путем применения игровых методов обучения, создания проблемных ситуаций на уроке.
Структура урока:
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент (3мин)
1.2. Устная работа (15 мин.)
2. Основная часть урока.
2.1 . Решение уравнения методом сведения к квадратному (10 мин.)
2.2. Решение уравнения методом разложения на множители (8 мин)
2.3. Решение однородные тригонометрические уравнения (6 мин.)
2.4. Решение уравнения методом введения вспомогательного аргумента (6 мин).
2.5. Решение тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения (20 мин)
2.6 Применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях (15 мин)
на «4», «5»
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы (3 мин)
3.2. Информация о домашнем задании (2 мин)
3.3. Подведение итогов урока (2 мин)
Подготовка к уроку.
Трое учащихся из 11 класса сдают зачет по карточкам на 3 варианта за день до проведения этого зачета. Они будут принимать участие в качестве ассистентов. Результаты зачета заносятся в таблицу.
Ход урока.
1. Вводно-мотивационная часть
1.1. Организационный момент.
Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.
Содержание этапа:
1. Приветствие.
Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме
«Решение тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.
2. Проверка готовности учащихся к уроку.
Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!
3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.
Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.
Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения.
До начала этого урока мы поделили учащихся на 3 команды.
Каждый ученик будет приносит своей команде определенное количество баллов.
Все зависит от того, какой объем работы он сделает, а именно: сколько уравнений он сможет решить и на сколько вопросов он сможет дать верные ответы.
Мне сегодня будут помогать ассистенты, которые дома уже решили часть заданий и готовы оценить ваше решение. Если возникнет необходимость, они помогут вам найти ошибку, чтобы вы смогли решить уравнение самостоятельно до самого конца.
Но подходить к ним можно будет не более 3-х раз.
На втором уроке вам будет предложена карточка с уравнениями. Вы сами будете выбирать методы решения этих уравнений. Решать можно будет в группах (командах), помогая друг другу.
Далее, обсудим полученные результаты работы на уроке, подведем итоги. Поздравим победителей, оценим индивидуальную работу, выяснив, кто из Вас принес своей команде самое большое количество баллов.
Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.
1.1 Проверка домашней работы
Один человек у доски решает уравнение
sinx + (cosx/2-sinx/2) (cosx/2+sinx/2)=0
1.2. Устная работа. (15 минут)
Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.
а). Фронтальный опрос.
- Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
- arcsin x =√2 (нет)
- arccos x =a²/(a²+1) (да)
- arcsin x = - π/3 (нет)
- Какое уравнение называется тригонометрическим?
(Тригонометрическим уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится только под знаком тригонометрической функции. Тригонометрическое уравнение либо не имеет корней, либо имеет их бесконечное множество.)
- Для каких уравнений число π является корнем
- 2sinx = 0 (да)
- sinx/(1+cosx)=0 (нет)
- cosx=sinx (нет)
- Какие соотношения являются тождествами?
- cos 2 х = 1 – 2 sin2 х (нет)
- (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2 х (да)
- cos x tg x = sin x (да)
- sin х cos y + cos y sin х = sin( x- y) (нет)
б). Игра «Рассеянный математик»
На экран проектируются задания для устной работы:
Проверьте правильность решения уравнений. (Правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося).
| Ответы с ошибками | Правильные ответы |
sin x = 1/3 | х = (-1) n arcsin1/3+ 2πn | х = (-1) n arcsin1/3+ πn |
sinx = √3/2 | х = π/3+πn | х = (-1) nπ/3+πn |
tg x = π/4 | х = 1+πn | tg x =1, х = π/4+πn |
cos x = √3/2 | х = ±π/6+πn | х = ±π/6+2πn |
cos x = -√3/2 | х = ±π/6+2πn | х = ±5π/6+2πn |
cos x = π/3 | х = ±1/2+2πn | cos x = 1/2, х = ±π/3+2πn |
cos x = 1/2 | х = ±π/6+2πn | х = ±π/3+2πn |
Учитель: а теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и наиболее важные соотношения для обратных тригонометрических функций, особенно часто используемые на практике:
arcsin (- х)
arcos (-x)
arctg(-x)
arctg(-x)
в). Вычислите:
1 вариант 2 вариант
- arccos 0 1. arcsin (- 1 )
- arcsin (- √3/2 ) 2. arccos(- √2/2 )
- arccos √2/2 3. arctg√3
- arctg√3/3 4. arcsin √3/2
- arctg(-√3 ) 5. arcctg( -√3)
Запишите ответы на листочек, используя копировальную бумагу.
Проверьте правильность решения. (Правильный ответ появляется на слайде ).
Запишите количество баллов в свой оценочный лист.
Оценочный лист учащегося
Фамилия | |||
Имя | |||
Учебные элементы | Количество баллов за основные задания | Корректирующие задания | Общее количество баллов за этап |
№ 1 Обратные тригонометрические функции | |||
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разно- уровневого задания.
Содержание этапа:
Учитель: Ребята, на примере перечисленных уравнений назовите известные Вам методы решения тригонометрических уравнений.
№1. 2sin2x – 7sinx + 3 = 0 (метод замены переменной, сведение уравнения к квадратному)
№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0 ( разложение на множители)
№3. 2 sinx – 3 cosx = 0 (однородное уравнение первой степени, делением на cosx или на sin x)
№4. 3sinx+4cos x =5 ( с помощью введения вспомогательного аргумента
или с помощью универсальной тригонометрической подстановки)
№5. 3 sin2x – 4 sinx cosx + cos2x = 0 (однородное уравнение второй степени, делением на cos2x или на sin2x )
№6. sin ⁴x+cos⁴x=sin2x- ½ (применение формул понижения степени)
Перед работой по карточкам ассистентам предлагается занять свои места.
В классе необычная обстановка: перед классом стоят 3 парты с табличками, где указан номер, и на парте лист учёта знаний каждой команды. На доске таблица для подведения итогов. Главным судьёй соревнования является учитель.
3 варианта карточек на оценку выдаются учителем.
Получив карточку, учащиеся по номеру узнают нужного ассистента, которому предстоит сдавать выполненное задание, а ассистенты в это время выполняют задание повышенной сложности на дополнительную оценку. Если у какого-то ассистента в определённый момент времени несколько желающих сдать задания, то на помощь ему приходит - учитель.
Оценочный лист учащегося
Фамилия | |||
Имя | |||
Учебные элементы | Количество баллов за основные задания | Корректирующие задания | Общее количество баллов за этап |
Часть№1 | |||
№ 1 Обратные тригонометрические функции | |||
Часть№2 | |||
2.1 | |||
2.2 | |||
2.3 | |||
2.4 | |||
Часть№3 | |||
Карточка №1
Указание учителя
Вам предложена карточка№1, по которой необходимо решить тригонометрические уравнения по заданному алгоритму.
В каждом варианте:
-Уравнения 1-3 решаются методом сведения к квадратному, который состоит в том, что, пользуясь формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t.
-Уравнения 4,5 решаются методом разложения на множители. Одними из самых распространённых способов разложения на множители являются способы вынесения за скобки общего множителя, группировки, применение формул сокращённого умножения.
-Уравнения 6,7 являются однородными.
Однородными называются уравнения вида
asinx+bcosx=0 – первой степени,
a sin2x+ bsinx cosx+c cosx =0- второй степени и т.д., где a,b,c- числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx или sinx.Но предварительно нужно доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль.
- Уравнения 8,9 решаются методом введения вспомогательного аргумента.
Выполнив все задания первого уровня, и сдав их ассистенту, учащиеся получают общее количество набранных баллов.
Карточка №1
Учебный элемент № 2.1 Цель: закрепить умения по решению простейших тригонометрических уравнений методом замены переменной. | |||
2.1. Решите уравнения методом сведения к квадратному (10 мин.) | |||
№ | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 |
1. | tg²x-3tgx+2=0 (1 балл) | 8cos²x-6cosx-5=0 (1 балл) | 2tg²x-tgx-3=0 (1 балл) |
2. | 2cos²x+5sinx-4-0 (1 балл) | 2sin²x-5cosx+1=0 (1 балл) | 2cos²x+sinx-3=0 (1 балл) |
3. | (1-cos2x)/2+2sinx=3 (2 балла) | (1-cos2x)/2-3sinx=4 (2 балла) | (1+cos2x)/2-3cosx=4 (2 балла) |
Рекомендации учителя к оцениванию: Проверьте и оцените свою работу у ассистента. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 4 балла, то переходите к следующему учебному элементу, если меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись. Проставьте набранные баллы в графу «корректирующие задания». | |||
Учебный элемент №2.2 Цель: закрепить умение решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному. | |||
2.2. Решите уравнения методом разложения на множители (8 мин) | |||
№ | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 |
4. | sin²x-sinx=0 (1 балл) | cos²x-cosx=0 (1 балл) | ctg²x-4ctgx=0 (1 балл) |
5. | 3cosx+2sin2x=0 (2 балла) | 3sin2x-cosx=0 (2 балла) | 5sin2x-2sinx=0 (2 балла) |
Рекомендации учителя к оцениванию: Проверьте и оцените свою работу у ассистента. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 2 балла, то переходите к следующему учебному элементу, если меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись. Проставьте набранные баллы в графу «корректирующие задания». | |||
Учебный элемент № 2.3 Цель: закрепить умения по решению однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени. | |||
2.3. Решить однородные тригонометрические уравнения (6 мин) | |||
№ | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 |
7. | sinx-cosx=0 (2 балла) | 2sinx+5cosx=0 (2 балла) | 5sinx+6cosx=0 (2 балла) |
8. | 2sin²x-5sinxcosx+4cos²x=0 (2 балла) | 2sin²x-5sinxcosx+3cos²x=0 (2 балла) | 3sin²x- 4sinxcosx-5cos²x=0 (2 балла) |
Учебный элемент №2.4 Цель: проверить и закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента. | |||
2.4. Решить уравнения методом введения вспомогательного аргумента (6 мин) | |||
9. | sinx+cosx=√2 (2 балла) | sinx-cosx=√2 (2 балла) | sinx +cosx =1 (2 балла) |
10. | √3sinx-cosx=1 (2 балла) | √3sinx+cosx=1 (2 балла) | √3sinx+cosx=2 (2 балла) |
Рекомендации учителя к оцениванию: Проверьте и оцените свою работу. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали за пункты 2.3 и 2.4. 4 балла или больше, то переходите к следующему учебному элементу, если меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись. Проставьте набранные баллы в графу «корректирующие задания». | |||
Указание учителя.
Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбирать метод решения уравнений. Перед вами на плакатах основные тригонометрические формулы и рекомендации по решению тригонометрических уравнений. (Приложение 1,2)
Карточка №2
Учебный элемент №2.5 Цель: решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения. | ||
2.5. Решить уравнения (20 минут) | ||
I вариант | II вариант | |
1) cos2x – 5sinx – 3 = 0 | 1) cos2x + 3sinx = 2 | 1 балл |
2) 1 + 7сos2x = 3sin2x | 2) 3 + sin2x = 4sin2x | 2 балла |
3) cos2x – cos2x = sinx | 3) sin2x + cos2x = 1 | 2 балла |
4) sinx – cos3x = 0 | 4) cosx – sin3x= 0 | 2 балла |
5) 5 – 5cos(π/2 – x) = 2cos2(π– x) | 5) cos2(π/2 + x) - cos2(2π + x) = /2 | 2 балла |
III вариант | ||
1) cos2x –7cosx + 4 = 0 | 1 балл | |
2) 4sin2х – sin2x = 3 | 2 балла | |
3) cos2x = 2сosx - 1 | 2 балла | |
4) sin2x – cos4x = 0 | 2 балла | |
5) sin2(2π + x) – sin2(π/2 + x)=1/2 | 2 балла | |
Рекомендации учителя к оцениванию: Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у ассистентов или у учителя. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 7 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу, если меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись. Проставьте набранные баллы в графу «корректирующие задания». | ||
Рекомендации учителя к оцениванию учебного элемента 2.5.:
Работа оценивается индивидуально следующим образом:
1) если ученик набрал 0,1,2баллов, то оценка остаётся „3”;
2) если набрано 3,4 балла, то оценка ставится „4”;
3) если набрано 5 баллов и более, то оценка ставится „5” и можно переходить к
следующему учебному элементу, если меньше, то после консультации судьи решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка.
Указание учителя.
В соревновании в любом виде спорта спортсмен имеет право на рекордный вес, а учащимся выдаётся карточка с заданиями повышенной сложности на дополнительную оценку „5”. Задания даются в двух вариантах, так как их решают далеко не все учащиеся и проверяются эти задания главным судьёй соревнования - учителем, и за них ставится дополнительная оценка „5”, если учащийся набрал 5 баллов и более за любые предложенные задания.
Карточка №3
2.6. Решить уравнения
Учебный элемент №2.6 Цель: применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. | ||
I вариант | II вариант | |
1) cosx + 1 = ctgx + cosx⋅ctgx | 1) tgx – sinxtgx = 1 - sinx | 2 балл |
2) cos3x sinx – sin3х cosx = | 2) sin3x⋅cosx - cos3x⋅sinx = - | 3 балла |
3) 4cosx⋅sinx + (tgx + ctgx) = 0 | 3) 2sin2x = tgx + ctgx | 3 балла |
4) cos9x – cos7x + cos3x – cosx = 0 | 4) sinx – sin2x + sin5x + sin8x = 0 | 3 балла |
5) 2tg2x + 4cos2x = 7 | 5) 9ctg2x + 4sin2x = 6 | 3 балла |
6) (cos6x – 1)ctg3x = sin3x | 6) 3cosx + 2tgx = 0 | 3 балла |
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Подведение итогов.
Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем
Содержание этапа:
Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения.
Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.
Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:
- Что нового узнали на уроке?
- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?
- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?
- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?
3.2. Информация о домашнем задании.
Исходя из результатов подведения итогов зачёта, по сборнику заданий по математике для подготовки и проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы авторов Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.А. задаётся следующая домашняя работа:
обязательная часть - № 4.24; 4.26; 5.11; 5.13; 5.14.
дополнительно - № 6.27; 6.58; 6.68.
Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.
1.Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
2.Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
4. Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения
Например, sin4x + cos4x=
sin35x – cos35x=
5. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами
(вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя;
6.Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5;
7. Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:
=…
8. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла;
Например,
Приложение 1 Справочная карточка для слабых учеников
Решение:2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0, т.к если cos x = 0, то и sin x = 0, а этого быть не может , так как sin2 х + cos2х = 1. Получим 2 tg x + 3 =0 tg x = -1,5 х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z Ответ: arctg (-1,5) + πk, k Z; - arctg 1,5 + πk, k Z.
Решение: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0 т.к если cos x = 0, то и sin x = 0, а этого быть не может , так как sin2 х + cos2х = 1. Получим 2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0. Пусть tg x = t, тогда уравнение примет вид: 2 t2 – 3 t – 5 =0 t1 = -1; t2 = 2,5 Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/4 + πk , k Z. Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z. Ответ: -π/4 + πk , k Z; arctg 2,5+ πn, n Z.
Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х) или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0. Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка: A sin x+ B cos x = С Приложение 2 Методические рекомендаций по решению тригонометрических уравнений Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:
Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений. I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям Схема решения Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты. Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам: cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ. sin x = a; x = (-1)n arcsin a + πn, n Є Z. tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z. ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z. Шаг 3. Найти неизвестную переменную. Пример. 2 cos(3x – π/4) = -√2. Решение. cos(3x – π/4) = -√2/2. 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z; 3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z. 3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z; x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z; x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z. Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z. II. Замена переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение. Пример. 2cos2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0. Решение. 2(1 – sin2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0; 2sin2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0. Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1. 2t² + 5t + 3 = 0; t = 1 или t = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1. sin (x/2) = 1. x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z; x = π + 4πn, n Є Z. Ответ: x = π + 4πn, n Є Z. III. Метод понижения порядка уравнения Схема решения Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени: sin2 x = 1/2 · (1 – cos 2x); cos2 x = 1/2 · (1 + cos 2x); tg2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x). Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II. Пример. cos 2x + cos2 x = 5/4. Решение. cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4. cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4; 3/2 · cos 2x = 3/4; cos 2x = 1/2; 2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z; x = ±π/6 + πn, n Є Z. Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z. IV. Однородные уравнения Схема решения Шаг 1. Привести данное уравнение к виду a) sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени). Шаг 2. Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos2 x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg2 x + b arctg x + c = 0. Шаг 3. Решить уравнение известными способами. Пример. 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0. Решение. 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0; 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0; sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0/cos2 x ≠ 0. tg2 x + 3tg x – 4 = 0. Пусть tg x = t, тогда t2 + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z. Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z. V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул Схема решения Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV. Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами. Пример. sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение. (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x · cos x + sin 2x = 0. sin 2x · (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0; Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z. В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z. Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z. |
Материалы и оборудование уроков.
- 1 Ткачук В. В. Математика абитуриенту т.1. М., 1994
- 2 Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике, М., 1991
- 3 Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике,М.,1989
- 7 Репетитор по математике Кирилла и Мефодия.
- 8 http://www-windows-1251.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_ush/math/kalmyk/games.html
- 9 http://www.Bashnet.ru//bgau/distedu/math/trigom.htm
Список литература:
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Тригонометрия. Задачник к школьному курсу 8-11 классы. М: АСТ пресс: Магустр-S, 1998 г.
- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа» - учебник, задачник 10-11 классы.
- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа» - учебник, задачник профильный уровень 10-11 классы.
- Бородуля И.Т., Тригонометрические уравнения и неравенства: Книга для учителя.—М.; Просвещение, 1998
- Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994
- Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001
- Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990
- Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997
- Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997
- Самусенко А.В. «Математика: типичные ошибки абитуриентов» Минск, Высшая школа, 1995
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Количество теплоты. Фазовые переходы»
Материалы к уроку физики по теме «Тепловые процессы. Фазовые переходы» будут использоваться на уроке при повторении и систематизации материала, совершенствовании практических умений и...
Конспект урока Обобщение и систематизация знаний по теме Синтаксис. Пунктуация. Культура речи.
Конспект урока...
Конспект открытого урока в 4 классе "А" «Урок обобщения и систематизации знаний по грамматической теме «Времена группы «Present»
Данный конспект урока можно использовать на занятиях английского языка для закрепления грамматики по теме "Времена группы "Present"....
Разработка урока по русскому языку в 5 классе.Тема урока: "Обобщение и систематизация знаний по теме "Морфемика. Орфография. Культура речи"
Цели:Обучающая: обобщить знания обучающихся по изученному материалу раздела «Морфемика. Орфография. Культура речи», привести в систему и проверить степень освоенности всех тем.Развивающая:...
Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме «Текстовые редакторы»
Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме «Текстовые редакторы»...
Конспект урока обобщения и систематизации знаний, умений и практического опыта «Графический редактор Adobe Photoshop»"
Дпнный урок является уроком обобщения и систематизации знаний, умений и практического опыта по теме «Графический редактор Adobe Photoshop»...