Особенности формирования творческого математического мышления на уроках математики
учебно-методический материал по математике на тему

Особенности формирования творческого математического мышления на уроках математики

В теориях развивающего обучения центральное место занимает учебная деятельность.

К.Д. Ушинский считал, что глубокие и прочные знания дети могут получить в том случае, если будут трудиться по возможности самостоятельно, а учитель будет организовывать эту работу и руководить ею. Основатель отечественной методики арифметики П.С. Гурьев пишет: «... большая часть неуспехов происходит не столько от способностей, сколько   от   недостатков   самодеятельности ... ученики ведутся как бы на помочах   и не смеют сделать шагу без своего наставника; когда же потом, будучи представлены себе, встречают какие-либо затруднения, то спотыкаются и уже не двигаются с места. Таким образом, ум, не приученный с ранних лет пытать свои силы, делается недоверчивым к самому себе и рад, если за него работают другие. Вот причина   плоских   умов, которыми   так   бывают   богаты общества».

Рассмотрим содержательный анализ понятия учебно-познавательная деятельность. М.С. Каган  определяет человеческую деятельность как «активность субъекта, направленную на объекты или на других субъектов». В данном определении можно выделить 3 основных элемента деятельности и установить структурные связи:

• субъект, который наделен активностью по отношению к какому-либо объекту или другому субъекту;
• объект, на который направлена активность субъекта;
• сама    активность, которая    выражается    в    различных способах воздействия на объект или в установлении связей между субъектами.

Если активность,  направленная     на     объект,  несет субъекту информацию    о качествах    объекта, о    связях, отношениях, законах реального мира, т.е. знание, то деятельность будет познавательной. Если же   информация    об    объекте    имеет   значение   для   субъекта, то деятельность будет ценностно-ориентировочной. Таким образом, учение только    тогда    является    деятельностью, когда    оно удовлетворяет познавательную потребность. Учение есть «процесс решения учеником различных задач, выполнение адекватной им деятельности», а преподавание осуществляет «организацию этой деятельности так, чтобы раскрыть перед обучаемым те отношения, которые подлежат усвоению, чтобы построить у них адекватные способы действия с предметами материальной и духовной культуры». Итак, всякое обучение есть обучение  деятельности, «...обучение - это    процесс, который одновременно является и познавательным, и развивающим».

Доказано, что обучение, основанное на предварительном выучивании материала, чрезвычайно малоэффективно. Например, многие дети в старших классах плохо знают таблицу умножения. Психологи доказали, что важнейшей причиной является стремление обеспечить выучивание таблицы умножения путем многократных повторений до решения соответствующих задач. Однако если организовать выполнение каждым учеником таких заданий, которые позволяют самостоятельно «конструировать» таблицу умножения, то она надолго остается в памяти.

Несмотря    на    все    индивидуальные    отличия    обучаемых, в организации учебного процесса существуют объективные закономерности усвоения, определяющие   успешность   усвоения   материала. Понимание общих закономерностей позволяет целенаправленно искать оптимальные подходы к организации собственной работы учащихся. Л.С. Выготский указывал на то, что знания усваиваются только в ходе собственной работы обучаемого с этими знаниями. Из этого чрезвычайно общего теоретического положения необходимо сделать практические выводы: главная   задача   учителя   на   уроке — это   организация собственной самостоятельной работы  каждого ученика с   подлежащим усвоению материалом. Учитель  должен  свести  свои пояснения к минимуму, а оставшееся время урока посвятить управлению той работой, которую выполняет с изучаемым материалом каждый из учеников.

А.Н. Леонтьев уточнил, что  важна  не любая  работа ученика с новым для него материалом, а лишь строго определенная, соответствующая и адекватная изучаемому материалу. Эту работу может выполнять человек, усвоивший материал.

В 1970-е годы появился ряд работ П.Я. Гальперина, в которых он развил   теорию   учебной   деятельности. Он   предложил организовать обучение так, чтобы вначале ученик понял, какой материал подлежит усвоению, как   с     ним   надо   работать, как   организовать ученику собственную работу с подлежащим усвоению материалом так, чтобы каждый   его   шаг   оказался   для   учителя   подконтрольным; затем постепенно перейти   от   пошагового   контроля   к   самоконтролю. В дальнейшем    эта теория   получила   название   «теории поэтапного формирования      умственных      действий».   Советские психологи неопровержимо доказали, что если предоставить в распоряжение ученика опоры (схематически записанные правила; определения и формулировки теорем, в   которых   выявлены   все   составляющие   их компоненты; доказательства, в    которых     все   выводы расположены в нужной последовательности, даны   все   обоснования  и  др.), если организовать выполнение заданий таким образом, чтобы каждый шаг контролировался, а затем постепенно перейти от пошагового контроля к самоконтролю, то можно   гарантировать   усвоение   теоретического   материала каждым учеником в ходе выполнения заданий.

Теория      поэтапного      формирования  умственных действий предполагает такое фиксирование основного содержания подлежащего усвоению   материала   и   способа   работы   с   ним, которое позволяет приступить   к   адекватной   работе   без     всякого предварительного заучивания. Этот этап работы получил название «этап ориентировки в новом   материале   и   способах   работы   с   этим   материалом» или «ориентировка». Схема организации усвоения имеет вид:

1.        Фиксирование основного содержания в краткой схематической форме (ориентировка).

2.        Организация самостоятельной работы, позволяющая контролировать ход работы и ее результаты (подконтрольная работа или
материализованное оперирование).

3.        Постепенный переход от пошагового контроля к самоконтролю.
Рассмотрение   концепции   деятельностного   подхода   в рамках поэтапного формирования умственных действий в теории развивающего обучения выдвигает задачи нахождения приемов, побуждающих познавательные потребности у учащихся; составление алгоритма действия с учетом возможностей ученика; фиксирование системы ориентиров в наглядной и доступной для ученика форме; организацию усвоения системы ориентиров в ходе поэтапной отработки.

Любая деятельность характеризуется не только определенными знаниями, способностями к ее выполнению, но и умениями. Сформировать умение — значит овладеть сложной системой действий (практических и умственных), обеспечивающих     восприятие     и     переработку     информации, ее сопоставление (соотнесение, отбор) с конкретной учебной ситуацией, в которой эту информацию необходимо применить. Любое знание состоит, по мнению

Д. Пойа, частично из «информации» («чистое знание») и    частично    из    «умения» (know-how). Умение можно охарактеризовать    как    мастерство, как    способность использования имеющихся у человека сведений для достижения цели, как совокупность определенных навыков, как способность методически работать.

В математике умение — это способность решать задачи, проводить доказательства, анализировать полученные решения и доказательства. В 1982 г. ПЛ. Лернером было проведено исследование учебных умений (т.е. умений учиться). Выделены четыре группы умений:

• организационные,
• практические,
• интеллектуальные,
• психолого-характериологические.

Интеллектуальная группа умений связана с развитием мышления. В нее автор   относит   54   умения, среди которых   указываются следующие: формировать проблему, подлежащую решению; сопоставлять гипотезу с условием, нормами ее выдвижения; видеть и выделять этапы объекта, важные для данной задачи; проверять полноту решения и достаточность доказательств. Существует   несколько   подходов   к   трактовке и классификации исследовательских умений учащихся. Выделим два из них:

1. в   рамках   организации   учебно-исследовательской деятельности обучаемых;
2. посредством использования проблемно-поисковых задач.

В основу учебно-исследовательской деятельности школьников положена трактовка, представленная в психологии Д.Б. Элькониным и В.В. Давыдовым: «учебная деятельность - это деятельность направленная, имеющая   своим   содержанием   овладение   обобщенными способами действий...  Результатом    учебной    деятельности, в    ходе которой происходит   усвоение   научных   понятий, является   изменение самого ученика, его    развития». «Эта    деятельность    по   самоизменению, ее продуктом   являются   те   изменения, которые   произошли   в самом субъекте».   Учебно-исследовательская  деятельность  характеризуется следующими признаками:

1)самостоятельный перенос знаний и умений в новую ситуацию;

2. умение видеть проблему в знакомой для субъекта ситуации;
3. видение новых функций объекта;
4. комбинирование известных способов деятельности в новый;
5. построение     принципиально     нового     способа    решения, не являющегося комбинацией известных способов;
6. видение структуры объекта, подлежащего изучению;
7. альтернативное мышление и др.

Анализ деятельностного подхода широко представлен в работах психологов, педагогов, методистов. Выделим некоторые аспекты, определяющие сущность компонентов методической системы обучения математике.

Процесс обучения на любом его этапе (изучение учебной темы, построение    урока)     необходимо     строить    в    соответствии с психологической структурой учебной деятельности, которая включает в себя три основных блока: мотивационный, операционно-познавательный, рефлексивно-оценочный. На каждом из этих этапов ученик должен быть субъектом деятельности (совместной деятельности с учащимися или с учителем). На первом, мотивационном этапе, осуществляется создание проблемной    ситуации, совместное    целеполагание, прогнозирование деятельности и ее результатов. На этом этапе происходит выяснение того, что необходимо для получения результатов (умения, теоретические знания, средства и т.д.). На мотивационном этапе отбор методических средств направлен на установление неполноты имеющихся знаний и определение    проблем.    Такими    средствами    являются: задачи с практическим содержанием, информация о новых объектах, моделях, их свойствах, их   значении, как   практическом,   так   и теоретическом; эмпирический  материал, полученный  с  помощью  графиков, чертежей, наблюдений;   загадки, головоломки, кроссворды   и  т.п.   Учащиеся не только  фиксируют возникшие   затруднения или новизну полученной информации,   но       и       устанавливают      причину, обнаруживают недостаточность   имеющихся   знаний   и   умений. Затем формируются проблемы, ставятся   конкретные  исследовательские  задачи, намечаются возможные  пути  поиска  их  решения. Это  обеспечивает осознанное отношение    к    учению    как    интеллектуальной    деятельности, ее целенаправленность.

На втором, операционно-познавательном этапе, учащиеся осознают содержание  учебного  материала,  структурируют  и моделируют его, принимают участие в открытии субъективно новых для них знаний и способов  деятельности. На  втором  этапе  необходимы методические средства, позволяющие:

1. организовать осознанную деятельность учащихся, которая направлена на осмысление, систематизацию и структурирование знаний и умений;
2. выявить возможные альтернативы при решении проблемы, определить н пути получения дополнительной информации, выдвинуть гипотезы;
3. организовать поиск доказательств выдвинутых предположений, сформулировать выводы.

Методические средства на этом этапе обучения математике представлены в виде взаимосвязанной последовательности вопросов, знаний, задач, рассуждений и комментариев учителя, различных приемов и форм организации работы учащихся над ними.

На третьем  этапе сопоставляются планировавшиеся и достигнутые результаты,   проводится      их      оценка,  анализируется собственная деятельность, ставятся новые проблемы. Методические средства на этом этапе    должны    включать    не    только   оптимизированную систему тренировочных упражнений. Необходимы задачи, позволяющие применять имеющиеся знания в различных, в том числе и новых, ситуациях и соответствующие приемы   работы с ними. Средствами осуществления контроля и самоконтроля является дифференцированная система заданий и задач, различные методы и формы их использования.

Обучение необходимо строить так, чтобы оно в   сжатом виде воспроизводило исторический  процесс рождения и развития знаний. Проведенный        анализ     показывает,  что     основным средством интеллектуального   развития   является   целенаправленно выстроенная система проблемных ситуаций, заданий и задач, а также методы и формы организации деятельности школьников по их решению.

Учебная деятельность школьников направлена на усвоение ими теоретических   знаний   и   связанных   с   ними  умений   и навыков. Систематическое   осуществление   учебной   деятельности способствует интенсивному  развитию  у  ее  субъектов  теоретического мышления, основными     компонентами     которого     являются содержательные абстракции,   обобщение,   анализ,   планирование,  рефлексия. Учебная деятельность имеет следующую общую структуру:

• актуализация познавательного интереса;
• определение конечной цели-мотива;
• определение промежуточных целей и предполагаемых способов их достижения;
• выполнение системы учебных действий;
• контроль и оценка знаний.

Важнейшими условиями для освоения учебной деятельности каждым учеником являются:

• сохранение        поисково-исследовательского       характера учебной деятельности;
• создание системы теоретических понятий, которая становится предметом учебной деятельности;
• организация    самостоятельной    работы    учащихся    с различными источниками учебной информации;
• создание   предпосылок   для   перехода   к   саморегуляции учебной деятельности на основе самоконтроля и самооценки.

Основой   творческой   деятельности   человека, как установлено психологами, является динамичность умственной деятельности, которая выражается  в  возможности  широкого  переноса полученных знаний, умений, навыков в разнообразные жизненные ситуации. Положительное воздействие   на  ее   формирование   оказывает  реализация интеграции математических методов, предполагающая перенос знаний и умений из одной математической дисциплины в другую. Кроме того, интеграция знаний из разных предметов приводит к образованию межсистемных или межпредметных   ассоциаций, которые   формируют   метод, целостность умственной деятельности человека.

Заметим, что всякое развитие происходит в деятельности, сами знания, как отмечает Г.И. Саранцев, имеют деятельностную природу.

Развитие человека-это процесс и результат изменения человека, отдельных его качеств, функций в процессе жизни. Поэтому, говоря о развитии человека, можно  сказать  и  о развитии мышления, памяти, воображения, о развитии его способностей и т.д. Процесс природного развития организма человека, или созревание, определяется генетически обусловленной   программой. На   этот   процесс   оказывают огромное влияние   условия и   обстановка   жизни, воспитание и   обучение. В психологии   довольно   давно   исследуется   проблема   взаимосвязи и взаимообусловленности  обучения  и развития. К началу  30-х годов двадцатого века отчетливо выделились три основные теории о соотношении обучения и развития, которые были описаны Л.С. Выготским  и

В.В. Давыдовым.

Л.С. Выготский     на  основе ряда    исследований установил, что «...процессы развития не совпадают с процессами обучения, что первые идут вслед за вторыми, создающими зоны ближайшего развития. Наша гипотеза устанавливает единство, но не тождество процессов обучения и внутренних  процессов развития. Она предполагает переход из одного в другое». Развитие всякой психической функции, в том числе и интеллекта ребенка, проходит через зону ближайшего развития, когда ребенок  самостоятельно  выполнить  какие-то  действия  не  может и начинает выполнять это действие при помощи взрослого, и лишь затем переходит на уровень актуального развития, когда это действие может выполнить  самостоятельно. Л.С. Выготский  считал, что  «...только то обучение в детском возрасте хорошо, которое забегает вперед развития и ведет развитие за собой... Педагогика должна ориентироваться не на вчерашний, а на завтрашний день детского развития. Только тогда она сумеет в процессе обучения вызвать к жизни те процессы развития, которые сейчас лежат в зоне ближайшего развития». Л.С. Выготский утверждает, что «... обучение не есть развитие, но правильно организованное, оно   ведет   за  собой  детское  умственное развитие, вызывает к жизни ряд таких процессов, которые вне обучения вообще сделались бы невозможными».

СЛ. Рубинштейн, соглашаясь в основном с концепцией Л.С. Выготского, провозгласив единство сознания и деятельности человека, сформулировал   следующий   закон   психического   развития ребенка:

«Ребенок не созревает сначала и затем воспитывается и обучается, т.е. под руководством взрослых осваивая то содержание культуры, которое создало   человечество; ребенок   не   развивается   и   воспитывается, а развивается, воспитываясь и обучаясь, т.е. само созревание и развитие ребенка в ходе обучения и воспитания не только проявляется, но и совершается. Организм   развивается,   функционируя; взрослый человек развивается, трудясь; ребенок   развивается, воспитываясь   и обучаясь». Иначе   говоря, внешние  условия (обучение  и воспитание) действуют   через   внутренние   условия (сама   по   себе   природа и индивидуальные особенности ребенка) и ими опосредуются. Конкретно-предметное проявление положений Л.С. Выготского и

С.Л. Рубинштейна получило   позднее   описание   в   работах многих исселователей.

Сформулируем  кратко положения, которые отличают развивающее обучение. Каждое новообразование в психике в ходе общего развития возникает как следствие взаимодействия и ума, и воли, и чувств ребенка, как следствие их целостного единства. Обучение ведется  на высоком уровне интеллектуальной трудности, высок удельный вес теоретических знаний, характерен быстрый темп изучения программного материала. Общие   знания   предшествуют   частным   фактам (на   каждом этапе обучения необходимо выбрать ту степень   общности, которая будет доступна   обучаемым). Понятия   не   даются   в   готовом   виде, а устанавливаются путем их генетического развития, путем выведения и построения. Учащиеся  должны  испытывать  затруднения  в процессе познания сущности явлений, закономерностей и связей между ними. В этом случае у них возникают интеллектуальные чувства (сомнение, удивление,   радость   и      т.д.),      способствующие формированию положительного отношения к учению, более глубокому усвоению знаний. Развитие деятельности наблюдения, мышления, практических действий, эмоционально-волевых   особенностей   определяет  успех деятельности человека в разных областях жизни. Развивающее обучение формирует человека думающего, желающего и умеющего учиться, заинтересованного в самоизменении и способного к нему, превращает ученика обучаемого в учащегося. Ребенок    рассматривается    не    как    объект обучающих воздействий, а как самоизменяющийся субъект учения, как учащийся. Развивающее   обучение   должно   быть   своего   рода педагогической моделью глобального процесса научного познания, методические приемы в ходе обучения должны моделировать реальные научные исследования. Развивающий процесс изучения понятия должен начинаться не с его формально-логического   конца, а  с   его  исторического  начала. Тогда учащийся, осваивая   это   понятие, будет   развиваться, являя собой миниатюрную модель исторического процесса развития человеческого общества. Это приводит не просто к постижению результатов (итогов) развития науки, но и процессов ее развития, а значит, способствует умственному развитию обучаемого.

Однако трактовка развития и обучения не может быть постоянной. Она меняется в зависимости от изменения целей и задач образования. В настоящее время понимать развитие как умственное или даже общее психическое становится крайне недостаточным. Его следует понимать как целостное развитие личности учащегося, что предполагает максимально возможное   разностороннее   и   гармоничное   развитие способностей, интересов, склонностей для каждого ученика, воспитание нравственной и творческой личности. В соответствии с расширением понятия «развитие» обучение следует понимать как главное средство и способ направленного воспитания  личности учащегося. Человека  воспитывают  и  семья, и условия, и   обстановка  его    жизни, и  среда, и  средства массовой информации и многое другое, влияние которых на человека может быть как положительным, так и отрицательным.

В школе воспитание является целенаправленным. Ядром педагогического процесса становится развитие ученика. В настоящее время, когда общество чрезвычайно мобильно и динамично, личность должна иметь два противоположно направленных ряда качеств. С одной стороны, человек    должен    обладать    устойчивым мировоззрением, нравственными    убеждениями. С    другой    стороны, человек должен обладать    гибкостью, способностью    осваивать   новую информацию, перерабатывать     ее,  создавать     новое,  творить,  созидать. Поэтому необходимо   воспитывать   самостоятельность, творческую инициативу, социальную     ответственность,  высокую     работоспособность, умение защищать  свои  убеждения, контролировать результаты  своей работы. Огромную  роль   в  воспитании  учащихся  играет  самовоспитание и самообучение.

Развитие  —  философское      понятие,  раскрывающее характер происходящих изменений объектов. Развитие школьников - закономерное изменение   психических   процессов   во   времени, выраженное   в их количественных, качественных и структурных преобразованиях. Развитие психики   характеризуется   способностью   к   накоплению изменений, «надстраиванием» новых изменений над предшествующими. При этом идет    развитие    ума (обобщенная    характеристика познавательных возможностей   человека). В   более   узком   смысле - индивидуальных мыслительных способностей человека.

Развитие есть процесс постоянного и закономерного изменения, переход из одного состояния в другое, от простого - к сложному, от низшего — к высшему, от незнания - к знанию, от старого качественного состояния - к новому, от одного уровня - к другому, более высокого порядка. Как помочь человеку в управлении своим развитием? Есть основания полагать, что умение самостоятельно приобретать знания и делать  открытия - это  своего  рода  самоуправление мыслительными процессами. К.Д. Ушинский писал: «Ум - организованная система знаний». Без системы нельзя хорошо усвоить знания и удержать их в памяти. Именно   система   упорядочивает   наши   знания   и   создает прочное основание для усвоения учебного материала. Это  приводит к тому, что ум  приобретает  большую  самостоятельность, рациональность, гибкость, критичность. Умение и навыки вырабатываются у учащихся на основе систематических знаний, усваиваемых ими. Все это говорит о том, что основной линией развития процесса обучения является систематизация знаний. Систематизируя полученные по теме знания, учитель помогает   учащимся    выйти    на   новый, более   серьезный уровень понимания. Назначение учителя — не столько передать готовые знания, сколько  предоставить  учащемуся  возможность приобретать их через обучение. Учитель   из   информатора   превращается   в организатора образовательного процесса и признает за своим учеником право на индивидуальность. Развитие   учащихся — это   процесс   изменения их сознания, появления    в их интеллектуальной сфере новообразований, совершенствование     имеющихся.   Под   новообразованием понимают приобретение     учащимися     новых    качеств, таких    как умение самостоятельно   ставить   цель   деятельности, обобщать наблюдаемые явления, умение анализировать, оценивать то или иное решение и т.д.

Возникает вопрос: какие достижения педагогической психологии в области проблем, близких к выбранному нами направлению исследования, следовало бы учесть? В качестве таковых, может быть принята система принципов, характеризующая процессы развития человека:

1. Теоретический характер развития.
2. Ведущая деятельность, законы ее смены. Каждому возрасту соответствует определенный тип ведущей (главной) деятельности

(А.Н. Леонтьев).

3. Ведущая роль сенситивных периодов развития (периодов, наиболее чувствительных к усвоению языка, способов обучения предметным действиям (счет, чтение и т.д.), поиск соответствующих этим периодам методов обучения).

4. Ведущая роль социокультурного контекста развития.

4. Совместная   деятельность   и   общение   как  движущая сила развития, как средство обучения и воспитания.

6.Определение зоны ближайшего развития как метод диагностики способностей, понимаемых как способы деятельности. Создание условий преодоления ребенком (выхода за пределы) зоны лижайшего развития.
Особую проблему составляет определение «размеров» индивидуальной зоны ближайшего развития обучаемого, поскольку отрицательные последствия может иметь как их преувеличение, так и преуменьшение.

7. Амплификация (расширение) детского развития как необходимое условие разностороннего воспитания ребенка. Обучаемому должен быть предложен широкий выбор разнообразных деятельностей, чтобы у ребенка была возможность найти среди них наиболее близкие его способностям и задаткам.

8. Непреходящая ценность каждого этапа детского развития.

Неразумно торопливо переводить детей с одной ступени развития на другую, например, от образа к слову, от игры к учению, от предметного действия к умственному.

9. Принцип активного деятеля. Единство сознания и деятельности человека.

10.Опосредованность психологическими орудиями (слово)
психических процессов человека.

11. Интериоризация и экстериоризация как механизмы развития и обучения. Переход, «ведущий от сенсомоторного плана к мысли» (по Ж. Пиаже) и от мысли к образу, от мысли к действиям.
12. Неравномерность развития и формирования психического действия (В.П. Зинченко).

Исследования показали, что дети могут усваивать относительно сложные абстрактные понятия разных учебных предметов. Однако на сегодняшний день остается открытой проблема соотношения того, что «можно» и того, что   «нужно», насколько   необходимо и   разумно резко форсировать умственное развитие ребенка.

Очевидна    необходимость    конкретизации    идей развивающего учения в преподавании школьных дисциплин в средних и старших классах.