Элективный курс "Математика для поступающих в ВУЗы"
календарно-тематическое планирование по математике (10 класс)

«Математика для поступающих в Вузы»

(для учащихся 10-11 классов математического профиля)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Важнейшей задачей обучения математике наряду с обеспечением базового уровня математической подготовки всех школьников, независимо от специальности, которую они изберут в будущем, является подготовка учащихся для жизненной самореализации в информационном мире. Для реализации такой задачи требуется достаточно прочная углубленная математическая подготовка.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далёкие от неё отрасли. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Таким образом, роль математической подготовки в профильном образовании учащихся ставит следующие цели обучения математике:

•  овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для успешной сдачи конкурсных экзаменов по математике и продолжения образования в высших учебных заведениях, где дисциплины математического цикла относятся к числу ведущих, профилирующих;
•  интеллектуальное развитие учащихся, для математической деятельности и функционирования в обществе.

Задачами курса следует считать:

1. Научить решать математические задачи различного уровня сложности.
2. Обучить способам, приемам и методам решения математических задач.
3. Ликвидировать пробелы в способах решения задач повышенной сложности, обеспечив учащимся успешное поступление в вуз.

Содержание элективного курса группируется вокруг нескольких стержневых линий: "Задачи с параметрами", "Уравнения с одним неизвестным", "Неравенства с одним неизвестным", "Элементы комбинаторики и метод математической индукции". Каждая тема имеет тематическое планирование, содержание учебного материала, основную цель, методические рекомендации, основные требования к учащимся, контролирующий тест или контрольную работу. Кроме того, тема «Уравнения и неравенства: тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические» имеет разноуровневый дидактический материал, из которого можно составить разноуровневую контрольную работу по этой теме.

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА:

10 класс

Уравнения и неравенства с ОДНИМ неизвестным, содержащим абсолютную величину - 14 часов.

Введение в комбинаторику и метод математической индукции -18 часов. Уравнения с одним неизвестным -2 часа.

Всего - 34 часа.

11 класс

У равнения и неравенства с параметром - 14 часов.

Уравнения и неравенства: тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические - 20 часов.

Всего 34 часа.

Дополнительная тема: «Делимость целых чисел».

Тематическое планирование раздела

«Уравнение и неравенства с одним неизвестным, содержащих абсолютную величину».

Содержание учебного материала.

Определение абсолютной величины числа, ее геометрический смысл, свойства модуля. Основные методы решения уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину. Функции, содержащие абсолютную величину, и их графики.

Основная цель - сформировать понятие модуля числа; отработать и закрепить навыки решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину, сложность которых, соответствует задачам для поступающих в вузы. Научить строить графики функций, содержащих абсолютную величину.         .

Методические рекомендации.

Рассматриваемое на факультативных занятиях понятие абсолютной величины знакомо учащимся из курса математики 6 класса, а в последующих классах это понятие хоть и повторялось, но эпизодически и фактически считалось необязательным. Таким образом, вводить понятие модуля числа необходимо начать с определения, его геометрического смысла, свойств. Дидактический материал урока следует выстроить по принципу: «от простого к сложному».

Задачи для самостоятельного решения целесообразно довести до учащихся до изучения курса:

• в процессе изучения темы решить все или почти все задачи для самостоятельного решения.

• 25% задач решить самостоятельно, так как они просты, быстро и легко решаются после рассмотрения теории.

• 50% задач среднего уровня сложности. Они предлагаются на вступительных экзаменах некоторых вузов. В связи с этим в рамках элективного курса рассматриваются лишь основные приемы и методы для их решения.

• 25% задач - высокого уровня сложности, поэтому они полностью решаются на занятиях.

Перед тем как приступить к решению уравнений и неравенств необходимо повторить определение равносильных уравнений и неравенств; преобразования, приводящие к равносильному уравнению (неравенству).

При рассмотрении функций, содержащих абсолютную величину, необходимо повторить преобразования графиков, в частности такие как, параллельный перенос на вектор (а;О) или (О;в), сжатие или растяжение относительно оси абсцисс или ординат, симметрия относительно оси абсцисс (оси ординат).

Основные требования к учащимся: знать определение модуля числа, уметь решать простейшие уравнения и неравенства с модулем, владеть методами решения типовых уравнений, строить графики функций с модулем.

Литература для учителя:

• М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений.
• Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ, 10. Учебник для учащихся школ с углублённым изучение математики.
• И.Ф. Шарыгин. Математика для поступающих в вузы.
• М.К. Потапов и др. Математика для поступающих в вузы. Методы решения задач.
• Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.
• Методическое пособие по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Р.Н. Молодожниковой.
• И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для учащихся 11 класса средней школы.

Тематическое планирование раздела

«Уравнения и неравенства с параметрами».

Содержание учебного материала.

Решение уравнений и неравенств с параметром. Задачи с условиями. Системы уравнений и неравенств с параметром.

Основная цель - сформировать понятия уравнения с параметром и неравенство с параметром. Познакомить учащихся с основными приемами и методами решения уравнений и неравенств с параметром, задач с условием. Отработать навык решения таких задач в процессе решения тренировочных упражнений; научить решать задачи повышенного уровня сложности.

Методические рекомендации.

С уравнениями и неравенствами с параметром учащиеся знакомы еще из курса алгебры 7-9 классов. Поэтому изучение этой темы следует начать с опоры на решение задач с условием и на решение уравнения (квадратного или линейного) с параметром.

На вступительных экзаменах чаще всего встречаются две постановки задач с параметрами. Первая - для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения или неравенства. Вторая постановка - найти все значения параметра при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям.

Включить в дидактический материал занятий задачи, которые предполагались на вступительных экзаменах в МГУ, МФТИ и др., задачи, которые предлагались на Всероссийском тестировании в 2000,2001,2002 годах.

Дидактический материал сгруппировать вокруг нескольких содержательных линий: «Рациональные уравнения (неравенства)», «Иррациональные уравнения», Показательные и логарифмические уравнения».

Основные требования к учащимся: знать основные приемы и методы решения уравнений и неравенств с параметром, задач с условием.

Литература для учителя:

• М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений.
• Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ, 10. Учебник для учащихся школ с углублённым изучение математики.
• И.Ф. Шарыгин. Математика для поступающих в вузы.
• М.К. Потапов и др. Математика для поступающих в вузы. Методы решения задач.
• Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.
• Методическое пособие по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Р.Н. Молодожниковой.
• И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для учащихся 11 класса средней школы.

Тематическое планирование раздела

«Введение в комбинаторику и метод математической индукции»

Содержание учебного материала.

Метод математической индукции. Включения и исключения. Произведения, суммы, расстановки цифр. Комбинаторные задачи. Задачи о графах.

Основная цель - ввести метод математической индукции; рассказать о некоторых центральных идеях элементарной комбинаторики; ознакомить учащихся с основными приемами и методами решения ряда типичных комбинаторных задач; отработать навык решения таких задач в процессе решения тренировочных упражнений.

Методические рекомендации.

Изучение метода математической индукции целесообразно начать с задач, рассмотренных в школьном курсе алгебры. Знакомство учащихся с основными приемами подсчета различных вариантов, например, формула «включений и исключений», «правило произведения» понятиями, постоянно используемыми в комбинаторике («взаимооднозначное  соответствие», «разбиение на классы»). Решения простейших задач,

многие из которых они уже решали в 5,6 классах, но бессистемно и без введения понятий «включения и исключения».

Задачи первой темы учат наглядно изображать условие задачи, переводить его на язык множеств» и приводят читателя к важной формуле «включений и исключений».

Вторая тема касается только одной задачи: сколько существует целых положительных К-значных чисел, цифры которых в десятичной записи расположены в убывающем порядке? Путь к ее решению состоит в том, чтобы разобраться в условии для небольших значений К и разбить задачу на более простые.

Третья тема начинается с новой, геометрической интерпретации задачи из предыдущей темы и продолжается задачами, условия которых удобно изображать в виде «графов» (т.е. комбинациями точек и соединяющих их дуг).

Четвёртая тема - новые вариации на вторую тему и их обобщения. В пятой теме рассмотрены разные комбинаторные задачи.

Основные требования к учащимся: уметь решать задачи на «включения» и «исключения»; уметь наглядно изображать условие задачи и переводить его на «язык множеств»; уметь определять количество чисел, цифры которых расположены в определенном порядке; уметь решать задачи, условие которых можно изображать в виде «графов».

Литература для учителя:

• Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.
• Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие.
• В.Л. Гутенмахер, Н.Б. Васильев. Введение в комбинаторику. – М.1989 г.

Тематическое планирование раздела

 «Делимость целых чисел».

Содержание учебного материала.

Делимость суммы, разности произведения. Деление с остатком. Простые и составные числа. Делители, наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Основная теорем арифметики. Прямые на решётке. Линейные уравнения. Алгоритм Евклида.

Цель - систематизировать основные сведения о делимости целых чисел, входящие программу средней школы.

Задачи: рассмотреть некоторые дополнительные материалы, примыкающие к школьной тематике: алгоритм Евклида, решение диофантовых уравнений первой степени (с геометрической иллюстрацией), некоторые свойства простых чисел (включая  доказательство основной теоремы арифметики целых чисел).

Методические рекомендации.

Изучение темы целесообразно начать с повторения ранее известных признаков делимости на некоторые натуральные числа. Еще до рассмотрения нового материал продиктовать учащимся контрольную работу. Рекомендовать учащимся в процесс изучения незнакомых тем, постепенно решать самостоятельно задачи контрольной работы своевременно выявляя непонятый материал. Все теоретические утверждения целесоо6разн начинать с числовых примеров и контрольных заданий, постепенно показывая закономерность, соблюдая принцип «научности», формулировать утверждение. Основные требования к учащимся: знать определения простых и составных чисел, правила нахождения НОД и НОК, знать основную теорему арифметики, уметь решать линейное уравнение с двумя переменными в целых числах.

Литература для учителя:

• Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.
• Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие.
• В.Л. Гутенмахер, Н.Б. Васильев. Делимость целых чисел. – М.1999 г.

Тематическое планирование раздела

«Уравнения и неравенства: тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические»

Содержание учебного материала.

Уравнения: тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические.

Неравенства: тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические.

Основная цель – организовать планомерное повторение изученного в школьном курсе алгебры материала (не только основных положений теории, но и основных приемов и методов решения задач). Развивать и укреплять способность к самостоятельному логическому мышлению.

Методические рекомендации.

В начале каждой темы привести краткие теоретические сведения, затем на примерах, в процессе решения типовых задач, иллюстрируются различные методы их решения. В целях типизации методов не всегда рассматриваются самые короткие решения, иногда излагаются несколько различных способов решения одной и той же задачи, для сравнения эффективности методов. В заключении рассматриваются задачи на отработку понятий и методов решения задач. На занятиях по этой теме целесообразно использовать компьютерное тестирование, работу с учебными дисками. Дидактический материал представляет собой систему разноуровневых упражнений (А, В, С, Д). Учащийся двигаясь от уровня А, под руководством учителя, сам определяет – до какого уровня «идти». Положительный результат приносит групповой метод работы на занятиях.

Основные требования к учащимся: Уметь решать задачи уровня А и В, владеть методами решения задач уровня С, Д.

Литература для учителя:

• М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений.
• Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ, 10. Учебник для учащихся школ с углублённым изучение математики.
• И.Ф. Шарыгин. Математика для поступающих в вузы.
• М.К. Потапов и др. Математика для поступающих в вузы. Методы решения задач.
• Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.
• Методическое пособие по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Р.Н. Молодожниковой.
• И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для учащихся 11 класса средней школы.