"Знакомство дошкольников с арифметическими действиями сложения и вычитания"
материал по математике на тему

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Нижегородский Губернский колледж»

Контрольная работа по предмету

«Теория и методика математического развития дошкольников»

Тема: Знакомство дошкольников с арифметическими действиями сложения и вычитания

Студентка группы 344 з 3

По специальности 44.02.01 Дошкольное образование

(заочная форма обучения)

Волкова Любовь Ивановна

Преподаватель: Белова Л. А.

Нижний Новгород - 2016

Оглавление:

1.        Современные методические взгляды на суть процесса знакомства ребенка с арифметическими действиями и его взаимосвязь с обучением решению задач.

2.        Этапы знакомства дошкольников с арифметическими действиями.

3.        Сложение. Задания, знакомящие детей 5-6 лет со смыслом и обозначением действия сложения.

4.        Вычитание. Задания, знакомящие детей 5-6 лет со смыслом и обозначением действия вычитания.

5.        О математической лексике, характеризующей действия сложения и вычитания.

6.        Обучение дошкольников простейшим приемам вычислительной деятельности.

7.       Особенности усвоения детьми старшего дошкольного возраста сущности арифметических действий.

1. Современные методические взгляды на суть процесса знакомства ребенка с арифметическими действиями и его взаимосвязь с обучением решению задач.

Знакомство дошкольников с арифметическими действиями сложения и вычитания традиционно входило в программу дошкольной математической подготовки, и методические подходы к этому процессу достаточно подробно были раскрыты в пособии А.М. Леушиной. В этом пособии предполагалось познакомить детей с арифметическими действиями сложения и вычитания и теми табличными случаями, когда при сложении к большему числу прибавляется меньшее, а при вычитании — когда вычитаемое меньше остатка.

Данная тема входит также во все альтернативные программы дошкольной математической подготовки, причем содержательный объем ее изучения в них значительно разнится. Например, в программе «Радуга» предполагается знакомить детей со всеми арифметическими действиями: сложением, вычитанием, умножением и делением — и обучать их табличным вычислениям со всеми четырьмя действиями. В программе «Школа 2000» предполагается знакомство только со сложением и вычитанием, но также предполагается обучение детей всем табличным случаям сложения и вычитания (в пределах 10), знакомство с переместительным законом сложения, с порядком действий и вычислениями вида 7 — 2 — 3 + 6 + 11. В программе «Детство» предполагается освоение приемов арифметических действий в пределах 20 без перехода через десяток вида 13 — 2, 13 + 2, 17 — 2 и с переходом через десяток вида 9 + 21.

Содержательный объем, заложенный в современные альтернативные программы, требует от воспитателя гораздо «широких» методических умений по обучению детей математике, чем это предполагалось в курсе А.М. Леушиной.

Однако, главной причиной нового рассмотрения темы « знакомство дошкольников с арифметическими действиями» явилось значительное изменение методических позиций в данной теме, происшедшее за последние 20-30- летия и особенно — за последнее десятилетие, когда развивающие  подходы к обучению математике стали общепринятыми в начальной школе.

В 70-е годы, когда было написано учебное пособие А.М. Леушиной, в методике дошкольного воспитания был принят тоже подход к формированию представлений об арифметических действиях, что и в начальной школе. Несмотря на то, что активная работа над теорией и практикой развивающего обучения математике в системах Л.В. Занковк и В.В. Давыдова была широко развернута еще в 60-е годы, они не выходили за рамки эксперимента, известного ограниченному кругу педагогов. Естественной в то время являлась необходимость соблюдения соответствия в подходах к формированию представления об арифметических действиях, которые стали ведущими в начальной школе и отражали принятый в те годы в методике подход к пониманию роли простых задач как средства формирования математических понятий, в том числе и понятия об арифметических действиях.

Этапы формирования этих понятий были такие: сначала дети знакомятся с простыми задачами и учатся их решать методом пересчета конкретной наглядности. На этом этапе «дети учатся вначале давать лишь правильный ответ на вопрос задачи, но от них еще не требуется формулировать арифметическое действие. И только после того, как дети познакомятся с компонентами задачи (условие, вопрос, данные), научатся «повторить задачу в целом и по основным частям, самостоятельно поставить вопрос, правильно ответить на него, решив задачу» (т. е. получив ответ пересчетом), предполагается начать работу над обучением детей «различать и формулировать действия сложения и вычитания и различать компоненты этих действий», «записывать» их при помощи карточек с цифрами и знаками. Лишь на следующем этапе дети начинают учиться собственно приемам вычисления (присчитыванию и отсчитыванию по одному), поскольку получение результата арифметического действия требует оперирования числовыми данными, а следовательно, вычислительной деятельности. Таким образом, целью решения задачи на первом этапе виделось получение ответа (методом пересчета) и лишь на втором этапе обращались собственно к арифметическим действиям при решении задачи.

Издержки этого подхода многократно и активно обсуждались школьными методистами в прессе последнего двадцатилетия. Одним из главных отрицательных моментов такой методике являлось то, что, привыкнув полагать, что цель решения задачи — это получение ответа (а при наличии наглядности, которую можно пересчитать, это несложно), ребенок с первых же шагов знакомства с задачей привыкает ориентироваться на результат, а не на процесс ее решения, т. е. не на установление зависимостей между ее данными и не на выбор действий, а на получение конкретного числового результата. При этом часто формируется привычка либо действовать в соответствии с «главным словом» в условии (съели — значит, отнимаем; дали — значит прибавляем), либо (если такое слово выделить ребенку не удается) производить действия с числовыми компонентами задачи «методом тыка» (и тогда «полтора землекопа» в ответе ребенка совершенно не удивляют). Отрицательное воздействие такой методики на формирование общего умения решать задачи, особенно составные задачи, сегодня общепризнано.

В связи с этим не только в учебниках альтернативных систем обучения математике в начальной школе, но и в учебниках, считающихся традиционными («Математика 1 для четырехлетней системы обучения» авторов М.И. Моро, М.А. Байтовой, Г.В. Бельтюковой, СВ. Степановой и др.), еще в конце 80-х были сделаны значительно содержательные изменения, отражающие новые взгляды методистов на иерархию процесса формирования понятия о задаче и арифметических действиях.

Сегодня общепринятой является такая последовательность при знакомстве детей с этими понятиями:

1-й этап — знакомство детей со смыслом арифметических действий на основе теоретико-множественного подхода;

2-й этап — обучение детей описанию этих действий на языке математических знаков и символов (выбор действия и составление математических выражений в соответствии с предметными действиями);

3-й этап — обучение детей простейшим приемам арифметических вычислений (пересчет элементов количественной модели описываемого множества, присчитывание и отсчитывание по 1, сложение и вычитание по частям и др.);

4-й этап — знакомство с задачей и обучение решению задач (причем способ решения задачи — это выбор действия и вычисление результата).

Таким образом, вся методическая деятельность педагоги, реализуемая на 1-3-м этапах, может считаться подготовительной работой к обучению решению задач. Рассмотрим специфику формирования представлений об арифметических действиях в соответствии с новыми методическими подходами, реализованными в современных технологиях развивающего обучения математике.

2. Этапы знакомства дошкольников с арифметическими действиями

С методической точки зрения знакомство дошкольников с арифметическими действиями сложения и вычитания целесообразно распределить на три этапа:

1-й этап — подготовка к правильному пониманию различных сюжетных ситуаций, соответствующих смыслу действий — организуется через систему заданий, требующих от ребенка адекватных предметных действий с различными совокупностями ;

2-й этап — знакомство со знаком действия и обучение составлению соответствующего математического выражения;

3-й этап — формирование собственно вычислительной деятельности (обучение вычислительным приемам).

Не вызывает сомнение целесообразность введения в программу дошкольной математической подготовки не только знакомства с действиями сложения и вычитания на уровне составления соответствующих равенств, но и решения примеров в пределах 20, изучения таблиц сложения и вычитания, знакомства с умножением и делением (сегодня — это программа 2-го класса начальной школы). Эти сомнения поддерживает также и то, что профессиональная методическая подготовка воспитателя (блок «Методика формирования элементарных математических понятий») не содержит сведений о современной технологии (методике) работы над этими понятиями и тем более — сведений о вариантах работы над этими понятиями в различных системах развивающего обучения в школе. Не имея этих перспективных методических знаний, воспитатель часто действует вразрез с теми технологиями, которые уже стали общепринятыми в начальной школе.

Охарактеризуем систему подготовки дошкольников к правильному восприятию смысла арифметических действий и к пониманию смысла символического моделирования предметной ситуации при составлении математического выражения и равенства, т. е. 1-й и 2-й этапы знакомства ребенка с арифметическими действиями. Содержание методической работы на 3-м этапе будет раскрыто частично, в той мере, в какой этого требует практика обучения ребенка простейшим приемам вычислительной деятельности в дошкольный период.

3. Сложение. Задания, знакомящие детей 5—6 лет со смыслом и обозначением действия сложения

В связи с этим ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов воспитателя, уметь показывать руками, как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Рассмотрим подготовительные задания для усвоения смысла действия сложения.

Примеры ситуаций, моделирующих объединение двух множеств:

А. Задание. Возьмите три морковки и два яблока (наглядность). Положите их в корзину. Как узнать, сколько их вместе? (Надо сосчитать.)

Цель. Подготовка ребенка к пониманию необходимости выполнения дополнительных действий (в данном случае — пересчет) для определения общего количества предметов совокупности.

Б. Задание. На полке стоят 2 чашки и 4 стакана. Обозначьте чашки кружками, стаканы квадратиками. Покажите, сколько их вместе. Сосчитайте.

Цель. Подведение ребенка к пониманию смысла операции объединения, а также обучение переводу словесно заданной ситуации в условную предметную модель. Такая модель помогает ребенку абстрагироваться от конкретных признаков и свойств предметов, и сосредоточиться только на количественной характеристике ситуации.

Примеры ситуаций, моделирующих увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной:

А. Задание. У Вани 3 значка. Обозначьте значки кружками. Ему дали еще, и у него стало на 2 больше. Что надо сделать, чтобы узнать, сколько у него теперь значков? (Надо 2 добавить.) Сделайте это. Сосчитайте результат.

 Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «больше на...» с добавлением элементов.

Б. Задание. У Пети было 2 игрушечных грузовика. Обозначьте грузовики квадратиками. И столько же легковых машин. Обозначьте легковые машины кружками. Сколько вы поставили кружков? На день рождения Пете подарили еще три легковые машины. Обозначьте их кружками. Каких машин теперь больше? Покажите, на сколько больше.

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «столько же» с соответствующим предметным действием.

4. Вычитание. Задания, знакомящие детей 5—6 лет со смыслом и обозначением действия вычитания

С теоретико-множественной точки зрения действию вычитания соответствуют три вида предметных действий:

а)        уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

б)        уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

в)        разностное сравнение двух совокупностей (множеств).

На подготовительном этапе ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов воспитателя, уметь показывать руками, как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Рассмотрим подготовительные задания для усвоения смысла действия вычитания.

А. Задание. У Мартышки было 6 бананов. Обозначьте их кружками. Несколько бананов она съела, и у нее стало их меньше. Что надо сделать, чтобы показать, что случилось. Почему вы убрали 4 банана? (Стало на 4 меньше.) Покажи  оставшиеся бананы. Сколько их?

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель следовательно заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «меньше  на...» с удалением элементов.

Б. Задание. У жука 6 ног. Обозначьте количество ног жука  красными палочками. А у слона на 2 меньше. Обозначьте  количество ног слона зелеными палочками. Покажите, у кого ног меньше. У кого ног больше? На сколько?

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «меньше на...» с соответствующим предметным действием в отношении совокупности, сравниваемой с данной.

После того как ребенок научится правильно понимать на слух и моделировать все виды предметных действий, его можно знакомить со знаками действий. Знаки действий, как и любая другая математическая символика, являются условными соглашениями, поэтому детям просто сообщается, в каких ситуациях используется знак сложения, а в каких — знак вычитания.

В качестве примера приведем взаимосвязанную серию заданий, показывающих, как может выглядеть такое знакомство на занятии в старшей группе.

Упражнение 1

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации.

Материалы. Фланелеграф, карточки с рисунками, карточки с цифрами и знаками действий, «Дидактический набор».

Способ выполнения. Педагог использует сюжетную ситуацию:

—        Сейчас я расскажу вам одну историю. Жил-был во дворе воробей. (Педагог выставляет изображение птички на фланелеграфе по ходу рассказа.) Он любил по утрам сидеть на рябине и ждать, когда дети выйдут на прогулку и принесут ему крошки. Однажды прилетел он утром на рябину и видит: сидят там вот такие гости. (Педагог выставляет на фланелеграф карточки с изображением снегирей — на каждой карточке один снегирь.)

—        Кто это? (Снегири.)

—        Прилетели из леса и клюют рябину. Рассердился воробей: «Вы чего мою рябину едите?» А снегири говорят: «Не гони нас, воробей. Голодно в лесу, холодно, всю рябину уже съели, позволь здесь покормиться, а то мы погибнем». Не стал воробей жадничать. «Ладно, ешьте, — говорит, — а мне дети из садика крошек хлебных принесут, накормят». Так и остались они вместе на рябине.

—        Сколько воробьев? (1) Сколько снегирей? (3) Откройте коробочки «Дидактический набор» и положите на столе фигурки, обозначающие птиц, чтобы сразу было видно, что у вас 1 воробей и 3 снегиря.

Дети должны самостоятельно выложить группу разных фигурок: одна

и три. Например: О [][][] или          

Педагог у каждого спрашивает: «Где у тебя воробей? Где видно, что три снегиря?»

Когда дети справятся с заданием, группу-заместитель выкладываем на фланелеграфе с объяснением: воробей отличается от снегирей, значит, фигурка должна быть другая.

—  Как назвать одним словом воробья и снегирей? (Птицы.)

Упражнение 2

Цель. Знакомить со знаком сложения. Способ выполнения. Воспитатель продолжает беседу: «Теперь обозначим количество птиц математически с помощью чисел». Какие числа надо взять? (1 и 3) А теперь я вам покажу, как обозначить, что они дружно сидят на дереве. Математики используют такой знак (плюс). Действие, которое обозначается этим знаком, называется «сложение». Такая запись «1 +3» говорит, что мы собрали их вместе и сосчитали. Математики говорят «сложили». Всего сколько у нас птиц?

Упражнение 3

Цель. Учить соотношению  математического выражения и сюжетного рассказа.

Задание. Воспитатель предлагает детям составить рассказ по такой записи: 2 + 1. Хотите опять про птиц, хотите про что-нибудь другое.

Педагог помогает детям составить рассказ вида: «У Маши было 2 конфеты, ей дали еще одну».

— У вас нет цифр, обозначьте то, о чем говорится в рассказе, фигурками: ООП

(Фигурки дети выбирают сами.)

При выполнении задания, обратного данному, т. е. при переводе словесно заданной ситуации на язык математической символики, последовательность указаний педагога такова:

а) обозначьте то, о чем говорится в задании, кружками (палочками и т. п.)

б) обозначьте указанное число кружков (палочек и т. п.) цифрами;

в) поставьте между ними нужный знак действия.

Например: в вазе 4 тюльпана белых и 3 розовых. Обозначьте число белых тюльпанов цифрой; число розовых тюльпанов цифрой. Какой знак нужно поставить в записи, чтобы показать, что все тюльпаны стоят в одной вазе?

Составляется запись: 4 + 3.

Такую запись называют «математическое выражение». Она показывает количественные характеристики ситуации и взаимоотношения рассматриваемых совокупностей.

Не стоит сразу ориентировать ребенка на получение значения выражения:

3 + 4 = 7

Вся запись целиком называется «равенство». Этот термин имеет смысл вводить тогда, когда дети познакомятся со знаком «равно».

Когда педагог убедится, что дети хорошо справляются со всеми этими видами заданий, правильно соотнося все ситуации, связанные со сложением, с соответствующими выражениями, можно знакомить их с действием вычитания и знаком вычитания. Психологически понимание смысла вычитания и соотнесение его с математической записью сложнее, чем понимание смысла сложения. Это объясняется тем, что в процессе моделирования ситуации вычитания множество, соответствующее вычитаемому, убирается из поля зрения ребенка и перед ним остается множество, соответствующее остатку, а для составления правильной записи необходимо помнить первоначальное количество и удаляемое количество, которых перед глазами ребенка уже нет. В этой связи наблюдаются так называемые типичные ошибки усвоения вычитания.

Например, педагог выставляет на фланелеграфе 6 фигурок, затем 2 убирает. Дети безошибочно опознают действие — вычитание, но при составлении записи могут написать: 6-4. Это обусловлено тем, что 4 фигурки они непосредственно наблюдают после совершения предметного действия.

В качестве примера того, как может быть организовано знакомство с действием вычитания, приведем взаимосвязанную серию заданий для старшей группы.

Упражнение 1

Цель. Уметь сосредотачивать внимание детей на изменениях количественных характеристик ситуаций.

Материалы. Фланелеграф, модели фигур.

Способ выполнения. Педагог выставляет на фланелеграф несколько любых фигур (или изображений). По его просьбе дети закрывают глаза, а он в этот момент убирает или добавляет фигуры на фланелеграфе. Затем дети должны сказать, что изменилось: убрали или добавили, больше стало или меньше. Фигурки надо брать одинаковые или похожие. Например, яблоки, треугольники и т. д. Каждый раз педагог просит детей

объяснить, почему они так думают. (Было 5 яблок. Теперь стало 3. Стало меньше, значит, яблоки убрали.)

Упражнение 2

Цель. Соотносить предметную ситуацию с записью действия, знакомить с действием вычитания и знаком вычитания. Задание.

—        Запомните, сколько яблок. (Запись убирается.) Закройте глаза. (Педагог убирает 2 яблока.) Что я сделала? убрала 2 яблока. Изменилось ли количество? (Да. Стало меньше.) Давайте составим запись того, что я сделала. Сколько было яблок сначала? (6) Сколько я убрала? (2) Ставим числа 6 и 2. Можно ли поставить между ними знак «+»? (Нет. Этот знак ставят, когда добавляют, а вы убрали.) Верно. В этом случае используют другой знак: «-» (минус). Он означает, что первоначальное количество уменьшилось. Запись читают так: «От шести отнять два». Это значит, что мы убрали 2. Сколько же осталось? (4)

После того как дети научатся правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор (обязательно!), можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

Поскольку обучение дошкольника специальным приемам вычислительных действий не предусмотрено программой, ребенок получает результат либо пересчетом, либо присчитыванием (отсчитыванием), но может опираться и на знание состава числа (шесть это два и четыре, значит, шесть без двух это четыре).

Приведем пример обобщающего занятия по теме «Действия сложения и вычитания».

Цель занятия. Уточнять представление о действии сложения и вычитания.

          Упражнение 1.

Цель. Соотносить предметные ситуации на сложение и вычитание с выбором знака действий.

Материалы. Фланелеграф, наборы фигур. У детей набор карточек с числами от 1 до 9 и знаки «+» и «-» на карточках. (Удобно использовать деревянные фишки из набора «Учись считать».)

Способ выполнения. Педагог выставляет на фланелеграф 2 рыбки.

— Я буду изменять ситуацию, а вы будете показывать мне знак, с помощью которого можно записать то, что я сделала.

Педагог меняет ситуацию (молча). Дети показывают знак «+» или «-», объясняя, почему надо употребить этот знак, Например: надо взять «+», так как вы добавили рыбок, их стало больше, и т. д.

5. О математической лексике, характеризующей действия сложения и вычитания

Рассмотрим вопрос о целесообразности обучения дошкольников специальной математической лексике, характеризующей действия сложения и вычитания. Данный вопрос связан с развитием математической речи ребенка, формированием умения связно и математически грамотно выражать свои мысли. К специальной математической лексике относят названия компонентов действий и слова, характеризующие процессы сложения и вычитания. Приведем эту лексику:

Записи вида 3 + 6 и 5 - 2 называют математическими выражениями. Математическое выражение содержит только числа (в дальнейшем — и буквы) и знаки действий, но не содержит знаков сравнения (знаки равенства или неравенства).

Простейшими математическими выражениями являются: сумма, разность, произведение и частное.

Выражение вида 3 + 5 называют суммой.

Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми.

Запись вида 3 + 5 = 8 называют равенством. Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.

Например: найдите сумму чисел 4 и 6. (Ответ: сумма чисел 4и6 — это 10.)

Выражение вида 8 — 3 называют разностью.

Число 8 называют уменьшаемым, а число 3 — вычитаемым.

Значение выражения — число 5 также могут называть разностью.

Например: найдите разность чисел 6 и 4. (Ответ: разность чисел 6 и 4 — это 2.)

Произведением называют выражение вида 3 • 4, в котором числа 3 и 4 называют множителями; частным называют выражение вида 12 : 4, в котором 12 называют делимым, а 4 — делителем.

Все названия рассмотренных математических объектов вводятся по соглашению. Нет смысла пытаться искать в этих словах какой-то специальный смысл и связывать их с какими-то внешними признаками рассматриваемых записей. Также нет смысла пытаться строить для этих понятий вербальные (словесные) определения.

Практика показывает, что ввести все упоминаемые названия в лексику дошкольника вполне возможно без организации специального заучивания ребенком малопонятных ему слов. Для этого необходимо, чтобы педагог регулярно демонстрировал детям образцы грамотной математической лексики на занятиях. Иными словами, для того чтобы дети учились правильно и в соответствии с содержанием употреблять терминологию, воспитатель должен правильно употреблять ее сам.

Например, поскольку словосочетание «математическое выражение» является достаточно сложным лексически, на первых порах лучше употреблять слово «запись» (составим запись), затем перейти на употребление слова «выражение» (составим выражение) и завершить переход полной формой «математическое выражение» (в подготовительной группе).

Названия «сумма» и «разность» позволяют обогатить математическую речь педагога, а следовательно, расширить количество речевых образцов, которые он будет демонстрировать детям на занятии.

Например, запись 4 + 2 можно читать различными способами: к четырем прибавить два, сложить три и два, найти сумму четырех и двух.

Запись 5 — 3 также можно читать различными способам» от пяти отнять три, из пяти вычесть три, найти разность  пяти и трех.

Хорошо, если все эти речевые образцы звучат на занятии и педагог помогает детям выражать свои знания в различной  форме — это способствует развитию гибкости и нешаблонности мышления.

Для усвоения терминологии педагогу рекомендуется активно использовать задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.

Например, можно предлагать такие задания:

1.        Среди данных выражений найдите такие, в которых первое слагаемое равно 3 (уменьшаемое, вычитаемое):

3+2   7 — 3   6 + 3   8 + 1   3 + 5   3 — 2   7 — 3   3 + 4   3

2.        Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 5. Найдите его значение.

3.        Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых разность равна 2. Подчеркните их синим цветом.

4.        Как называют число 4 в выражении 5-4? Как называют  число 5? Найдите разность. Составьте другой пример, в котором разность равна тому же числу.

5.        Уменьшаемое 8, вычитаемое 2. Найдите разность.

6.        Найдите разность чисел 6 и 4. Назовите уменьшаемое, вычитаемое.

Следует отметить, что обучение дошкольника данной лексике не является необходимостью. По сегодняшним требованиям к математической подготовке с этими терминами дети знакомятся только в конце 1 и в начале 2 класса начальной школы, поэтому нет смысла особенно форсировать этот процесс. Однако не следует специально отгораживать ребенка от этой терминологии, поскольку, столкнувшись с ней впервые в школе, многие дети очень долго и с большим трудом осваивают ее: уже в детском саду они привыкли называть любую запись такого вида словом «пример» (т. е. у них сформировался речевой стереотип, который приходится перестраивать).

 В общем виде дифференцировка и выражение этой дифференцировки элементов математических записей в речи способствует развитию аналитических способностей ребенка и соответствует развитию системной дифференциации когнитивных структур.

6. Обучение дошкольников простейшим приемам вычислительной деятельности

Основное отличие вычислительной деятельности от деятельности счета было сформулировано А.М. Леушиной следующим образом: «Деятельность счета всегда имеет дело с конкретными множествами, будь то множество вещей, звуков, движений. ... Деятельность вычисления уже более отвлеченная, поскольку она имеет дело с числами, а число есть абстрактное понятие. Деятельность вычисления основана на различных арифметических действиях, которые тоже являются абстрактными понятиями, обобщениями соответствующих операций над множествами».

1. Иными словами, вычислительная деятельность предполагает действия с числами в соответствии с правилами этих действий. Задача формирования и развития вычислительной деятельности у ребенка является одной из центральных задач курса математики в начальных классах.

Вопрос о необходимости и способах формирования этой деятельности (или ее элементов) тесно взаимосвязан с двумя моментами — с формированием представлений о смысле натурального числа и принципе образования натурального ряда и со знакомством с арифметическими действиями, которое уже в дошкольный период необходимо влечет за собой обучение ребенка способам нахождения значения математического выражения.

Это может быть либо пересчет, либо присчитывание и отсчитывание, либо опора на знание состава числа.

1. Пересчет как способ нахождения значения выражения.

Данный способ не является вычислительным приемом, но позволяет находить значение выражения и может служить способом проверки правильности вычислений на ранних этапах овладения ребенком вычислительной деятельностью. Этот способ опирается на теоретико-множественный смысл арифметических действий сложения и вычитания. Моделируя эти действия в соответствии с заданными численными характеристиками на предметной или условно-предметной наглядности (палочки, фигурки и т. п.), ребенок может использовать пересчет элементов результирующего множества (объединения или остатка после удаления части) для определения его численности.

Такой способ является корректным с теоретико-множественной точки зрения, поскольку по определению для двух (и более) конечных множеств А и В, не имеющих общих элементов, справедлива теорема: объединение этих множеств А и В тоже конечно, причем число элементов в А и В равно сумме чисел элементов в А и В:

А П В = 0 => п(А и В) = п(А) + п(В), где п(А) и п(В) — число элементов множеств А и В, а п(А и В) — число элементов в объединении.

Аналогичным образом можно обосновать применение способа пересчета для нахождения значения разности: «В начальном курсе математики вычитание вводится на основе практических упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового подмножества — дополнения выделенного подмножества. При этом, конечно, теоретико-множественная терминология и символика не используются, а число элементов подмножества и его дополнения находится путем пересчета». Данные цитаты определяют способ нахождения суммы и разности в начальной школе, но, естественно, их можно отнести и к дошкольному обучению математике, поскольку в них представлен общетеоретический математический подход к рассматриваемым понятиям.

2. Присчитывание и отсчитывание как основной вычислительный прием в дошкольном обучении.

Присчитывание и отсчитывание отличаются от пересчета тем, что «счет, как деятельность, направленная на определение всех элементов множества, всегда начинается с числа один. Присчитывание же есть способ вычисления, когда к какому-либо известному числу прибавляется другое число, как бы в дополнение, поэтому, поскольку первое слагаемое известно, к нему надо присчитать второе слагаемое».

В основе приема присчитывания с теоретико-множественной точки зрения лежит добавление или убавление по одному от заранее заданной совокупности. Это позволяет на начальных этапах строить обучение данному приему с опорой на количественную модель ситуации.

Приведем примеры.

Задание. Возьмите три палочки из коробки. Что надо сделать, чтобы их стало четыре? (Одну добавить.) Добавьте одну палочку. Сосчитайте, сколько их. Получилось четыре? (Да.)

Задание. Снова возьмите три палочки. Что нужно сделать, чтобы их стало две? (Одну убрать.) Уберите одну. Сосчитайте, сколько палочек? Получилось две? (Да.)

В этом упражнении дети используют пересчет для проверки правильности выполненных предметных действий на увеличение (уменьшение) данной совокупности на одну единицу.

Задание. Возьмите 6 треугольников из дидактического набора. Соберите их в руку. Уберите один. Сколько осталось в ладони? (Пять.) Проверьте свой ответ — прересчитайте фигурки. Снова спрячьте их в ладони. Уберите один. Сколько осталось? (4) Проверьте, пересчитайте.

Форма организации наглядности в этом упражнении ближе к сути процесса присчитывания, поскольку данная совокупность скрыта от глаз ребенка и ему приходится выполнять присчитывание, опираясь либо на мысленную количественную модель этой совокупности, либо на знание принципа построения натурального ряда чисел. В этом упражнении также использован пересчет для проверки правильности результата отсчитывания.

В общем случае основой данного приема является принцип образования чисел в натуральном ряду: каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

Следствием этого принципа является способ нахождения значений выражений вида 5 + 1,8 + 1;6-1,7-1и т. п. путем называния либо следующего, либо предыдущего числа. Иными словами, для нахождения значения данных выражений нет необходимости выполнять какие-то специальные вычислительные действия, достаточно понимать, что добавление 1 ведет к получению следующего по счету числа, а убавление 1 — к появлению предыдущего по счету числа. Именно для получения результатов в таких выражениях ребенок заучивал наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке.

Число предыдущее — стоит в ряду чисел левее данного. При счете называется непосредственно перед данным. Количественно содержит на одну единицу меньше данного.

Число последующее (следующее) — стоит в ряду чисел правее данного. При счете называется непосредственно после данного. Количественно содержит на одну единицу больше данного.

Обучение ребенка вычислениям с опорой на данный принцип является перспективным методическим действием, поскольку этот способ вычислений будет «работать» на любом числовом множестве:

7 + 1        17 + 1       177 + 1     10 277 + 1

7 — 1        17 — 1      177 — 1    10 277 — 1

Действенным методическим приемом при обучении дошкольников присчитыванию и отсчитыванию является использование линейки в качестве наглядной опоры для запоминания последовательности чисел, а также для усвоения способа нахождения числа последующего и предыдущего. Наличие внешней опоры создает оптимальные условия для интериоризации, т.е. формирования наглядно представимой мысленной модели ряда натуральных чисел, что помогает находить результаты присчитывания и отсчитывания детям с ведущим наглядно-образным мышлением.

Для детей с ведущим кинестезическим восприятием и типом памяти (т. е. требующим обязательной поддержки словесной информации мышечным усилием, двигательным действием) следует не только допускать, но и поощрять использование пальцевого счета при изучении всех вычислительных приемов первого десятка. Естественно, этот вариант внешнего подкрепления вычислительной деятельности является более медленным, и многим педагогам кажется недопустимым даже для дошкольников. В защиту использования этого способа, подкрепления вычислительной деятельности для детей с ведущим кинестезическим типом, можно привести многочисленные исследования психологов последних десятилетий, подтверждающие, что при исключении двигательных действий у этих детей, усвоение происходит на формальном уровне, по принципу зазубривания без понимания, а в дальнейшем это крайне осложняет формирование вычислительной деятельности с числами в пределах сотни, тысячи и т. п.

3. Прибавление и вычитание по частям.

Следующую группу вычислительных приемов в пределах первого десятка составляют случаи вида: а ± 2, а ± 3, а ± 4, результаты которых могут быть найдены с помощью последовательного присчитывания или отсчитывания по 1:

2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1;       7-4 = 7-1-1-1-1

или с помощью прибавления и вычитания по частям:

2 + 3 = 2 + 1 + 2;        7 — 4 = 7-2-2

В дошкольном обучении вычислительной деятельности нецелесообразно использовать прием прибавления (вычитания) по частям, так как он требует опоры на предварительно выученные наизусть результаты табличного сложения и вычитания. Например, для вычисления разности 7 - 4 в виде 7-2-2 необходимо сначала вспомнить результат вычитания 7-2, равный 5, а затем результат 5-2, равный 3. На заучивание всего объема результатов табличного сложения и вычитания в начальной школе уходит от полугода до года в различных системах обучения.

При обучении вычислительной деятельности дошкольников целесообразно ориентироваться на прием последовательного присчитывания и отсчитывания по 1, так как он не требует специальных вычислительных действий какого-то нового вида, а требует лишь последовательного применения принципа образования чисел в натуральном ряду.

Например. Вычислите 6 + 1 + 1.

Рассуждения ребенка: прибавляя к 6 единицу, получаем следующее число — это 7; прибавляя к 7 единицу, получаем следующее число — это 8.

Значит, 6 + 1 + 1 = 8.

В качестве наглядной модели во всех случаях удобно использовать линейку — чтобы прибавить единицу дважды, ребенок делает от числа 6 два «шага» вправо, получая ответ наглядно (эти «шаги» полезно прослеживать пальцем).

При использовании пальцевого счета ребенок отгибает (или загибает) последовательно два пальца, присчитывая их к 6 пальцам или, в крайнем случае, сосчитывая заново все количество отогнутых (загнутых) пальцев.

Аналогично ребенок действует при вычислениях вид! а - 1 - 1. В этом случае используется понятие о предыдущем числе и знание последовательности чисел в обратном порядке.

Вычислительный прием, а ± 2, а ± 3, а ± 4 объединим последовательное присчитывание (отсчитывание) соответствующего количества единиц к числу, как в предыдущем случае.

В качестве наглядной модели удобно использовать счеты поскольку, прибавляя или вычитая, например, 2, ребенок чаще всего перебрасывает дважды по одной косточке, фактически моделируя приведенную выше схему. Если ребенок сначала отсчитывает на счетах две косточки, а потом перебрасывает их, он, как правило, затем при нахождении результата сосчитывает заново все количество полученных косточек. Этот способ выполнения вычислений показывает, что ребенок понимает смысл действий, но приемами присчитывания и отсчитывания по каким-то причинам не пользуется. В этом случае следует заменить счеты, на линейку, по которой ребенок делает нужное количество «шагов» вправо или влево от заданного числа, или использует  пальчиковый счет.

4. Использование знаний состава чисел при вычислении значений выражений.

Если при изучении чисел в пределах 10 ребенок запомнил наизусть состав однозначных чисел (что вполне возможно для детей с хорошей механической памятью на числа) и легко его воспроизводит, то проще всего для такого ребенка при нахождении значения выражения опираться на соответствующие случаи состава однозначных чисел:

Например:

значит: 3 = 1 + 2, тогда 1 + 2 = 3, а З — 2 = 1 значит: 7 = 5 + 2, тогда 5 + 2 = 7, а 7 — 2 = 5

Данный путь формирования вычислительной деятельности также является перспективным и преемственным, поскольку многие учебники математики для 1 класса ориентируют ребенка на использование состава числа как основы для запоминания таблиц сложения и вычитания. При этом удобнее ориентироваться не на составление и заучивание таблицы каждого случая целиком, а на составление и запоминание взаимосвязанных троек: 9

9 = 5 + 4значит:5 + 4 = 9; 9 — 4 = 5; 9 — 5 = 4  

Составление таких троек не требует знания взаимосвязи между компонентами действий сложения и вычитания, а только знания состава чисел. В речевой форме это звучит так: 9 — это: пять и четыре, значит, 9 без пяти — это четыре, а 9 без четырех — это пять.

5. Перестановка слагаемых при вычислении значения выражения.

Изучение случаев сложения, когда второе слагаемое больше первого, требует знакомства с правилом перестановки слагаемых (переместительное свойство сложения): От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Применение при вычислениях перестановки слагаемых позволяет свести все эти случаи к ранее изученным.

Например: 2 + 8 = 8 + 2 = 10.

Перестановка слагаемых может рассматриваться как прием вычислений, который облегчает сложение любых чисел.

Прием перестановки слагаемых позволяет составить краткую таблицу сложения в пределах 10:

2 + 2 =        4                        

3 + 2 =        5                        

4 + 2 =        6        3 + 3= 6                

5 + 2 =        7        4 + 3= 7                

6 + 2 =        8        5 + 3= 8        4 + 4        = 8

7 + 2 =        9        6 + 3= 9        5 + 4        = 9

8 + 2 =        10        7 + 3=10        6 + 4        = 10

С учетом свойства перестановки слагаемых данная таблица включает все случаи сложения в пределах 10. Таблица содержит 15 случаев, и, безусловно, ее заучивание для ребенка намного более легкая задача, чем заучивание полной таблицы.

Методически знакомство с этим правилом педагог может организовать через построение количественных моделей объединяемых множеств. Последующее сосчитывание элементов результативного множества покажет неизменность этого количества при различном порядке их объединения: АиВ = ВиА=> п(А) + п(В) = п(В) + п(А).

7. Особенности усвоения детьми старшего дошкольного возраста сущности арифметических действий.

Итак, на этапе обучения детей решению простых задач необходимо познакомить дошкольников с понятием целого, которое отражает величину совокупности предметов, научить их видеть структуру целого, его отношения к частям. На данном этапе дети практически усваивают операции объединения совокупностей, удаление части из целого. Это позволяет в дальнейшем понять сущность арифметических действий сложения и вычитания, связь между компонентами этих действий и их результатом. Такая подготовка способствует пониманию связей между самими действиями сложения и вычитания.      

Графическая зарисовка целого и частей создает для детей наглядную модель отношений между целым и частями, помогает усвоить характерные их свойства. Дети начинают понимать, что каждый предмет, принадлежащий  части, принадлежит одновременно и целому. Однако часть может и не утрачивать своего индивидуального характерного свойства. Например, часть – «кружки» или часть – «треугольники», сохраняя свои индивидуальные свойства, одновременно приобретают и общее характерное свойство целого – «фигуры».

Дети учатся устанавливать отношение «целое – часть», управлять и фиксировать это в виде диаграмм. Например, «из карточек с изображением полевых цветов детям предлагается составить букет и рассказать, как составили, какое получилось целое и из каких частей оно составлено, после чего составленное целое изображается в виде окружностей на доске. Дети в той же последовательности, как выполняли его практически, рисуют точками совокупность ромашек, затем крестиками – совокупность васильков, объединяя каждую из них окружностью. Затем, чтобы показать, что обе совокупности объединены, рисуют общую окружность, включая в нее две малые». (Рис.1) 

   Рис.1

При объяснении внимание дошкольников обращается на то, что были две  разные совокупности, каждая из них состояла из однородных предметов, но когда обе совокупности соединили, то получилось целое, состоящее из разнородных предметов, но имеющих один общий признак – «букет цветов», и дети это должны объяснить так: «Я взял васильки, ромашки, соединил их вместе и получился букет цветов. Букет цветов – это целое, в нем две части: одна часть – васильки, а другая – ромашки».

Когда дети хорошо усвоят операции объединения и удаления части совокупности и способы графического изображения, то необходимо познакомить их с записью модели арифметического действия, с условными знаками «плюс» (+), «минус» (-), «равняется» ().

Следует учить детей составлять простую арифметическую задачу.  По картинке  с ярко выраженным действием объединения двух совокупностей детям предлагали рассказать о содержании ее и об операции с совокупностями, изобразить отношения между ними в виде диаграммы. Затем сообщалосьь, что эту операцию можно не только зарисовать, но и записать знаками. «У вас на столе лежат разные геометрические фигуры и арифметические знаки «плюс» (+), «минус» (-), «равняется» (), «круг», «полукруги» и др. (Знаки эти изображены на карточках из картона). Дошкольников знакомили с ними, показывали, что из двух полукругов можно составить целый круг, объясняли, как при помощи этих знаков можно записать то, что изображено окружностями. После нескольких упражнений в использовании знаков по сюжетной картинке предлагали детям составить рассказ и изобразить окружностями объединения совокупностей, ниже составлялась модель записи действия. Например, в сосотавленном букекте цветов имелись две части: ромашки и васильки. Все это изображали окружностями, а ниже записывалась модель арифметического действия. Детей подводили к выводу: если к половине круга прибавить еще такую же половину, то обе половины будут равны кругу    (   +      ).

Также объяснялась и запись операции удаления части из целого. Если из букета (целого) удалить его часть, то другая часть останется в букете, и это удаление выражалось графически, ниже записывалась модель арифметического действия     -          , т. е. из круга удалялась его половина и оставалась другая половина.

После того как дети овладевали основным смыслом моделированной записи,

Внимание детей обращалось на то, что части по количеству элементов могут быть разными, например: в букете может быть васильков 6, а ромашек 4. Запись остается такой же, а более точное количество васильков и ромашек, так же как и их сумма, записывается соответствующими цифрами. Так, под условной моделью появляется запись подлинно арифметического действия – числового выражения:

6+4= 10

Дальнейшая работа направлена на упражнение детей в составлении задач на нахождение суммы, остатка, на формирование умения анализировать задачу, выделяя в ней известное и неизвестное и изображая это графически. На нескольких занятиях необходимо учить детей выбирать и формулировать арифметическое действие, которым решается задача, записывать его с помощью модели, а затем числового выражения.

Детей возможно упражнять в нахождении неизвестного первого (второго) слагаемого, нахождении уменьшаемого или вычитаемого на основе диаграмм. Подобные занятия проводятся следующим образом.

Вывешивается диаграмма (рис.1). У детей спрашивают, что на ней изображено, что принято за известное и что за неизвестное, какую задачу можно составить по той диаграмме. Каким действием она будет решаться? Детям необходимо сформулировать его, составить образец записи и числовое выражение. Так же выполняется задание по дианрамме, изображающей операцию объединения совокупностей или удаления части из целого (рис. 2, 3). В том и другом случае требовалось узнать результат, а под диаграммами моделировалась запись действия.

В дальнейшем неизвестным становилось первое или второе слагаемое, диаграмма и запись выглядели так, как изображено на рис. 4.

Учились дети составлять задачи по готовым диаграммам (рис. 5). При этом ставились вопросы: какое целое изображено? (Неизвестное.) Сколько в нем частей? (Две.) Какие это части? (Известные: одно – 3 предмета, а другое – 2 предмета.) Какое действие нужно совершить? (Действие сложения.). Предлагалось записать или подобрать модель (рис. 6). Какое же здесь должно быть числовое выражение (рис. 7)?  Аналогично составлялись задачи на вычитание. Диаграмма на удаление части из целого выглядела так, как изображено на рис. 8.

Задача составлялась детьми: «В аквариуме плавало 5 рыб (обводится большая окружность черного цвета). Из них: 1 меченосец (изображается небольшая окружность), а остальные – гуппи (изображается вторая небольшая окружность). Сколько в аквариуме было гуппи? Это вопрос задачи. Какое действие надо совершить? Подумайте и найдите карточку, на которой значками записано это действие».

Дошкольники находят и показывают модель арифметического действия (рис. 8). «Теперь запишите под карточкой с помощью цифр арифметическое действие, которым решается задача (5-1 = 4)».

В тех случаях, когда предлагалось составить задачу по предъявленной модели записи действия, детей спрашивали: «Какое действие изображено на этой карточке? Подумай, составь задачу, изобрази ее с помощью кругов и запиши арифметическое действие». Пример: (рис. 9) « Какое это действие? Что обозначает большой круг? Какую задачу нужно придумать по этой карточке?» Дети должны придумать задачу на нахождение неизвестного уменьшаемого. Например: «На шнурке висели бусы, 2 бусинки упали, а 6 осталось. Сколько бусинок было на шнурке?»  Дошкольники должны нарисовать окружность (рис. 10), записать числовое выражение: 6+2= 8.

Так, опираясь на наглядный материал, можно научить детей выделять данные и искомое, составлять и решать задачи на нахождение суммы, остатка, неизвестных компонентов действий сложения, вычитания.

СПИСОК   ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Белошистая А. В. Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лекций для студ. дошк. факультетов высш. учеб. заведений. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. — 400 с: ил.
2. Математическая подготовка детей в дошкольных учреждениях: Семинар, практ. и лаб. занятия по курсу «Методика формирования элементар. мат. Представлений у детей»: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. № 2110 «Педагогика и психология (дошк.)» /Р. Л. Березина, В. В. Данилова, Т. Д. Рихтерман и др.; Сост. В. В. Данилова. – М.: Просвещение, 1987. – 175 с.: ил.