Методика изучения тригонометрии на 1 курсе НПО "Энгельсского политехникума"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

1. Методика обучения элементам тригонометрии в группах 1-го курса НПО «Энгельсского политехникума»

            Я преподаю математику в группах  1-го и 2-го курса НПО с  2011 года.  Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по профессиям начального профессионального образования (далее НПО). Преподавание алгебры и начал анализа в группах ведется в основном  по учебнику [2], выбранного мною из перечня рекомендуемых учебных изданий, как более доступного для обучающихся. Хотя при объяснении темы: «Радианная мера угла. Вращательное движение» я   также пользуюсь еще и учебником под редакцией Мордковича, так как в нем приведены два макета окружности, без которых дальнейшее объяснение материала будет затруднено (см.  гл.1.3).

Я считаю, что изучение тригонометрии на 1-ом курсе (10 класс) один из наиболее сложных процессов в изучении математики, тем более что на изучение раздела «Основы тригонометрии»  в тематическом планировании отводится всего лишь 36 часов (Приложение 1).  Многим обучающимся непросто запомнить значения тригонометрических функций стандартных углов, значения стандартных углов в радианах за пределами прямого угла Большое количество формул для преобразования тригонометрических выражений и формул для определения корней тригонометрических уравнений, способы решения тригонометрических уравнений и неравенств, вызывают  порой серьёзные проблемы, особенно у обучающихся НПО. На своих уроках  в ходе изучения тригонометрии  предлагаю  ребятам, прежде всего, установить закономерность между значениями углов и значениями тригонометрических функций  этих углов. Не заучивать, как стихотворение, а понять, установить,  осознать связь между величинами. Учу  пользоваться единичной окружностью для определения всех этих величин.  Аналогично связь между тригонометрическими формулами и элементами  в формулах устанавливаем в ходе исследования, разрешения  возникающих  проблем, используя технологию проблемного обучения. В ходе рассуждений выводим формулы корней простейших тригонометрических уравнений для различных ситуаций, а также подходы к решению тригонометрических уравнений и неравенств.

С целью более качественного усвоения обучающимися знаний по тригонометрии я разработала карточки информаторы, которые помогают учащимся в освоении нового материала, а в дальнейшем помогают  им, вспомнить нужную информацию и способы её применения,  при необходимости .
Предлагаю  основные из них:

1) Карточка-информатор содержит тригонометрический круг с указанием всех стандартных углов в пределах [-π; 2π]  указаны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса всех стандартных углов в пределах 2π радиан. Содержит информацию о  соотношении между градусной и радианной мерой углов, периодичности, чётности и нечётности тригонометрических функций. ( Приложение 2). Вторая сторона карточки содержит основные формулы тригонометрии, разбитые по блокам. Указан алгоритм использования формул приведения.  (Приложение 2а)

2) На  другой карточке содержится информация по решению тригонометрических уравнений. На одной стороне формулы корней всех видов  простейших тригонометрических уравнений и подходы к их определению. (Приложение 3) Другая сторона – алгоритмы решения основных групп тригонометрических уравнений: сводящихся к решению квадратных уравнений, однородные уравнения и сводящихся к произведению равному нулю. (Приложение3а)

А теперь более подробно остановлюсь на изложении методики изучения тригонометрии в группах первого курса НПО. В своей работе я, конечно,  опираюсь на традиционную методику преподавания тригонометрии, описанной мною в главе 1.4., но есть отдельные моменты, разработанные лично мною, для облегчения восприятия нового материала обучающимися.

Изучение тригонометрии на 1-ом курсе начинается с темы: «Радианная мера угла» (1 час) и «Вращательное движение»(1 час). А затем вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса(2 часа) (методика изучения этого материала приведена в гл.1.4.)  Перед изучением темы я предлагаю вспомнить, с какими стандартными углами им приходилось работать в ходе изучения геометрии в школе. Обучающиеся обычно сразу же называют значения углов: 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰. С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Именно, с изучения тригонометрической окружности  я и начинаю объяснение нового материала, опираясь на учебник под редакцией Мордковича. Знакомлю ребят  с числовой окружностью  на конкретном примере    В результате новый материал воспринимается ими намного легче. Делаю упор на то, что на числовой окружности углы измеряются в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается как 2π радиан (так как длина L окружности радиусом R вычисляется по формуле L=2πR. Если R=1, то L =2π).  А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен π/4 радиан. У многих возникает вопрос: при чем здесь число π?  Ведь π ≈ 3,14. Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правил: во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять число π на 180°. Пишется это так: π → 180°. Обращаю  внимание на то, что: данное правило работает только для тригонометрических функций!  Например, мы спокойно можем записать sin π = sin 180°.  Вводится понятие угла в 1 радиан. Выводится формула перевода  радианной меры угла  в градусную

 1 рад=, отсюда угол в α рад =

И наоборот, перевод  градусной меру в радианную: 1⁰=

Закрепляем приобретенные знания на практике, решая упражнения в учебнике  (№407, № 408)

Для проверки уровня усвоения знаний и способности применять их на практике предлагаю карточки-задания для самостоятельного решения.

Задача № 1

Перейдите от радианной меры угла к градусной (значение тригонометрических функций вычислять не надо):

1. sin π/3;
2. cos 7π/6;
3. tg π;
4. sin π/4;
5. tg 2π/3;
6. ctg π/2;
7. sin 3π/2;
8. cos 5π/4.

Решение

Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: π → 180°. Имеем:

1. sin π/3 = sin 180/3 = sin 60°;
2. cos 7π/6 = cos (7 · 180/6) = cos 210°;
3. tg π = tg 180°;
4. sin π/4 = sin 180/4 = sin 45°;
5. tg 2π/3 = tg (2 · 180/3) = tg 120°;
6. ctg π/2 = ctg 180/2 = ctg 90°;
7. sin 3π/2 = sin (3 · 180/2) = sin 270°;
8. cos 5π/4 = cos (5 · 180/4) = cos 225°.

Ответ:

sin 60°; cos 210°; tg 180°; sin 45°; tg 120°; ctg 90°; sin 270°; cos 225°.

Итак, вместо непонятного множителя π мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам.

Теперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением оси ОХ, а углы откладываются в направлении против часовой стрелки. Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими. Взгляните:

Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используем простую и понятную шкалу:

1. α ∈ (0°; 90°) ⇒ это угол I координатной четверти;
2. α ∈ (90°; 180°) ⇒ II координатная четверть;
3. α ∈ (180°; 270°) ⇒ III координатная четверть;
4. α ∈ (270°; 360°) ⇒ IV координатная четверть.

Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. Если же память на числа плохая, советую  одну маленькую хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°.   Взгляните: 90° + 90° = 180°; 180° + 90° = 270°; 270° + 90° = 360°.  Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°. Определив, таким образом, в какой четверти лежит угол, можно с легкостью безошибочно установить  знаки тригонометрических функций. Этим самым я подготавливаю почву для восприятия темы: «Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса» .

А теперь разберем конкретные примеры.

Задача №2

Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции и знак этой функции:

1. sin 8π/9;
2. tg 12π/15;
3. cos 9π/10;
4. cos 7π/18;
5. sin 3π/5;
6. ctg 5π/3;
7. tg 4π/9;
8. cos 9π/20.

Решение

Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:

1. sin 8π/9 = sin (8 · 180/9) = sin 160°; т.к. 160° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а »
2. tg 12π/15 = tg (12 · 180/15) = tg 144°; т.к. 144° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а tg α во второй четверти имеет знак  -
3. cos 9π/10 = cos (9 · 180/10) = cos 162°; т.к. 162° ∈ [90°; 180°], это II четверть; cos во второй четверти имеет знак «-
4. cos 7π/18 = cos (7 · 180/18) = cos 70°; т.к. 70° ∈ [0°; 90°], это I четверть;  cos α  во второй четверти имеет знак  «+»
5. sin 3π/5 = sin (3 · 180/5) = sin 108°; т.к. 108° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а »
6. ctg 5π/3 = ctg (5 · 180/3) = ctg 300°; т.к. 300° ∈ [270°; 360°], это IV четверть; ctg α в четвертой четверти имеет знак  -
7. tg 4π/9 = tg (4 · 180/9) = tg 80°; т.к. 80° ∈ [0°; 90°], это I четверть;

tg α во второй четверти имеет знак  «+»

8. cos 9π/20 = cos (9 · 180/20) = cos 81°; т.к. 81° ∈ [0°; 90°], это I четверть;  cos во второй четверти имеет знак  «+»

Ответы:

sin 8π/9, tg 12π/15, cos 9π/10 — это II координатная четверть; cos 7π/18 — это I координатная четверть; sin 3π/5 — это снова II координатная четверть; ctg 5π/3 — это вообще IV координатная четверть; tg 4π/9 и cos 9π/20 — это все I координатная четверть.

Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол.

До сих пор мы рассматривали углы α ∈ [0°; 360°]. Но что произойдет, если, например, угол α = 420°? А как насчет отрицательных углов? Предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов.

Итак, что если угол α > 360°? Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз). С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол α ∈ [0°; 360°]. Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:

1. Перейти от радианной меры угла к градусной. Для этого достаточно сделать замену: π → 180°;
2. Если полученный угол оказался больше 360°, отнимаем от него по 360° до тех пор, пока новый угол не окажется на отрезке [0°; 360°];
3. Аналогично, если угол будет отрицательным, увеличиваем его на 360° до тех пор, пока он не попадет в отрезок [0°; 360°];
4. Выясняем, в какой координатной четверти находится полученный угол, ориентируясь на стандартные границы: 90°, 180°, 270° и 360°.

Задача № 3

Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

1. sin 21π/6;
2. cos 19π/3;
3. sin (−25π/9);
4. tg (−11π/4).

Решение

Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке [0°; 360°]. И только затем выясняем координатную четверть. Получим:

1. sin 23π/6 = sin (23 · 180/6) = sin 690°. Очевидно, что 690° > 360°, поэтому выполняем преобразование: sin 690° → sin (690° − 360°) = sin 330°. Но 330° ∈ [270°; 360°], это IV четверть;
2. cos 19π/3 = cos (19 · 180/3) = cos 1140°. Поскольку 1140° > 360°, имеем: cos 1140° → cos (1140° − 360°) = cos 780° → cos (780° − 360°) = cos 420° → cos (420° − 360°) = cos 60°. Т.к. 60° ∈ [0°; 90°], это I четверть;
3. sin (−7π/9) = sin (−7 · 180/9) = sin (−140°). Но −140° < 0°, поэтому увеличиваем угол: sin (−140°) → sin (−140° + 360°) = sin 220°. Поскольку 220° ∈ [180°; 270°], это III четверть;
4. tg (−11π/4) = tg (−11 · 180/4) = tg (−495°). Т.к. −495° < 0°, начинаем увеличивать угол: tg (−495°) → tg (−495° + 360°) = tg (−135°) → tg (−135° + 360°) = tg 225°. Это уже нормальный угол. Т.к. 225° ∈ [180°; 270°], это III четверть.

Ответ:

sin 21π/6 — это IV координатная четверть; cos 19π/3 — это I координатная четверть; sin (−7π/9) и tg (−11π/4) — это III координатная четверть.

Обращаю  внимание: во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол.

Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать. Вообще, углы данные в радианах, можно не переводить в градусную меру, работать непосредственно с ними, но обучающиеся техникума предпочитают именно градусную меру, более понятную им.

Связь между тригонометрическими функциями одного угла (2 часа)

Да, конечно. Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но мы рассматриваем самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. 

Вот они:

Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание - найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует, я делаю на этом упор для тех учащихся, кто будет сдавать ЕГЭ.

 Задача №1

Найти значение sinx, если х - острый угол, а cos x=0,8.

Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:

sin2x + cos2x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin2x + 0,82 = 1

Ну и считаем, как обычно:

sin2x + 0,64 = 1

sin2x = 1 - 0,64

sin2x = 0,36

Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.

sinx = 0,6

Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" здесь не зря стоит... Дело в том, что ответ sinx= - 0,6 тоже подходит... (-0,6)2 тоже 0,36 будет.

Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй - неправильный. Как быть!? Да как обычно. Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: ...если х - острый угол... А в заданиях каждое слово смысл имеет, да... Эта фраза - и есть дополнительная информация к решению.

Острый угол - это угол меньше 90°. А у таких углов все тригонометрические функции - и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом - положительные. И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация .

Например, она может быть дана такой записью:

Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол β и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти. Эти азы тригонометрии рассматривались нами на предыдущих уроках. И обучающиеся без труда могут определить в какой четверти лежит угол, и какой знак имеет тригонометрическая функция в этой четверти.

Итак, отметим самое главное:

Практические советы:

1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.

2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.

3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.

После знакомства с основными тригонометрическим тождествами отрабатываем их применение при решении упражнений  (458 (1); 459 (1,3,) 465 (1), 466 (1), 467(1),  а затем карточки для самостоятельной работы.

1. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а 

2. Определить sinα, если tgα= 4/3, а α принадлежит интервалу (- 540°;

- 450°).
3. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.

Ответы (в беспорядке):

-0,8; 0,5; -2,4.

Решение упражнений № 458 (2); 459 (2; 4; 5; 6) дается как домашнее задание, аналогичные примеры были разобраны и решены на уроке.

Тригонометрические формулы

Изучения формул тригонометрии начинаем с формул сложения. Они нам нужны будут для вывода формул  синуса и косинуса двойного угла, а также для доказательства формул приведения. Знание всех формул позволит нам выполнять преобразования тригонометрических выражений.

Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.

Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Количество формул приведения пугает учащихся, так как запомнить все формулы они не могут, но запоминать их и не обязательно. Для того, чтобы записать любую из них, достаточно руководствоваться следующими правилами:

1. В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 0<α<
2. Если в левой части формулы угол равен  или , то синус заменяется на косинус, тангенс – на котангенс и наоборот. Если угол равен

Итак, делаем вывод, формулы приведения помогают свести вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значсний для острого угла.

После изучения тригонометрических формул 6 часов отводится на тему: «Преобразование тригонометрических выражений». Основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, изученных ранее.

Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:

Задача №1.

Доказать тождество:

Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:

8cos4+sin8=2sin8cos4+2sin4cos4=2cos4(sin8+sin4)=4cos4sin6cos2, и т.д.

Задачи №2.

Упростить выражение

а)

Можно применить формулы понижения степени:

=

{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: } =

б)

Задача №3

Преобразовать в произведение:

         а) cos5+sin8+cos9+cos12=(cos5+cos12)+(cos8+cos9)=

=2cos17/2cos7/2+2cos17/2cos/2=2cos17/2(cos7/2+cos/2)=

=4cos17/2cos2cos3/2=4cos3/2cos2cos17/2

б) 3+4cos4+cos8=3(1+cos4)+(cos4+cos8)=6cos22+

+2cos6cos2=2 cos2(3cos2+cos6)=2cos2((cos2+|cos6)+

+2cos2)=2cos2(2cos4cos2+2cos2)=4cos22(cos4+cos2)=

=4cos22cos22=8cos42

Задача №4

Найти sin4+cos4, если известно, что:

          sin-cos=1/2

sin4+cos4=(sin2 +cos2)2-2sin2cos2=1-2sin2cos2=

=1-1/2sin22={sin4-cos=1/2(sin-cos)2=

=1-2sincos=1/4sin2=3/4}=

         Задача №5

Вычислить:

sin=-cos(2arctg4/3)={обозначим arctg4/3 через y, тогда получим cos2y, который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу  и получим}=

Тригонометрические уравнения.

Решение тригонометрических уравнений выполняется в большинстве случаев (с помощью различных преобразований) путём сведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям. Поэтому и работу с тригонометрическими уравнениями естественно я  начинаю с простейших тригонометрических уравнений. 
Уравнение f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения: sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a. 
Рассмотрим, при каких значениях а простейшие тригонометрические уравнения разрешимы (имеют решения) и как правильно находить все решения таких уравнений.
1) Уравнение sin t = a.

Необходимо вспомнить какая окружность используется в тригонометрии?  Так как множество значений функции у = sinx – отрезок [– 1; 1], то уравнение sin t = a разрешимо только в том случае, когда |а| ≤ 1. 

Прежде, чем записать формулу корней уравнении y =sn x. Я предлагаю обучающимся решить равнения, использую числовую окружность. Находим корни уравнения, а затем вводится понятие арксинус числа а и обозначаетсяИ тогда можно показать, что решение данного уравнения находится по формуле: t = (– 1)narcsin a + πn, где n  Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. Это обстоятельство следует хорошо помнить, т. к. забывая об этом, часто допускают ошибки. Например, при решении уравнения sin t =  часто, не обращая внимания на то, что  > 1, пишут ответ: t = (– 1)narcsin+ πn, где n  Z, который не имеет никакого смысла, т. к. функция arcsin a не определена в точке а =  (эта точка не принадлежит области определения функции arcsin a). 
Если а = – 1; 0; 1, то рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

При а = – 1,  х = 

                   а = 0, х = πn, где n  Z;

                    а = 1, х = 
Для закрепления навыков решения  простейших уравнений  типа sin x =а выполняем упражения 589 (1,3); 590 ( 1,3); 591 (1, 3, 5), а для отработки навыков решениея - самостоятельная работа во внеурочное время (в виде выполнения упражнений из учебника под № 589 (2); 590 (2); 591 (2,4, 6).
2) Уравнение cos t = a.
Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда |а| ≤ 1. 

Прежде, чем записать формулу корней уравнении y =cos x. Я предлагаю обучающимся решить уравнения, использую числовую окружность. Находим корни уравнения, а затем вводится понятие арккосинус числа а и обозначаетсяИ тогда можно показать, что решение данного уравнения находится по формуле: t =  arccos а + 2πn, где n  Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. 
Если а = – 1; 0; 1, то также рассматривают частные случаи решения данного уравнения.
При а = – 1 , х = 

а = 0,  х = 

а = 1,  х = 

Для закрепления навыков решения  простейших уравнений  типа cos x =а выполняем упраженния 571 (1,3); 572( 1,3); 573 (1, 3, 5), а для отработки навыков - самостоятельная работа во внеурочное время (в виде выполнения упражнений из учебника под № 571 (2); 572(2); 573 (2,4, 6).
3) Уравнение tg t = a. 

Данное уравнение имеет решения при любом значении а  (– ; ). Все решения уравнения задаются формулой t = arctg а + πn, где n  Z.Частные случаи здесь не рассматривают.
4)Уравнение сtg t = a. 

Данное уравнение имеет решения при любом значении а  (– ; ). Все решения уравнения задаются формулой t = arсctg а + πn, где n Z.Частные случаи здесь также не рассматривают.
Ряд уравнений путём элементарных преобразований: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей уравнения на одно и тоже число, отличное от нуля, также очень легко сводятся к простейшим. 

При решении простейших тригонометрических уравнений вида Аsin(вх + с) = d, Аcos(вх + с) = d, Аtg(вх + с) = d, Аctg(вх + с) = d следует обратить внимание на то, что они приводятся к виду sin(вх + с) = а, cos(вх + с) = а, tg(вх + с) = а, ctg(вх + с) = а.  

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям выполняется различными способами. Первоначально надо рассмотреть тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрических функций стоит более сложное выражение, зависящее от х. для решения таких уравнений можно обозначить выражение, стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой; решить простейшее тригонометрическое уравнение, а потом найти х, решая алгебраическое уравнение. 

К таким уравнениям относятся уравнения:

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения с применением выше указанных формул.

Пример № 1

2 sin x +  = 0,

2 sin x = –,

sin x = – ,

х = (– 1)narcsin (– ) + πn, n  Z,

х = (– 1)n + 1 + πn, n  Z.

Ответ: х = (– 1)n + 1 + πn, n  Z.

Пример № 2
 tg () = 3,

tg () = ,

 = arctg  + πn, n  Z,

 =  + πn, n  Z,

 = πn, n Z,

х = 3πn, n Z.

Ответ: х = 3πn, n  Z.

Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией Ш.А. Алимова.

 В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах.
Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители. 
Одним из самых общих методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул: cos2х = 1 – sin2х, sin2х = 1 – cos2х,   
Уравнения вида sin ах  sin вх = 0, cos ах ± cos вх = 0 решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением.
Часто, особенно при решении квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной. 
Интерес вызывают и уравнения, сводимые к однородным: а × sin х + в × сos x = 0, а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным
Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции – один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t =f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида: asin2x + вsin x + c = 0, аcos2x + вsin x + c = 0 и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое тождество sin2х +cos2х = 1.

В учебнике это: № 620, 621, 622

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения.

Пример № 1
2sin2x + sin х – 1 = 0.

Введём новую переменную: t = sin х. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2t2 + t – 1 = 0. это квадратное уравнение. Его корни:t1 = – 1; t2 = . Тогда sin х = –1 и sin х = – . Решим каждое из получившихся простейших уравнений. 

1) sin х = –1 (это частный случай),

х = 

2) sin х = – ,

х = (– 1)narcsin (–) + πk, k  Z,

х = (– 1)k + 1  + πk, k Î Z.

Ответ: хn =  хk = (– 1)k + 1  + πk, k Î Z.

Пример № 2
4сos x = 4 – sin2x,

4сos x = 4 – (1 – cos2x),

4сos x = 4 – 1 + cos2x,

cos2x – 4сos x + 3 = 0.

Пусть cos x = t, тогда t2 – 4 t + 3 = 0.

Так как а + в + с = 0, то t1 = 1, t2 = 3.

Если t = 1, то cos x = 1,

х = 2πn, n Î Z. 

Если t = 3, то cos x = 3,

корней нет, т.к. 3  [– 1; 1].

Ответ: х = 2πn, n Î Z. 
Пример № 3
tg x – 2ctg x + 1 = 0. 

Применим формулу: .

Получим: tg x – 2   + 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда t – + 1 = 0,

t2 + t – 2 = 0 (при условии t ≠ 0),
Так как а + в + с = 0, то t1 = 1, t2 = – 2.

Если t = 1, то tg x = 1,

х = arctg 1 + πn, n Î Z,

хn =  + πn, n Î Z.

Если t = – 2, то tg x = – 2,

х = arctg (– 2) + πk, kÎ Z,

xk = – arctg 2 + πk, kÎ Z.

Ответ: хn =  + πn, n Î Z, xk = – arctg 2 + πk, kΠZ.
Однородные уравнения
Здесь я рассмотрю довольно часто встречающиеся на практике тригонометрические уравнения специального вида. 

Рассмотрим уравнения вида ао × sinn х + a1 × sinn – 1 х × сos x + a2 × sinn – 2 х × сos2 x + … + an × сos n x = 0, где ао, a1, a2, …, an – действительные числа. Здесь в каждом слагаемом сумма показателей степеней синуса и косинуса левой части уравнения одна и та же и равна n.
Такое уравнение называется однородным относительно sin х и сos x, а число n называют показателем однородности. 
Рассмотрим более подробно однородные уравнения с показателями однородности 1 и 2, т.к. в школьном курсе алгебры рассматриваются только такие однородные уравнения.

I) Сначала скажу о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причём рассмотрю только самый общий случай, когда оба коэффициента а и в отличны от нуля, т. к., если а = 0, то уравнение принимает вид в × сos x = 0, т. е. сos x = 0 – такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при в = 0 получаем sin х = 0, что тоже не требует отдельного обсуждения. Итак, при n= 1 имеем уравнение а × sin х + в × сos x = 0 – это однородное уравнение первой степени, где а ≠ 0, в ≠ 0. 
Разделив обе части уравнения почленно на сos x, получим уравнение равносильное данному: а × tg x + в = 0 или tg x = – , откуда х = –arctg + πn, n Î Z.
Необходимо помнить, что делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя!). Мы должны быть уверены в том, что сos x отличен от нуля. Предположим, что сos x = 0. Тогда однородное уравнение а × sin х + в × сos x = 0 примет вид а × sin х = 0, т. е. sin х = 0 (ведь у нас коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и сos x = 0, и sin х = 0, а это невозможно, т. к. sin х и сos x обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на сos x – вполне благополучная операция.
Уравнения вида а × sin mх + в × сos mx = 0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят на сos mx. 
II) Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени. При n = 2 имеем однородное уравнение вида а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0. 
Если коэффициент а отличен от нуля, т. е. в уравнении содержится член sin 2 х с каким-то коэффициентом, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на сos 2x. Что это даст? 

Мы получим уравнение равносильное данному уравнению: а × tg2 x + в × tg x + с = 0. Далее решение уравнения сводится к решению квадратного уравнения относительно tg x. 

III) Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0 коэффициент а равен 0, т. е. отсутствует член sin2 х. Тогда уравнение принимает вид: в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0.
Это уравнение можно решить разложением на множители:
сos x(в × sin х + с × сos x) = 0,
сos x = 0 или в × sin х + с × сos x = 0.
Получилось два уравнения, о решении которых говорилось выше.
Аналогично обстоит дело и в случае, когда с = 0, т. е. когда однородное уравнение имеет вид а × sin2 х + в × sin х × сos x = 0 (здесь можно вынести за скобки sin х). 
Фактически получился алгоритм решения уравнения 

а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0:

1. Посмотреть есть ли в уравнении член а sin2 х.
2. Если член а sin2 х в уравнении содержится (т. е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих его частей на сos2 x и последующим введение новой переменной t = tg x.
3. Если член а sin2 х в уравнении не содержится (т. е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят сos x.
   Также дело обстоит и в однородных уравнениях вида:
   а × sin2 mх + в × sin mх × сos mx + с × сos2 mx = 0.
   В учебнике для 10-11 классов к этому типу уравнений относится немного уравнений: №623, 624.

Хочется отметить, что некоторые уравнения, не являющиеся однородными, могут быть сведены к однородным после соответствующих преобразований.

Пример № 1

4sin2 х – sin 2x = 3.
Применим формулы: sin 2x = 2 sin x cos x, sin2 х + сos2 x = 1. Получим:
4sin2 х – 2sin x cos x = 3(sin2 х + сos2 x),
4sin2 х – 2 sin x cos x – 3sin2 х – 3сos2 x = 0,
sin2 х – 2sin x cos x – 3сos2 x = 0. Это однородное уравнение 2-ой степени. Разделим его на сos2 x
tg2 х – 2tg х – 3 = 0.
Пусть tg х = t, тогда: t2 – 2 t – 3 = 0.
Так как а + с = в, то t1 = – 1, t2 = 3.
Если t = – 1, то tg х = – 1,
х = arctg (– 1) + πn, nÎ Z,
хn = –  + πn, n Î Z.

Если t = 3, то tg х = 3,

xk = arctg 3 + πk, kÎ Z.
Ответ: хn = – + πn, n Î Z, xk = arctg 3 + πk, kΠZ.

Пример № 2

2sin2 х = sin 2x.
Применим формулу sin 2x = 2 sin x cos x.
2sin2 х – sin x cos x = 0,
2sin x(sin x – cos x) = 0,
2sin x = 0 или sin x – cos x = 0,
sin x = 0 tg х = ,
хn = πn, n  Z xk = arctg  + πk, kÎ Z,
xk =  + πk, kÎ Z.

Ответ: хn = πn, n  Z, xk =  + πk, kΠZ.

Уравнения, решаемые разложением на множители
Как уже было сказано выше, одним из наиболее часто применяемых методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Поговорим теперь о нём. 

Смысл этого метода таков: если уравнение f(х) = 0 возможно преобразовать к виду f1(x)  f2(x) = 0, то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят – к решению совокупности уравнений): f1(x) = 0; f2(x) = 0.

Этим методом целесообразно решать уравнения из № 168(а, б), 170(б, в), 171(а), 172(г), 173(а, г), 174. Но хочется заметить, что решая №171(а) и №173(а), мы придём к решению однородных уравнений первой степени. 

Пример № 1

 tg2 x – 3 tg x = 0,

tg x(tg x – 3) = 0,

tg x = 0 или tg x – 3 = 0,

х = arctg 0 + πn, n Î Z tg x = 3,

хn = πn, n Î Z tg x = ,

х = arctg  + πk, k Î Z, 

хk =  + πk, k Î Z.

Ответ: хn = πn, n Î Z, хk =  + πk, k Î Z.

Пример № 2

sin 2х – сos x = 0,

2 sin х  сos x – сos x = 0,

сos x(2sin х – 1) = 0,

сos x = 0 или 2sin х – 1 = 0, 

хn = 2πn, n Î Z 2sin х = 1,

sin х = ,

хk = (– 1)k  + πk, k Î Z.

Ответ: хn = 2πn, n Î Z, хk = (– 1)k  + πk, k Î Z.

Пример № 3

сos 3x + сos x = 4сos 2x,

2сos  сos = 4сos 2x,

сos 2x × сos x – 2сos 2x = 0,

сos 2x(сos x – 2) = 0,

сos 2x = 0 или сos x – 2 = 0,

2х = 2πn, n Î Z сos x = 2,

х = πn, n Î Z корней нет, т.к. 2  [– 1; 1].

Ответ: х = πn, n Î Z
Итак, я рассмотрела тригонометрические уравнения, предлагаемые в гл  VI учебника «Алгебра и начала анализа для10-11 классов» под редакцией Ш. А. Алимова.

Используя  свой опыт преподавания  можно сделать следующие выводы: 

1. Тригонометрические функции являются наиболее удобным и наглядным средством для обучения учащихся исследованию функций.

1. Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.
2. Изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:

• перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа  с числовой окружностью;
• числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;
• построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;
• каждое свойство  функций  четко  обоснованно и все они сведены в систему.