Методическая разработка по подготовке учащихся к ОГЭ. Геометрия 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Методическая разработка

по подготовке учащихся к ОГЭ.

Геометрия 8 класс

ГБОУ СОШ № 79

г. Санкт-Петербург

Сандецкая Л. Е.

учитель математики

г. Санкт-Петербург

2016 г.

Оглавление.                                                                                                                   страница

1. Задачи, составленные в соответствии с требованиями ГИА                          

• Четырехугольник                                                                                           3
• Параллелограмм                                                                                             3
• Ромб                                                                                                                 4
• Трапеция                                                                                                          4
• Площадь прямоугольника                                                                             5
• Площадь параллелограмма                                                                            6
• Площадь треугольника                                                                                  6
• Площадь трапеции                                                                                          7    
• Теорема Пифагора                                                                                          8
• Подобие                                                                                                           11
• Окружность                                                                                                     15
• Какое из следующих утверждений верно                                                    19

2. Задачи, составленные в соответствии с требованиями ФГОС                               20

• Площадь прямоугольника
• Площадь трапеции
• Окружность

3. Использованные источники информации.                                                                23

Задачи, составленные в соответствии с требованиями ОГЭ

Четырехугольник

Вариант 1

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB=BC , AD=CD, ∠B=54°, ∠D=92°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Вариант 2

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB=BC , AD=CD, ∠B=42°, ∠D=48°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Параллелограмм

Вариант 1

1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. 
   Точка F — середина стороны CD. Докажите, что BF — биссектриса угла ABC.
3. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что BK=DM.
4. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC 
   в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=9, CK=15.
5. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=34.
6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=111°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Вариант 2

1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD.
   Точка P — середина стороны CD. Докажите, что AP — биссектриса угла BAD.
3. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP=DT.
4. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC 
   в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=11, CK=20.
5. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=36.
6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=77°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ромб

Вариант 1

1. Сторона ромба равна 36, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Вариант 2

1. Сторона ромба равна 24, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Трапеция

Вариант 1

1. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, AC=AD и ∠ABC=95°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

2. Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Вариант 2

1. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, AC=AD и ∠ABC=109°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

2. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Площадь прямоугольника

Вариант 1

1. Площадь прямоугольного земельного участка равна 10 га, ширина участка равна 100 м. Найдите длину этого участка в метрах.
2. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рис.). Найдите площадь получившейся фигуры.

3. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
4. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2 м?

Вариант 2

1. Площадь прямоугольного земельного участка равна 13 га, ширина участка равна 260 м. Найдите длину этого участка в метрах.
2. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

3. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек?
4. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?

Площадь параллелограмма

Вариант 1

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

2. Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=44 и HD=11. Найдите площадь ромба.

Вариант 2

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

2. Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=68 и HD=17. Найдите площадь ромба.

Площадь треугольника

Вариант 1

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1изображён треугольник. Найдите его площадь.

2. Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 7, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

4. Два катета прямоугольного треугольника равны 5 и 18. Найдите его площадь.
5. В треугольнике со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Вариант 2

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

2. Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 24, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

4. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 12. Найдите его площадь
5. В треугольнике со сторонами 4 и 16 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Площадь трапеции

Вариант 1

1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

2. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Вариант 2

1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке

2. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Теорема Пифагора

Вариант 1

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 41. Найдите другой катет этого треугольника.
3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, tg A=. Найдите AB.

4. Лестницу длиной 3,7 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева 
   на 1,2 м?

5. Лестницу длиной 2,5 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева 
   на 0,7 м?

6. Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=44 и HD=11. Найдите площадь ромба.

7. Сторона ромба равна 74, а диагональ равна 48. Найдите площадь ромба.

8. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=24 и CH=2. Найдите высоту ромба.
9. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=24, BF=10.
10. Площадь прямоугольного треугольника равна 128. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

11. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB=33 и AD=77, отмечена точка E так, что ∠EAB=45°. Найдите ED.

Вариант 2

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 50. Найдите другой катет этого треугольника.
3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, tg A=. Найдите AB.

4. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева 
   на 1,8 м?

5. Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева 
   на 1,2 м?

6. Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=68 и HD=17. Найдите площадь ромба.

7. Сторона ромба равна 52, а диагональ равна 96. Найдите площадь ромба.

8. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и CH=8. Найдите высоту ромба.
9. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=12, BF=5.
10. Площадь прямоугольного треугольника равна 72. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

11. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB=20 и AD=41, отмечена точка E так, что ∠EAB=45°. Найдите ED.

Подобие

Признаки подобия

Вариант 1

1. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
2. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
3. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный 
   на расстоянии 100 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии 
   (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. Человек стоит на расстоянии 11,1 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 9 м. Тень человека равна 2,4 м. Какого роста человек (в метрах)?

5. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

Вариант 2

1. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD=15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
2. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, BD=14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
3. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 360 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. Человек стоит на расстоянии 7,6 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 6 м. Тень человека равна 3,8 м. Какого роста человек (в метрах)?

5. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Вариант 1

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
2. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28.

Вариант 2

1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 35. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
2. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=5, AC=20

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Вариант1

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=2, sinA=0,2. Найдите AB.

2. Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке

3. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна  Найдите sin ∠ABC.

4. В треугольнике ABC известно, что AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=64 и CH=16. Найдите cosB.

5. Катеты прямоугольного треугольника равны и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника

6. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.
7. Высота равностороннего треугольника равна 12. Найдите его сторону.

Вариант 2

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=6, sinA=0,6. Найдите AB

2. Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

3. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=16, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 8. Найдите sin ∠ABC.

4. В треугольнике ABC известно, что AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=14 и CH=11. Найдите cos ∠B.

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 6. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

6. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
7. Высота равностороннего треугольника равна 11. Найдите его сторону.

Окружность

Касательная к окружности

Вариант 1

1. К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=40, AO=85.

2. Отрезок AB=40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

3. В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

4. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 18°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Вариант 2

1. К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=45, AO=75.

2. Отрезок AB=51 касается окружности радиуса 68 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

3. В угол C величиной 107° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

4. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 32°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы

Вариант 1

1. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 7.

2. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115°.

3. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 138°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

4. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=79°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

5. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=9°. Ответ дайте в градусах.

6. Точка О — центр окружности, ∠BAC=40° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

7. Точка О — центр окружности, ∠BOC=70° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах)

8. Сторона ABAB треугольника ABCABC проходит через центр окружности радиуса 8,5, описанной около него. Найдите AC, если BC=8.

Вариант 2

1. Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.

2. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 63°.

3. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 130°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

4. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=25°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

5. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=33°. Ответ дайте в градусах.

6. Точка О — центр окружности, ∠BAC=10° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

7. Точка О — центр окружности, ∠BOC=60° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах)

8. Сторона ABAB треугольника ABCABC проходит через центр окружности радиуса 25, описанной около него. Найдите AC, если BC=48

Задачи, составленные в соответствии с требованиями ФГОС

1. Требуется отремонтировать детскую комнату: поклеить обои, положить на пол линолеум  и прикрутить плинтус. Изучите какие товары предлагает магазин «Все для ремонта» и посчитайте какое количество и какого товара потребуется купить для ремонта. Свои подсчеты занесите в «Таблицу ответов»

Список материалов для ремонта магазина «ВСЕ для РЕМОНТА»

1. Обои  1рулон: 1м   на  10 м

2. Линолеум   1 рулон:  2м   на    10м

3. Плинтус    1шт:  3 м

Таблица ответов.

2. Требуется наклеить обои в вашей комнате. Сколько при этом потребуется рулонов, ширина которых 0,5м, а длина рулона 10,5 м? Сколько коробок обойного клея необходимо, если расход клея составляет одна коробка на 25 м2?
3. Новосел, решив выложить пол в квадратной кухне площадью 7,29 м2 квадратными разноцветными плитками, купил такой набор: 1 плитка со стороной 120 см. 3 плитки со стороной 90 см. 9 плиток со стороной 60 см и 2 плитки со стороной 30 см. Другой новосел для точно такой же кухни купил на I плитку больше со стороной 120 см, на 1 плитку меньше со стороной 90 см и на 1 плитку меньше со стороной 60 см. Кто из них поступил разумно?
4. Колхозный сад имеет форму прямоугольника со сторонами 580 и 376 м. Сколько в нем яблонь, если на каждую яблоню приходится в среднем по 16 м2? Какую выручку дат сад после продажи яблок, если с 1 га собрано по 35 т яблок и каждая тонна продана в среднем по 450 р ?
5. Ребята решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 100 м стены (по периметру трех новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете ребятам? Какие размеры пристройки выбрать?
6. Подсчитать количество рулонов обоев, необходимое для ремонта вашего зала.
7. Каждый из двух равновеликих участков нужно обнести забором. Один участок имеет форму квадрата со стороной 80 м. а другой – форму прямоугольника, одна сторона которого раина 50 м. На какой забор потребуется больше материала и на сколько, если на каждые 12 м забора нужно 1 м2 пиломатериалов?
8. Подсчитать, сколько требуется плиток кафеля для облицовки стен вашей кухни. Кафель размером 15x15.
9. Освещённость комнаты считается нормальной, если площадь (световая площадь) окон составляет 20% от площади пола. Нормально ли освещение вашей личной комнаты?
10. Клумба имеет размеры:

       На  1 м2 необходимо 20 г семян. Количество клумб в сквере 3. Сколько грамм семян   декоративной травы нужно для засева клумбы?

11. Необходимо построить новые дома на пустыре, который тянется вдоль проведенной по прямой железной дороге. Участок железной дороги имеет длину 2a и одну станцию, расположенную в середине этого участка. На пустыре построено здание котельной, находящееся на расстоянии a от станции. Найдите, где будут расположены новые дома на пустыре, если они должны находиться на расстоянии a от станции.

 участок железной дороги длиной 2a является диаметром окружности. Следует строить новые здания в тех точках, из которых оба конца участка дороги видны под прямым углом

12. Найдите площадь стены заводского здания, изображенной на рисунке

Использованные источники информации

• suksun-scool2.edusite.ru/DswMedia/otkryityiyurokpogeometrii.doc
• http://festival.1september.ru/articles/647680/
• http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge