Формирование у учащихся познавательного интереса к математике (из опыта работы)
статья по математике

Формирование у учащихся познавательного интереса к математике

(из опыта работы)

Машакова К. Б.

МБОУ ДОД «Федоровский дом детского творчества»

г.п.Федоровский

Аннотация

В статье раскрываются необходимости возможность применения деятельностного подхода в процессе обучения математике

Проанализированы причины снижения познавательного интереса школьников к обучению и показаны способы его формирования.                                                                                                                                            «Все наши замыслы, поиски и построения превращаются в прах, в безжизненную мумию, если нет детского желания учиться», – отмечал В. А. Сухомлинский

Творческая среда для обучения математике, формирования математической культуры ребёнка – явление многогранное. Чем богаче она по содержанию, формам и личностной окраске, тем привлекательнее она для ученика и продуктивнее для его образования. Очевидно, что может и не удастся сформировать устойчивый интерес к математике или удастся, но не в полной мере, т.е. очень даже может быть, что из всех, кто занимается на занятиях, выйдут один-два человека, которых математика заинтересует как «бездна, полная очаровательных таинств». Но, мне кажется, что и для остальных эти занятия не будут просто бездельем: они, пусть немного, но покажут как действовать, как подходить к решению нестандартных задач; что можно выбрать (и как это сделать) из данных условий, чтобы получить желаемое; и наконец, просто найти решение (или посмотреть решения) интересных задач. А такое умение сегодня полезно любому ребёнку. (и не только в математике).

Работаем  по следующим основным направлениям:

1. Использование логических заданий на занятиях математики.
2. Подготовка и проведение олимпиад разного уровня.
3. Проведение математических соревнований.
4. Исследовательская работа.

На занятиях  рассматриваем вопросы, которые не входят в стабильные школьные программы (недесятичные системы счисления, комбинаторный анализ и теория вероятностей, творческие задания на составление текстовых задач, элементы логики и теории множеств и т.д.); вопросы и проблемы, которые возникают по инициативе самих учеников(основы языка теории множеств, решение уравнений с параметрами, метод математической индукции и т.д.). Естественно акцент делаем  на задачах занимательного характера и необычного содержания. В приложении приводится список задач, которые можно предложить на занятиях для учащихся среднего звена.(приложение №1)

Источником развития познавательных сил и возможностей учащихся, как  и подлинного познавательного интереса, являются ситуации решения познавательных задач, активного поиска, догадок, размышления, мыслительного напряжения, противоречивости суждений, столкновений различных позиций, в которых необходимо разобраться самому, сумев определенную точку зрения. Одним из источников стимулирования мыслительных процессов и интеллекта служит математика, и в частности геометрии. Поэтому педагогу необходимо, прежде всего, обращать внимание на развитие умственных способностей учащихся.

Познавательный интерес стимулируется и созданием в процессе обучения проблемных ситуаций. Уровни проблемных ситуаций представляются тремя последовательными качественными видами:

1.Педагог ставит проблему, формулирует её, указывая на конечный результат; дети самостоятельно ведут поиск решения этой проблемы.

2. Педагог только указывает на проблему, а учащиеся формулируют и решают её, причём конечный результат им заранее неизвестен.

3. Дети самостоятельно ставят проблему, формулируют её и исследуют возможности и способы её решения.

Сила ума в его глубине гибкости, самостоятельности. Слабость ума– в поверхностности, подражательности, инертности, несамостоятельности. Однако не всякое обучение развивает ум школьника. Покажем это на примерах построения уроков по теме«Теорема Пифагора».

1.Занятие проводит педагог, который любит давать объяснения сам, сопровождая их выполнением безупречных чертежей. Этот педагог вычерчивает прямоугольный треугольник и объясняет, что он замечателен тем, что в нем

сумма квадратов двух меньших сторон (катетов) равна квадрату большей стороны(гипотенузы). Далее в диалоге с детьми он доказывает теорему. Учащиеся выполняют чертеж, записывают доказательство теоремы в своих тетрадях. Все работают активно, но какая польза от этой работы? На таком занятии дети лишь запоминают и пересказывают усвоенные ими новые сведения, подражая педагогу. Объяснение материала рассчитано на память учащегося, а не на развитие его умственных способностей .

Поэтому следует предложить им на отдельных листах бумаги начертить прямоугольный треугольник. Учащиеся работают по группам. Первая группа вычерчивает прямоугольный  так, чтобы вершина  прямого угла находилась вправо от его остальных вершин, вторая - влево, третья- выше всех его остальных вершин. Трое учащихся( лучше слабые) от каждой команды работают у доски. Почему выбранные ученики слабые? Да потому, что  другие не станут списывать у них, а будут думать сами .Работа у доски нужна, для того, чтобы всем детям был ясен  порядок, последовательность действий и не было ненужных вопросов. Поощряются дети, подготовившие лучшие чертежи.  Команды и сам учащийся получают за это очки- квадратики.. Так по ходу изготовления чертежей на доске выстраивается треугольник: различное положение прямого угла в прямоугольном треугольнике.

Чтобы дети, выполнившие задание очень быстро, не бездельничали, необходимо предложить им изобразить другое положение прямоугольного треугольника, и таким образом будет изготовлено больше разнообразных чертежей. Один из сильных учащихся выполняет чертежи на настольной доске(планшетке) для того, чтобы потом показать их всей группе. Первый этап выполнен, проверен, показано, что главный элемент в треугольнике– прямой угол. Далее учащимся предлагается с помощью линейки измерить длины сторон треугольника и сравнить их.

– Что можно заметить в данном случае, какую зависимость? – спрашивает педагог. Если дети затрудняются ответить, то можно вспомнить свойство сторон треугольника, сравнить их.

– Когда три отрезка могут образовать треугольник?

– Когда сумма двух отрезков больше третьего.

 – А если сравнить суммы квадратов сторон? Какой вывод можно сделать?

Поощряются учащиеся, которые точнее и аккуратнее выполняют работу. Поэтому они получат результат с наименьшей абсолютной погрешностью. Но вывод ещё не формируется, поскольку практическая работа не закончена.Учащимся на каждой стороне прямоугольного треугольника построить квадрат, вырезать эти квадраты и сложить их так, чтобы два меньших квадрата уложились в большем. Построение квадратов на сторонах прямоугольного треугольника.

треугольника. Затем педагог рассказывает о применении свойств треугольника со сторонами длиной 3, 4, 5 в Египте. Учащимся предлагается проделать такую же работу со сторонами египетского треугольника: они возводят в квадрат

стороны, получают квадраты сторон 9; 16; 25. Сравнивают квадрат большей стороны с суммой квадратов меньших сторон, догадываются, что египетский треугольник– прямоугольный. Египтяне с помощью такого треугольника

строили прямые углы и измеряли площади в форме прямоугольников.  Далее формулируют две теоремы: прямую и обратную, рассматривают их сходство и различие. Отсюда следует вывод– формулировку теорем учащиеся запоминают

непроизвольно, так как математический закон стал для них собственным открытием.

Только поисково-творческий характер деятельности формирует активность, интерес, стремление к самостоятельности, преодолению трудностей. Стало забываться и то обстоятельство, что сведения из истории науки содержат богатейшие возможности для пробуждения творческих сил, развития мышления, исследовательского любопытства. Например, на занятии по теме «Определение производной» объяснение нового материала лучше всего начать с экскурса в историю, с того, как две образовавшиеся в XVII в. в Европе крупные математические школы, решая разные задачи, пришли к одному и тому же выводу: к основному понятию дифференциального исчисления– понятию производной. Поэтому производная на языке физики означает мгновенную скорость, а на языке геометрии– тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в заданной точке.  К занятию следует подготовить наглядность,

изображающую решения этих двух задач, а также портреты основателей математических школ Ньютона и Лейбница и их краткие биографии .В рассказе можно использовать интересные моменты из жизни этих великих ученых,

отметить, чем занимались их школы (в школе Ньютона решали задачи из областей физики и механики, в первую очередь определяли мгновенные скорости прямолинейного неравномерного движения, а в школе Лейбница–математические задачи: построение касательной к произвольной плоской кривой); объяснить, что побудило ученых к решению этих задач. В этом случае, как и в предыдущем примере, воспроизводится своеобразный научный поиски учащиеся  становятся соучастниками этого процесса. Они с интересом следят за ходом мысли педагога, охотно включаются в умственную работу.

Математические олимпиады.

Математические олимпиады являются важной составной частью математического образования. Они позволяют выявить и развить такие качества учащегося, которые не всегда проявляются в повседневном учебном процессе. Не секрет, что очень часто отлично усваивающие школьный материал учащиеся теряются при решении олимпиадных задач и не добиваются в олимпиадах высоких результатов. Это связано с тем, что успешное выступление в олимпиадах требует специфических качеств и особых способностей, которые, естественно, тоже следует развивать. С этой целью  помимо основного цикла олимпиад  я способствую участию детей в  олимпиадах различного рода и уровня. Среди них, в частности, олимпиада «Вульдеркинд»,математическая олимпиада «Ромб», и другие (приложение №2).

                                             Математические соревнования

Математические турниры, бои являются неотъемлемой частью качественного современного математического образования.

Популярность математических боёв обусловлена, прежде всего, тем, что эта форма соревнований является командной. Нужно уметь организовать процесс решения задачи так, чтобы каждый нашёл точку приложения сил, соответствующую его способностям. По сути – это погружение в предмет, обладающее колоссальным воспитательным потенциалом: бои воспитывают интеллектуальную честность, критичность мышления, способность к размышлениям и творчеству

В процессе изучения математики немаловажным является принцип соревнования. Интерес учащихся к изучению предмета прекрасно «подогревается» различного рода конкурсами, викторинами, математическими боями. Математический бой – весьма популярный в последние годы вид математических соревнований. Правила математического боя неоднократно излагались в различных  изданиях, в частности, в журнале «Квант». Этим журналом проводятся ежегодные Всероссийские турниры по математическому бою. Приведу пример задач, специально подобранных для проведения математического боя между сборными старшего звена (10 и 11 классов).(приложение №3)

Исследовательская и поисковая работа, использование метода проектов.

Особое место в обучении уделяем процессу сравнения. Именно посредством хорошо организованного сравнения мы устанавливаем, в чём вещи и явления сходны и в чём различны, дифференцируем их свойства, стороны, отношения. Роль сравнения ещё больше возрастает, когда оно реализуется в условиях конфликта, когда вещи и явления, сходные в одних отношениях, оказываются различными в других и наоборот.

Не жалеем времени на разрешение различных противоречий, возникающих в ходе познания. Например, между верным и неверным решением того или иного вопроса, между старым и новым способом решения задачи или примера.

Каждый раз в своей работе стараемся заглядывать в сущность, чтобы понимался смысл. Разбирать задачу так, чтобы была понятна каждая деталь, подбирая различные способы решения, составление обратных задач, решая задачи на составление уравнения арифметическим способом, графические – аналитическим и наоборот и т.д.

Дети любят исследовательско-поисковую работу, им нравится  открывать закономерности и делать на основе наблюдений выводы, поэтому некоторые темы изучаются ребятами самостоятельно в группах.

Активизация мыслительной деятельности учащихся через включение в процесс обучения:

• задач с нестандартной формулировкой;
• задач со сказочным, ролевым сюжетом;
• задач с практическим содержанием;
• задач «Найди ошибку»;
• логических задач;
• задач на поиск закономерностей.

Ситуация успеха на занятии во многом зависит от того, с каким настроением ребёнок пришёл. Поэтому проводим зарядки: физические, эмоциональные, интеллектуальные, которые снимают напряжение, агрессию, тревожность, усталость, страх, блокирующее восприятие. 

Учащийся приобретает знания только в процессе личной самостоятельной деятельности, поэтому на занятиях применяется ряд дидактических игр для активизации учебно-познавательного процесса. 

Это: «Математические тяжеловесы» (защищать могут лично себя, а могут команду), «Математическое лото», «Математическое домино», игра «Старт – финиш», «Найди след», «Вертушка», различные шифрованные задания, игра «Педагог – группа». Очень интересно проходят творческие уроки, «уроки фантазирования», на которых дети составляют математические сказки, кроссворды, рисуют рисунки математическими символами и т.д.  Детям среднего звена (5-6 кл.) нравятся сюжетные занятия, путешествия, где мы кого-нибудь спасаем или куда-нибудь улетаем. Ребята постарше предпочитают «Математические бои», «Найди ошибку», математические диктанты, практические работы, изготовление моделей геометрических фигур.

Далее  разберем несколько задач, которые принято называть исследовательскими. На мой взгляд, задачи такого сорта имеют две характерные черты. Во-первых, эти задачи многовариантны. Они как бы состоят из большого количеств различных по сложности задач – от совсем простых частных случаев, до трудноразрешимых (а, возможно, и неразрешимых) проблем. Причем в процессе решения одних задач часто возникают другие, порой гораздо более интересные. Во-вторых, в своей формулировке исследовательская задача не предполагает известным ответ на поставленный в ней вопрос. Более того, по ходу решения такой задачи часто удается ответить вовсе не на тот вопрос, который в этой задаче первоначально ставился. То есть задача видоизменяется в процессе ее решения.

Именно таким задачам надо  уделить особое внимание во время работы в объединениях дополнительного образования. (приложение №4). Вообще-то любая хорошая задача содержит какие-то элементы исследовательской.  Взять хотя бы задачу 1. Сразу возникает вопрос: а почему доска размером именно 3х4? Давайте рассмотрим доску m×n и сформулируем вопрос по-другому: при каких m и n шахматным конем можно обойти такую доску? И если можно, то сколькими способами? По всей видимости, для больших m и n ответ на первый вопрос утвердительный (однако это тоже надо доказать!). А вот на второй вопрос вряд ли ответить будет легко, если вообще возможно. Но тем не менее для маленьких досок попытаться решить эту задачу будет довольно любопытно. Разберем совсем очевидные случаи:

1. доски 1×n и 2×n. Тут ответ отрицательный. На первой доске шахматный конь вообще не сможет сделать ни одного хода, а на второй он не сможет развернуться и вынужден будет скакать только вперед, пока не упрется в стенку.
2. Доска 3×3. Ответ опять отрицательный. На этой доске есть клетка, на которую нельзя попасть ни с какой другой (центральная клетка) 

Успех объединения "Пирамида" – это результат творческого труда коллектива, это точный расчет, интеллект и кропотливая работа.

Приложение №1

1. Малыш и Карлсон пилили дрова. Они сделали 22 распила и получили 32 полена. Сколько бревен было у Малыша и Карлсона?  Число бревен + число распилов = число поленьев.
2. В ряд выписаны пять чисел, имеющих положительную сумму. Может ли быть так, что сумма любых трех идущих подряд чисел отрицательна. Да. Например, 2, 2, –5, 2, 2. 

     3.По окружности расставлено несколько чисел, сумма которых положительна. Доказать, что можно выбрать такое из них, что оно само будет положительно, его сумма со следующим по часовой стрелке будет положительна и т.д.

 Обозначим эти числа а1, а2, …аn (нумерация соответствует их расположению на окружности). Предположим. что утверждение задачи не выполняется. Тогда найдется такой номер m, что сумма а1+ а2+…+аm отрицательна (из всех таких m выберем наименьшее). Далее, найдется такой номер k, что сумма am+1+am+2+…+ak отрицательна (снова выбираем наименьший такой номер). Продолжая действовать таким образом, мы обойдем всю окружность и в какой-то момент вернемся к числу а1. Здесь важно заметить, что очередная отрицательная сумма остановится либо на числе аn, либо на числе ak, либо на каком-то другом числе, на котором мы уже останавливались. Это связано с тем, что каждый раз мы выбираем наименьшую по числу слагаемых отрицательную сумму. Как бы то ни было, но наши числа разобьются на группы таким образом, что сумма чисел из каждой группы будет отрицательна. Но тогда и вся сумма отрицательна – противоречие.

4.На доску выписаны 6 чисел: 1,2,3,4,5,6. Разрешается к любым двум прибавить по 1. Можно ли, проделав эту операцию несколько раз, сделать эти числа равными.

Сумма написанных чисел нечетна. После прибавления двух единиц она останется нечетной, а потому все шесть чисел нельзя сделать равными.

5.Учитель отметил на прямой несколько точек. Затем Вова между каждыми двумя соседними точками поставил еще по одной точке. Затем то же самое сделали Катя и Маша. После этого Петя посчитал все отмеченные точки и сказал, что их 122. Учитель, не глядя на доску, заявил, что Петя ошибается. Почему он так решил?

 Если учитель поставил четное число точек, то Вова поставил их нечетное число, а все остальные дети – четное. Если же учитель поставил нечетное число точек, то все дети поставили их четное число. В любом случае сумма нечетна и не может равняться 122.

6.Три красных и три белых шара выложены в ряд. Доказать, что можно поменять местами два шара так, чтобы шары  одного цвета лежали рядом.

При решении этой задачи важно не упустить ни одного варианта взаимного расположения шаров. Первый (самый левый) шар можно считать белым. Тогда возможны 4 варианта расположения трех первых шаров: 1) БББ; 2) ББК; 3) БКБ; 4) БКК. В первом случае можно ничего не менять (или поменять местами два шара одного цвета). Во втором случае шар №3 меняем местами с третьим белым шаром. В третьем случае то же самое делаем с шаром №2, а в четвертом аналогично поступаем с шаром №1.

7.Может ли каждая из 4 треугольных стран иметь общий отрезок границы с каждой другой страной? Да. Например, так:

8.Можно ли придумать число, произведение цифр которого равно 1998?

Нет, так как один из простых множителей числа 1998 равен 37.

9.Можно ли разбить число 186 на три не равных друг другу натуральных слагаемых, сумма любых двух из которых делится на третье?

186=31+62+93

10.Учитель задал трудную задачу. В результате число мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек, её не решивших. Кого в классе больше – решивших задачу или девочек?

Пусть МР – число мальчиков, решивших эту задачу, МН – число мальчиков, не решивших задачу, ДР – число девочек, решивших задачу, ДН – число девочек, её не решивших. По условию МР=ДН. Отсюда МР+ДР=ДН+ДР. То есть число решивших задачу равно числу девочек в классе.

11.В Анчурии среди прочих жителей проживают карабасы и барабасы. Известно, что каждый карабас дружит с 7 карабасами и 5 барабасами, а каждый барабас дружит с 9 барабасами и 3 карабасами. Кого в Анчурии больше – карабасов или барабасов?

Пусть К – число карабасов, Б – число барабасов. Тогда число пар дружащих между собой карабасов и барабасов равно, с одной стороны, 5К, а с другой – 3Б. То есть 5К=3Б, а потому барабасов больше.

12.Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером 199×991?

Диагональ пересекает 198 горизонтальных линий и 990 вертикальных, причем она не проходит через вершины клеток (так как числа 199 и 991 взаимно просты). Если мы будем двигаться по диагонали из одной вершины прямоугольника в другую, то пересечение очередной линии будет означать переход из одной клетки в другую. Таким образом, общее число клеток равно 198+990+1=1189.

13.Имеются ли среди натуральных чисел, больших 3, три последовательных нечетных простых числа?

Нет, так как одно из этих чисел должно делиться на 3.

14.Каждый из учеников класса ходил хотя бы в один из двух  походов, причем в каждом из этих походов девочек было не больше 40% от общего числа участников. Докажите, что в классе не более  девочек.

 Разобьем девочек и мальчиков на три группы: к первой отнесем тех, кто участвовал только в первом походе, ко второй – тех, кто участвовал только во втором походе, к третьей – тех, кто участвовал в обоих походах. Если теперь перевести всех девочек из третьей группы в первую и вторую, а мальчиков, наоборот, из первой и второй в третью, то доля участвовавших в походах девочек не увеличится, тем самым условие задачи сохранится. Пусть теперь х – число учеников первой группы (девочки), y – число учеников второй группы (девочки), z – число учеников третьей группы (мальчики). По условию задачи x≤0,4(x+z); y≤0,4(y+z). То есть . Отсюда , что и требовалось доказать. Последнее неравенство следует из того, что правильная дробь увеличивается, если ее числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число.

15.Двое по очереди ставят на шахматную доску коня, причем запрещается ставить его на клетку, которую бьет один из ранее поставленных коней. Тот, кто при очередном ходе не сможет поставить коня, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре – первый игрок или второй?

 Второй выиграет, если будет делать симметричные ходы.

16. Прямая окрашена в два цвета. Докажите, что среди них найдутся три точки одного цвета, одна из которых расположена на равных расстояниях от двух других.

 Рассмотрим две точки одного цвета – обозначим их А и В. Выберем три точки – С, К и Р так, что С – середина отрезка АВ, А – середина КВ и В – середина АР. Если хотя бы одна из этих точек имеет тот же цвет, что А и В, то она вместе с ними составляет три искомые точки. Если же С, К и Р имеют другой цвет, то эти точки – искомые.

17. В угловой клетке таблицы 5×5 стоит плюс, а в остальных – минусы. Разрешается в любой строке или в любом столбце одновременно поменять все знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?

Выделим в данной таблице четыре клетки, образующие квадрат 2×2 и включающие клетку со знаком плюс. Как бы мы ни меняли знаки в строках и столбцах таблицы, в выделенном квадрате будет оставаться нечетное число плюсов. То есть добиться поставленной задачи не удастся.

Приложение №2

На столе лежат три кучки спичек. В одной кучке 5 спичек, в другой – 49 спичек, а в третьей – 51 спичка. С кучками разрешается проделывать следующие действия: соединять две кучки в одну и делить кучку с четным количеством спичек на две равные. Можно ли после нескольких таких действий получить 105 кучек по одной спичке в каждой?

Решение.

На первом шаге нам придется соединить две кучки. Если мы соединим кучки в 5 и 49 спичек, то в нашем распоряжении окажется кучка в 54 спички и кучка в 51 спичку. Количество спичек в обеих кучках делится на 3. Что бы мы дальше ни делали, это свойство сохранится, так как, во-первых, сумма чисел, кратных трем, будет кратна трем, а во-вторых, половина числа, кратного трем, снова кратна трем.

Соединим теперь кучки в 51 и 49 спичек. Мы получим две кучки, количество спичек в каждой из которых кратно 5. Если соединить кучки в 51 и 5 спичек, то количество спичек в каждой из полученных кучек будет кратно 7. В каждом из этих случаев невозможно будет получить ни одной кучки, состоящей из 1 спички.

Разберем теперь, насколько это возможно, общий случай. Ограничимся ситуацией, когда общее количество спичек по-прежнему равно 105. Это ограничение объясняется очень просто: при работе с детьми я не успел добраться до более общей ситуации – возможно, это будет сделано в следующий раз.

Заметим, что число 105 равно произведению чисел 3, 5 и 7 – ключевых в решении задачи 16. Анализ этого решения позволяет выдвинуть гипотезу: ответ на поставленный в задаче вопрос отрицательный в том и только в том случае, когда каждая из трех исходных кучек содержит нечетное число спичек, причем количество спичек в одной из кучек кратно 3, в другой – 5, а в третьей – 7. Хотя нам не удалось ни доказать, ни опровергнуть эту гипотезу, но все-таки кое-что было сделано. Например, было установлено, что если количество спичек в одной из кучек равно 1,  то  задача имеет решение. В этом случае остальные 104 спички можно собрать в одну кучу, поделить ее пополам и т.д. (была указана последовательность действий, приводящая к нужному результату – думаю нет нужды приводить ее здесь). Таким образом, оставалось придумать, каким образом получить кучку из одной спички в общем случае. Кое какие мысли по этому поводу имелись, но, как я говорил, они пока остались не реализованными. Так что имеется большой простор для дальнейших исследований (не забывайте, что общее число спичек не обязано равняться 105, а исходных кучек может оказаться больше трех).

Приложение №3

Приведем сразу решения этих задач.

Задачи.

1.Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.

Решение.

Занумеруем яблоки в порядке неубывания весов и положим в k-й пакет яблоки с номерами k и 301–k. Рассмотрим два произвольных пакета. Пусть в одном из них яблоки с весами а ≤ d, а в другом – с весами b ≤ с. Тогда а≤b≤c≤d. Имеем: а+d≤c+2b≤1.5c+1.5b и b+c≤2а+d ≤1.5a+1.5d, что и требовалось.  

2.На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взяты точки М и К такие, что ВС = ВМ и АС = АК. Докажите, что ∠МСК = 45°.

Решение.; . , отсюда . Сумма углов МСВ и КСА равна , т.е. она больше прямого угла на угол 45°. Отсюда видно, что эти углы имеют общую часть. Она и есть искомый угол МСК, равный 45°.

3.Дан набор, состоящий из 1997 чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Докажите, что хотя бы одно из чисел в наборе равно 0.

Решение.

Пусть сумма чисел в наборе равна М, тогда число а из набора заменяется на число b=М–а. Просуммируем эти равенства для всех а: b1+…+b1997=1997M–(a1+…+a1997), откуда М=0, т.к. b1+…+b1997=а1+…+а1997=М. Значит для любого а число b=–а также входит в набор и все числа разбиваются на пары а, –а. Из нечетности их количества следует, что в набор входит число а=–а, т.е. а=0.

4.В лес пошло 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n2+9n–2 гриба, причем все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек?

Решение.

Общее количество детей обозначим через х. Тогда n=х–11. Заметим, что х>11. Выразим общее число грибов через х: n2+9n–2=(х–11)2+9(х–11)–2=х2–13х–20. Это число равно х⋅k, где k – число грибов собранных одним человеком. Отсюда следует, что 20 делится на х. Есть единственный вариант, при котором х>11: х=20. Значит, мальчиков было 9.  

5.Дана функция .Найдите .

Решение.

Функция f(x) определена при всех x≠1. Так как f(x) ≠0 при всех x, а f(x) = 1 лишь при x = 0, то выражение f(f(…f(x)…)) имеет смысл при всех x≠1. Нетрудно убедиться, что, а f(f(f(x))) = x. Т.к. 95 дает при делении на 3 остаток 2, то .

6.Существуют ли такие целые числа x1, x2, …, x10000, что ?

Решение.

Нет. Допустим, что такие числа нашлись. Умножим равенство на достаточно большую степень тройки так, чтобы все слагаемые слева стали целыми. Тогда слева окажется сумма 10000 нечетных чисел – четное число, а справа – произведение нечетных чисел, т.е. нечетное число. Противоречие.

7.Первоначально на доске написано натуральное число А. Разрешается прибавить к нему один из его делителей, отличных от него самого и единицы. С полученным числом разрешается проделать аналогичную операцию, и т.д. Докажите, что из числа А = 4 можно с помощью таких операций прийти к любому наперед заданному составному числу

Решение.

К числу 4 можно много раз прибавить число 2, при этом каждый раз получаются четные числа, у которых опять есть делитель 2, так что его снова можно прибавить. Таким образом можно получить все четные числа. Допустим теперь, что нужно получить нечетное составное число mn, m>2, n>2. Сначала получим четное число 2m, которое имеет делитель m; будем прибавлять его до тех пор, пока не получим число mn.

8.Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашены в 12 цветов(каждый отрезок – одним цветом). Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов

Решение.

Допустим, что такая раскраска возможна. Рассмотрим отрезки какого-то одного цвета, например, красного. Общее число треугольников, одна из сторон которых красная, не меньше, чем число пар из остальных 11 цветов, т.е. 55. Так как каждый отрезок служит стороной для 10 треугольников, то число красных отрезков не меньше 6, а общее число отрезков должно быть не меньше 72. Однако число всех сторон и диагоналей в12-угольнике равно 66. Полученное противоречие показывает, что требуемая раскраска невозможна.

Приложение №4

Решение задачи 1 :

Доказать, что существует ровно 8 способов обойти шахматным конем доску размером 3х4, побывав на каждой клетке ровно один раз. При этом маршруты-двойники, различающиеся только направлением движения, считаются за один.

Решим эту задачу, построив некоторый граф. Клетки нашей доски будут вершинами  этого графа, а ребрами соединим те вершины, для которых соответствующие клетки находятся на расстоянии одного хода шахматного коня. Для удобства занумеруем клетки следующим образом:

Серым цветом выделены клетки, из которых можно сделать три хода. Из остальных клеток можно сделать только по два хода. При построении графа клетки-вершины удобно будет расположить следующим образом:

Мы видим, что исследуемый граф представляет собой две шестизвенных замкнутых ломаных, связанных двумя мостиками (ребра 2-11 и 10-3). Нам необходимо обойти этот граф, побывав в каждой вершине по одному разу. Нетрудно понять, что начав движение в левой половине графа, мы обязаны обойти все 6 вершин этой половины, прежде чем перейдем на другую сторону, иначе нам придется возвращаться назад, не закончив свой обход справа. Закончить обход левого цикла мы должны в одной из вершин 2 или 10. Существует 4 способа это сделать: начать движение в вершине 8 и двигаться против часовой стрелки; начать в вершине 1 и двигаться по часовой стрелке; начать в вершине 9 и двигаться в любую сторону. Каждый из этих четырех способов обхода левого цикла может иметь два продолжения, поскольку перейдя направо, можно двигаться как по часовой стрелке, так и против.

Если же начинать движение справа, то мы будем получать те же самые маршруты, только проходимые в обратном порядке.

Задачу о маршрутах шахматного коня можно несколько видоизменить, введя дополнительные требования, например: конь должен обойти все клетки и последним ходом вернуться в исходную клетку; конь не должен проходить через какую-то выделенную клетку (таких клеток может быть несколько). Короче, задачей о шахматном коне можно заниматься очень долго. Было бы желание.

 Решение задачи 2 :

Сколькими способами из пяти квадратов можно сложить прямоугольник? Квадраты при этом можно брать каких угодно размеров. Та же задача для шести квадратов.

 Эту задачу с увлечением решали как пятиклассники, так и десятиклассники. Попробуйте и вы ее решить. Но сначала попытайтесь угадать, сколькими все-таки способами можно из пяти квадратов сложить прямоугольник. С первого взгляда кажется, что таких способов совсем немного. Однако потом выясняется, что среди различных конструкций встречаются весьма забавные. Например, такая, как на этом рисунке. Короче, всего у нас получилось 15 или 16 вариантов. Но вначале мы исследовали данную задачу для 3 квадратов (там всего два варианта) и для четырех квадратов. До шести квадратов так никто и не добрался – слишком хорошая была погода.

При решении задачи о пяти квадратах мы не ограничивались чисто описательной работой. Была установлена связь этой задачи с теорией графов. А именно, каждой конструкции сопоставлялся некий граф, получаемый так: вершины графа – квадраты. Если квадраты имеют общий участок границы, то соответствующие вершины соединяются ребрами. Например, для приведенной выше конструкции граф выглядит так.

 Выяснилось, что разным способам могут соответствовать одинаковые графы. Таким образом, глядя на граф, мы не сможем понять, какая конструкция породила этот граф. Однако на этом месте возникают разные любопытные вопросы, и не только для случая пяти квадратов. Например, верно ли, что каждый связный граф описывает некоторый способ построения прямоугольника из квадратов? Много ли различных способов порождают один и тот же граф? Как изменится ситуация, если вместо обычного рассмотреть ориентированный граф, в котором стрелочка направлена от большего квадрата к меньшему?

При исследовании задачи о пяти квадратах изучался еще один вопрос:  можно ли один и тот же прямоугольник различными способами сложить из пяти, шести или большего количества квадратов. Ответ на этот вопрос утвердительный, если разрешить перестановки внутри одной и той же конструкции, как это показано на рисунке:

Однако вопрос интересно поставить немного по-другому: можно ли из двух разных наборов квадратов сложить одинаковые прямоугольники? И если да, то при каком минимальном числе квадратов в таких наборах это можно сделать?

Можно также потребовать, чтобы все квадраты в наборе были различными по размерам. В этом случае мы попадаем в ситуацию, описанную в известной книге «Как разрезать квадрат?"