Математика и музыка
статья по музыке

Математика и музыка. Поверил я алгеброй гармонию…

Е.Ю.Хилькевич,

Учитель ГБОУ СОШ № 549 Красносельского района

Г.Санкт-Петербург

В статье представлен краткий экскурс о связи двух наук – математики и музыки со времен Пифагора и до наших дней.

Раздумывая об искусстве и науке, об их связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека, и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства. Г. Нейгауз.

Математика и музыка

Математика и музыка – два полюса человеческой культуры, два школьных предмета, две системы мышления. Математика связана со строгим логическим мышлением, упорядоченным и неограниченным пространством чисел. Музыка связана с воображением, фантазией, многогранным и многоцветным восприятием и звучания музыки, и жизни, с таинственным и также безграничным миром звуков. Музыка принимает многообразие, математика – единственность. Музыка действует на чувства, душу, математика – на разум. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.

Математика является универсальным из всех инструментов познания, поскольку она рассматривает не конкретику, не приложение, а идею, которой пользуются остальные науки.

Музыка является «идеальным» из всех видов искусства, поскольку она способна непосредственно воздействовать на чувства человека, а значит на его иррациональную часть.

Следовательно, если человек не может жить либо без одной, либо без другой своей части, значит, части не могут жить друг без друга, значит музыка и математика навек соединены в человеке. И именно человек оценил и сам нашел взаимосвязь музыки и математики.

Историческая справка. Открытие Пифагора.

Современному композитору трудно представить сочинение вокальной и инструментальной музыки в отсутствие таких понятий, как интервал, гамма, музыкальный строй. Естественно, что на протяжении многих веков люди не знали этих слов. В таком случае возникает вопрос: кто же стоял у истоков построения мажора и минора, аккордов и интервалов? А у истоков стоял ни кто иной, как великий математик Пифагор.

Его открытие в области теории музыки послужило базой для развития математических пропорций в музыке. Необычность открытия заключалась в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу. Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Древнему мыслителю приписывается следующее высказывание: «Изучайте монохорд, и вам откроются тайны мироздания». На монохорде звуки извлекают защипыванием струны пальцем или плектром. Его единственная струна натянута над резонансной декой с подвижным штегом (порожком). Математически рассчитанные соотношения тонов возникают при перемещении штега по делениям шкалы, нанесенным на резонансную деку. Позже монохорд снабдили несколькими струнами, что дало диапазон примерно в две октавы. Из этого многострунного инструмента возник позднее клавикорд.

Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Прежде чем перейти к этому описанию, надо вспомнить, что такое звук. Согласно акустике, звук распространяется в воздухе волнообразно. Это значит, что с того момента, как зазвучали музыкальные инструменты, от них по всему залу расходятся звуковые волны. Колебания, передаваемые через воздух, заставляют вибрировать наши барабанные перепонки, в результате чего мы улавливаем звук. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Одни считали, что это зависит от натяжения струны, другие видели ответ в том, что длина струны – причина того или иного звучания, третьи определяли консонанс с помощью высоты тона.

Ясность в этом вопросе наступила после Архита (IV в. до н. э.). Он сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т. е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта скорость носит название частоты колебания струны. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом двух тонов – отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего: w1/w2. Интервальные коэффициенты и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили следующие названия:

октава (w2/w1=2/1, l2/l1=1/2); квинта (w2/w1=3/2, l2/l1=2/3); кварта (w2/w1=4/3, l2/l1=3/4).

Звуки в музыкальной гамме связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим, устойчивым. В каждой гамме есть наиболее устойчивый, основной тон. Он называется тоникой, и с него начинается данная музыкальная система. Лад – приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный характер звучания. Математическое выражение системы звуковысотных отношений – лада – называется музыкальным строем.

Основой музыкальной шкалы – гаммы пифагорейцев был интервал октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим.

XVIII век открыл новые страницы в истории музыки.

Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. - соразмерность).

В чем же состояло математическое описание равномерно-темперированного строя?

Для построения гаммы, как уже было сказано, необходимо было разделить ее на красиво звучащие части. Для построения гаммы, оказывается, гораздо удобнее пользоваться логарифмами соответствующих частот: log2w0, log2w1… log2wm. Октава при этом перейдет в промежуток от log2w0 до log2 2w0 = log2w0 +1, т. е. в промежуток длиной 1. Чтобы разделить октаву на равные части, потребовался анализ многих традиционных примеров народной музыки, который показал, что в ней чаще всего встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот: 2/1 – октава, 3/2 – квинта, 5/4 – терция, 4/3 – кварта, 5/3 – секста, 9/8 – секунда, 15/8 – септима. 

Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей (отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно). Уже в нашем веке появлялись попытки усовершенствования равномерно-темперированного строя..

В музее музыкальной культуры можно увидеть музыкальные инструменты, в которых число ступеней в октаве значительно больше двенадцати. Были попытки создания инструментов с числом ступеней в октаве 24, 48, 53 для того, чтобы получить интервалы, наиболее близкие к чистым. В музыкальной практике, однако, такие инструменты не использовались.

Мелодия, как математическая последовательность. Любая мелодия представляется, как последовательность нот и их длительностей. Частота и длительность нот - числа целого типа. Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Симметрия - жизненно важная составная часть любого аспекта музыки - от композиции монументальных симфоний, до тонкой структуры мелодических фраз. Симметрия рождает порядок, создаёт определённый рисунок, который объединяет элементы, отобранные автором для использования в своём музыкальном сочинении.

Виды симметрии, встречающиеся в музыке:

• ракоходное отражение
• обращение интервала
• ракоходное обращение
• трансляционный вид
• секвенция
• ракоходное обращение с зеркальным отражением

В геометрии есть такое понятие - золотое сечение, это разделение отрезка на две неравные части таким образом, что меньшая относится к большей так как большая к целому.

Наибольшее количество золотых сечений найдено в произведениях Бетховена(97%), Моцарта(91%), Шопена(92%), Шуберта(91%).

Музыка и компьютер

В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время. Сейчас существует множество компьютерных программ для сочинения музыки. Одна из наиболее известных программ, моделирующих сочинение музыки на основе фрактальных объектов- MusiNum. Данная программа генерирует последовательность целых чисел, на основе формирует фракталы, которые и преобразовывает в музыку. Так же существует программа Palette, в основу этой программы положена модель, базирующаяся на традиционной теории гармонии. Автор-Илья Щепихин сумел перевести основные законы гармонии, правила голосоведения и примеры развития мелодии на язык математических алгоритмов, которые затем воплотил в удобном графическом интерфейсе.

И в заключении. Ученые всего мира изучают поистине интереснейшую проблему взаимосвязи математики и музыки. Разные века делали разные акценты, выбирая за основу то рациональность, то иррациональность. Таким образом, математики и музыканты могли осуществлять связь миров: опосредованного, материального и духовного, чувственного.

Как показали все выводы, которые можно сделать, исходя из результатов их деятельности, музыку можно описать, но нельзя объяснить математикой, хотя математика неизбежно диктует музыке свои законы как относительно нотной записи, так и относительно построения. Примечательно также, что на протяжении многих веков судьбы музыки и математики переплетались, а сегодня музыка «вплетена» и в информатику. Теперь можно не только слушать «неживую» музыку с лазерного диска, но и самому сочинять (на сайте в Internet). Компьютеры могут и придумывать музыку, и оформлять: создавать дополнительные голоса к основной мелодии, заменять один аккомпанемент другим, использовать любые музыкальные инструменты, - словом, выполнять аранжировку. Правда, музыка эта довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые не укладываются в математические каноны. В самом деле, ученые до сих пор не могут сказать, в чем качественное отличие консонанса (приятного для слуха звучания) от диссонанса (неприятного для слуха звучания). Никакие математические анализы не помогают. Никому так и не удалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Это можно объяснить только тем, что нам неизвестно, что в действительности происходит в голове композитора, создающего шедевр…

Таким образом, о взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы. Безусловно, в данной работе была освещена лишь небольшая (быть может, даже незначительная) часть того неизведанного огромного мира связи музыки и математики, который, к сожалению, в школьной программе совершенно не обозначен. В современном мире мысль, что все науки и виды искусства связаны между собой, актуальна. И с помощью этих связей мы открываем мир, целостность мира, ощущаем себя вплетенными в целую Вселенную.

Как сказал Николай Бердяев, каждая «личность есть единство во множестве». Хочется верить, что это действительно так, а значит, люди будут открывать и открывать для себя и для всех те взаимосвязи, которые не были известны их отцам, не приходили в голову их дедам. Развитие будет происходить не только вглубь, но и вширь, создавая новые возможности для познания и реализации смысла жизни каждого. И этот смысл – общение. Литература:

1. Варага Б., Димень Ю., Лопариц Э. «Язык, музыка, математика». М., 1981г.
2. Гик Е.Я. «Занимательные математические игры». М., 1987 г.
3. Моисеев А.И. «Звуки и буквы, буквы и цифры…» Книга для внеклассного чтения учащихся 8-10 классов. М., 1987г.
4. Сухотин А. «Ритмы и алгоритмы». М., 1988г.
5. Волошинов А. В.; Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
6. Занимательная теория музыки. Г.Виноградов, Е.Красовская. Москва «Советский композитор», 1991.
7. Гильде В. Зеркальный мир. – М.: Мир, 1982.
8. Н. Васюткин. „Золотая пропорция”. М.,1997.
9. http://www.petelin.ru/pcmagic/palette/palette.htm
10. http://www.simgeomyz.narod.ru/myz.htm