Открытый урок по математике по теме "Производная и ее применение"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Урок

Применение производной к исследованию функции.

Цели урока:

Образовательные:

Отработка навыков исследования функции с помощью производной; закрепление навыков нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной.

Развивающие:

Развитие зрительного анализа, внимания, абстрактно-логического мышления, умения анализировать и делать выводы.

Воспитательные:

Повышение интереса обучающихся к предмету, воспитание  прилежания, активности, внимания.

Тип урока: урок повторения, систематизации и углубления знаний.

Структура урока

1. Организационный момент.

Приветствие, формулировка темы, постановка цели.

Эпиграф: «Музыка может возвышать или умиротворять душу,

        Живопись - радовать глаз,

        Поэзия – пробуждать чувства,

        Философия – удовлетворять потребности разума,

        Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

        А математика способна  достичь всех этих целей»

                Морис Клайн

Мотивация

Как и многие разделы математики, дифференциальное исчисление возникло из необходимости решения практических задач. В основном источником дифференциального исчисления явились задачи двух видов: нахождение наибольших и наименьших значений величин, на вычисление скоростей.

Теория экстремумов функции и сегодня находит многочисленное практическое применение при решении задач производства и экономики, связанных с оптимальным использованием сырья и времени.

Понятие функции - одно из важнейших понятий  в  математике. С функциями мы встречаемся на уроках физики, химии, в экономике, на

производстве и т. д.

Функцию можно задать аналитически, таблицей, графически.

Графический способ – самый наглядный. С помощью графика легко можно описать свойства функции, а значит и любого процесса.

Графики функций широко используются  в различных областях научных знаний, поэтому умения строить, читать, прогнозировать их «поведение» играют огромную роль в практической деятельности людей многих профессий, в том числе и вашей.

Систематизация знаний

В ходе изучения данной темы у вас формировались умения нахождения производной, стационарных и критических точек функции, определять с помощью производной свойства функции и строить ее график.

Вопросы

• Как связан «знак» производной с возрастанием и убыванием функции?
• Какие точки называются стационарными?
• Какие точки называются критическими?
• Что называется точкой минимума функции?
• Что называется точкой максимума функции?
• Алгоритм построения графиков функции с помощью производной?

Задача 1.

На рисунке изображен

график функции y=f (х),

определенной на отрезке

[-4 ; 10 ]

1) Укажите промежутки возрастания функции;

2) Укажите промежутки убывания функции;

3) Найдите точку максимума функции;

4) Найдите точку минимума функции;

5) Найдите наибольшее и наименьшее

     значения функции;

Задача 2.

Функция y=f(x) определена на промежутке [-3;7].

На рисунке изображен график ее производной.

1. Укажите стационарные точки функции
2. Исследуйте функцию на монотонность
3. Укажите точки экстремума функции

Задача 3.

Постройте эскиз графика непрерывной на множестве Д =(   ;    ) функции y= f (x) по данным,

указанным в таблице.

Задача4.

Исследуйте функцию и постройте ее график

y=x3-6x2+5

Решение

yI=3x2-12x=3x(x-4)

yI=0 ⬄x=0

x=4

3. Практическое применение производной

Производная широко применяется на практике при решении задач на оптимизацию.  

Российский математик 19 века Панфитий Чебышев говорил, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для наибольшей выгоды.С такими задачами в наше время приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей.

• инженеры-технологи стараются организовать производство так , чтобы выпускалось как можно больше продукции,
• конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей и т.д.

С помощью производной можно определить оптимальную скорость расхода горючего.

Задача.

Экспериментально установлено что расход горючего автомобилем  зависит от скорости его движения и определяется формулой

f(x)=18-0.3x+0.003x2

           30≤x≤100,

Где х км/ч – скорость, f (х) - расход горючего на 100 км пути, π

Определить скорость сгорания топлива при скоростях 75;100 и 40км/ч

Решение

Найдем производную функцию f (x)

fI (x)=-0.3+0.006x

Отсюдаf I(75) = 0.15; f I (100)=0.3; f I  (40) = -0.06

Знак «-» указывает на то, что скорость расхода горючего уменьшается.

Проверим это:

f (40) = 18-12+4.8=10.8л

f (41) = 18-12.3+5.04=10.74л

Т.е. расход уменьшается на 0.06л.

Таким  образом изменение скорости х по- разному влияет на расход горючего.

Если движение автомобиля ускоряется при малых скоростях, расход горючего уменьшается, а при больших – увеличивается. Очевидно, что для каждого автомобиля существует такая скорость, при которой расход горючего постоянен. Эту скорость назовем «критической».

Для определения критической скорости прировняем f(x) к нулю:

-0.3+0.006х=0

Х=50км/ч

Следователь при скорости движения до 50км/ч расход горючего уменьшается, а затем увеличивается.

Математическая притча «Скорость жизни»

Существует формула: время, умноженное на скорость, равно расстоянию. Будучи распространена на жизненный путь человека, эта формула означает: чем с большей скоростью «идет» человек по жизни, тем длиннее его жизненный путь. Можно прожить короткую жизнь, но за отведенное время пройти в своем развитии громадное расстояние. Пушкин прожил всего 37лет, но сделал за свою жизнь столько, сколько другой человек не сделал бы и за несколько жизней. Конечно, много зависит от врожденных способностей, но немало зависит и от самого человека. Так давайте  двигаться по жизни с оптимальной скоростью.

                                 4.  Самостоятельная работа.

а) Укажите промежутки возрастания функции;

б) Укажите промежутки убывания функции;

в) Найдите точки  максимума функции;

г) найдите точки минимума функции;

2. Функция f(x) определена на промежутке (-3;11). По данным, указанным в таблице определите:

а) промежутки возрастания функции;

б) промежутки убывания функции;

в) точки максимума функции;

г) точки минимума функции;

3. Постройте эскиз графика непрерывной на множестве (-∞;+∞) функции  f(x) по данным указанным в таблице.

4. Исследуйте функцию и постройте эскиз ее графика у=х3+3х2+2.

Проверяем ответы .

1задание -2б

2задание – 2б

3 задание – 3б

4 задание--7б

«5» - 13б

«4» - 7б

«3» - 4б

4. Подведение итогов урока.

6. Задание на дом. Построить эскиз графика функции

y=x3-3x